close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Граничное поведение интеграла типа логарифмического вычета.

код для вставкиСкачать
2002
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (479)
УДК 517.55
С.Г. МЫСЛИВЕЦ
ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
ТИПА ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ВЫЧЕТА
Пусть D | ограниченная область в C n с кусочно-гладкой границей @D и w = (z ) |
голоморфное отображение из D в C n , имеющее конечное множество нулей E на D. Пусть
B (z; R) = f : j ; z j < Rg | шар с центром в точке z радиуса R > 0, а S (z; R) = @B (z; R). Предположим, что a | нуль отображения и B (a; R) не содержит других нулей . Тогда найдется
такой шар B (0; r), что для почти всех точек 2 B (0; r) отображение w = ; имеет одинаковое
число нулей в B (a; R). Это число называется кратностью нуля a отображения (напр., [1], x 2)
и обозначается a .
Для точки z 2 E \ @D рассмотрим шар B (z; R), не содержащий других нулей , и положим
L
(z ) = rlim
!+0
2n;1 [S (0; r ) \ (B (z; R) \ D )]
;
L2n;1[S (0; r)]
где L2n;1 | (2n ; 1)-мерная мера Лебега. Другими словами, рассматривается не телесный
угол касательного конуса к области D в точке z , а телесный угол касательного конуса образа
(B (z; R) \ D) в точке 0. (Определение касательного конуса см. в ([2], x 3.1.21).)
Для z 2 E и достаточно малой окрестности Vz точки z множество B (z; r) = f 2 Vz :
j ( )j < rg является относительно компактным в Vz , а множество S (z; r) = f 2 Vz : j ( )j = rg
есть гладкий (2n ; 1)-мерный цикл (для почти всех достаточно малых r > 0) по теореме Сарда.
Определим главное значение v. p. интеграла от некоторой измеримой функции ' в точке
z 2 E по окрестности S точки z поверхности @D следующим образом:
v. p.
Z
S
'( )dL2n;1 ( ) = rlim
!+0
Z
S nB (z;r)
'( )dL2n;1 ( ):
Это определение главного значения по Коши v. p. отличается от обычного тем, что выбрасывается не шаровая окрестность точки z , а \искривленный" шар B (z; r).
Введем ядро U ( ( )), используемое в формуле многомерного логарифмического вычета (напр., [1], x 3). Оно получается подстановкой w = (z ) из ядра Бохнера{Мартинелли U (w). Напомним, что
n
n ; 1)! X
k;1 wk dw [k ] ^ dw ;
U (w) = ((2
(
;
1)
n
i) k=1
jwj2n
где dw[k] = dw1 ^ ^ dwk;1 ^ dwk+1 ^ ^ dwn , а dw = dw1 ^ ^ dwn . Ядро U ( ( )) является
замкнутой дифференциальной формой типа (n; n ; 1) на D с особенностями в точках a 2 E .
Сформулируем основной результат.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант Є 99-0100790.
45
Теорема. Если функция
F
удовлетворяет на
(т. е. F 2 C (D)) и голоморфна в D, то
v: p:
Z
@D
F ( )U ( ( )) =
X
D
условию Г
ельдера с показателем
aF (a) +
a2E \D
X
a2E \@D
>0
(a)a F (a):
Этo формула многомерного логарифмического вычета с особенностями на границе области.
Если нули отображения не лежат на границе, то она превращается в обычную формулу
логарифмического вычета из ([1], x 3). Для случая простых нулей a 2 @D она дает теорему
из [3]. Кроме того, данная теорема обобщает теорему 20.7 из [4], в которой накладываются
дополнительные условия на границу @D и отображение .
Известно утверждение ([2], теорема 3.2.5):
Пусть отображение
: Rm ! Rn липшицево и m n. Тогда
Z
A
если множество
всех
y.
A
g( (x))Jm
является
Lm
Z
(x) dLm (x) =
Rn
g:
-измеримым,
g(y)N ( jA; y) dHm (y);
!
Rn
R
и
(1)
N ( jA; y) < 1
для
Hm
-почти
Здесь Jm (x) | m-мерный якобиан отображения , Lm | m-мерная мера Лебега, Hm |
m-мерная мера Хаусдорфа, N ( j A; y) | функция кратности отображения , т. е. число прообразов ;1 (y), лежащих в A.
Сначала докажем теорему для главного значения v. p. .
Лемма 1. В условиях теоремы выполняется равенство
v: p:
Z
@D
F ( )U ( ( )) =
X
a2E \D
aF (a) +
X
a2E \@D
(a)a F (a):
В области Dr = D n
B (a; r) по формуле многомерного логарифa2E \@D
мического вычета ([1], x 3) имеем
S
Доказательство.
Z
@Dr
а
v: p:
Поэтому
Z
@Dr
причем
Z
S (a;r)\D
Z
@D
F ( )U ( ( )) =
F ( )U ( ( )) = rlim
!+0
F ( )U ( ( )) =
X
a2E \D
a F (a);
Z
@Dna2E [\@DB (a;r)
Z
@Dn[a B (a;r)
F ( )U ( ( )) =
Z
S (a;r)\D
F ( )U ( ( )) ;
X
F ( )U ( ( )):
Z
F ( )U ( ( ));
a S (a;r)\D
(F ( ) ; F (a))U ( ( )) + F (a)
Z
S (a;r)\D
U ( ( )):
(2)
Далее используем неравенство Лоясевича ([5], с. 73)
j ; aj C j ( )j
46
(3)
для некоторых положительных чисел и C и точек из достаточно малой окрестности точки
a. Покажем, что первый из интегралов в формуле (2) стремится к нулю при r ! +0. Используя
условие Гельдера для функции F , равенство (1) и неравенство (3), получим
jF ( ) ; F (a)j j j(k)jj2n jd [k] ^ d j C1
(a;r)\D
S
Z
S
C1a
Z
S (0;r)\ (D)
Z
j ( )j+1;2n jd [k] ^ d j (a;r)\D
jwj+1;2ndH2n;1 (w) C
Z
2
S (0;r)
jwj+1;2n dL2n;1(w);
т. к. отображение гладкое и поэтому H2n;1 ( (S )) C3 L2n;1 (S ), а последний интеграл, очевидно, стремится к нулю при r ! +0. Для второго интеграла из (2) применяем равенство (1).
Тогда
Z
Z
lim
U ( ( )) = rlim
U (w) = a (a);
r!+0
!+0 a
поскольку
S (a;r)\D
S (0;r)\ (D)
) \ (D)]
U (w) = L L2[Sn;(01 [;Sr(0
; r)]
(D)
2n;1
Z
S (0;r)\
по лемме 2.1 из [4].
Пусть теперь = ( 1 ; : : : ; n ) | голоморфное отображение из C n в C n , состоящее из целых
функций и имеющее единственный нуль | начало координат. Кратность нуля отображения
обозначим через .
Определим интегралы
(
Z
+
f ( ) U ( ( ; z)) = F ;(z); z 2 D;
F (z); z 62 D:
@D
непрерывно продолжаются
Лемма 2. Если функция f 2 C (@D ), > 0, то интегралы F
+
;
на @D и F (z ) ; F (z ) = f (z ) на @D .
Доказательство. Продолжим f в окрестность V границы области D до функции, удовлетворяющей условию Гельдера с показателем в этой окрестности. Докажем, что функции вида
Z
@D
(f ( ) ; f (z ))U ( ( ; z ))
являются непрерывными в V . Для этого нужно показать, что интегралы
Z
(f ( ) ; f (z )) j (k(;;z )zj)2n d [k] ^ d
S
абсолютно сходятся (здесь S | некоторая окрестность точки z на поверхности @D). Неравенство
(3), примененное к ( ; z ), и условие гельдеровости функции f дают неравенство
jf ( ) ; f (z)j cj ; zj c1 j ( ; z)j
для точек из достаточно малой окрестности z . Используя (1), так же, как при доказательстве
леммы 1, получим
Z
Z
jf ( ) ; f (z)j jj (k(;;z)zj)2jn jd [k] ^ d j c1 j ( ; z)j+1;2n jd [k] ^ d j S
S
c1 Z
(S )
Z
jwj+1;2n dH2n;1(w) c2 jwj+1;2n dL2n;1(w);
S
47
а последний интеграл, очевидно, сходится. Формула
(
U ( ( ; z )) = ; z 2 D;
0; z 2= D;
@D
Z
завершает доказательство леммы 2.
Вернемся к первоначальному отображению .
Лемма 3. Для функций f 2 C (@D ), > 0, справедливо равенство
v: p:
Z
Z
S
f ( )U ( ( )) = v: p: f ( )U ( ( )):
S
Данная лемма обобщает утверждение из [3] о равенстве главных значений для случая простых нулей отображения .
Доказательство. Как показано в лемме 2, интеграл
Z
S
(f ( ) ; f (z ))U ( ( ))
абсолютно сходится, поэтому главные значения равны данному интегралу. Так что нужно лишь
доказать, что
Z
Z
v. p. U ( ( )) = v. p. U ( ( )):
S
S
Преобразуем следующий интеграл (r достаточно мало), взяв S = @D \ B (z; R),
Z
S nB (z;r)
U ( ( )) =
Z
@ (D\B (z;R)nB (z;r))
U ( ( )) ;
Z
U ( ( )) +
D\S (z;R)
Z
=;
Z
D\S (z;r)
D\S (z;R)
U ( ( )) =
U ( ( )) +
Z
D\S (z;r)
U ( ( ))
по формуле многомерного логарифмического вычета. Поэтому остается доказать, что
lim
Z
r!+0
D\S (z;r)
U ( ( )) = rlim
!+0
В силу ([2], теорема 3.2.5, равенство (1)) имеем
Z
D\S (z;r)
U ( ( )) = z
Z
(D)\S (0;r)
U (w);
Z
(D)\S (0;r)
D\S (z;r)
Z
D\S (z;r)
Следовательно, нужно показать, что
lim
r!+0
Z
U (w) = rlim
!+0
U ( ( )):
U ( ( )) = z
Z
(D\S (z;r))
Z
(D\S (z;r))
U (w):
U (w):
В данном равенстве можно вместо (D) взять касательный конус к (D) в точке 0. Покажем,
что
Z
Z
U (w) =
U (w):
\S (0;r1 )
\ (S (z;r2 ))
Рассмотрим область G, ограниченную поверхностями \ S (0; r1 ), \ (S (z; r2 )) и частью
конической поверхности M \ @ (r1 и r2 выбраны так, чтобы шар B (0; r1 ) содержал поверхность
(S (z; r2 ))). По формуле Бохнера{Мартинелли
Z
@G
U ( w ) = 0;
48
поэтому
Z
Покажем, что
\S (0;r1 )
U (w) ;
Z
\ (S (z;r2 ))
Z
M
Z
U (w) = U (w):
M
U (w) = 0:
Перейдем от комплексных координат w к действительным wj = j + in+j , j = 1; : : : ; n. Тогда
([3] или [4], x 20)
2n
X
(
n
;
1)!
Re U (w) = 2n
(;1)k;1 jjk2n d [k];
k=1
n
X
(
n
;
2)!
1
Im U (w) = ; 4n d
2n;2 d [k; n + k ] ; n > 1;
k=1 j j
а при n = 1
2
Im U (w) = ; d ln4j j :
Cужение дифференциальной формы Re U (w) на коническую поверхность M (в точках гладкости M ) равно нулю. Действительно, пусть M задается нулями однородной вещественнозначной функции ': M = f : '( ) = 0g. Тогда в точках гладкости M сужение формы d [k] на M
равно (;1)k;1 k d, где k = @@'k j grad1 'j | направляющие косинусы нормали, а d | элемент
поверхности M . Тогда
2n
2n @'
X
X
1
1
(;1)k;1 jjk2n d [k]M = k @
d
=
l'
2
n
j grad 'j jj2n d = 0
k j grad 'jj j
k=1
k=1
по формуле Эйлера об однородных функциях (l | степень однородности функции '); (2n ; 1)мерная мера множества точек негладкости равна нулю.
Интегрирование по M будем выполнять с помощью действительных прямых на M вида
lb = f : j = bj t; j = 1; : : : ; 2n; t 2 Rg;
где jbj = 1. При фиксированном b 2 S (0; 1) переменная t меняется от некоторого числа r2 (b) до
r1 . Функция r2 (b) измерима. Таким образом, M является расслоением над циклом @ \ S (0; 1).
В этих переменных
n
X
X
Im U (w) = cn d dtt ^ bk db[j; k; n + k] = cn dtt ^ db[k; n + k];
k;j
k=1
т. к. форма, содержащая произведение более чем 2n ; 2 дифференциалов dbj , равна нулю на
S \ @ . Тогда
Z
Z
n
X
Im U (w) = cn
ln r r(1b) db[k; n + k]:
M
2 k=1
S (0;1)\@ Почти во всех точках S \ @ переменные bk , bn+k являются функциями от остальных переменных bj , j 6= k; n + k. Поэтому последний интеграл примет вид
Z
n
X
S (0;1)\@ k=1
ln k (b1 ; : : : ; [k]; : : : ; [n + k]; : : : ; b2n )db[k; n + k] =
=
Z
S (0;1)\
d
n
X
k=1
ln k (b1 ; : : : ; [k]; : : : ; [n + k]; : : : ; b2n )db[k; n + k] = 0
49
по формуле Стокса.
Доказательство теоремы следует из лемм 1 и 3.
Лемма 2 позволяет усилить теорему 1 из [6], которая была доказана для гладких функций.
n со связной гладкой границей. Если для
Следствие. Пусть D | ограниченная область в C
;
функции f 2 C (@D) интеграл F (z ) = 0 вне D, то функция f голоморфно продолжается в
область D.
Доказательство повторяет доказательство теоремы 1 из [6] с использованием леммы 2 данной
работы вместо следствия 1 из [6].
Литература
1. Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. { Новосибирск: Наука, 1979. { 366 с.
2. Федерер Г. Геометрическая теория меры. { М.: Наука, 1987. { 760 c.
3. Пренов Б.Б., Тарханов Н.Н. О сингулярном интеграле Мартинелли{Бохнера // Сиб. матем.
журн. { 1992. { Т. 33. { Є 2. { С. 202{205.
4. Кытманов А.М. Интеграл Бохнера{Мартинелли и его применения. { Новосибирск: Наука,
1992. { 240 с.
5. Мальгранж Б. Идеалы дифференцируемых функций. { М.: Мир, 1968. { 131 с.
6. Кытманов А.М., Мысливец С.Г. О голоморфности функций, представимых формулой логарифмического вычета // Сиб. матем. журн. { 1997. { Т. 38. { Є 2. { С. 351{361.
Красноярский государственный
Поступили
университет
первый вариант
20:09:1999
21:12:2000
окончательный вариант
50
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
161 Кб
Теги
интеграл, поведения, типа, логарифмических, вычет, граничного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа