close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вопросы разрешимости и метод конечных элементов вырождающихся эллиптических уравнений высоких порядков.

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 5 (444)
УДК 519.63
А.Д. ЛЯШКО, М.Р. ТИМЕРБАЕВ
ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ И МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
Статья посвящена исследованию существования и единственности обобщенного решения линейного вырождающегося эллиптического уравнения порядка 2m для двух случаев. Во-первых,
для случая, когда уравнение вырождается на части границы области (в частности, на всей границе), и во-вторых, когда вырождение происходит внутри области. Применением теорем вложения весовых пространств Соболева анализируется постановка задачи в зависимости от степени
вырождения коэффициентов уравнения. Для приближенного решения предлагается метод конечных элементов (МКЭ).
Вопросам разрешимости и анализу свойств решений уравнений, вырождающихся на границе
области, посвящен ряд работ (см., напр., [1]{[7] и цитируемую там литературу). Сеточные методы
для уравнений 2-го порядка, вырождающихся на части границы, рассматривались, например,
в [8]{[17]. Метод конечных элементов для квазилинейного уравнения 4-го порядка, вырождающегося на части границы, рассмотрен в [18]. При изложении результатов мы следуем работам
[15]{[20].
n
1. Обозначения и вспомогательные результаты. Пусть R | ограниченная область с
липшиц-непрерывной границей и S @ | некоторая n;1-мерная достаточно гладкая поверхность. Обозначим расстояние от точки x до поверхности S через
(x) = inf fjx ; yj : y 2 Sg:
Введем весовые пространства Лебега и Соболева
Lp;(
) = fu(x) : (x) u(x) 2 Lp (
)g (p > 1);
jujLp;(
)
= j uj
p;
=
Z
1=p
j(x) u(x)jp dx
;
m (
) = fu(x) 2 L (
) : D i u(x) 2 L (
); i = (i ; i ; : : : ; i ); jij = i + i + : : : + i mg;
Wp;
1;loc
p;
1 2
n
1
2
n
kukWp;
m (
) =
X
Z
jijm 1=p
j Diujp dx
Для произвольного измеримого множества K положим
j rmuj
p;K
=
X
Z
jij=m K
jDi ujpdx
:
1=p
:
Обозначим через Cm (
) весовое пространство m раз дифференцируемых на области функций,
kukCm (
) = jmax
max j(x) Di u(x)j.
ijm
x2
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(код проекта 98-01-00260).
57
Приведем необходимые в дальнейшем теоремы вложения для весовых пространств Соболева
(см. [19]).
Теорема 1. Пусть 1 < p < +1, = m ; k ; n=p > 0, k < m, ; 0. Если < + , то
m (
) компактно вложено в C k (
) и справедлива оценка
Wp;
m (
) ;
kukCk (
) c
kukWp;
где = max(0; ; ).
Теорема 2. Пусть 1 < p q < +1, k < m, = m ; k ; n=p + n=q > 0, ; 0. Если
m (
) непрерывно вложено в W k (
), т. е.
+ , то Wp;
q;
m (
) :
k (
) ckukWp;
kukWq;
Если < + , то указанное вложение компактно.
m
Теорема 3. Пусть ; | n;1-мерное гладкое многообразие. Если < m ; k ; 1=p, то Wp; (
)
k
компактно вложено в Wp (;).
2. Эллиптическое уравнение, вырождающееся на части границы. Рассмотрим уравнение
m
(;1)k Di (ai;j (x)Dj u(x)) = f (x); x 2 :
(1)
Будем предполагать, что aij = aji и выполнены следующие условия:
X
X
X
cm2(x)
ji j2 ai;j (x)i j cm 2(x)
jij2 ;
(2)
Au =
cm > 0, 0,
X
X
k=0 jij;jj j=k
jij=m
0
X
jij;jjj=k
jij;jjj=m
jij=m
ai;j (x)i j ck 2k (x)
k 0, k ; m + k, ck 0, k = 0; m ; 1;
Z
X
jij=k
ji j2 (x 2 ; 2 Rn);
j; f (x)j2dx:
0
(3)
(4)
При > 0 уравнение (1) вырождается на S .
Обозначим через V замыкание в норме W2m; (
) финитных в функций. Всюду далее через
k k обозначается норма этого пространства. Решение уравнения (1) будем искать в пространстве V . Введем на V билинейную форму a(u; v) и линейный функционал F (v), определяемые
коэффициентами и правой частью уравнения
a(u; v) =
Z
X
jij;jj jm
F (v) =
ai;j (x)Di u(x)Dj v(x)dx;
Z
f (x)v(x)dx:
Обобщенным решением уравнения (1) в пространстве V будем называть решение u 2 V вариационного уравнения
a(u; v) = F (v) 8v 2 V:
(5)
3. Граничные условия и разрешимость. Выясним, как влияет степень вырождения уравнения на граничные значения решения и ее производных, и обсудим в связи с этим постановку
граничных условий. Прежде всего отметим, что в силу определения пространства V функция
u 2 V обращается в нуль на @ n S вместе с производными до порядка m ; 1
Di u(x) = 0; x 2 @ n S; jij m ; 1:
58
Пусть k обозначает наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству k < m ; 1=2 ; . Тогда
(см. теорему 3) функция u(x) и ее производные до порядка k включительно (если k 0) имеют
след на S , равный нулю
Di u(x) = 0; x 2 S; jij k:
Для производных Di u(x) более высоких порядков jij > k след на S , вообще говоря, не определен,
и в этом случае (для гладкого решения) на S возникают естественные граничные условия. В
частности, при сильном вырождении, т. е. при m ; 1=2, оператор следа на S функций
пространства V не определен, и на S возникают только естественные граничные условия.
Таким образом, если m ; k ; 3=2 < m ; k ; 1=2, то
V = fv 2 W2m; (
) : Di v(x) = 0; x 2 S; jij k; Di v(x) = 0; x 2 @ n S; jij m ; 1g:
В частности, если m ; 1=2, то
V = fv 2 W2m; (
) : Di v(x) = 0; x 2 @ n S; jij m ; 1g:
Если при этом S = @ , т. е. вся граница является поверхностью вырождения коэффициентов
уравнения, то V = W2m; (
).
Обсудим теперь разрешимость задачи (5). Прежде отметим, что из неравенств r ; m + r
в силу теоремы 2 вытекает
kukW2r;r (
) ckukW2m; (
); r = 0; m ; 1:
Используя условия на коэффициенты и правую часть, нетрудно установить непрерывность формы a(u; v) и линейного функционала F (v) на пространстве V (ниже обозначено m = )
a(u; v) jF (v)j =
Z
m
X
r=0
cr jr rr uj2;
jr rr vj2;
ckuk kvk;
f (x)v(x)dx j;0 f j2;
j0 vj2;
ckvk:
Предполагая выполненным хотя бы одно из условий
< m ; 1=2; S 6= @ ; a00 6 0;
будем иметь V -эллиптичность формы a(u; v)
a(u; u) cmj rm uj22;
+
Z
(6)
a00 (x)u2 (x)dx ckuk2 :
Таким образом, в силу теоремы Лакса{Мильграма имеет место
Теорема 4. Задача (5) однозначно разрешима в пространстве V .
4. Эллиптическое уравнение, вырождающееся внутри области. Пусть некоторая n;1-мерная достаточно гладкая поверхность S разбивает на две области 1 и 2 . Так же, как и
выше, (x) обозначает расстояние от x до S . Рассмотрим уравнение (1) с входными данными,
удовлетворяющими условиям (2){(4). Таким образом, коэффициенты уравнения вырождаются
на поверхности S , т. е. внутри области . Для исследования этого уравнения, а также анализа
его аппроксимаций конечными элементами, определим на пространство функций W2m; (
),
являющееся пространством Соболева с весом (x), аннулирующимся на S . Пусть Ql u = uj
l
| операторы сужения на l (l = 1; 2), k | наибольшее целое, удовлетворяющее неравенству
k < m ; ; 1=2, n | внешняя к 1 нормаль. Тогда
и
r
r
W2m;(
) = v 2 L2;(
) : Qlv 2 W2m; (
l ); l = 1; 2; @@nr Q1 vS = @@nr Q2 vS ; r = 0; k
kvkW m; (
) = kQ1vkWp;
m (
) + kQ2 v kW m; (
) :
1
2
59
2
2
Заметим, что в случае = 0 определенное выше пространство совпадет с классическим
(невесовым) пространством Соболева. Пространство W2m; (
) можно отождествить с подпространством декартова произведения W2m; (
1 ) W2m; (
2 ), состоящего из пар функций (v1 ; v2 ) 2
W2m;(
1 ) W2m;(
2), удовлетворяющих условиям согласования на S ,
@ r v = @ r v ; r = 0; k:
@ nr 1 S @ nr 2 S
Далее, как и в случае вырождения на части границы области, определим пространство V
как замыкание в норме пространства W2m; (
) множества финитных в функций. Поскольку
по условию пересечение S с @ имеет нулевую n;1-мерную поверхностную меру, то
r V = v 2 W2m; (
) : @@nvr = 0; r = 0; m ; 1
@
(n | внешняя нормаль к @ ). Под обобщенным решением уравнения (1) в пространстве V ,
так же, как и в п. 2, будем понимать решение вариационной задачи (5). Поскольку весовая
функция (x) вырождается на общей части границ 1 и 2, то для каждой из этих подобластей
справедливы теоремы вложения 1{3. Следовательно, рассуждая далее так же, как и в п. 2,
устанавливаем разрешимость задачи.
Теорема 5. Задача (5) в рассматриваемом случае вырождения коэффициентов внутри
области имеет единственное решение.
Выясним далее, каким условиям в точках вырождения удовлетворяет решение задачи (5).
Интегрируя по частям отдельно по каждой области l , складывая затем результаты и обозначая
через [v]S скачок v при переходе через S , после ряда преобразований получим
a(u; v) =
Z
m
X
X
k=0 jij;jj j=k
(;1)k Di (ai;j Dj u) v dx +
Z
mX
;1
rv
@ r v dx;
@
q2m;1;r (u) @n
+
[q2m;1;r (u)]S @nr dx +
r
S r=k+1
S r=0
Z
k
X
где qr (u), r = m; 2m ; 1, | дифференциальные выражения, возникающие на S при интегрировании по частям (для m = 2 ниже приводится их явный вид; в общем случае ввиду их громоздкости эти выражения опускаем). Таким образом, получаем следующие условия на поверхности
вырождения S :
@ r u = 0; [q
2m;1;r (u)]S = 0; r = 0; 1; : : : ; k;
@nr S
qr (u)jS = 0; r = m; m + 1; : : : ; 2m ; k ; 2:
(7)
(8)
Отметим два крайних случая.
1. < 1=2. В этом случае k = m ; 1 и выполнены условия (7); условия (8) отсутствуют.
2. m ; 1=2. В этом случае k < 0 и выполнены естественные условия (8); условия (7)
отсутствуют. Поэтому задача (5) фактически распадается на две независимые задачи в
подобластях 1 и 2 с естественными граничными условиями на S | общей части их
границ (см. определение пространств W2m; (
) и V выше).
Приведем явный вид дифференциальных выражений qr (u), r = 2; 3, для уравнения четвертого порядка (m = 2) в двумерной (n = 2) области. Обозначим
X
Aj = aij Di u; jj j 2:
jij2
60
Тогда
q2(u) = A20 cos2(n; x1 ) + A11 cos(n; x1 ) cos(n; x2 ) + A02 cos2 (n; x2 );
@
@
@
@
q3 (u) = A10 ; @x A20 ; @x A11 cos(n; x1 ) + A01 ; @x A02 ; @x A11 cos(n; x2 ) ;
1
2
2
1
@
; @ ((A20 ; A02) cos(n; x1 ) cos(n; x2 ) + A11 (cos2(n; x1 ) ; cos2 (n; x2 )))
( | вектор, касательный к S ).
5. Метод конечных элементов. Всюду ниже при изложении МКЭ используется терминология и некоторые обозначения, принятые в [21]. Ограничимся здесь рассмотрением вырождения
внутри двумерной области для уравнения четвертого порядка. В дальнейшем для простоты
изложения будем считать, что область | многоугольник, и линия вырождения S кусочнолинейна. Пусть подвергнута правильной регулярной триангуляции (разбиению на треугольные или прямоугольные конечные элементы) Th так, что S не пересекается с внутренностью ни
одного участвующего в триангуляции конечного элемента. Предположим, что конечномерное
пространство приближенных решений Vh удовлетворяет условию
o
Vh C 1(
) W22 (
)
\
(примеры таких конечноэлементных пространств см. в [21], c. 325{347). При выполнении этих
условий обеспечивается конформность метода, т. е. включение Vh V .
Под приближенным решением задачи (5), как обычно, будем понимать функцию uh 2 Vh ,
удовлетворяющую интегральному тождеству
a(uh; vh ) = F (vh ) 8vh 2 Vh :
(9)
Условия (2), (3) гарантируют однозначную разрешимость задачи (9) при любой f 2 (W22; (
))
(в частности, для правой части f (x), удовлетворяющей условию (4)) и справедливость оценки
для разности точного и приближенного решений
ku ; uhk c vhinf
ku ; vhk
(10)
2Vh
(см., напр., [21], c. 315).
Приступим теперь к оценке vhinf
ku ; vhk через ku ; huk, где h | оператор Vh-интерполяции,
2Vh
для некоторых специальных видов конечных элементов. В свою очередь, оценка величины (глобальная оценка погрешности интерполяции) ku ; h uk складывается из погрешностей интерполяции на конечных элементах, участвующих в интерполяции. Таким образом, анализ точности
МКЭ сводится к получению оценок погрешностей интерполяции в весовых нормах на типичном
конечном элементе.
Введем обозначения
K = supf(x) : x 2 K g; hK = diam K;
h = maxfhK : K 2 Thg; dk = supfdiam S : S K; S | кругg:
Очевидно, dK hK . Будем считать выполненным условие регулярности hK dK . Пусть
(K; PK ; K ) | типичный конечный элемент триангуляции Th , l | максимальный порядок производных, участвующих в определении множества степеней свободы K элемента K , K : C l (K ) !
PK | оператор PK -интерполяции. При формулировке оценок используем обозначение
c r
m+1 Wp;
Wq; C l ;
\
61
(11)
означающее выполнимость следующих неравенств:
p q; ; 0; r < m + 1; m + 1 ; 2=p ; r + 2=q > 0;
< + ; < m + 1 ; 2=p;
которые обеспечивают компактность вложения (см. теоремы 1, 2)
\
c r
m+1 (K ) Wp;
Wq; (K ) C l (K )
для произвольного K 2 Th . Используя технику работы [20], для аффинных семейств конечных элементов (лагранжевых или эрмитовых) ([21], c. 88) устанавливаем следующую основную
оценку.
Теорема 6. Если Th аффинно и имеет место включение (11), то cуществует постоянная c, не зависящая от S , такая, что
; m+1
r (K ) c
ku ; K ukWq;
K hK j r ujp;K ;
где = m + 1 ; 2=p ; r + 2=q.
Отметим, что эти оценки обобщают на весовые нормы хорошо известные и ставшие классическими оценки погрешности конечноэлементной интерполяции в невесовых пространствах
Соболева (см., напр., [21]).
Используя эти общие результаты, получим оценки погрешности интерполирования на некоторых конкретных конечных элементах.
1) Эрмитов прямоугольный элемент Богнера{Фокса{Шмидта ([21], c. 82). В этом случае m =
4 C 2 . Имеет место оценка
3, = 4 ; 2=p ; r + 2=q (r < 4), и при < + , < 2 ; 2=p Wp;
4;r;2=p+2=q ; j r4 uj :
r (K ) chK
ku ; K ukWq;
p;K
K
(12)
2) Эрмитов треугольник типа (5) ([21], c. 329). В этом случае PK = P5 (K ), dim PK = 21,
6 C 2 . Имеет место оценка
m = 5, = 6 ; 2=p ; r + 2=q (r < 6), < 4 ; 2=p, и при < + Wp;
6;r;2=p+2=q ; j r6 uj :
r (K ) chK
ku ; K ukWq;
p;K
K
(13)
Аналогичные оценки удается получить и для так называемых почти афинных семейств конечных элементов, наиболее часто используемых при решении уравнений четвертого порядка.
Рассмотрим, например, треугольник Аргириса ([21], с. 328).
Теорема 7. Пусть r < 6, 1 < p q +1, = 6 ; 2=p ; r + 2=q , < + , < 4 ; 2=p.
Тогда
; 6
r (K ) chK (14)
ku ; K ukWq;
K j r ujp;K :
2
Доказательство (ср. [21], с. 330). Пусть : C (K ) ! P5 (K ) | оператор интерполирования
на эрмитовом треугольнике типа (5). В силу (13)
; 6
r (K ) chK ku ; ukWq;
K j r ujp;K :
r (K ). Очевидно (x) = 0 при x 2 @K , т. к. D i (as ) = 0
Оценим функцию = K u ; u в норме Wq;
при jij 2. Кроме того,
@ (u ; u)(b )(a ; b )n
0(bs )(as ; bs ) r(bs )(as ; bs) = @n
s s
s s
для s = 1; 2; 3 ([21], с. 330).
Пусть s | базисная функция, соответствующая степени свободы v ! v0 (bs )(as ; bs ). Тогда
= K u ; u =
3
X
s=1
0 (bs )(as ; bs)s =
62
3
@ (u ; u)(b )[(a ; b )n ] :
s
s
s s s
s=1 @n
X
p
Поскольку @n@ (u ; u)(bs ) 2ku ; ukW11 (K ) , то по теореме 6 при r = 1, q = 1, m = 5,
= 5 ; 2=p, = 0 получим ku ; ukW11 (K) ch5K;2=p ;K j r6 ujp;K . Далее, очевидно, для почти
всех x 2 K и для r = 0; 1; : : : ; r имеем j (x)rr s (x)j K jrr s (x)j, откуда j rr s (x)jq;K K jrr s (x)jq;K . Поскольку ([21], с. 331) jrr s(x)jq;K h2K;2=q;r jrr bs jq;Kb , то, учитывая оценку
j(as ; bs ) nsj hK , окончательно будем иметь
5;2=p ; h h2=q;r j r6 uj
6;2=p+2=q;r ; j r6 uj : r (K ) chK
kK u ; ukWq;
p;K = chK
p;K
K K K
K
K
Оценки (12){(14) показывают, что погрешность интерполирования на элементе зависит как
от диаметра элемента, так и от расстояния элемента до множества вырождения S . Поэтому
при получении оценок погрешности по всей области естественно согласовать величины K и
hK . Именно, следуя [20], [15]{[17], будем говорить, что семейство триангуляций сгущается вблизи множества S со степенью сгущения 1, если существуют такие не зависящие от h положительные постоянные 1 , 2 , что для всех конечных элементов триангуляции выполнено
неравенство
1h hK 2h1K;1= :
(15)
Условие (15) означает, что конечный элемент, расположенный на расстоянии O(1) от S , имеет
диаметр O(h), а для элементов, лежащих вблизи S , имеем hK = O(h ). В случае = 1 условие
(15) означает квазиравномерность триангуляции.
Предполагая теперь, что решение задачи (5) удовлетворяет соответствующим условиям гладкости, и используя оценки (10), (12){(14), точно так же, как и в [15]{[17], можно получить оценки
точности МКЭ при использовании того или иного конкретного конечного элемента. Сформулируем, например, соответствующий результат для треугольника Аргириса.
Теорема 8. Пусть u | решение задачи (5) | таково, что его сужение на каждую из
подобластей l , l = 1; 2, принадлежит классу W26; (
l ), выполнены условия теоремы 7 при
r = 2, p = q = 2, а также условия (2), (3) и неравенство (15). Тогда
где # = min(; ( + ; )).
ku ; uhkW ; (
) ch# j r6uj2;
;
2
2
Литература
1. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений на границе области // ДАН
СССР. { 1951. { Т. 77. { Є 2. { С. 181{183.
2. Михлин С.Г. О применимости вариационного метода к некоторым вырождающимся эллиптическим уравнениям // ДАН СССР. { 1953. { Т. 91. { Є 4. { С. 723{726.
3. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений, вырождающихся на границе области // УМН. { 1954. { Т. 9. { Є 1. { С. 138{143.
4. Кудрявцев Л.Д. О решении вариационным методом эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // ДАН СССР. { 1956. { Т. 108. { Є 1. { С. 16{19.
5. Глушко В.П. Первая краевая задача для уравнений эллиптического типа, вырождающихся
на многообразиях // ДАН СССР. { 1959. { Т. 129. { Є 3. { С. 492{495.
6. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. { М.: Мир, 1980. { 664 с.
7. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. { 1983. {
Т. 161. { С.157{183.
8. Гусман Ю.А., Оганесян Л.А. Оценки сходимости конечно-разностных схем для вырожденных эллиптических уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. { 1965. { Т.5. { Є 2.
{ С. 351{357.
63
9. Croziex M., Thomas J.M. Elements nis et problemes elleptiques degeneres // Rev. franc.
automat., inform., rech. operat. { 1973. { T. 7. { Є R-3. { P. 77{104.
10. Лапин А.В., Смирнов Ю.Б. Исследование разностных схем для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения. { 1976. { Т. 12. { Є 5. { С. 892{
901.
11. Bendali A. Approximation of a degenerated elliptic boundary value problem by a nite element
method // RAIRO. Anal. Numer. { 1981. { V. 15. { Є 2. { P. 87{99.
12. Moing P. Resolution par une methode d'elements nis du probleme de Dirichlet pour un operateur
elliptique degenere // Compt. Rend. Acad. Sci. { Paris, 1981. { V. 292. { Є 3. { P. 217{220.
13. Катрахов В.В., Катрахова А.А. Метод конечных элементов для некоторых вырождающихся
эллиптических краевых задач // ДАН СССР. { 1984. { Т. 279. { Є 4. { С. 799-802.
14. Hatri M. Estimation d'erreur optimale par la methode des elements nis pour un probleme aux
limites degenere // Compt. Rend. Acad. Sci. { Paris, 1984. { V. 37. { Є 5. { P. 573{576.
15. Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Оценки точности схем метода конечных элементов для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения. { 1993.
{ Є 7. { C. 1210{1215.
16. Тимербаев М.Р., Ляшко А.Д. Об оценках погрешности схем метода конечных элементов
для квазилинейных вырождающихся уравнений 2-го порядка // Дифференц. уравнения. {
1994. { T. 30. { Є 7. { C. 1239{1243.
17. Тимербаев М.Р. Конечноэлементная аппроксимация вырождающегося эллиптического
уравнения 2-го порядка в области с криволинейной границей // Изв. вузов. Математика.
{ 1994. { Є 9. { C. 78{86.
18. Карчевский М.М., Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся уравнений четвертого порядка // Дифференц. уравнения. { 1999.
{ Є 2. { C. 232{237.
19. Тимербаев М.Р. Теоремы вложения весовых пространств Соболева // Изв. вузов. Математика. { 1991. { Є 9. { C. 56{60.
20. Тимербаев М.Р. Оценки погрешности n-мерной сплайн-интерполяции в весовых нормах //
Изв. вузов. Математика. { 1992. { Є 10. { C. 54{60.
21. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. { М.: Мир, 1980. { 512 с.
Казанский государственный
университет
Поступила
27.01.1999
64
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
203 Кб
Теги
уравнения, конечный, вопрос, метод, эллиптическая, разрешимости, элементов, порядков, вырождающихся, высокие
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа