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Декомпозиционный синтез стабилизирующей обратной связи для линейных динамических систем управления с интервальной неопределенностью параметров.

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?????? ???????
? 8, 2010
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Декомпозиционный синтез
стабилизирующей обратной связи
для линейных динамических
систем управления с интервальной
неопределенностью параметров
?????????: ????????? ?????? ????????? ???????????? ? ?????????????, ??? ?????? ??????? ?????????? ???????????? ? ???? ??????? ????? ?????????????. ??????????? ???????????????? ????????? ???????, ??????????????
????????????????? ????????? ??????? ??? ??????????????? ???????????????? ??????? ????????????? ???????.
???????? ?????: ??????? ??????, ????????? ????????????, ?????????????????.
? ??????? ????? ?????????? ?????????? (???????????? ? ???????? ??????????????? ????????????????) ? ????????? ?????
???????? ?????????? ???????? ?????? ??????????????. ? ????????? ?????? ?????? ?????????? ??????? ?????????? ??? ???????????: ?????? ??????? ? ?????? ???????. ? ????????????
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??????????, ???????? ??????????? ???????????? ??? ????? ????????? ????????????, ????? ??????? ?????????? ????????????
????????? ??????? ??? ??????? ??????????????? ????????????????. ? ???? ??????? ????????? ???????
?????????? ?????????? ???????? ???????????? ?????? ??????????? ??????????, ???? ???? ??????? ?? ?
?????????? ????????? ???????, ? ? ??????????? ????????????????? ????????? ??????? [3] ????? ?????????? ? ??????? ???????? ????? ??????? ????????? ??????? ? ????????????? ???????????? ?????????????? (??????? ??????? [1]). ?????? ?????? ????? ?? ???????? ?????????????, ??? ??? ?? ?????? ??????????? ??????? ????? ???? ??????? ??????????????? [3], ?????????? ?????????? ???????????? ???????. ? ?????? ?????? ????????, ??? ??? ????? ??????????? ??????? ?????????? ????????????? ???????
???????? ? ?????? ????????????? ??????, ? ??????? ????? ???? ?????????? ?????????????????, ????????????? ?????????????? ??????? ?????????? ??? ?????? ????????????? ???????? ?????, ??????????????
????????? ???????????? ????????? ???????.
?????????? ?????????????? ?????? ???????? ???????????? ???????????? ??????? ??????????
x· = Ax + Bu,
(1)
???????? ???????? ???????????,
?????? ??????????? ????, ????????? ???????
?????? ?????????? ??????????? ???????????????? ??????????? ????????????.
???????? ??????????: «??????? ?????? ???????? ? ???????? ???????????????? ?? ?????? ?????????? ??????-???????????? ????? ?????????????
? ?????????????» (2009), «??????? ?????? ?????????? ????????????? ????????? ? ???????? ????????????????» (2009).
e-mail: krasnova@ipu.ru
98
?????????????? ??????
??? x ? R ? ?????? ?????????, ??????? ???????? ?????? ??????????, u ? R ? ?????? ??????????, A, B ?
??????? ? ??????????? ?????????? ??????????????? ???????????. ??????, ????? ? ??????? (1) ???????
????? ??????????? ????? ?????? ????
rankBn Ч p = n ? p,
(2)
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????????, ?????? ??????????? ?????????? ??????? x ?????????? «?????» ??????????? ??????????
??????? u, ??? ???? ?????? ?????????? ???????? ????????????. ??? ?????? ?????????????? ?????? A, B
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??????????. ? ????????? ??????? x· = (A + BF)x = A? x ????? ????????? ??????? ??????????? ???????? A?
? ???????? ???????? ? ? ????????? ???????????? ?????????:
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An Ч n + Bn Ч pFp Ч n = A? n Ч n ? F = B ( A? ? A),
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??? B p Ч n = B (BB ) ? ?????????????? ???????, Bn Ч p B p Ч n = In Ч n [1].
? ?????? ?????? ? ???????? ???????????? ??????????????? ???????????????? ????????? ???????
?????????? ???????? ?????? ??????? ???????? ?????, ?????????????? ??????????????? ????????????
lim x(t) = 0 ? ??????????????? ??????? ????????????
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i = 1, n
> 0.
(4)
? ???????? ??????? ???????? ????? ????????????? ?????? ????????? ?????? ??????????, ?????????????? ? ???????????? ??????? (1)?(2) ??????????????? ????? ???????????? (4) ? ?????????????, ???
???????? ??????? B = (bij), i = 1, n , j = 1, p ????????? ? ????????; ???????? ??????? A = (aij), i, j = 1, n
????????? ? ??????????, ?? ???????? ??????????? ???????? ?????????? ? ?????????? ?????????:
|aij| ? a ij = const < +?, i, j = 1, n .
(5)
?????????? ???????? ???????? ?????, ??????? ? ??????? ?? (3) ?? ???????????? ??????????? ??????? A:
+
u = Fx, F = ?B K,
(6)
??? KnЧn = diag{ki}, ki > 0, i = 1, n . ???? ?????????? ??????? ? ???, ????? ? ????????? ??????? x· = (A ? K)x = A? x
?????????? ????????????????? [3]. ??? ????? ??????? A? ??????, ??-??????, ????????????? (4), ??-??????,
???? ???????? ??????? (?? ??????? ????????? ? ????????????? ?????, ??????? ?????? ?? ??????????
???????? ????? ??????? ?????????????? ????????? ?? ?????? [1]). ?????? ???????? ????? ?????? ????????????? ???????? ????? ?? ?????? ??????? ?????????????? ??????????:
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? a ij ? k i > a i =
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j = 1, j ? i
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? a ii ? k i < ? ? d ? k i > a ii + ? d, i = 1, n ,
n
??????? ??????????? ??????? ??????????
ki > a ii + ci, ci = max{ai, ?d}, i = 1, n .
(7)
?????? ??????? ?????? ????? ???????, ???? ??? ??????????? ?? ??????????? ???????????. ???????
???????????? ?????? ?????????? (6)?(7) ??? ???????????? ??????? (1)?(2) ????? ???????????? ? ???????? ??????? ???????? ? ????????? ???????? ??????? ???????? ????? ??? ???????? ??????????? ???????????? ???????, ?????????????? ?????? ??????? ????? ????????? ??????? ????? ?????????????
(??? [2]):
x· i =
? Aij xj + Bi xi ? 1, i = r, 1 ; x· 0 = ? A0j xj + B0u,
0
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j=r
j=r
??? dimxi = rankBi = pi ? pi ? 1, p0 + ... + pr = n, u ? R , p0 ? p. ??????? (8) ?????????? ? ??????? ?? ?????????
p
???????????? ??????, ??? ? i-? ????? (i = r, 1 ) ?????????? xi ? 1 ?????????? ????? ?????????? ??? ????????? ??????????. ????????? ???????? ??????? [2] ?????????? ?????????? ??? ????????? ??????????
??????????? ? ???????????????? (?????? ????) ?????? ????????? ??????????, ?????????????? ???????? ?????? ??????? ????????? ???????. ???, ????? ?????????? ?????????? ? ???????, r-? ????? ? ????
+
xr ? 1 = B r (Arxr ? Arrxr)
(9)
99
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? 8, 2010
???????? ? ?????????? ????? ? ???????? ? ???????? ???????? x· r = Ar xr. ????????? ???????????? ???????
+
er ? 1 = xr ? 1 ? B r (Ar xr ? Arr xr), ??????? ????? ?????????? ????????? ?????????? xr ? 1 ?? ???????? ???????? (9), ????? ??? e·
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e
??????? ?? ?????? r-?? ? (r ? 1)-??
r?1
r?1 r?1
r?1
r ? 1 r ?2
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+
??????? ????? ? ????? ?????????????? B i , ?????????????, ?????????? ????? ?????????????????? ????????????? ??????????????,
(10)
ei ? 1 = xi ? 1 ? B i (Ai ei ? A i e i ), i = r ? 1, 1 , e i = col(er, ..., ei),
??? ??????? A i ??????? ?? ?????? (r, ..., i)-? ?????? ? ???????? ?????? Ar, ..., Ai + 1, ?, ??????????????, ?????
??????????
+
+
u = B 0 (A0e0 ? A 0 e 0 ),
(11)
??? ????????? ??????? ???????????? ??????? ?????? ??? e· i = Ai ei + Bi ei ? 1, i = r, 1 ; e· 0 = A0e0. ???????????
???????? ?????? ??????? (? ????? ? ???????? (8) ? ???? ?????????????? ??????????? ????? ? ???????-
?????? ???????????????) ???????????? ???????????? ??????? ?????? Ai, i = r, 0 , ??????? ???????????
???????? ???????. ?????????????????? ????????????? ????? ?????????? (10) ? ????? ??????????
(11) ?????????? ???????????? ????????? ??????? ?????????? ?????????? ?? ??????????? ???????????? ????????? ??????????? pi, ??????? ??????????? ?????? ????????? ??????? ????????? ??????? (8).
??????????? ??????, ??? ? ??????? (8) ???????? ?????? Akl = ( a ij ), k = r, 0 , l = r, i ????????? ? ????kl
??????, ?? ???????? ??????????? ???????? ?????????? ? ?????????? ????????? ?????????? (5). ??????-
?? ?????? Bk = ( b ij ), k = r, 0 ????????? ? ????????. ???????? ?????? ??????? ???????? ?????, ??????????k
???? ???????? ????? ???????????? (4).
? ????????????? ???????????????? ????????? ??????? ? ?????? ??? (8) ??????????????? ??????????? ????????? ????? (????????? ??????????) ?????? ?? ?????? ????????? ?????????? u. ??????? ??
??????????? ???? ????????? ???????? ??????? ?????????? ?????????? ??????? ? ???, ??? ? ???????? ??????? ?????????? ??????????? ?????????????? ???????????? A i e i , ? ?????????? ????????? ?????????
??????? ????? ?????????? ???????? (8). ???? ??????? ? ???, ????? ? ?????? ????? (?????? ????) ?????????? ??????? ?????????? ??????????? ???????? ? ????????????? ?????????? ? ??????????????? (4).
??? r. ? ???????, r-? ????? ??????? (8) x· r = Arr xr + Br xr ? 1 ?????????? ????????? ?????????? ??? ???-
???????? ??????? ??????????? ????????: xr ? 1 = Frxr , ??? Fr = ? B r Kr , Kr = diag{ k i }, k i > 0, i = 1, p r . ??????
?????????? er = xr , er ? 1 = xr ? 1 ? Fr xr ? ??????????????? ?????????????? ??????? ? ???????? ????????
+
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r
r
e· r = A rr er + Brer ? 1, e· r ? 1 = A r ? 1, 1 er + A r ? 1, r ? 1 er ? 1 + Br ? 1xr ? 2,
r
x· i = A ir er + Ai, r ? 1er ? 1 +
(12)
? Aij xj + Bi xi ? 1, i = r ? 2, 0 ,
i
j = r?2
???
r
A rr
= Arr ? Kr, x?1 = u,
r
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= Air + Ai, r ? 1Fr (i = r ? 3, 0 );
r
r
r
A r ? 1, r = Ar ? 1, r ? Fr A rr + Ar ? 1, r ? 1Fr, A r ? 1, r ? 1 = Ar ? 1, r ? 1 ? Fr Br.
(13)
? ??????? ????? ??????? (12) ????????? ??????? ?????????? ??????????? ???????? ? ??????????r
??? ?????????? ? ??????????????? (4) ????? ?????? k i ?? ?????? ??????? ?????????????? ??????????,
??????????? (7):
k i > a ii + c i , c i = max{ a i , ?d}, i = 1, p r , a i =
r
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r
r
r
r
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j = 1, j ? i
rr
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(14)
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pr ? 1
r ( r ? 1, j )
r
?????? A r ? 1, j = ( a kl
r ( r ? 1, j )
, | a kl
| ? a kl
r ( r ? 1, j )
= const, j = r, r ? 1, k = 1, p r ? 1 , l = 1, p j . ?????????? ??+
?????? ????? ?????????? ?????????? ??? ??????????? ? ???? xr ? 2 = Fr ? 1er ? 1, ??? Fr ? 1 = ? B r ? 1 Kr ? 1,
}, k i
> 0, i = 1, p r ? 1 .
?????? ?????????? er ? 2 = xr ? 2 ? Fr ? 1er ? 1 ? ??????????????? ?????????????? ??????? ? ????????
r?1
r?1
Kr ? 1 = diag{ k i
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O
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r
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e· r = A rr er + Brer ? 1, e· r ? 1 = A r ? 1, r er + A r ? 1, r ? 1 er ? 1 + Br ? 1xr ? 2,
(15)
r
r?1
r?1
e· r ? 2 = A r ? 2, r er + A r ? 2, r ? 1 er ? 1 + A r ? 2, r ? 2 er ? 2 + Br ? 2xr ? 3,
r
r?1
x· i = A ir er + A i, r ? 1 er ? 1 + Ai, r ? 2er ? 2 +
???
r?1
A r ? 1, r ? 1
=
r
A r ? 1, r ? 1
? Aij xj + Bi xi ? 1, i = r ? 3, 0 ,
i
j = r?3
r?1
? Kr ? 1, ????? r ? (r ? 1) ?????? ?? ???????? ??????????; A r ? 2, r ? 1 = Ar ? 2, r ? 1 ?
? Fr ? 1 A r ? 1, r ? 1 + Ar ? 2, r ? 2Fr ? 1, A r ? 2, r ? 2 = Ar ? 2, r ? 2 ? Fr ? 1Br ? 1; ? ?????? i = r ? 3, 0 ?????????? ??????
r?1
r?1
r?1
??????? ????? (r ? 1)-?? ????????????: A i, r ? 1 = Ai, r ? 1 + Ai, r ? 2Fr ? 1.
r?1
? ????? (r ? 1) ??????? (15) ????????? ??????? ???????, ??????????????? (4), ? ??????? ?????? k i
?????????? (14), ? ??????:
r?1
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j=1
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r ( r ? 1, r ? 1 )
j = 1, j ? i
a ij
r?1
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, ?d}, i = 1, p r ? 1 ,
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j=1
? ??????? ???? ????????? ???? ?????????? ???????? ?????? ???????????? ??????? er ? 2 ? R
???? ?????????? ?????????? xr ? 3, ? ?. ?. ? ?????, ????? ?????????????? ?????????? (i = 1) ???? ??? ??pr ? 2
???????? x = col(xr, ..., x0), xi ? R
pi
??? (8) ?????????? ?????? ??????????? e = col(er, ..., e0), ei ? R
pi
??
????????? ????? er = xr, ei ? 1 = xi ? 1 ? Fi ei, i = r, 1 . ?????????????? ??????? ???????? Tx = e, detT(n Ч n) ? 0,
T = T1T2...Tr ? 1Tr ????? ?????? ??????????? ??????? ????????? ? ?????????? ????????? ?? ???????
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O
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F 2 ...F r ? 2
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? 8, 2010
??? ??????? Fi = ? B i Ki ??????? ?? ????????? ?????? Bi ? ?? ??????? ?? ?????????????? ?????? Aij, i = r, 0 ,
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j = r, i . ???????? ?????? ?????????? ei ? 1 = xi ? 1 ? Fi ei, i = r, 1 , ??????????? ???????? ????????? ???????,
???????? ? ???????? ???? ???????????? ???????
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A ij ej + A ii ei + Bi ei ? 1, i = r, 1 ; e· 0 =
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(18)
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0
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1
1
?????? ????????? ????????? ?????? A 0r = A 0r , A 0, r ? 1 = A 0, r ? 1 , ..., A 02 = A 02 , A 01 = A01 ? F1 A 11 + A00F1,
A 00 = A00 ? F1B1, A 0j = ( a kl ), | a kl | ? a kl
= const, j = r, 0 , k = 1, p 0 , l = 1, p j . ?????????????? ????????? ??????????? ?????????????? ???????? ???????????
1
j ( 0j )
j
j ( 0j )
j ( 0j )
+
u = F0e0 = ? B 0 K0e0,
(19)
??? ???????? ? ????????? ??????????
e· 0 =
1
j
1
? A 0j ej + ( A 00 ? K0)e0,
j=r
(20)
??? ???????? ??????? ???????? ????? K0 = diag{ k i }, k i > 0, i = 1, p 0 ?????????? ?? ?????? ?????????????? ??????????
0
1 ( 0, 0 )
k i > a ii
0
??? a i =
pr
r ( 0r )
? a ij
p1
+ ... +
1 ( 01 )
? a ij
0
+ c i , c i = max{ a i , ?d}, i = 1, p 0 ,
0
0
p0
+
j=1
j=1
0
0
1 ( 00 )
?
j = 1, j ? i
a ij
(21)
.
? ?????????? ?????? ????????? ????? ????????? ??????? (18)?(20), ??? ?????????? ?????????? ????
(14), (16), (21) ???????????, ??? ??????? ????????? ??????? ????? ??????? ???????? ???????, ? ???? ??????? ? ???????????????. ????? ?????????? (19) ? ???????? ??????? (8) ????? ???
+
u = ? B 0 K0T0x,
(22)
??? T0 ? p0 ?????? ????? ??????? T (17).
????????? ???????? ????????????????? ????????????? ? ???????? ????????? ?????? ??????? (18),
(20) ? ?? ?? ??????????? ????????, ????????? ??? ?? ??????????? ? ??????????????? ????????? [1]. ????????? ??????? (8), (22) ? ????? ?????? ?? ???????? ????????? ?????????????????, ? ?????????, ??????????? ?????????????????, ?? ??? ????????????? ???????? ????? ???????????? (4). ? ???? ?????, er = xr ?,
??? ???????, ?? ???????? ?????????? ????????????? ? ?????????? ????????? ?????? ?????????? ???????? ?????. ????????????? ????????? ??????????? ???????? ?????????????? ?????? ???????????? ???????? ??????? [2], ??? ??? ???????????? ???????? ????? ?????????? ??????????? ?? ?????? ??????????
???? (14), (16), (21), ? ??????? ?????????? ????? ?????????, ? ??????? ????? ?????????? ???????? ??????
???????. ?????? ?????????? ?? ??????? ?????????? ?????? ?????????? ? ???????????? ??????????????
? ???????????????? ?????????? ??????? ??????????, ?????????? ???????? ??? ??? (8), ???????? ???????? ??????? ???????? ???????????? (?????????) ? ??????-???????????? ?????. ????????????? ????????? ????????? ? ??? ??????????? ?????????????? ?????? ? ?????????? ???????????, ??????????? ? ??????? ????????????? ?????????????? [2] ? ??? (8), ???? ???? ??????? ????????? ??????????. ?? ?????? ?? ??? ????? ???????????? ?????????? ????????????? ???????? ????? (????????????? ? ???????
???????? ??????????) ?? ????????? ? ????????? ???????????. ????????? ?????? ????????????? ?????
????????.
??????. ?????????? ???????, ??????? ????????? ???:
x· = x + x , x· = x + x , x· = x + u.
(23)
2
2
1
1
2
0
0
0
??? ?????? ??????? ???????????? ???????? ???????????? ????? ?????????? ?????????? u = (?32 ?19 ?8)x,
?????????????? ? ????????? ??????? ???????? ??????????? ????? ?1 = ?1, ?2 = ?2, ?3 = ?3.
????????? ? ????????? ??????? ??????????????? ????? ???????????? (4), ??? ?d = 1. ??????? (23) ??????? ?? ?????????? ?????????, ??? ????????? ???????????? ?????????? ??????????? Aij = aij, |aij| = a ij ,
Bi = bi, Fi = fi, Ki = ki, i = 2, 1, 0.
102
?????????????? ??????
??? 2. ? ??????? ????? ??????? (23) x· 2 = a22x2 + b2x1 = x2 + x1 ????? ?????????? ?????????? x1 = f2x2 =
?1
= ? b 2 k2x2 = ?k2x2, k2 > 0 ? ?????? ?????????? e2 = x2, e1 = x1 + k2x2 ???????? ? ?????????? e· 2 = (a22 ? k2)e2 +
+ b2e1 = (1 ? k2)e2 + e1, ??? ??????????? ????????? ????? ?????????? ?? ?????? ??????????? (14):
k > 1 + max{1, 1} = 2, ????????? k = 3 ? f = ?3. ??????? ???? ????????? ????????????? ??? e· = ?2e + e .
2
2
2
2
2
1
???????? ???????????????? ????????? ???????????? ??????? e1 = x1 + 3e2: e· 1 = x· 1 + 3 e· 2 = e2 + x0 +
+ 3(?2e2 + e1) = ?5e2 + 3e1 + x0.
?1
??? 1. ????? ? ?????????? ????????? ?????????? ?????????? x0 = f1e1 = ? b 1 k1e1 = ?k1e1, k1 > 0 ? ?????? ??????? e0 = x0 + k1e1 ???????? ? ????????? e· 1 = ?5e2 + (3 ? k1)e1 + x0, ??? ??????????? ?????????
????? ?????????? ?? ?????? ??????????? (16): k1 > 3 + max{6, 1} = 9, ????????? k1 = 10 ? f1 = ?10. ???????
???? ????????? ????????????? ??? e· = ?5e ? 7e + e . ???????? ???????????????? ????????? ??????1
2
1
0
?????? ??????? e0 = x0 + 10e1, ??? ???????? ???????? ?????? x0 = e0 ? 10e1:
e· 0 = x· 0 + 10 e· 1 = x0 + u + 10(?5e2 ? 7e1 + e0) = ?50e2 ? 80e1 + 11e0 + u.
?1
????? ?????????? (19) u = f0e0 = ? b 0 k0e0 = ?k0e0, k0 > 0, ???????? ? ????????? ?????????? e· 0 = ?50e2 ?
? 80e1 + (11 ? k0)e0, ??? ? ?????? (21) k0 > 11 + max{130, 1} = 141, ????????? k0 = 142 ? f0 = ?142. ? ?????????? ????????????? ?????????????? ? ???????? ???????? T (17) ????? ????????? ??????? e· = A e
e
(18), (20) ? ???????? ???????:
?
? 1 0 0? ?
?
? ? 1 0 0?
? ?f2 1 0 ? = ? 3 1 0 ? .
?
?
? ?
? f 1 f 2 ? f 1 1 ? ? 30 10 1 ?
? ?????? ????????? ?????? ??????? ???????? (17) ????? ?????????? u = ?142e0 ? ???????? ????????
??????? (23) ????? ??? (22): u = ?142(30 10 1)x = (4260 ? 1420 ? 142)x, ??? ???????????? ?? ??????? ??????, ??? ? ?????? ?????????? ?????????? u = (?32 ?19 ?8)x.
????????????? ???????????????? ????????? ??????? ?????????? ?????????? ????????????? ??? ???????????? ???????? ??????????, ?????????????? ?????? ??????? ?????????? ????? ????????? ???????
????? ????????????? (8). ?????? ?????????? ??? ??????????? ???????? ????? ???? ?????????????? ? ??
?????????????? ???????? ???????, ????????? ??????? ?????? ???????? ? ????????? ????????? ???????????? ??????????. ???????, ??? ????? ????? ??????? ?????????? ?????, ? ???????????????? ? ????????
?????????? ? ???????? ???????????? ????????, ??? ??????????????? ?? ???????????? ??????????? ??????. ??????????????? ???????????? ??????????, ??? ??? ??????????? ???????? ???????????? ?????? ?????? ???? ????? ???? ???????? ??????? ????? ????????????? ? ????????????? ? ???, ??? ???????????
??????? ???????? ? ?? ???? ?????????? ???????? ?????????? ????????? ????????????? ???????? ??????????, ??? ????????? ????? ??????, ??? ???????????? ??????? ????? ???? ???????????? ?????? ?????????.
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0
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Ae = ? ? 5 ? 7 1
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1.
2.
3.
????????? ?. ?. ?????? ??????. ? ?.: ?????, 1967. ?575 ?.
???????? ?. ?., ???????? ?. ?., ???????? ?. ?., ????? ?. ?., ????? ?. ?. ??????? ???????? ??????????.
????? 1 // ?????????? ? ????????????. ? 1990. ? ? 5. ? ?. 38?47.
????? ?. ?., ???????? ?. ?. ????????? ???????????? ? ??????????. ? ?.: ?????, 2002. ? 303 ?.
103
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