close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Декартова сумма решеточно К-упорядоченных алгебр.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 13 Выпуск 1 (2012)
Труды IX Международной конференции
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения,
посвященной 80-летию профессора Мартина Давидовича
Гриндлингера
УДК 512.552+512.545
ДЕКАРТОВА СУММА РЕШЕТОЧНО
K-УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР
Ю. В. Кочетова (г. Москва)
Аннотация
Рассматривается
подход
упорядочения
алгебр,
предложенный
В. М. Копытовым. Изучаются свойства декартовой суммы линейно упорядоченных алгебр над направленным полем, а именно, ее связь с некоторой
l-алгеброй.
Для доказательства свойств декартовых сумм линейно
упорядоченных алгебр введено понятие спрямляющего
l-идеала l-алгебры
и исследованы его свойства.
Введение
?
?
Пусть F частично упорядоченное поле и A = A; +; · линейная алгебра
над полем F .
1 Будем говорить, что на алгебре A над частично упорядоченным полем F определен порядок Копытова (K-порядок) 6, если:
(1) ?A; +; 6? частично упорядоченная группа;
(2) из a 6 b следует, что ?a 6 ?b для всех a, b ? A и ? > 0, ? ? F ;
(3) из 0 6 a следует, что 0 6 a + ab и 0 6 a + ba для всех b ? A.
Определение
.
Если в определении 1 группа ?A; +; 6? является решеточно упорядоченной, то
алгебра A над полем F называется
K
, или l
.
Введение В. М. Копытовым [1] в 1972 году такого определения упорядочения для алгебр Ли дало возможность в 7080-х годах прошлого века построить содержательную теорию линейно упорядочиваемых алгебр Ли над линейно упорядоченным полем. Ряд основных результатов этой теории был получен
В. М. Копытовым, Н. Я. Медведевым, С. А. Агалаковым и А. С. Штерном
(см. [1][7]).
решеточно -упорядоченной
-алгеброй
ДЕКАРТОВА СУММА РЕШЕТОЧНО K-УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР 93
В [1] В. М. Копытов отмечает, что такое определение порядка можно рассматривать не только для алгебр Ли, но и для произвольных алгебр над упорядоченным полем.
Основной целью данной статьи является изучение свойств K-порядка для
произвольных линейных алгебр над частично упорядоченным полем.
В статье используется терминология, общепринятая для частично упорядоченных алгебраических систем (см. [4, 8]).
Так как при положительной характеристике поля F его положительный конус равен нулю, то есть порядок на поле тривиален, то далее рассматривается
упорядоченное поле F нулевой характеристики.
Кроме этого, если для элементов a, b ? F поля F из того, что ab > 0 и a > 0
следует, что b > 0, то будем говорить, что поле F удовлетворяет условию (?).
В первом параграфе, результатами которого мы будем пользоваться в следующих параграфах, исследуются свойства векторных решеток над частично
упорядоченными полями и полями с направленным порядком.
Второй параграф посвящен исследованию свойств спрямляющих l-идеалов
частично K-упорядоченных алгебр.
частично K-упорядоченной алгебры A над частично
упорядоченным полем будем называть такой ее выпуклый идеал I , что факторалгебра A/I линейно упорядочена относительно индуцированного порядка.
Если A решеточно K-упорядоченная алгебра над частично упорядоченным полем F , x ? A и x ?= 0, то каждый из l-идеалов J(x) алгебры A, максимальных среди l-идеалов, не содержащих элемента x, будем называть
элемента x, а также
в решетке L(A) всех l-идеалов
алгебры A.
Во втором параграфе доказана теорема, благодаря которой можно сделать
вывод о том, что в каждой l-алгебре много спрямляющих l-идеалов.
Спрямляющим идеалом
ем
нижним идеалом скачка
значени-
1 Если A решеточно K-упорядоченная алгебра над направленным полем, удовлетворяющим условию (?), то всякий нижний идеал скачка J(x), определяемый элементом x ? A, x ?= 0, является спрямляющим lидеалом в A.
Теорема
.
Также во втором параграфе доказано утверждение, раскрывающее взаимосвязь между произвольным l-идеалом и спрямляющими l-идеалами l-алгебры.
Всякий l-идеал I решеточно K-упорядоченной алгебры
A над направленным полем F с условием
(?) является пересечением спрямляющих l-идеалов, а именно, I = ? J(x).
Предложение
1.
x?A\I
В третьем параграфе изучены свойства декартовой суммы линейно упорядоченных алгебр над направленным полем, а именно, ее связь с некоторой lалгеброй. Основным результатом этого параграфа является следующая теорема.
94
Ю. В. КОЧЕТОВА
2 Для всякой решеточно K-упорядоченной алгебры A над направленным полем F с условием (?) существует решеточный изоморфизм из
A в декартову сумму линейно K-упорядоченных алгебр.
.
Теорема
1
Свойства векторных решеток и
частично
K-упорядоченных
алгебр
По аналогии с определением частично упорядоченного действительного векторного пространства (см. [9], стр. 445) сформулируем определение частично упорядоченного векторного пространства над частично упорядоченным полем F .
Частично упорядоченным векторным пространством V
над частично упорядоченным полем F называется векторное пространство V
над полем F , на котором задано отношение порядка 6 такое, что:
1. ?V ; +; 6? частично упорядоченная группа;
2. для любых элементов x ? V, ? ? F из неравенств x > 0 в V и ? > 0 в F
следует ?x > 0 в V .
Определение
2.
Если в определении 2 группа ?V ; +; 6? является l-группой, то векторное
пространство V называется
.
Из этого определения видно, что результаты теории частично упорядоченных групп применимы к любому частично упорядоченному векторному пространству над частично упорядоченным полем. В частности, для любого решеточно упорядоченного векторного пространства над частично упорядоченным
полем верны утверждения следующей леммы.
решеточно упорядоченным
Лемма
элементов
1 ([9], гл. XIII, џ 34; [8], гл. V, џ 1, џ 4).
x, y, z ? G
В l-группе G для любых
верны соотношения:
z + (x ? y) = (z + x) ? (z + y) и z + (x ? y) = (z + x) ? (z + y);
x + y ? (x ? y) = x ? y, x = x+ + x? , |x| = x+ ? x? ;
|x + y| 6 |x| + |y| и ? |x| 6 x 6 |x|.
Далее рассмотрим свойства модулей элементов, а также точных верхних и
точных нижних граней элементов векторных решеток, связанные с умножением
вектора на элемент поля.
2 Пусть V решеточно упорядоченное векторное пространство
над направленным полем F . Тогда для любого элемента ? ? F существуют
положительные верхние грани элементов ? и ??, и для любой такой верхней
грани ? ? F верно неравенство |?x| 6 ?|x| для каждого x ? V .
Лемма
.
ДЕКАРТОВА СУММА РЕШЕТОЧНО K-УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР 95
Доказательство. Так как порядок 6 в частично упорядоченном поле F
является направленным, то для элементов ?, ?? ? F найдется элемент ?? , являющийся их верхней гранью, то есть удовлетворяющий условиям ?? > ? и
?? > ??. Кроме того, в силу направленности порядка на поле F , существует
такой элемент ? ? F , что ? > ?? и ? > 0. Ясно, что ? ? F является положительной верхней гранью элементов ? и ??.
Из леммы 1 известно, что x = x+ +x? . Применяя второй пункт определения 2
к неравенствам ? ? ? > 0 и x+ > 0, получим, что ?x+ > ?x+ . Используя
неравенства ? + ? > 0 и x? 6 0, по второму пункту определения 2 заключаем,
что ?x? 6 ??x? , поэтому ??x? > ?x? . По лемме 1 из полученных неравенств
следует, что ?|x| = ?(x+ ?x? ) = ?x+ ??x? > ?x+ +?x? = ?x, то есть ?|x| > ?x.
По второму пункту определения 2 из того, что ? + ? > 0 и x+ > 0, получаем,
что ?x+ > ??x+ , а из того, что ? ? ? > 0 и x? 6 0, имеем ?x? 6 ?x? и,
значит, ??x? > ??x? . Отсюда по лемме 1 заключаем, что ?|x| = ?x+ ? ?x? >
??x+ ? ?x? = ??x.
Из соотношений ?|x| > ?x и ?|x| > ??x по определению точной верхней
грани следует, что ?|x| > ?x ? (??x) = |?x|. 2
Пусть V решеточно упорядоченное векторное пространство
над частично упорядоченным полем F , которое удовлетворяет условию (?).
Тогда для любых элементов x, y ? V и ? ? F , ? > 0 верны равенства:
Лемма
3.
?(x ? y) = ?x ? ?y, ?(x ? y) = ?x ? ?y.
Пусть x, y ? V , ? ? F и ? > 0. Поскольку x ? y 6 x и
? > 0, то по второму пункту определения 2 ?(x ? y) 6 ?x. Так как x ? y 6 y ,
то аналогичные рассуждения дают неравенство ?(x ? y) 6 ?y . Из полученных
соотношений по определению точной нижней грани получаем ?(x?y) 6 ?x??y .
Используя данное неравенство и лемму 1, получаем, что ?(x ? y) = ?(x + y) ?
?(x ? y) > ?x + ?y ? ?x ? ?y = ?x ? ?y .
Так как в частично упорядоченном поле F выполнены соотношения ? > 0 и
1 > 0, то из них, в силу равенства 1 = ???1 , по условию (?) следует неравенство
??1 > 0.
По определению точной нижней грани имеем ?x ? ?y 6 ?x, откуда с учетом
неравенства ??1 > 0, по определению 2 заключаем, что ??1 (?x ? ?y) 6 x.
С помощью аналогичных рассуждений можно получить неравенство
Доказательство.
??1 (?x ? ?y) 6 y.
Из выписанных соотношений и определения точной нижней грани имеем
??1 (?x ? ?y) 6 x ? y.
Применим к этому выражению и неравенству ? > 0 определение 2. Тогда ?x ?
?y 6 ?(x ? y). Учитывая полученные выше неравенства, получаем требуемое
равенство ?(x ? y) = ?x ? ?y .
96
Ю. В. КОЧЕТОВА
С помощью леммы 1 данное выражение преобразуется в следующее: ?(x ?
y) = ?(x + y) ? ?(x ? y) = ?x + ?y ? ?x ? ?y = ?x ? ?y . 2
Докажем свойство модулей элементов решеточно K-упорядоченной алгебры,
которое понадобится нам в дальнейшем.
любых элементов
В -алгебре A над частично упорядоченным полем для
выполняются неравенства |xy| 6 |x| и |yx| 6 |x|.
Если a > 0, a ? A, то по условию (3) определения 1
2.
l
x, y ? A
Предложение
Доказательство.
выполняются неравенства ab 6 a и ?ab 6 a для любого b ? A. Следовательно,
|ab| = ab ? ?(ab) 6 a.
Используя лемму 1, получаем |xy| = |(x+ +x? )y| = |x+ y+x? y| 6 |x+ y|+|x? y|.
Так как x+ > 0 и ?x? > 0, то |x+ y| 6 x+ и |x? y| = |(?x? )y| 6 ?x? . Отсюда, учитывая лемму 1, имеем |xy| 6 x+ ? x? = |x|. Аналогично доказывается
неравенство |yx| 6 |x|. 2
Далее приведены несколько свойств идеалов решеточно K-упорядоченных
алгебр, которые будут необходимы нам при дальнейшем изложении.
Следующие условия на идеал I
l-алгебры A над частично упорядоченным полем F эквивалентны:
1) I выпуклая подрешетка в A;
2) если x ? I, y ? A и |y| 6 |x|, то y ? I для любых x ? I, y ? A.
4 ([10], теорема 1) Множество всех l-идеалов решеточно
K-упорядоченной алгебры A над частично упорядоченным полем F является
полной подрешеткой решетки всех ее идеалов.
5 Пусть A решеточно K-упорядоченная алгебра над
направленным полем F , удовлетворяющим условию (?). Если J l-идеал в A
и a ? A, a > 0, то множество C = {y ? A | |y| ? a ? J} является l-идеалом
алгебры A, содержащим J .
Предложение
3 ([10], предложение 3).
.
Предложение
Предложение
.
Доказательство. Пусть y ? J , тогда |y| ? J и 0 6 |y| ? a 6 |y|. Так как
J выпуклый идеал, то |y| ? a ? J и, значит, y ? C . Таким образом, J ? C .
Покажем, что C l-идеал в A. Пусть y ? C и z ? C . Обозначим 0 6 |y|? a =
c1 ? J и 0 6 |z| ? a = c2 ? J . Рассмотрим |y ? z| ? a. По лемме 1 и определению
точной нижней грани имеем |y ? z| ? a 6 (|y| + |z|) ? a 6 (|y| + |z|) ? (a + |y| ? 0) =
(|y| + |z|) ? (|y| + a) ? a = (|y| + (|z| ? a)) ? a = (|y| + c2 ) ? a 6 (|y| + c2 ) ? (a + c2 ) =
c2 + (|y| ? a) = c2 + c1 ? J . Из задания множества C и выпуклости J имеем
y ? z ? C , то есть C подгруппа в A.
Далее, из леммы 2 и определения точной нижней грани следует, что |?y|?a 6
?|y| ? a, где ? ? F , ? > 0 и ? > ?. Так как поле F является направленным,
то существует элемент ? ? F такой, что ? > ? и ? > 1. Тогда для элементов
? ? F , |y| > 0 и a > 0 по определению 1 выполняются соотношения ?|y| 6
ДЕКАРТОВА СУММА РЕШЕТОЧНО K-УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР 97
?|y| и a < ?a, из которых по определению точной нижней грани следует, что
?|y| ? a 6 ?|y| ? ?a. Отсюда по лемме 3, в силу того, что ? > 1 > 0, получаем
равенство ?|y| ? ?a = ?(|y| ? a). Итак, |?y| ? a 6 ?(|y| ? a) = ?c1 ? J . Учитывая
выпуклость J , имеем ?y ? C , поэтому C подпространство в A.
Если z ? A, то |yz|, |zy| 6 |y| по предложению 2. Отсюда по определению
точной нижней грани получаем соотношение |yz| ? a 6 |y| ? a = c1 ? J , из
которого, в силу выпуклости идеала J и задания множества C , следует, что
yz ? C . Значит, C идеал в A.
Пусть z ? A, y ? C и |z| 6 |y|. Тогда |z| ? a 6 |y| ? a = c1 ? J . Используя
выпуклость идеала J , заключаем, что z ? C . Таким образом, C является по
предложению 3 l-идеалом в l-алгебре A. 2
2
Спрямляющие идеалы l -алгебр
Вначале сформулируем необходимое и достаточное условие, при выполнении
которого l-идеал l-алгебры является спрямляющим.
6 ([10], следствие 2) l-идеал J l-алгебры A над частично
упорядоченным полем F является спрямляющим тогда и только тогда, когда
для любых положительных элементов a, b ? A из a ? b ? J и a ?/ J следует,
что b ? J .
.
Предложение
Оказывается, что в каждой l-алгебре много спрямляющих l-идеалов. Для
того, чтобы в этом убедиться, сначала покажем, что в l-алгебре A над частично
упорядоченным полем F для элемента x ? A, x ?= 0 существуют l-идеалы J? (x)
(? ? I ), максимальные среди l-идеалов, не содержащих элемента x.
7 Пусть A l-алгебра над частично упорядоченным полем F , x ? A, x ?= 0. Тогда множество {J?(x), ? ? I} l-идеалов l-алгебры A,
максимальных среди l-идеалов, не содержащих элемента x, непусто.
Предложение
.
Доказательство. Пусть M = {J l -идеал в A | x ?
/ J}. Множество
M непусто, так как x ?
/ {0}, и поэтому {0} ? M. Заметим, что по предложению 4 множество L(A) всех l-идеалов l-алгебры A решеточно упорядочено
по включению. Так как M ? L(A), то M частично упорядочено относительно
индуцированного порядка. Для возрастающей цепочки J1 ? J2 ? . . . ? Jn ? . . .
l-идеалов Ji ? M получаем, что J ? = ?Jn l-идеал в A. При этом ясно, что
x?
/ J ? . Поскольку Ji ? J ? для любого i, то J ? верхняя грань для l-идеалов рассматриваемой цепочки. Тогда по лемме Цорна в M существуют максимальные
элементы, которые обозначим через J? (x). 2
Теперь вместе с любым из l-идеалов J? (x) (? ? I ), существование которых
было доказано в предложении 7, рассмотрим l-идеал (J? (x), x)l наименьший
l-идеал среди l-идеалов в A, содержащих J? (x) и x. Тогда ясно, что J? (x) $
(J? (x), x)l .
98
Ю. В. КОЧЕТОВА
Пусть B и C l-идеалы алгебры A над полем, для которых B ? C и B =
? C.
Скажем, что идеалы B и C образуют
, если из включений C ? J ? B
следует J = B или J = C для любого идеала J в A.
скачок
4 Пусть A решеточно K-упорядоченная алгебра над частично
упорядоченным полем F , x ? L, x ?= 0. Тогда пара l-идеалов J?(x) ? (J?(x), x)l
составляет скачок в решетке L(A).
Лемма
.
Отметим, что по предложению 4 множество L(A) всех lидеалов l-алгебры L является полной решеточно упорядоченной по включению
системой идеалов.
Пусть T ? L(A) и J? (x) ? T ? (J? (x), x)l . Для l-идеала T есть две возможности: x ?
/ T или x ? T . Если x ?
/ T , то, в силу максимальности l-идеала J? (x)
относительно свойства x ?
/ J? (x), из J? (x) ? T следует, что J? (x) = T . Если
x ? T , то T = (J? (x), x)l , поскольку T ? (J? (x), x)l и (J? (x), x)l наименьший
l-идеал, содержащий x. Таким образом, по определению скачка пара l-идеалов
J? (x) ? (J? (x), x)l образует скачок в решетке L(A). 2
Доказательство.
скачок в
, определяемый эленижним идеалом
Будем говорить, что J? (x) ? (J? (x), x)l L(A)
x (x ? A, x ?= 0). Каждый из l-идеалов J? (x), рассмотренных в предложении 7, будем называть
элемента x, а также
в решетке L(A) всех l-идеалов решеточно K-упорядоченной алгебры A
над частично упорядоченным полем F .
ментом
скачка
значением
Докажем, что всякий нижний идеал скачка, определяемый ненулевым элементом l-алгебры, является спрямляющим l-идеалом этой алгебры.
[теоремы 1] Пусть J? (x) ? (J? (x), x)l скачок в решетке L(A), определяемый элементом x ?= 0. Из леммы 4 следует, что всякий
l-идеал в A, строго содержащий J? (x), содержит и (J? (x), x)l . Рассмотрим множество C = {y ? A | |y| ? |x| ? J? (x)}, которое по предложению 5 является
l-идеалом l-алгебры A, и при этом J? (x) ? C . Если J? (x) $ C , то (J? (x), x)l ? C
и, значит, x ? C . Отсюда следует, что |x|?|x| = |x| ? J? (x), и поэтому x ? J? (x),
но это невозможно по построению J? (x). Отсюда заключаем, что C = J? (x).
Пусть теперь a, b ? A, a > 0, b > 0, a ?
/ J? (x) и a ? b ? J? (x). Построим
множество B = {y ? A | |y| ? b ? J? (x)}, которое по предложению 5 является
l-идеалом, содержащим J? (x). При этом из a ? B и a ?
/ J? (x) следует, что
J? (x) $ B . По доказанному выше имеем (J? (x), x)l ? B , откуда получаем, что
|x| ? b ? J? (x) и, значит, b ? C = J? (x). Следовательно, J? (x) является по
предложению 6 спрямляющим l-идеалом. 2
Доказательство.
Далее докажем, что каждый l-идеал l-алгебры является пересечением ее
спрямляющих l-идеалов.
[предложения 1] Пусть I l-идеал l-алгебры A и
J(x) один из нижних идеалов скачка для элемента x ? A\I , построенный
в предложении 7. Тогда x ?
/ J(x), а также I ? J(x) в силу максимальности
Доказательство.
ДЕКАРТОВА СУММА РЕШЕТОЧНО K-УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР 99
идеала?J(x). Кроме этого, ?
по теореме 1 J(x) спрямляющий идеал. Ясно, что
I ?
J(x). Если y ?
J(x), то y ? J(x) для любого x ? A\I , и значит,
x?A\I
x?A\I
в случае
/ I имеем y ? J(y), противоречие. Поэтому, y ? I . Таким образом,
? y?
I=
J(x). 2
x?A\I
3
Разложение l -алгебр в декартову сумму
Рассмотрим
? l-алгебры Ai (i ? I) над частично упорядоченным полем F и
алгебру A? = i?I Ai над полем F , являющуюся множеством всех функций f ,
определенных на I , таких, что для любого i ? I выполнено f (i) ? Ai , а операции
на A? определены покоординатно, т. е. (f + g)(i) = f (i) + g(i), (?f )(i) = ?f (i),
f g(i) = f (i)g(i) для f, g ? A?, ? ? F . Будем называть алгебру A?
(или
) суммой l-алгебр Ai (i ? I). При этом на A? можно задать
покоординатное отношение порядка: f 6 g тогда и только тогда, когда f (i) 6
g(i) в Ai для всех i ? I .
?
Предложение 8.
A? = i?I Ai
K
Ai
F
K
F
кардинальной
декартовой
Декартова сумма
частично -упорядоченных алгебр над полем является частично -упорядоченной алгеброй над
полем относительно покоординатного порядка.
5 Если {M? , ? ? I} множество l-идеалов решеточно Kупорядоченной
алгебры A над частично упорядоченным полем F такое, что
?
M? = {0}, то A l-изоморфна l-подалгебре декартовой суммы решеточно
??I
K-упорядоченных алгебр A? = A/M? , ? ? I .
Лемма
.
Доказательство. Отметим, что для любого ? ? I по [11, теорема 10]
факторалгебра A? = A/M? есть l-алгебра над полем F .
Применяя к системе {M? , ? ? I} предложение 5 из [4, гл. II, џ 3], получаем,
что существует отображение ? l-группы ?A, +? в декартову сумму l-групп A? ,
действующее по правилу ?(x) = fx для любого x ? A, где fx (?) = x + M? ? A? .
При этом ? является l-гомоморфизмом
указанных l-групп. Покажем, что ? ?
l-гомоморфизм l-алгебр A и
A
.
l
?
??I
Если x, y ? A, ? ? F , то ?(?x) = f?x и ?(xy) = fxy , при этом по определению
декартовой суммы имеем f?x (?) = ?x + M? = ?(x + M? ) = ?fx (?) и fxy (?) =
xy + M? = (x + M? )(y + M? ) = fx (?)fy (?) для любого ? ? I . Следовательно,
?(?x) = ??(x) и fxy = fx fy , то есть ?(xy) = ?(x)?(y).
?
Таким образом, ? является l-гомоморфизмом алгебр A и
l A? . Отсюда по
??I
[11, теорема 15] следует, что существует l-изоморфизм ?? естественно упорядоченной
? факторалгебры A/Ker ? и Im ?, при этом Im ? является l-подалгеброй
в
l A? . Если x ? Ker ?, то fx = 0, то есть fx (?) = x + M? = M? для любо??I
?
го ? ? I . Поэтому x ? M? для всех ? ? I , откуда x ?
M? = {0} и, значит,
??I
100
Ю. В. КОЧЕТОВА
x?= 0. Так как Ker ? = {0}, то A l-изоморфна l-подалгебре декартовой l-суммы
l A? . 2
??I
Следующая теорема раскрывает взаимосвязь произвольной l-алгебры с декартовой суммой некоторых линейно K-упорядоченных алгебр.
Доказательство. [теоремы 2] Используя предложение 1, для l -идеала
?
{0} из A получаем, что {0} =
J(a), где нижний идеал скачка J(a), опре-
a?A\{0}
деляемый элементом a, является по теореме 1 спрямляющим l-идеалом в A,
то есть A/J(a) линейно K-упорядоченная алгебра. Следовательно, множество l-идеалов {J(a), a ? A\{0}} удовлетворяет условию леммы 5, и значит,
алгебра A решеточно изоморфна l-подалгебре декартовой суммы линейно Kупорядоченных алгебр A/J(a), где a ? A\{0}. 2
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Копытов В.М. Упорядочение алгебр Ли. // Алгебра и логика. 1972. Т. 11,
ќ 3. C. 295325.
[2] Агалаков С.А., Штерн А.С. Свободные произведения линейно упорядочиваемых алгебр Ли. // Сиб. матем. журнал. 1982. Т. XXIII. ќ 3. С. 59.
[3] Копытов В.М. Решеточно упорядоченные алгебры Ли. // Сиб. матем. журнал. 1977. Т. XVIII. ќ 3. C. 595607.
[4] Копытов В. М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984. 320с.
[5] Медведев Н.Я. О решетках многообразий решеточно упорядоченных групп
и алгебр Ли. // Алгебра и логика. 1977. Т. 16. ќ 1. C. 4045.
[6] Медведев Н.Я. О продолжении порядков алгебр Ли. // Сиб. матем. журнал. 1977. Т. XVIII. ќ 2. С. 469471.
[7] Медведев Н.Я. К теории решеточно упорядоченных колец. // Математические заметки. 1987. Т. 41. ќ 4. С. 484489.
[8] Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир,
1965.
[9] Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.
[10] Кочетова Ю.В. О некоторых свойствах идеалов решеточно упорядоченных
алгебр Ли. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. Математика. 2007. Т. 57. ќ 7. С. 7383.
ДЕКАРТОВА СУММА РЕШЕТОЧНО K-УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР 101
[11] Кочетова Ю.В., Ширшова Е.Е. О гомоморфизмах частично упорядоченных алгебр Ли. // Избранные вопросы алгебры: Сборник статей, посвященный памяти Н.Я. Медведева. Барнаул: Издво Алт. унта, 2007. С. 131142.
Московский педагогический государственный университет.
Получено 22.04.2012
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
178 Кб
Теги
суммы, упорядоченных, алгебра, декартовы, решеточных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа