close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Движения на касательных расслоениях сохраняющие ортогональную и касательную структуры.

код для вставкиСкачать
1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (435)
УДК 514.762
Р.Х. ИБРАГИМОВА
ДВИЖЕНИЯ НА КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ,
СОХРАНЯЮЩИЕ ОРТОГОНАЛЬНУЮ
И КАСАТЕЛЬНУЮ СТРУКТУРЫ
В [1] были изучены автоморфизмы произвольных расслоенных пространств, относительно
которых инвариантна -структура; найдено строение тензоров кривизны и кручения для расслоенного многообразия, допускающего максимальную группу автоморфизмов; рассмотрены автоморфизмы более специального типа, при которых сохраняется также и заданный объект линейной связности. В [2] рассматриваются три группы движений в касательном расслоении со
специальной метрикой типа Сасаки: движения, сохраняющие расслоенную структуру; движения, состоящие из продолженных преобразований, и произвольные движения. Найдены максимальные размерности этих групп движений.
В данной работе изучаются движения на касательном расслоении с произвольной римановой
метрикой, не вырождающейся на слоях, сохраняющие ортогональную и касательную структуры,
в предположении, что метрическая связность является канонической, а распределения H и V
J -изометричны. Вычисления проводятся относительно неголономного поля реперов. При этом
используется аппарат теории автоморфизмов в расслоенных пространствах, построенный в [1].
Рассмотрим на касательном расслоении T M риманову метрику произвольной сигнатуры,
не вырожденную на слоях. Задав любое (вообще говоря, неголономное) адаптированное к структуре поле реперов feA g и сопряженное ему поле кореперов fA g: A(eB ) = BA , будем иметь
d 2 = GAB A B ;
(1)
где
G1 G4
GAB =
; G1 = (Gij ); G2 = (Gi j ); G3 = (Gij ); G4 = (Gij ):
G
G
3
2
Пусть на T M задано произвольное векторное поле v = vA eA , определяющее инфинитезимальное
преобразование
X A = X A + v A :
(2)
Преобразование (2) определяет движение, если оно сохраняет метрику, т. е. векторное поле v
удовлетворяет уравнениям Киллинга
DGAB = 0:
(3)
v
0
Разобьем их на три группы
DGij
v
= 0;
D Gi j
v
= 0;
D Gij
v
= 0:
(4)
Пусть r | метрическая связность с заданным тензором кручения [3], т. е. r удовлетворяет
условию rC GAB = 0. Тогда уравнения Киллинга (3) принимают вид
2v(AB) = vAB + vBA = 0;
29
где vBA = rA vB + SBAC vC , S | тензор кручения связности, vB = vA GAB . Таким образом,
rB vA = vAB + SACB vC :
(5)
Тензор кривизны касательного расслоения (T M; G) с произвольной римановой метрикой G,
допускающего максимальную группу движений, обладает структурой
A = A + T A ;
KBCD
(6)
BCD
BCD
A = Q ( A GBC ; A GBD ) | тензор кривизны римановой связности,
где BCD
C
N (N ;1) D
A ; r P A + P A P M ; P A P M ; 1 P A (P M ; P M );
= rC PBD
D BC
MC BD
MD BC 2 BM CD
DC
PABC = SABC + SBCA ; SCAB ;
(7)
A
F
F
F
M
M
QBC = QBCA = KBC + rF PBC ; rC PB ; PF PBC + PBM PCF ; PB = PBM ;
KBC | тензор Риччи.
Рассмотрим на касательном расслоении T M с произвольной метрикой (1) движения, относительно которых инвариантна заданная ортогональная -структура [3].
Выберем в качестве горизонтального распределения распределение ? H , ортогональное слоям, т. е. ? H ?V . В этом случае на T M определяется -структура, которую будем называть [3]
ортогональной. Задание этой структуры сводится к заданию аффинора F , матрица которого в
произвольном адаптированном к -структуре поле реперов feA g имеет вид
E1
0
i
i
i
F =
0 ;E2 ; E1 = (j ); E2 = (j ) = (j ):
Аффинор F сохраняет скалярное произведение, т. е. (F u; F v) = (u; v), где u, v | произвольные
векторные поля на T M , и метрический тензор в адаптированном репере feA g имеет компоненты
G1 0
(GAB ) = 0 G ;
(8)
2
т. е. Gij = 0. Как известно [1], преобразования (2) сохраняют слои тогда и только тогда, когда
векторное поле v является проектируемым, т. е. в адаптированном репере vi = vi (xk ).
Теорема 1. Если проектируемое векторное поле v является движением метрики (8), то
A
TBCD
оно сохраняет горизонтальное распределение
?H .
Пусть проектируемое в. п. v есть движение, ? H | горизонтальное распределение, ортогональное слоям. Тогда в адаптированном репере Gij = 0 и второе из уравнений
(4) дает Grj vir = 0, откуда в силу невырожденности блока G2 = (Grj ) следует vir = 0, что равносильно [4] условию Dv FBA = 0.
Доказательство.
Для инвариантности заданной -структуры относительно преобразования (2) необходимо и
достаточно выполнения условия [1]
D FBA = 0:
(9)
v
Это условие в адаптированном репере для проектируемого векторного поля v запишется в виде
rv FBA ; FBC vCA + FCAvBC = 0:
Если связность вполне приводима, т. е. rv FBA = 0, то FCA vBC = FBC vCA . Тогда в адаптированном
репере матрица vAB имеет вид
vij
0 ;
vAB =
(10)
0 vi j
30
где блоки кососимметричны, что эквивалентно соотношениям v(ij) = 0, v(i j ) = 0. Поэтому
наряду с N = 2n неизвестными компонентами векторного поля vA (vi ; vi ) рассмотрим также
n(n ; 1)=2 + n(n ; 1)=2 = n(n ; 1) кососимметричных компонент vij , vi j . Порядок группы движений (T M; G) с метрикой (8), относительно которых инвариантна заданная -структура, не
превосходит, следовательно, числа r = n(n ; 1) + 2n = n(n + 1).
Итак, справедлива
Теорема 2. Порядок группы проектируемых движений касательного расслоения
метрикой
(8) не превосходит числа r = n(n + 1).
(T M; G) с
Уравнения (9) являются следствием уравнений Киллинга для метрики (8). Уравнения Киллинга (4) в силу соотношения (9) принимают вид
D Gij
v
= 0;
D Gi j
v
= 0:
(11)
Что касается уравнений Dv Gij = 0, то они удовлетворяются тождественно. Следовательно, имеет
место
Теорема 3. Для того чтобы однопараметрическая группа автоморфизмов ортогональной
-структуры была движением, необходимо и достаточно, чтобы
поле v удовлетворяло дифференциальным уравнениям (11).
соответствующее векторное
В дальнейших рассуждениях для упрощения вычислений ограничимся рассмотрением канонической связности, удовлетворяющей условиям [3]
rF = 0; rJ = 0;
Pijk
= 0;
Pi j k
= 0:
Выясним строение тензоров кривизны и кручения этой связности. Так как связность каноническая, то для формы кривизны этой связности имеем ji = 0, ij = 0, ij = ij , т. е. тензор
кривизны обладает отличными от нуля компонентами
m
Kjei
m;
= Kjei
m
Kjei
m;
= Kjei
m
Kjei
m:
= Kjei
(12)
A канонической связности
Учитывая эти соотношения, согласно (6) для тензора кривизны KBCD
получаем отличные от нуля компоненты
m
Kjei
m;
= Qmjei + Tjei
m
Kjei
m;
= Qmjei + Tjei
m
Kjei
m;
= Qmjei + Tjei
(13)
где согласно (7)
= Prjm Peir ; Prim Pjer ; Pjrm (Peir ; Pier );
m = r P m ; P m P r ; P m P r ; P m P r ; 1 P m (P r ; P r );
Tjei
e ji
re ji
re ji
ri je 2 jr ei
ie
m
m ; r P m + P mP c ; P mP c ;
Tjei = re Pji
ce ji
i je
ci je
Q
m
m
m
Qjei = n(n;1) (i Gje ; e Gji ):
m
Tjei
Таким образом, доказана
Теорема 4. Тензор кривизны канонической связности касательного расслоения
метрикой
(8),
-структуру,
(T M; G) с
допускающего максимальную группу движений, сохраняющих ортогональную
имеет вид
(13).
31
Тензор кручения канонической связности кроме заданных условий Pijk = 0, Pi j k = 0 удовлетворяет условиям, вытекающим из соотношений (12),
m = 0; T m = 0; T m = 0; T m = 0; T m = Qm ;
Tjei
jei
jei
jei
jei
jei
m
m
m ; T m = Qm ; r T m = 0;
Tjei = ;Qjei ; Tjei
r jei
jei
jei
(14)
m
m
m
m
m
m = 0;
Tjei = Tjei ; Tjei ; Tjei = Qjei ; rr Tjei
k (P r m ; P r m ) = 0; P r (P k m ; P k m = 0;
Prm
re i
ke i
ki e
km ri e
A вычисляются согласно (7), а
где различные компоненты тензора TBCD
1 me
me
m
e
Qm
jei = n ; 1 (i Qje ; e Qj i ); Qje = Qje m :
Итак, справедлива
Теорема 5. Тензор кручения канонической связности касательного расслоения (T M; G) с
метрикой (8), допускающего максимальную группу движений, сохраняющих ортогональную
-структуру, удовлетворяет условиям (14).
В частности, если каноническая связность r риманова, то P = 0, T = 0. Тогда KAB =
D = 0. В этом случае [3] касательное расслоение T M , допускающее вполне
QAB = 0, т. е. KABC
приводимую риманову связность, тривиально и поэтому является прямым произведением двух
римановых пространств с метриками Gij (xk ), Gi j (xk ). Таким образом, имеет место следующая
Теорема 6. Тензор кривизны канонической римановой связности касательного расслоения
(T M; G) с метрикой (8),
допускающего максимальную группу движений, сохраняющих орто-
гональную
равен нулю.
-структуру,
Особенностью касательного расслоения является наличие изоморфизма векторных подрасслоений
J : ? H ! V;
определяемое аффинором касательной структуры J (J 2 = 0), матрицей которого в индуцированных координатах будет
0 0 ; E = (i ); Ker (J ) = Im (J ) = V (T M ):
J =
j
E 0
Рассмотрим на касательном расслоении (T M; G) с метрикой (8) движения, сохраняющие
кроме того и касательную структуру. Необходимым и достаточным условием инвариантности
касательной структуры относительно преобразования (2) является равенство
A = 0:
D JB
(15)
v
Для проектируемого векторного поля v условия (15) принимают вид
rv JBA + JCAvBC ; JBC vCA = 0:
Так как связность каноническая, то rv JBA = 0. Поэтому JCA vBC = JBC vCA . Тогда в адаптированном
репере vij = vi j и матрица (10) принимает вид
vij 0
vAB =
0 vij ;
где блоки кососимметричны в силу уравнений v(AB) = 0, которые эквивалентны соотношению
v(ij ) = 0 и поэтому vij = v[ij ] . Тогда наряду с N = 2n неизвестными компонентами векторного
поля vA (vi ; vi ) рассмотрим еще n(n ; 1)=2 кососимметричных компонент vij . Таким образом,
32
порядок группы движений на касательном расслоении (T M; G) с метрикой (8), относительно
которых инвариантны ортогональная и касательная структуры, не превосходит числа
r = 2n + n(n ; 1)=2 = (n2 + 3n)=2:
(16)
Итак, имеет место
Теорема 7. Порядок группы движений на касательном расслоении (T M; G) с метрикой (8),
2
сохраняющих -структуру и касательную структуру J , не превосходит числа r = (n +3n)=2.
Рассмотрим пример. Если касательное расслоение T M является евклидовым пространством
E 2n , то для евклидовой метрики GAB = AB уравнения Киллинга (3) имеют вид @A vB + @B vA =
0. В этом случае задача нахождения движений на (T M; G), сохраняющих ортогональную структуру и касательную структуру J , сводится к интегрированию системы уравнений
@i vj = @i vj ; @i vj + @j vi = 0; @i vj = 0; @i vj = 0:
Интегрируя, получим
vi = cij xj + ci ; cij = ;cji ; vi = cij xj + ci ; vi = vi (xk ); vi = vi (xk ):
Таким образом, решение данной системы зависит от 2n произвольных постоянных ci , ci и
n(n ; 1)=2 независимых элементов кососимметричной матрицы cij , т. е. максимальный порядок
группы таких движений точно равен числу в (16).
Выясним строение тензоров кривизны и кручения канонической связности. Учитывая (12),
A канонической связности отличные от
из соотношений (6) получим для тензора кривизны KBCD
нуля компоненты
m = Qm + T m ; K m = Qm + T m ; K m = Qm + T m ;
Kjei
(17)
jei
jei
jei
jei
jei
jei
jei
jei
m , T m , T m выражаются согласно (7),
где Tjei
jei jei
= n(nQ; 1) (im Gje ; em Gji );
1 me
m b ) + (T m ; T m ; T m ) ; (T m ; T m ; T m )g;
Qm
ji
jei jei jei = n f(i Qje ; e Q
jie
jei ji e
jei
e
QAB = Qm
ABm ;
1
b ; m Qb ) + (T m ; T m + T m ) ; (T m ; T m + T m )g;
Qm = f( m Q
Qm
jei
jei
b AB
Q
n
i
je
e
= QmABm :
Итак, справедлива
je i
ji
ije j ie j ie
jie
je i
Теорема 8. Тензор кривизны канонической связности касательного расслоения
метрикой
(8),
(T M; G) с
допускающего максимальную группу движений, сохраняющих ортогональную
(17).
Тензор кручения канонической связности кроме заданных условий Pijk = 0, Pi j k = 0 удовлетворяет условиям, вытекающим из соотношений (12),
m = 0; T m = 0; T m = 0; T m = 0; T m = 0;
Tjei
jei
jei
jei
jei
e
m = 0; Tb = Te ; Tb = T ; Tb = T ; Tb = Tb ;
Tjei
(18)
ek
ke
ki
ei
ie
ie
ie
ki
e
e
e
T = Te ; Te = Te ; Te = Te ; Tb = Tb ;
-структуру
и касательную структуру, имеет вид
ei
ei
ie
m , Te AB = T m , TbAB =
где TeAB = TABm
ABm
согласно (7). Отсюда следует
ei
ei
m , T AB
TABm
33
=
ie
m ,
TABm
ei
ie
а компоненты
A
TBCD
выражаются
Теорема 9. Тензор кручения канонической связности на касательном расслоении
с метрикой
(8), допускающем максимальную
-структуру
(T M; G)
группу движений, сохраняющих ортогональную
и касательную структуру, удовлетворяет условиям
(18).
Литература
1. Шапуков Б.Н. Автоморфизмы расслоенных пространств // Тр. Геометрич. семин. { Казань,
1982, вып. 14. { С. 97{108.
2. Паньженский В.И. О движениях в касательном расслоении с метрикой Сасаки. { Пенз. гос.
пед. ин-т. { Пенза, 1989. { 10 с. { Деп. в ВИНИТИ 10.02.89, Є 1194-B89.
3. Ибрагимова Р.Х., Шапуков Б.Н. Метрические расслоения и некоторые их приложения //
Тр. Геометрич. семин. { Казань, 1990, вып. 20. { С. 44{58.
4. Ибрагимова Р.Х. Движения на касательных расслоениях со специальной метрикой // Дифференц. геометрия. { Саратов, 1985, вып. 8. { С. 17{22.
Алмаатинский университет
Поступила
(Казахстан)
22.12.1995
34
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
129 Кб
Теги
структура, движение, касательных, сохраняющиеся, ортогональных, расслоения
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа