close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Двойственные дополнения и оболочки классов аналитических функций.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 1 (452)
УДК 517.54
И.Р. НЕЖМЕТДИНОВ
ДВОЙСТВЕННЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ОБОЛОЧКИ
КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. Введение
Пусть D(a; R) = fz : jz ; aj < Rg, где a 2 C, R > 0. Для краткости далее положим
1
DR = D(0; R), D = D1 . Обозначим через A(DR ) класс функций вида f (z) = P ak (f )zk , реk=0
гулярных в DR . Известно ([1], с. 98), что A(DR ) является топологическим векторным пространством, сходимость в котором равносильна равномерной сходимости внутри DR . Пусть также
A0(DR ) = ff 2 A(DR ) : a0(f ) = 1g, A = A(D), A0 = A0(D), A(D) = ff 2 A : f регулярна в
замкнутом единичном круге Dg.
Пространство линейных непрерывных функционалов на A характеризует следующая
Теорема A ([2]). Функционал , заданный на A, является линейным и непрерывным тогда
и только тогда, когда найдется функция g 2 A(D) такая, что (f ) = (f g)(1) при всех f 2 A,
P1
где (f g)(z ) = ak (f )ak (g)z k | свертка по Адамару.
k=0
В дальнейшем указанное соответствие между и g будем обозначать через := g.
Для V A0 , следуя работе [3], определим двойственное дополнение к V как V = fg 2 A0 :
(f g)(z ) 6= 0 8z 2 D; 8f 2 V g. Класс V называется двойственным, если V = W при некотором
W A0. Многие широко известные классы функций могут быть представлены с помощью
двойственности, что приводит к критериям однолистности, звездообразности, выпуклости и т. п.
Двойственной оболочкой V называется класс V = (V ) , являющийся наименьшим из всех
двойственных классов, содержащих V . Приведем формулировку принципа двойственности [4],
характеризущего двойственную оболочку при некоторых ограничениях на класс V .
Теорема B. Пусть V A0 компактно и удовлетворяет условию
Pxf 2 V при всех f 2 V; x 2 D;
(1)
где (Px f )(z ) = f (xz ), z 2 D. Тогда для любого 2 выполняется равенство (V ) = (V ),
причем
f 2 V , 8 2 (f ) 2 (V ):
(2)
В данной статье получены некоторые новые представления для двойственных дополнений
и оболочек. Показано, что принцип двойственности остается в силе при некотором ослаблении условий по сравнению с приводимыми в [3] и [4]. Наконец, вводятся и рассматриваются
подмножества U V , для которых U = V (и U = V соответственно).
44
2. Основные результаты
Следуя [4], назовем множество V A0 , удовлетворяющее условию (1), завершенным. Определим завершенную оболочку V как класс cm(V ) = [x2D Px (V ) = fPx f : f 2 V; x 2 Dg, который
является наименьшим из всех завершенных множеств, содержащих V . Нетрудно видеть, что
cm(V ) совпадает с классом V 0 , введенным в работе [3]. Там же показано, что теорема B будет
справедлива и при замене (1) на более слабое условие
(V ) = [cm(V )] для всех 2 :
(3)
Отметим без доказательства некоторые простые свойства завершенной оболочки (множества
U; V A0 предполагаются произвольными):
a) если V компактно, то cm(V ) тоже компактно;
b) (cm(V )) = V ;
c) cm(U [ V ) = cm(U ) [ cm(V );
d) cm(U \ V ) cm(U ) \ cm(V ).
Для V A0 рассмотрим класс V T = fg 2 A0 (D) : (f g)(1) 6= 0 при всех f 2 V g. Из завершенности V легко следует завершенность V T , но не наоборот. Аналогично, для U A0 (D) введем
класс U ? = fh 2 A0 : (g h)(1) 6= 0 при всех g 2 U g.
Теперь сформулируем основные результаты статьи.
Теорема 1. Если V A0, то V = (cm(V ))T , где замыкание берется в пространстве A.
Теорема 2. Пусть V | компактный
подкласс A0 , причем V T является завершенным. То
гда при любом 2 имеем (V ) = (V ), более того, справедлива эквивалентность (2).
Теорема 3. В условиях предыдущей теоремы имеет место равенство
V = (V T )? :
3. Доказательство основных результатов
Для начала докажем несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1. Если последовательность ffng сходится к f в пространстве A(DR1 ), а gn ! g,
n ! 1 в A(DR2 ), то fn gn ! f g, n ! 1 в A(DR1R2 ).
Доказательство. Предположим, что z 2 D , где 0 < < R1 R2. Выберем 1 < R1, 2 < R2
так, чтобы < 1 2 < R1 R2 . Сходимость fn ! f в пространстве A(DR1 ) влечет за собой равномерную сходимость fn к f в D1 , из которой в свою очередь следует равномерная ограниченность
ffng в D1 . В силу неравенств Коши для коэффициентов можно записать
jak (fn)j M (fn ; 1);1 k M1;1 k ;
(4)
;
k
;
k
jak (fn) ; ak (f )j M (fn ; f; 1)1 "1;n 1 при всех n 1; k 0;
(5)
где M (f; r) = sup jf (z )j, "1;n ! 0, n ! 1. Точно так же для последовательности fgn g получим
jzj=r
jak (g)j M (g; 2 );2 k M2;2 k ;
jak (gn ) ; ak (g)j M (gn ; g; 2 );2 k "2;n;2 k при всех n 1; k 0;
где "2;n ! 0, n ! 1.
45
(6)
(7)
Применяя оценки (4){(7), для всех z 2 D будем иметь
j(fn gn )(z) ; (f g)(z)j 1
X
ja (f )a (g ) ; a (f )a (g)jk k=0
k
n
k
n
k
k
1
X
[ja (f )j ja (g ) ; a (g)j + ja (g)j ja (f ) ; a (f )j]k k=0
k
1
X
n
k
n
k
k
k
n
k
["2;n ;2 k M1;1 k + "1;n;1 k M2 ;2 k ]k = ("2;nM1 + "1;nM2 )(1 ; =1 2);1:
k=0
Последнее выражение стремится к 0 при n ! 1, что и завершает доказательство.
Лемма 2. Пусть V | компактное подмножество A(DR1 ), g 2 A(DR2 ). Тогда множество
U = ff g : f 2 V g компактно в A(DR1R2 ).
Доказательство. Рассмотрим последовательность функций вида fn g, n = 1; 2; : : : , где
fn 2 V . В силу компактности V можно выбрать подпоследовательность fnk , равномерно сходящуюся внутри DR1 к некоторой функции f 2 V . Но тогда с учетом леммы 1 fnk g ! f g 2 U
в пространстве A(DR1 R2 ), и поэтому U компактно.
Лемма 3. Пусть V | компактное множество в A(DR ), R > 1, причем f (1) 6= 0 для любого
f 2 V . Тогда найдется 2 (1; R) такое, что f () 6= 0 при всех f 2 V .
Доказательство. Предполагая противное, фиксируем некоторую убывающую последовательность fxn g, 1 < xn < R, n = 1; 2; : : : , сходящуюся к единице. Тогда для любого n 1
найдется функция fn 2 V , для которой fn (xn ) = 0. Поскольку V компактно, то, выбирая
при необходимости подпоследовательность, можно считать, что fn ! f 2 V в пространстве
A(DR ). Для последовательности функций gn (z) =;1(1 ; xn z);1, n 2 N, принадлежащих A(D1=x1 ),
нетрудно показать, что gn (z ) ! g(z ) = (1 ; z ) , n ! 1, равномерно внутри D1=x1 . Поэтому fn gn ! f g равномерно внутри того же круга в силу леммы 1. В частности, имеем
fn(xn) = (fn gn)(1) ! (f g)(1) = f (1), откуда f (1) = 0, что противоречит условию леммы.
Лемма 4. Пусть V U A0, причем для любого 2 , := g, имеем g(0) 2 (V ). Тогда
следующие утверждения равносильны:
a) (U ) = (V ) при всех 2 ,
б) если 2 ;то из 0 2= (V ) следует, что 0 2= (U ),
в) U T = V T .
Доказательство. Импликация а) ) б) тривиальна. Допустим, что справедливо условие б).
Тогда при g 2 V T , := g имеем 0 2= (V ), что влечет 0 2= (U ), т. е. (f ) = (g f )(1) 6= 0 при всех
f 2 U , откуда g 2 U T . Вместе с очевидным обратным включением U T V T это дает U T = V T .
Наконец, пусть выполнено в). Фиксируем некоторый функционал 2 , := g. Достаточно
доказать включение (U ) (V ). Предположим, что w 2 C n (V ) (ясно, что тогда w 6= g(0)).
Отсюда при f 2 V получим (f ) ; w = f[g(z ) ; w] f (z )g(1) 6= 0, следовательно,
[g(z ) ; w][g(0) ; w];1 2 V T = U T :
(8)
Это равносильно тому, что w 2= (U ), иначе говоря, (U ) (V ), что и требовалось.
Заметим, что условие а) при U = cm(V ) совпадает с условием (3). Покажем, что для компактных классов V дополнительное предположение g(0) 2 (V ) можно опустить.
Лемма 5. Пусть класс V A0 компактен, причем (cm(V ))T = V T . Тогда g(0) 2 (V ) при
любом 2 , := g.
46
Доказательство. Предположим, что при некотором 2 , := g, имеем g(0) 2= (V ). В
силу компактности V и непрерывности множество (V ) компактно, и найдется такое " > 0, что
D(g(0); ")\(V ) = ;. Теперь, если w 2 D(g(0); "), w 6= g(0), то, рассуждая как при доказательстве
леммы 4, получим соотношение (8) с U = cm(V ). Поэтому для всех f 2 V; x 2 D имеем
f[g(z) ; w][g(0) ; w];1 Pxf g(1) = [(g f )(x) ; w][g(0) ; w];1 6= 0;
откуда (g f )(x) 6= w при x 2 D. Следовательно, g(0) = (g f )(0) | изолированная точка
образа (g f )(D) для любой фиксированной функции f 2 V . По принципу сохранения области,
(g f )(z ) постоянна в D и даже в несколько большем круге. Но тогда (f ) = (g f )(1) = g(0),
что противоречит сделанному предположению.
Отметим, что V T будет завершенным тогда и только тогда, когда V T = (cm(V ))T . Действительно, если V T | завершенный класс, то Px g 2 V T , если только g 2 V T , x 2 D, поэтому для
любого f 2 V имеем
(Px g f )(1) = (g Px f )(1) 6= 0;
(9)
откуда g 2 (cm(V ))T . Так как V cm(V ), то из доказанного следует, что V T = (cm(V ))T .
Обратно, если последнее равенство верно, то для любого g 2 V T с учетом соотношений (9) с
произвольными f 2 V и x 2 D заключаем, что Px g 2 V T .
Доказательство теоремы 1. Пусть g 2 V . Рассмотрим возрастающую последовательность
frn g такую, что 0 < rn < 1, n 2 N, и rn ! 1, n ! 1. Положим gn (z) = (Prn g)(z) =;(1
; rn z);1;1
1
g(z). Так как 0 < rn < 1, то g 2 A0(D), n = 1; 2; : : : Нетрудно доказать, что (1 ; rnz) ! (1 ; z)
в A, откуда из леммы 1 следует gn !g, n!1. Если f 2V , x2D, то (gn Px f )(1) = (g f )(rn x)6=0,
т. к. g 2 V . Поэтому gn 2 (cm(V ))T , и g 2 (cm(V ))T .
Обратно, пусть g 2 (cm(V ))T . Тогда при любых f 2 V , x 2 D имеем (g f )(x) = (g Px f )(1) 6= 0,
т. е. g 2 V . Из доказанного включения (cm(V ))T V с учетом замкнутости класса V в A [3]
следует, что (cm(V ))T тоже содержится в V : Аналогичные рассуждения приводят к следующему результату.
Теорема 1 . При U A0(D) имеем U = (cm(U ))? .
Заметим, что U T U ? , причем U ? не обязательно замкнуто в A.
Доказательство теоремы 2. В силу лемм 4 и 5 для доказательства первого утверждения
теоремы достаточно проверить включение V T (V )T . Пусть g 2 V T = (cm(V ))T . Тогда g 2
A(DR ), R > 1, и для любой функции f 2 cm(V ) имеем (g f )(1) 6= 0. Учитывая компактность
cm(V ) в A, из лемм 2 и 3 заключаем, что при некотором , 1 < < R, неравенство (g f )() 6= 0
справедливо для всех f 2 cm(V ). Полагая теперь h = P g, будем иметь h 2 A(D), и (h f )(1) 6= 0,
если только f 2 cm(V ). Таким образом, h 2 (cm(V ))T , и по теореме 1 h 2 V . Поэтому для
произвольного k 2 V имеем
(g k)(1) = (P1= h k)(1) = (h k)(1=) 6= 0;
откуда g 2 (V )T .
Докажем вторую часть теоремы. Как уже доказано выше, при всех 2 имеем (V ) =
(V ), и из f 2 V следует, что (f ) 2 (V ). Обратно, пусть для функции f 2 A0 включение
(f ) 2 (V ) выполняется при всех 2 . Фиксируем произвольное g 2 V T , := g. В силу
завершенности V T имеем (Px h) = (g Px h)(1) 6= 0, если только h 2 V , x 2 D. Положим
x := Pxg. При h 2 V , x 2 D получаем x(h) = (Pxg h)(1) = (g Pxh)(1) 6= 0, т. е. 0 2= x(V ).
Но тогда x (f ) = (g f )(x) 6= 0, и f 2 (V T ) = [(cm(V ))T ] = V . Последнее равенство можно
обосновать, если показать, что (U ) = U для U A0 . Из включения U U следует, что
(U ) U . Докажем обратное включение. Для любого f 2 U существует последовательность
fn 2 U , n 2 N, сходящаяся к f . Теперь, если g 2 U , то (g fn)(z) 6= 0 при n 2 N, z 2 D. В
силу леммы 1 g fn ! g f , n ! 1, в пространстве A. По теореме Гурвица ([5], с. 19), если
(g f )(z ) 6 const, то (g f )(z ) 6= 0 в круге D, но и в случае, когда (g f )(z ) const, тоже получим
(g f )(z ) = (g f )(0) = 1 6= 0. Поскольку функция f 2 U выбрана произвольно, то g 2 (U ) : 0
47
Доказательство теоремы 3. Пусть h 2 V , g 2 V T ; := g. Тогда (f ) =T (?g f )(1)6=0
при всех f 2 V , т. е. 0 2= (V ). По теореме 2 0 6= (h) = (g h)(1), откуда h 2 (V ) . Обратно,
пусть h 2 (V T )? , а g 2 V . В силу теоремы 1 найдется последовательность функций gn 2
V T = (cm(V ))T , n = 1; 2 : : : , такая, что gn ! g, n ! 1. При этом для всех x 2 D имеем
(gn Px h)(1) = (gn h)(x) 6= 0. Используя теорему Гурвица, как в предыдущем доказательстве,
получим (h g)(x) 6= 0, если только x 2 D, откуда h 2 V : Следствие 1. При выполнении условий теоремы 2 справедливы равенства
V = \2 ;1[(V )] = \2(V + ker );
где ;1 (A) | прообраз множества A при отображении , A + B = fx + y : x 2 A; y 2 B g |
алгебраическая сумма множеств, а ker = ff 2 A : (f ) = 0g | ядро функционала .
Доказательство. Согласно теореме 2 включение f 2 V равносильно
тому, что (f ) 2 (V )
;1
при любом 2 , что в свою очередь равносильно включению f 2 [(V )], 2 , и первое
равенство доказано. Теперь, если f 2 ;1 [(V )], то найдется g 2 V такое, что (g) = (f ). Но
тогда для h = f ; g имеем (h) = (f ) ; (g) = 0, и h 2 ker , откуда f = g + h 2 V + ker . С
другой стороны, если f = g + h, где g 2 V , h 2 ker , то (f ) = (g) 2 (V ).
Замечание. Если V A0 | компактный двойственный класс, то V = \2 ;1[(V )]. Ана-
логичное представление справедливо для произвольного компактного выпуклого множества в
локально выпуклом пространстве X , однако вместо здесь следует взять пространство всех
вещественнозначных линейных непрерывных функционалов на X ([6], c. 88).
Следствие 2. Если U; V A0 компактные, а U T , V T | завершенные классы, то следующие
соотношения равносильны:
а) U = V ; б) U T = V T ; в) U = V .
Доказательство. Предположим, что выполнено равенство
а). Пусть g 2 U T , := g. Тогда
T
с учетом принципа двойственности имеем 0 2= (U ) = (U ) = (V ) = (V ), откуда g 2 V .
Обратное включение доказывается аналогично. В силу теоремы 1 и замечания о завершенности
U T получаем импликацию б) ) в). Наконец, очевидно, из в) следует а).
Теорема 4. Пусть V A0 компактно, а V T | завершенное множество. Тогда
V T = [0<r<1Pr (V T ) = [0<r<1Pr f[Pr (V )]T g:
(10)
Доказательство. Из
завершенности V T следует, что при любом r 2 (0; 1) имеем Pr (V T ) T
T
T
V , откуда [0<r<1Pr (V ) V . Пусть g 2 V . Тогда g 2 A(DR ) при некотором R > 1, причем
(g f )(1) 6= 0 для всех f 2 V . В силу лемм 2 и 3 найдется 2 (1; R) такое, что (g f )() 6= 0
8f 2 V . Полагая h = P g (при этом h 2 A(D)), будем иметь (h f )(1) = (g f )() 6= 0, если
f 2 V , и, значит, h 2 V T . Таким образом, g = P1= h 2 P1= (V T ) [0<r<1Pr (V T ). Докажем второе
равенство. Фиксируем g 2 V T и r 2 (0; 1). Поскольку V T | завершенное множество, то для всех
f 2 V имеем (g Pr f )(1) 6= 0, и поэтому g 2 [Pr (V )]T . Теперь из включения V T [Pr (V )]T
следует Pr (V T ) Pr f[Pr (V )]T g, откуда
T
V T = [0<r<1Pr (V T ) [0<r<1Pr f[Pr (V )]T g:
С другой стороны, если g принадлежит правой части (10), то при некотором r 2 (0; 1) имеем
g 2 Pr f[Pr (V )]T g, значит, g = Pr h, где h 2 [Pr (V )]T . Ясно, что g 2 A0(D), и (h Pr f )(1) =
(Pr h f )(1) 6= 0, следовательно, g 2 V T .
48
4. Бордюрные элементы класса
V
Как говорилось выше, V представляет собой наименьший по включению двойственный
класс, содержащий V . Многие экстремальные задачи на различных классах аналитических
функций решаются путем сведения к более простым задачам поиска экстремума на подклассах,
имеющих ту же замкнутую выпуклую оболочку, что и исходный класс. Построим подкласс
U V , для которого U = V , рассмотрим некоторые его свойства.
Пусть V A0 и V не совпадает с классом, состоящим из одного элемента e 1. Будем
говорить, что f 2 V является бордюрным элементом класса V , если из соотношения f = Px g,
где g 2 V; x 2 D, следует jxj = 1. Множество всех бордюрных элементов V назовем бордюром V
и обозначим через bor(V ). Если V = feg, то по определению будем полагать bor(V ) = feg.
Лемма 6. Пусть V A0 | компактное множество. Тогда для любой функции f 2 V
найдутся g 2 bor(V ), x 2 D, такие, что f = Px g. При этом для f 6 e элемент g определяется
с точностью до преобразования Py , где jyj = 1.
Доказательство. Фиксируем произвольную функцию f 2 V . Построим числовое множество
Rf = fr > 0 : существуют g 2 V; x 2 D такие, что f = Pxg; jxj = rg:
Заметим, что 1 2 Rf 6= ;. Пусть r0 = inf Rf > 0. Тогда найдется последовательностьfrn g элементов из Rf , сходящаяся к r0 при n ! 1, следовательно, можно указать последовательности
gn 2 V , xn 2 D такие, что f = Pxn gn , jxnj = rn , n = 1; 2; : : : В силу компактности множеств V и
D считаем, выбирая при необходимости подпоследовательности, что gn ! g0 2 V , xn ! x0 2 D,
n ! 1. Нетрудно видеть, что r0 = jx0 j, и с учетом леммы 1 Pxn gn ! Px0 g0, n ! 1, откуда
f = Px0 g0. Предположим, что g0 2= bor(V ). Тогда при некоторых h 2 V и y 2 D имеем g0 = Py h,
поэтому f = Px0 y h, где jx0 yj 2 Rf , однако jx0 yj < jx0 j = r0 , что противоречит сделанному
предположению. Следовательно, g0 | искомый элемент.
Осталось рассмотреть случай r0 = 0. Рассуждая, как и выше, получим f = P0 g0 = e. Если
V 6= feg, то найдется отличная от e функция h 2 V , представимая в виде h = Pxg при некоторых
g 2 bor(V ) и x 2 D. Но тогда f = P0g, что и требовалось. Для класса V = feg рассуждения
тривиальны.
Докажем единственность искомой функции. Пусть при некоторых g; h 2 bor(V ) и x; y 2 D
имеем f = Px g = Py h, причем f 6= e. Очевидно, x; y 6= 0. Предположим, для определенности, что
jxj jyj. Так как справедливы равенства
f (z) = g(xz) = h(yz) = g[(x=y)yz] = (Px=y g)(yz); z 2 D;
то в круге Djyj функции h и Px=y g совпадают. По теореме единственности они совпадают и во
всем круге D. Но тогда, поскольку h 2 bor(V ), то jx=yj = 1. Случай jxj jyj обосновывается
аналогично.
Замечание. Из леммы 6 следует, что для любого компактного V A0 выполняется включение V cm(bor(V )), причем в случае завершенности V оно превращается в равенство.
Следствие 3. Если V A0 компактно, то (bor(V )) = V .
Доказательство. В силу определения и только что сделанного замечания имеем bor(V ) V cm(bor(V )), поэтому [cm(bor(V ))] V (bor(V )) . Учитывая свойство b) завершенной
оболочки, заключаем, что крайние члены последнего включения совпадают.
Теорема 5. Пусть V A0 компактно, а V T | завершенное множество. Тогда при любом
2 , := g, справедливы соотношения
(11)
(V ) = [f 2bor(V )(f g)(D);
@(V ) [f 2bor(V )(f g)(@D):
(12)
49
Доказательство. Предположим, что c 2 (V ), где 2 , := g. Это значит, что найдется
f 2 V такое, что c = (f ) = (g f )(1). Согласно лемме 6 функция f представима в виде f = Pxh,
где h 2 bor(V ), x 2 D. Но тогда получим
c = (f g)(1) = (Pxh g)(1) = (h g)(x) 2 (h g)(D);
(13)
где последнее множество, очевидно, содержится в правой части равенства (11).
Обратно, пусть c 2 [f 2bor(V ) (f g)(D ). Тогда существуют f 2 bor(V ) V и x 2 D такие, что
c = (f g)(x) = (Pxf g)(1) = (Pxf ):
Поскольку Px f 2 cm(V ) V , то в силу теоремы 2 c = (Px f ) принадлежит (V ), что и
требовалось.
Докажем теперь включение (12). Допустим, что c 2 @(V ), тогда c 2 (V ), поскольку (V )
компактно. С учетом равенства (11), найдутся h 2 bor(V ), x 2 D, для которых выполнены
соотношения (13). При этом, если h g 6 const и x 2 D, то по принципу сохранения области
некоторая окрестность O(c) точки c содержится в (h g)(D), и для любого c0 2 O(c) найдется
x0 2 D такое, что c0 = (h g)(x0 ) = (Px h). Отсюда, как и выше, (Px h) 2 (V ), т. е. c является
внутренней точкой (V ), что противоречит сделанному предположению. Поэтому x должна
быть граничной точкой круга D. Если h g = const, то получаем c = (h g)(1) 2 (h g)(@D).
На примере компактного класса V = f1 + xz : x 2 Dg [ f1 + yz 2 : y 2 Dg и функционала
(f ) = a1(f ), := g(z) = z, можно убедиться, что обратное включение в (12) не выполняется.
Теорема 6. Для любого компактного V A0 имеем
bor(V ) = V n (cm(V ))T :
Доказательство.
Из теоремы 1 и определения бордюра следует, что как (cm(V ))T , так и
bor(V ) являются подмножествами V . Пусть g 2 (cm(V ))T . Применяя леммы 2 и 3, как при
доказательстве теоремы 2, заключаем, что h = P g 2 V при некотором > 1, откуда g = P1= h,
и поэтому g 62 bor(V ).
Обратно, если g 2 V n bor(V ), то выберем h 2 V и x 2 D такие, что g = Px h. Тогда
g 2 A0(D) и одновременно для всех y 2 D, f 2 V имеем
(g Py f )(1) = (Px h Py f )(1) = (h f )(xy) 6= 0;
(14)
поскольку h 2 V . Но из (14) следует, что g 2 (cm(V ))T , откуда и получаем требуемое.
0
0
Литература
1. Hallenbeck D.J., MacGregor T.H. Linear problems and convexity technique. { N. Y.: Pitman Publ.,
1984. { 182 p.
2. Toeplitz O. Die linearen vollkommenen Raume der Funktionentheorie // Comment. Math. Helv. {
1949. { V. 23. { P. 222{242.
3. Ruscheweyh St. Duality for Hadamard products with applications to extremal problems for functions
regular in the unit disc // Trans. Amer. Math. Soc. { 1975. { V. 210. { P. 63{74.
4. Ruscheweyh St. Convolutions in geometric function theory. { Montreal: Les Presses de l'Universite
de Montreal, 1982. { 166 p.
5. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. { 2-е изд. { М.:
Наука, 1966. { 628 с.
6. Шефер Х. Топологические векторные пространства. { М.: Мир, 1971. { 359 с.
Казанский государственный
университет
Поступила
21.07.1998
50
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
189 Кб
Теги
классов, дополнения, аналитическая, двойственной, функции, оболочка
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа