close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Внутренняя геометрия нормализованного пространства проективно-метрической связности.

код для вставкиСкачать
2006
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 1 (524)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 514.764
Е.А. ГОЛУБЕВА
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ НОРМАЛИЗОВАННОГО ПРОСТРАНСТВА
ПРОЕКТИВНО-МЕТРИЧЕСКОЙ СВЯЗНОСТИ
В данной работе рассматриваются некоторые вопросы дифференциальной геометрии нормализованного (оснащенного в смысле А.П. Нордена ([1], с. 210)) пространства проективнометрической связности K .
На протяжении всего изложения индексы пробегают следующие значения: i; j; k; s = 0; n,
i; j; k; l; s; t = 1; n; оператор r действует по закону rT = dT + T ! + T ! ; T ! ; T ! .
n;n
kl
kl
ij
sl
ij
ij
k
s
l
s
ks
ij
kl
sj
s
i
kl
is
s
j
1. Пространство проективно-метрической связности
Формы связности ! пространства проективной связности P подчинены структурным уравнениям
D! = ! ^ ! + 12 R !0 ^ !0; ! = 0:
Согласно [2] пространством проективно-метрической связности K называется пространство проективной связности P , обладающее инвариантным полем локальных гиперквадрик
Q ;1 (локальных абсолютов).
Критерием того, что пространство проективной связности P есть пространство проективнометрической связности K с полем локальных абсолютов
a x x + 1 (g 0 x + cx0 )2 = 0; a = a ; c = const 6= 0;
(1)
отличных от сдвоенных гиперплоскостей, является выполнение уравнений
(2)
dg 0 ; g 0 ! ; c!0 = a !0 ; da ; a ! ; a ! = ; 1 (a g 0 + a g 0 )!0 ;
при этом форма
(3)
!00 = ; 1 g 0 !0
становится главной [3].
В случае R 0, т. е. при P P , выполнение уравнений (2) является [4] критерием того,
что проективное пространство P есть проективно-метрическое пространство K с неподвижной
гиперквадрикой (1); при этом форма !00 имеет вид (3).
j
n;n
i
j
k
j
j
i
i
k
ist
s
t
k
k
n;n
n;n
n
n;n
n;n
ij
i
k
k
i
i
j
c
i
i
ik
i
ij
k
ij
ji
k
i
kj
k
j
ik
c
ik
j
jk
k
i
k
c
k
j
ist
n;n
n
n
n
2. Поля геометрических объектов нормализованного пространства
проективно-метрической связности
По аналогии с проективным пространством P ([1], с. 210) и пространством проективной
связности P ([5], с. 50) пространство проективно-метрической связности K назовем нормализованным (оснащенным по А.П. Нордену), если в нем задано поле квазитензора v :
dv ; v ! + !0 = v !0 :
Суть данной нормализации пространства K состоит в задании однозначного, непрерывного и дифференцируемого отображения, ставящего в соответствие каждой точке A0 базы K
n
n;n
n;n
i
j
i
j
j
i
i
ij
n;n
n;n
73
гиперплоскость ;1 (A0 ) слоя K (A0 ), не проходящую через центр A0 слоя; при этом уравнение
гиперплоскости ;1 (A0 ) имеет вид v x = 0.
Методом продолжений и охватов в первых трех дифференциальных окрестностях нормализованного пространства проективно-метрической связности K построим поля тензоров c , b ,
B,,A :
1) c def
= v + 1 g 0 , dc ; c ! = c !0 ; обращение в нуль тензора c эквивалентно тому, что нормализация A0 ! ;1 (A0 ) пространства K является полярной [3] относительно поля локальных
абсолютов (1) (гиперплоскость ;1 (A0 ) является полярой центра A0 слоя K (A0 ) относительно
локальной гиперквадрики (1));
2) b def
= v ; v c , rb = b !0 ; тензор b (вообще говоря, несимметрический) называется
основным тензором нормализации, нормализация пространства проективно-метрической связности K с полем симметрического тензора b называется гармонической;
3) в предположении, что основной тензор b нормализации невырожден, т. е. b def
= jb j 6= 0,
справедливо b b = b b = , rb + b b b !0 = 0, d ln b = B !0 ; B = b b + 2 g 0 ; rB =
B !0 ;
4) def
= B ; 2(n + 1)c , r = !0 ;
1 b B , rA = A ! .
5) A def
= b ; v b ; v b ; +1
0
n
n
k
n
k
n;n
i
i
i
ij
ijk
j
i
i
i
c
i
j
j
ij
i
i
n
n;n
n
ij
ij
i
j
ij
n
k
ijk
ij
n;n
ij
ij
kj
ik
ki
j
jk
ij
ik
lj
kls
i
ij
s
k
k
k
ji
ijk
c
j
k
i
ij
i
i
ijk
i
ijk
i
k
kj
j
l
kl
ik
ij
n
k
ijk
l
ijkl
3. Индуцированное пространство проективной связности
Для невырожденным образом нормализованного пространства проективно-метрической связности K преобразование I : ! ! ! форм связности по закону
!0 = !0; !00 = !00 ; n+ 1 !0 ; ! = ! + b A !0 ;
(4)
!0 = !0 + v n+ 1 + b v A ; 2b[ ] !0
является инволютивным, т. е. I I ;1 ; при этом система форм f! g удовлетворяет структурным
уравнениям пространства проективной связности P :
n;n
i
j
j
i
i
k
i
k
k
i
ls
i
i
l
j
j
i
i
js
sik
k
sik
k
ik
j
i
n;n
D! = ! ^ ! + 12 R !0 ^ !0; ! = 0;
где
j
k
j
j
i
i
k
ist
s
t
k
k
R0 = b (R0 ; v c R0 ; v R );
R00 = c R0 + v R0 ;
(5)
R = ;v R0 ; b b (R + v R0 ); R0 = v R + b R0 ; v c R0 :
В силу инволютивности преобразования I пространства K и P являются двойственными
j
jl
st
j
ist
l
lst
j
i
k
st
k
jl
st
k
lst
k
k
lst
ki
l
k
st
k
st
k
k
k
k
st
k
ist
ist
n;n
st
k
st
ki
i
k
k
st
n;n
([5], с. 43).
Пространство проективно-метрической связности K и пространство проективной связности P нормализованы одним полем квазитензора v , причем гармоничность нормализации
одного из этих пространств влечет гармоничность нормализации другого.
Из соотношений (5) следует, что справедливо fK K g , fP P g. При этом проективный репер пространства P , двойственного нормализованному пространству K , состоит из
n + 1 линейно независимых гиперплоскостей :
0 = n+1p [M1 M2 : : : M ]; M = A + v A0 ; f = const 6= 0;
(6)
= n+1p P b [A1 : : : A ;1 A0 A +1 : : : A ] ; v 0:
n;n
n;n
i
n;n
n
n;n
n
n
i
f
n
b
i
i
i
f
i
n
b
ki
k
k
Поэтому справедлива
74
k
n
i
Теорема 1. В случае проективно-метрического пространства
K
метрическое пространство
нение абсолюта
Q
;1
n
n
невырожденная норма-
)
образом
проективно-
(4), а урав(6) имеет вид
n , структурные формы которого имеют строение
пространства
K
относительно тангенциального репера
n
+ cx0 )2 = 0; a = a ; c = const 6= 0;
g 0 = g 0 + n +c 1 ; a = a + c n+ 1 + 2b[ ] ; v n+ 1 ; c + n+ 1 b A :
a xx
i
j
ij
где
K
(невырожденным
лизация индуцирует двойственное нормализованное
+ 1 (g
c
0x
i
i
ij
ji
j
ij
k
k
k
ij
ij
ij
k
i
k
kl
lij
4. Полярная нормализация пространства проективно-метрической связности
Предположим, что нормализация пространства K с полем локальных абсолютов (1) полярная; условием этого, как известно (см. п. 2), является обращение в нуль тензора c .
В этом случае справедливо
b = ; 1 a ; ! = ! ; g 0 = g 0; a = a ; R = R :
Таким образом, имеет место
n;n
i
ij
c
ij
j
j
i
i
i
i
ij
ij
j
j
ist
ist
Теорема 2. Полярная нормализация пространства проективно-метрической связности
является гармонической
;
при этом в случае ее невырожденности
двойственное пространство проективно-метрической связности
K
(ja j 6= 0)
ij
n;n ,
K
n;n
индуцируется
изоморфное исходному
K относительно по02
движного тангенциального репера (6) имеют вид a x x + (1=c)(g 0 x + cx ) = 0.
Следует заметить, что локальный абсолют пространства K представляет собой семейпространству, причем уравнения локальных абсолютов пространства
ij
i
j
i
n;n
i
n;n
ство касательных гиперплоскостей к соответствующему локальному абсолюту (1) исходного
пространства K .
n;n
Литература
1. Норден А.П. Пространства аффинной связности. { М.: Наука, 1976. { 432 с.
2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретикогрупповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. о-ва.
{ 1953. { Т. 2. { С. 275{382.
3. Столяров А.В. Пространство проективно-метрической связности // Изв. вузов. Математика. { 2003. { Є 11. { С. 70{76.
4. Столяров А.В. Внутренняя геометрия проективно-метрического пространства // Дифференц. геометрия многообразий фигур. { Калининград: Изд-во Калининградск. ун-та, 2001. {
Вып. 32. { С. 94{101.
5. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Монография. { Чебоксары:
Чувашск. гос. педаг. ун-т им. И.Я. Яковлева, 1994. { 290 с.
Чувашский государственный
Поступили
педагогический университет
полный текст
04:01:2005
18:07:2005
краткое сообщение
75
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
112 Кб
Теги
пространство, проективные, связность, нормализованного, внутренние, геометрия, метрические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа