close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Дифференцируемое отображение ранга r аффинного q m и проективного p n пространств.

код для вставкиСкачать
Математика и механика. Физика
8. Kamenomostskaya S.L. Ob uravneniyakh ellipticheskogo i parabo!
licheskogo tipa s malym parametrom pri starshikh proizvodnykh [On
equations of elliptic and parabolic type with a small parameter in the
highest derivatives]. Mat. sb., 1952, no. 31 (73): 3, pp. 703–708.
9. Vishik M.I., Lyusternik L.A. Regulyarnoe vyrozhdenie i pogra!
nichny sloy dlya lineynykh differentsialnykh uravneniy s malym
parametrom [Regular degeneration and boundary layer for linear
differential equations with a small parameter]. UMN (Successes
of Mathematical Sciences), 1957, no. 12:5 (77), pp. 3–122.
10. Ilin A.M. Soglasovanie asimptoticheskikh razlozheniy kraevykh
zadach [Matching of asymptotic expansions of boundary value
problems]. Moscow, Nauka, 1989. 334 p.
11. Alymkulov K. Analog of Method of Boundary Layer Function for
the Solution of the Lighthill’s Model Equation with the regular
Singular Point. American J. Math. & Statistics, 2013, vol. 3,
no. 1, pp. 53–61.
12. Alymkulov K., Asylbekov T.D., Dolbeeva S.F. Obobshchenie metoda
pogranfunktsiy dlya resheniya kraevoy zadachi dlya bisingulyarno
vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka
[Generalization of the boundary functions for solving boundary value
problem for Bisingular perturbed second order differential equation].
Matem. Zametki (Mat. Notes), 2013, vol. 94, no. 3, pp. 483–487.
13. Tursunov D.A. Asimptoticheskoe razlozhenie resheniya singulyarno
vozmushchennogo differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka s
dvumya tochkami povorota [Asymptotic expansion of the solution of
a singularly perturbed second order differential equation with two
turning points]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta.
Matematika i mekhanika (Bulletin of the Tomsk State University.
Mathematics and mechanics), 2013, no. 1 (21), pp. 34–40.
14. Gilbarg D., Trudinger N. Ellipticheskie differentsialnye uravneni
ya s chastnymi proizvodnymi vtorogo poryadka [Elliptic partial dif!
ferential equations of second order]. Moscow, Nauka, 1989. 464 p.
УДК 514.757.2
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ РАНГА r АФФИННОГО Qm
И ПРОЕКТИВНОГО Pn ПРОСТРАНСТВ
Аль^Хассани Мудхар Аббас,
преподаватель кафедры математики Университета Басры, Ирак;
аспирант кафедры высшей математики Физикотехническсго института ТПУ
Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 30. Email: mudhar73@mail.ru
Лучинин Анатолий Алексеевич,
канд. физ.мат. наук, доцент, доцент кафедры высшей математики
Физикотехнического института ТПУ,
Россия, 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 30. Email: luchinin@tpu.ru
Актуальность работы вызвана необходимостью дополнительного изучения специального отображения V m,r n ранга r<min (m, n)
аффинного Qm и проективного Pn пространств.
Цель работы. В предыдущих работах были рассмотрены отображения Vm, n, когда r<min (m, n) в случаях m=n, m<n, m>n. В дан
ной работе рассматривается дифференцируемое отображение V m,r n ранга r<min (m, n) аффинного пространства Qm и проектив
ного пространства Pn.
Методы исследования. Основными методами исследования являются метод внешних форм Картана в локальной дифферен
циальной геометрии и теоретикогрупповой метод Г.Ф. Лаптева. Эти методы предполагают локальное изучение рассматривае
мого объекта и использование функций класса C∝.
Результаты. Рассмотрено регулярное отображение ранга r аффинного и проективного пространств. Дана геометрическая харак
теристика этого отображения. С отображением V m,r n инвариантно ассоциируется отображение mмерного пространства в много
образие невырожденных нульпар. Доказано (геометрически и методом Кэлера) существование данного отображения. Изуче
на аналитически и геометрически структура внутреннего фундаментального геометрического объекта.
Ключевые слова:
Дифференцируемые отображения, многомерные пространства и поверхности, геометрические объекты.
1. Аналитический аппарат
1.1. Как и в [1–3] рассматривается m!мерное
аффинное пространство Qm и n!мерное эквипроек!
тивное пространство Pn, отнесенные к подвижному
аффинному реперу Q и подвижному эквипроектив!
ному реперу P с соответствующими деривацион!
ными формулами и структурными уравнениями:
Qm : Q = {B , εa }, dB = Θ a εa , d εa = Θab εb ,
DΘ a = Θb ΛΘab , DΘba = Θca ΛΘbc , ( a, b, c = 1, m); (1)
Pn : P = { AI }, dAI = ω IJ AJ , DωIJ = ωIK ∧ ωKJ ,
ω KK = 0, ( I , J , K = 0, n).
(2)
Предполагается, что между пространствами су!
ществует дифференцируемое отображение
Vm ,n : Qm → Pn .
(3)
Дифференциальные уравнения этого отображе!
ния с учетом (1) и (2) запишутся в виде
(4)
ω 0i = Aai Θa , (i , j , k = 1, n ).
35
Известия Томского политехнического университета. 2014. Т. 324. № 2
Двукратное продолжение [4] этой системы диффе!
ренциальных уравнений с учетом (1) и (2) приводят к
дифференциальным уравнениям, которым удовле!
творяют компоненты внутреннего фундаментального
геометрического объекта Г={Aai, A iab} в смысле [5, 6]:
dA + A Ω − A Θ = A Θ , Ω = ω − δ ω , A[ab ] 0,
i
a
j
a
i
j
i
b
b
a
i
ab
b
i
j
i
j
i
j
0
0
dAabi + Aabj Ωij − Acbi Θac − Aaci Θbc − ( Aai Abj + Abi Aaj )ωj 0 =
i
= Aabc
Θ c , A[iabc ] = 0,
(5)
( a , b, c = 1, m; i, j, k = 1, n).
Заметим в соответствии с [2, (8)], что отображе!
–– a
ние (3) направление u=(B
– – ,ε ai) u ∈Qm переводит в на!
правление x=Vm,nu=(A0, Ai) x , где
(6)
x i = Aai ua .
1.2. В соответствии с [5, 6] система величин Aai
удовлетворяет дифференциальным уравнениям (4)
и (5) и образует фундаментальный геометрический
Эта
объект {Aai} первого порядка отображения (3). ⎯
⎯
i
система
величин
образует
матрицу
[A
a] (i=1,n ;
⎯⎯
a= 1,m ) размера n×m. Ранг r этой матрицы в общем
случае равен r=min(n,m).
r
: Qm→Pn на!
Определение 1.1. Отображение Vm,n
зывается регулярным отображением, если ранг r
матрицы [Aai] равен r<min (n, m). Если r<min(n,m),
то отображение называется отображением ранга r
r
.
и обозначается Vm,n
Заметим, что в статьях [1–3] изучались регу!
лярные отображения V m,n.
r
.
В данной статье изучаются отображения Vm,n
i
Поскольку ранг r матрицы [Aa] меньше
min(n,m), то она имеет хотя бы один ненулевой (ба!
зисный) минор порядка r. Для определенности та!
ким минором будем считать
(7)
det[ Aai ] ≠ 0, ( i1 = 1, r; a1 = 1, r ).
1
1
Тогда на основании теоремы о базисном миноре
получаем, что в каждой точке B∈Qm имеют место
соотношения:
∗ i1
∗ i1
Aai11 = haa 11 Aai11 , Aai11 = haa 11 Aai11 ; Aai 11 = h j1 Aaj 11 , Aai11 = h j1 Aaj11 ,
( a1 , b1 , c1 = 1, r; a 1, b 1, c 1 = r + 1, m;
i , j , k = 1, r; i1, j , k 1 = r + 1, n ).
1
1
1
1.3. В каждой точке B∈Qm проводится такая ка!
нонизация аффинного Q и проективного P реперов,
при которой
i1
a1
A = 0, Aai11 = 0
(5),(6),(7)
⇒
∗ j1
i1
a 1
i 1
ba 1
A = 0, haa 11 = 0, h j1 = 0, A
= 0. (9)
Из дифференциальных уравнений (5) с учетом
(4), (8) и (9) получаются в каждой точке B∈Qm сле!
дующие дифференциальные уравнения:
ω 0i1 = Aai11 Θa1 ;ω 0i1 = 0; − Aai 11 Θaa11 = Aia11b Θb ;
Aaj11ω ij11 = Aai11b1 Θb1 ;
dAai11 + Aaj11 Ωij11 − Abi11 Θba11 = Aai 11b Θ b ;
i1
[ a1b1 ]
A
36
= 0, A
i1
[a1b ]
= 0.
1
1
Abk11 Bka11 = δba11 , Abk11 Bbj 11 = δ kj 11 ,
(11)
которые в силу (10) удовлетворяют дифферен!
циальным уравнениям:
dBia1 1 + Bib11 Θba11 − Baj11 Ωij11 = Bia1b1 Θ b ; Bia1b1 = − Ack 1b1 Bka 11 Bic11 . (12)
Из (10)–(12) в точке B∈Qm имеют место следую!
щие дифференциальные уравнения:
Θ a = Bia Θi , Θaa = Baa b Θ b ,
1
1
1
1
1
1
1
1
ω ij11 = Aij11b1 Θ b1 = Aij11i1ω i01 , Aij1 b1 = 0,
(13)
1
где
A[i1j1i1 ] = 0, Baa11b = − Aai11b Bia1 1 ,
Aij11b1 = Aai 11b1 Bja11 , Aij11i 1 = Aai 11b 1 Bja11 Bib11 .
(14)
Из (1) и (2) с учетом (9) и (13) замечаем, что ве!
личины (14) удовлетворяют дифференциальным
уравнениям
∇Baa11b ≡ dBaa 11b + Bac 11b Θac11 − Bba1b1 Θab11 − Baa1c1 Θbc =
= Baa11bc Θ c ,
dAij11b1 + Ajj11b1 Ωij1 − Aki 11b1 Ω kj 11 − Aij 11c 1 Θbc11 = Aij 11b 1c Θc ,
1
dAij11i1 + Akj11i1 Ωik11 − Aki 11i1ω jk11 − Aij 11k 1ωik11 = Aij 11i 1k 1 ω k01 ,
A[i1j1i1k1 ] = 0.
(15)
В соответствии с [7–10] дифференциальные
уравнения (13) и (15) свидетельствуют о существо!
вании в общем случае в точке B∈Qm канонизации
реперов Q и P типа (9).
В следующем разделе данной статьи будет дана
геометрическая интерпретация дифференцируе!
r
: Qm→Pn в терминах канони!
мого отображения Vm,n
зации реперов Q и P типа (9) в каждом из случаев
m=n, m<n и m>n.
r
2. Геометрическая характеристика отображения Vm,n
(8)
1
С учетом (7) в каждой точке B∈Qm можно вве!
сти в рассмотрение величины Bia по формулам
(10)
2.1. В соответствии с (6) совокупность всех на!
правлений u=(B–,ε–a) ua∈Qm при отображении (3),
приходящих в точку A0 удовлетворяет уравнениям
Aai u a = 0.
(16)
С учетом (7) и (9) заключаем, что система (16) в
r
: Qm→Pn имеет единствен!
случае отображения Vm,n
ное решение ua=0. Геометрически это означает, что
совокупность всех указанных направлений в точке
B∈Qm образует (m–r)!плоскость
Γ m −r = ( B, εr +1 ,..., εm ) ⊂ Qm .
(17)
Поэтому в пространстве Qm определено распре!
деление
Δ m −r ,m : B → Γm −r .
(18)
Интегральные кривые, описываемые точкой
B∈Qm, распределения (18) в смысле [7] с касатель!
ными, принадлежащими Гm–r, в силу (1) и (17)
Математика и механика. Физика
определяются с учетом (10), (13) и (14) следующей
вполне интегрируемой системой дифференциаль!
ных уравнений Пфаффа:
(9)
Θ a1 = 0 ⇔ ω 0i1 = 0,
(19)
кривых, описываемых точкой B∈Qm, соответствую!
щая точка A0∈Pn неподвижна. Вдоль этих инте!
гральных кривых в силу (14), (15) в точке B∈Qm вы!
полняются дифференциальные уравнения
B[aa11 b1 ] = 0.
Lr = ( A0 , A1 ,..., Ar ).
(21)
При этом в силу (2), (13) и (19) r!плоскость
Lr⊂Pn постоянна вдоль интегральных кривых ра!
спределения (18). Следовательно, в случае m<n по!
верхность Sm (m≠r) в Pn
с касательной m!плоскостью Lm⊃Lr, о которой
идет речь в [2], в соответствии с [10–12] предста!
вляет собой (m–r)!мерное семейство r!плоскостей
Lr, т. е. является тангенциально вырожденной по!
верхностью в смысле М.А. Акивиса.
Таким образом, с учетом (3), (13), (17) и (21) до!
казана
Теорема 2.1. Дифференцируемое отображение
r
: Qm→Pn характеризуется тем, что оно
ранга r: Vm,n
каждую (m–r+1)!плоскость Гm–r+1=(Гm–r,ε–a )ua ⊂Qm
переводит в соответствующее направление
– ) A i ua ∈L ⊂P .
x=(a 0,A
i
a
r
n
–B является
Здесь (m–r)!плоскость Гm–r⊂Qm; Гm–r
ядром указанного отображения, а r!плоскость Lr
касается r!поверхности Sr⊂Pn в точке A0∈Pn.
2.3. Из результатов предыдущего пункта следу!
ет, что во всех случаях m=n, m<n и m>n при ото!
r
: Qm→Pn определена r!поверхность
бражении Vm,n
Sr⊂Pn с касательной r!плоскостью Lr в точке
A0∈Sm. Поэтому во всех указанных случаях при
r
можем воспользоваться резуль!
отображении Vm,n
татами статьи [2] (в случае m!поверхности Sm⊂Pn
r
для доказательства того, что и с отображением Vm,n
инвариантным образом ассоциируются отображе!
ния fm2n: Qm→M2n и fm2n–1: Qm→M2n–1 аффинного про!
странства Qm в многообразие невырожденных
нуль!пар, соответственно.
1
1
1
1
1
(a1 = 1, r; i1 = 1, r; i1 = 1, r).
(20)
Иными словами, распределение (18) является
голономным.
2.2. Заметим с учетом (2) и (10), что точка A0 в
r
проектив!
соответствующем при отображении Vm,n
ном пространстве Pn описывает r!поверхность
Sr⊂Pn с касательной r!плоскостью
1
1
r
3. Существование отображения Vm,n
В этом разделе будет обосновано существование
r
: Qm→Pn.
отображения Vm,n
3.1. Из результатов пункта 2.1 с учетом (15) и
(18)–(20) следует, что голономное распределение
Δm–r,m определяется дифференциальными уравне!
ниями:
Θ aa11 = Baa11b Θ b , ∇Baa 11b = Baa 11bc Θc ,
( a1 , b1 , c1 = 1, r; a 1, b 1, c 1 = r + 1, m; a, b, c = 1, m). (22)
Геометрически с учетом (19) это распределение
характеризуется тем, что вдоль его интегральных
Θ a1 = 0, ω i01 = 0, ω 0i1 = 0, ω ii11 = 0,
так как
(23)
Заметим, что вдоль интегральных кривых ра!
спределения Δm–r,m: B→Гm–r точка B∈Qm описывает
голономную (m–r)!поверхность S~m–r⊂Qm с касатель!
ной (m–r)!плоскостью (17). Из (22) с учетом (15) и
(23) следует, что на (m–r)!поверхности S~m–r выпол!
няются дифференциальные уравнения
Θ a1 = 0, Θaa11 = Baa 11b1Θ b1 , ∇ Baa 11b1 = Baa 11b1c1Θc 1 ,
B[aa11 b1 ] = 0, B[aa11b1c1 ] = 0,
( a1 = 1, r; a 1, b 1, c 1 = r + 1, m).
(24)
Заметим также, что 1!формы Θ и ∇B полу!
чены путем внешнего дифференцирования систе!
мы Θa1=0 с последующим применением леммы
Картана [4].
В соответствии с [13, 14] заключаем, что геоме!
трический объект
Γ = {Baa b }
(25)
a1
a1
a1
a1b1c
1
1 1
является фундаментальным геометрическим
объектом (m–r)!поверхности S~m–r⊂Qm. Структура
этого объекта такова, что он является объектом об!
щего вида на S~m–r. Это означает, что (m–r)!поверх!
ность S~m–r является (m–r)!поверхностью общего ви!
да в пространстве Qm и определяется с произволом
r функций (m–r) аргументов (вдоль интегральных
кривых голономного распределения Δm–r,m).
Таким образом, система дифференциальных
уравнений (24) в инволюции в смысле [4].
3.2. Заметим, что инволютивность системы (24)
можно показать, если воспользоваться методом
Кэлера [4].
Из (24) следует, что общее число N независи!
мых величин Baa b c , определяющих общий инте!
гральный элемент, равно
( m − r )( m − r + 1)( m − r + 2)
N = r⋅
.
6
Строим цепь по формам базиса Θa1=0,[Θr+1…Θm].
Линейный элемент Er+1(Θa1=0, Θr+2=…=Θm=0)
определяется дифференциальными уравнениями
∇Baa b = Baa b ,r +1Θ r +1 , Θa = 0, Θr +2 = ... = Θm = 0.
1
1 1 1
1
1
1 1
1 1
1
Произвол линейного элемента Er+1 равен
r ⋅ ( m − r )( m − r + 1)
(26)
.
2
Давая всем Rr+1 величинам Baa b ,r+1 произвольные,
Rr +1 =
1
1 1
0 a1
a 1 b 1 ,r +1
, получаем эле!
но определенные значения B
мент E0r+1. Второй элемент Er+2(Θa1=0,Θr+3=…=Θm=0),
проходящий через элемент E0r+1, определяется диф!
ференциальными уравнениями
37
Известия Томского политехнического университета. 2014. Т. 324. № 2
0 a1
∇Baa11b1 = B a 1 b1 ,r +1 Θ r +1 + Baa11b1 ,r +2Θ r + 2 ,
(Θa1 = 0, Θ r +3 = ... = Θ m = 0).
(27)
Коэффициенты при Θr+1 уже известны. Поэтому
a
из (27) в силу B[a1 b c ]=0 замечаем, что произвол ли!
нейного элемента Er+2, проходящего через элемент
E0r+1, равен
r ⋅ ( m − r − 1)( m − r − 2)
Rr + 2 =
.
(28)
2
Продолжая процесс, мы получаем, что интеграль!
0
,
ный элемент Em, проходящий через элемент Em–1
определяется дифференциальными уравнениями
1 1 1
0 a1
∇Baa11b1 = B a 1 b1h Θ h + Baa 11b1m Θm ,
(29)
(Θ a1 = 0, Θ m ≠ 0, h = 1, m − 1).
h
Коэффициенты при Θ уже известны. Поэтому
из (29) следует, что произвол элемента Em, прохо!
дящего через элемент E0m–1, равен
⎛ {( m − r ) − ( m − r − 1)} × ⎞
⎜⎝ ×{( m − r ) − ( m − r − 2)}⎟⎠
Rm = r ⋅
= r.
(30)
2
Из (26), (28) и (30) в силу (25) и в соответствии с
[4] заключаем, что число Картана Q равно
Q = Rr +1 + Rr + 2 + ... + Rm = N ,
т. е. система (24) в инволюции и определяет реше!
ние с произволом r функций m–r аргументов. Поэ!
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аль!Хассани М.А., Молдаванова Е.А. Дифференцируемое ото!
бражение аффинного Qm и проективного Pn пространств // Из!
вестия Томского политехнического университета. – 2013. –
Т. 323. – № 2. – С. 28–32.
2. Ивлев Е.Т., Аль!Хассани М.А., Лучинин А.А. Дифференциру!
емое отображение аффинного Qm и проективного Pn про!
странств (mn) // Известия Томского политехнического универ!
ситета. – 2013. – Т. 323. – № 2. – С. 16–20.
3. Ивлев Е.Т., Аль!Хассани М.А., Лучинин А.А. Дифференциру!
емое отображение аффинного Qm и проективного Pn про!
странств (m>n) // Известия Томского политехнического уни!
верситета. – 2014. – Т. 324. – № 2. – С. 47–51.
4. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифферен!
циальной геометрии. – М.: ГИТТЛ, 1948. – 432 с.
5. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных мно!
гообразий // Труды Московского математического общества. –
М.: ГИТТЛ, 1953. – Т. 2. – С. 275–382.
6. Лаптев Г.Ф. К инвариантной теории дифференцируемых ото!
бражений // Труды геометрического семинара. Т. 6. – М.: ВИ!
НИТИ АН СССР, 1974. – С. 37–42.
7. Дифференциально!геометрические структуры на многообра!
зиях / Л.Е. Евтушик, Ю.Г. Лумисте, Н.М. Остиану, А.П. Ши!
роков // Итоги науки и техники. Сер. Проблемы геометрии. –
1979. – Т. 9. – С. 3–246.
38
r
: Qm→Pn суще!
тому доказано, что отображение Vm,n
ствует.
Замечание 3.1. Учитывая результаты разде!
ла 2, можно дать следующее геометрическое пред!
r
: Qm→Pn.
ставление отображения Vm,n
В аффинном пространстве Qm с произволом r
функций
m–r аргументов задается (m–r)!поверх!
ность S~m–r⊂Qm с касательной (m–r)!плоскостью Гm–r
~
~
в точке B∈Sm–r. Каждой точке B∈Sm–r сопоставляет!
ся центропроективное пространство Pn с центром в
точке A0 так, что в этом пространстве задается со!
ответствующая r!плоскость Lr–A0.
~
В итоге вдоль Sm–r⊂Qm точка A0∈Pn является те!
кущей точкой r!поверхности Sr⊂Pn с касательной
r!плоскостью Lr.
Выводы
В работе рассмотрено регулярное отображение
ранга r аффинного и проективного пространств.
Дана геометрическая характеристика этого ото!
бражения. Показано, что с данным отображением
инвариантно ассоциируется отображение m!мер!
ного аффинного пространства в многообразие не!
вырожденных нуль!пар. Доказывается (геометри!
чески и методом Кэлера), что рассматриваемое
многообразие существует. Полученные результа!
ты могут быть использованы для детального изуче!
ния невырожденных нуль!пар и доказательства
существования дифференцируемого отображения
аффинных и проективных пространств в общих
случаях.
8. Ивлев Е.Т., Лучинин А.А. Отображения аффинных и евклидо!
вых пространств // Известия Томского политехнического уни!
верситета. – 2010. – Т. 317. – № 2. – С. 8–14.
9. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженно!
го многообразия // Rev.math. pures et appl. (RNR). – 1962. –
№ 2. – P. 231–240.
10. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга r // Изве!
стия вузов. Математика. – 1957. – № 1. – С. 9–19.
11. Акивис М.А. Об одном классе тангенциально вырожденных
поверхностей // Доклады АН СССР. – 1962. – Т. 146. – № 3. –
С. 515–518.
12. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных по!
верхностей // Институт научной информации. Итоги науки.
Геометрия. – М.: Изд!во ВИНИТИ АН СССР, 1965. – С. 5–64.
13. Остиану Н.М. О геометрии многомерной поверхности проек!
тивного пространства // Труды геометрического семинара. –
М.: Изд!во ВИНИТИ АН СССР, 1966. – Т. 1. – С. 239–263.
14. Швейкин П.И. Нормальные геометрические объекты поверх!
ности в аффинном пространстве // Труды геометрического се!
минара. – М.: Изд!во ВИНИТИ АН СССР, 331–423.
Поступила 10.02.2013 г.
Математика и механика. Физика
UDC 514.757.2
DIFFERENTIABLE MAPPING OF R RANK IN AFFINE Qm AND PROJECTIVE Pn SPACES
Mudkhar Abbas Al^Khassani,
University of Basrah, Iraq; Tomsk Polytechnic University,
Russia, 634050, Tomsk, Lenin avenue, 30. Email: mughar73@yahoo.com
Anatoly A. Luchinin,
Cand. Sc., Tomsk Polytechnic University,
Russia, 634050, Tomsk, Lenin avenue, 30. Email: luchinin@tpu.ru.
r
The urgency of the work is caused by necessity of additional studying of special mapping V m,n
of r<min (m, n) rank in affine Qm and pro
jective Pn spaces.
The main aim of the study. The previous works considered the mappings Vm,n, when r<min (m, n) in cases m=n, m<n, m>n. In the gi
r
of r<min (m,n) rank in affine space Qm and projective space Pn.
ven work the authors consider the differentiable mapping V m,n
Methods of research. The basic methods of research are Cartan method of external forms in local differential geometry and G.F. Lap
teva’s theoreticalgroup method. These methods assume local studying of the considered object and the use of functions of a class C ∞.
Results. The paper considers the regular mapping of rank of affine and projective spaces. The geometrical characteristic of this map
r
invariant mapping.
ping is given. The mapping of mdimensional affine space in manifold nonsingular nullpair is associated with V m,n
..
The existence of the given mapping is proved (geometrically and by Ka hler's method). The authors studied analytically and geometrical
ly the structure of internal fundamental geometrical object of mapping V m,r n.
Key words:
Differentiated mapping, multidimensional spaces and surfaces, geometrical objects.
REFERENCES
1. Al!Khassani M.A., Moldovanova E.A. Differentsiruemoe oto!
brazhenie affinnogo Qm i proektivnogo Pn prostranstv [Differen!
tiable mapping of affine Qm and projective Pn spaces]. Bulletin of
the Tomsk Polytechnic University, 2013, vol. 323, no. 2,
pp. 28–32.
2. Ivlev E.T., Al!Khassani M.A., Luchinin A.A. Differentsiruemoe
otobrazhenie affinnogo Qm i proektivnogo Pn prostranstv (m<n)
[Differentiable mapping of affine Qm and projective Pn spaces
(m<n)]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2013,
vol. 323, no. 2, pp. 16–20.
3. Ivlev E.T., Al!Khassani M.A., Luchinin A.A. Differentsiruemoe
otobrazhenie affinnogo Qm i proektivnogo Pn prostranstv (m>n)
[Differentiable mapping affine Qm and projective Pn spaces
(m>n)]. Bulletin of the Tomsk Polytechnic University, 2014,
vol. 324, no. 2, pp. 47–51.
4. Finikov C.P. Metod vneshnikh form Kartana v differentsialnoy
geometrii [Method of Cartan's exterial forms in differential geo!
metry]. Moscow, GITTL, 1948. 432 p.
5. Laptev G.F. Differentsialnaya geometriay pogruzhennykh mno!
goobraziy [Differential geometry of the immersed manifolds].
Trudy matematicheskogo obshchestva [Proc. of Moscow mathe!
matical society]. Moscow, GITTL, 1953, no. 2, pp. 275–382.
6. Laptev G.F. K invariantnoy teorii differentsialnykh otobrazheniy
[To the invariant theory of differentiable mappings]. Trudy geo
metricheskogo seminara [Proc. of a geometrical seminar]. Mos!
cow, Institute of the Scientific Information an Academy of Scien!
ces of the USSR, 1974. Vol. 6, pp. 37–42.
7. Evtushik L.E., Lumiste Yu.G., Ostianu N.M., Shirokov A.P. Dif!
ferentsialno!geometricheskie struktury na mnogoobraziyakh
[Differential!geometrical structure on manifolds]. Results of a
science and engineering. Series: Problems of geometry, 1979,
vol. 9, pp. 3–246.
8. Ivlev E.T., Luchinin A.A. Otobrazhenie affinnykh i evklidovykh
prostranstv [Mapping affine and Euclidean spaces]. Bulletin of
the Tomsk Polytechnic University, 2010, vol. 317, no. 2,
pp. 8–14.
9. Ostianu N.M. O kanonizatsii podvizhnogo repera pogruzhennogo
mnogoobraziya [On canonization of a mobile reference point of
the immersed manifold]. Rev. math. pures et appl. (RNR), 1962,
no. 2, pp. 231–240.
10. Akivis M.A. Fokalnye obrazy poverkhnosti ranga r [Focal images
of surface of a rank r]. Bulletin of high schools. Mathematics,
1957, no. 1, pp. 9–19.
11. Akivis M.A. Ob odnom klasse tangentsialno vyrazhdennykh po!
verkhnostey [On one class of tangential singular surfaces]. Re
ports of Academy of Sciences the USSR, 1962, vol. 146, no. 3,
pp. 515–518.
12. Laptev G.F. Differentsialnaya geometriya mnogomernykh po!
verkhnostey [Differential geometry of multidimentional surfa!
ces]. Institut nauchnoy informatsii. Itogi nauki. Geometriya [In!
stitute of the scientific information. Result of a science. Geome!
try]. Moscow, Institute of the Scientific Information an Academy
of Sciences of the USSR, 1965, pp. 239–263.
13. Ostianu N.M. O geometrii mnogomernoy poverkhnosti proektiv!
nogo prostranstva [On geometry of a multidimmentional surface
of projective space]. Trudy geometricheskogo seminara [Proc. of a
geometrical seminar]. Moscow, Institute of the Scientific Infor!
mation an Academy of Sciences of the USSR, 1966. Vol. 1,
pp. 239–263.
14. Shveykin P.I. Normalnye geometricheskie obekty poverkhnosti v
affinnom prostranstve [Normal geometrical objects of a surface
in affine space]. Trudy geometricheskogo seminara [Works of a
geometrical seminar]. Moscow, Institute of the Scientific Infor!
mation an Academy of Sciences of the USSR, 1966. Vol. 1,
pp. 331–423.
39
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
155 Кб
Теги
дифференцируемых, ранга, пространство, проективного, аффинного, отображений
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа