close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Достаточные условия полиномиальной ограниченности пучка операторов.

код для вставкиСкачать
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ
ПУЧКА ОПЕРАТОРОВ
А.А. Замышляева, А.В. Уткина
Рассматривается задача Коши для уравнения соболевского типа второго порядка. Приводятся результаты ее однозначной разрешимости в предположении относительно полиномиальной ограниченности.
Получены
достаточные
условия
полиномиальной
A-
ограниченности в терминах относительно присоединенных векторов
в случае фредгольмова оператора при старшей производной.
Ключевые слова:
векторы.
полиномиальная
Aограниченность,
присоединенные
1. Введение
Пусть U и F банаховы пространства, операторы
L(U ; F ): Рассмотрим задачу Коши
u(0) = u0 ; u0 (0) = u1
A; B0 ; B1
2
(1)
для операторно дифференциального уравнения соболевского типа
второго порядка
Au00 = B1 u0 + B0 u:
(2)
В [1-4] были заложены основы теории полиномиальной A-
ограниченности пучков операторов и пропагаторов, послужившей
методом исследования задачи (1), (2). Нашей целью является получение достаточных условий полиномиальной A-ограниченности пучка
операторов.
В первом параграфе приводятся основные результаты теории полиномиально A-ограниченных пучков операторов, необходимые условия полиномиальной A-ограниченности. Во втором вводится понятие
относительно присоединенных векторов пучка операторов и исследуются их свойства. В последнем параграфе приводятся достаточные
условия полиномиальной A- ограниченности в случае фредгольмова
оператора.
Достаточные условия полиномиальной ограниченности
:::
67
2. Необходимые условия полиномиальной
A-ограниченности
Пусть U и F банаховы пространства, операторы A; B0 ; B1 2
L(U ; F ). Рассматривается задача Коши
u(0) = u0 ; u0 (0) = u1
(1)
для операторно-дифференциального уравнения соболевского типа
второго порядка
Au00 = B1 u0 + B0 u:
(2)
Задача Коши (1), (2) представляет собой абстрактную форму многих
начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений, моделирующих различные реальные процессы.
~ пучок операторов (B1 ; B0 ). Множества
Обозначим через B
A (B~ ) = f 2 C : (2 A
B1
B0 )
1
2 L(F ; U )g
C
~) =
n A(B~ ) будем называть, соответственно, Аи A (B
~.
резольвентным множеством и А-спектром пучка B
Введем в рассмотрение операторнозначную функцию комплексного переменного
R (B~ ) = (2 A
B1
B0 )
1
~ ).
c областью определения A (B
Лемма 1.
R (B~ ) является непрерывной в смысле сходимости по
операторной норме функцией комплексного переменного.
Теорема 1.
R (B~ ) аналитична в своей области определения.
Определение
ограниченным
B~ = (B1 ; B0 ) называется полиномиально
относительно оператора A (или просто полиномиаль1.
но A-ограниченным), если
9a > 0 8 2 C (jj > a) ) (R (B~ ) 2 L(F ; U )):
68
А.А. Замышляева, А.В. Уткина
Если существует оператор A 1 2 L(F ; U ), то пу~ полиномиально А-ограничен точно тогда, когда полиномиально
чок B
ограничен пучок
Замечание 1.
(A 1 B1 ; A 1 B0 ); (B1 A 1 ; B0 A 1 ):
Выберем в комплексной плоскости замкнутый контур
= f 2 C : jj = r > ag:
(3)
Тогда имеют смысл следующие интегралы как интегралы от аналитических функций по замкнутому контуру:
1
P=
2i
Z
1
R (B~ )Ad; Q =
2i
Пусть далее операторы
Z
AR (B~ )d:
(4)
A; B0 ; B1 такие, что
Z
R (B~ )d = 0
(5)
~ полиномиально
Пусть выполняется условие (5), пучок B
А-ограничен, тогда операторы P : U ! U и Q : F ! F , определенные
формулой (4), являются проекторами.
Лемма 2.
Положим
U 0 = ker P; F 0 = ker Q; U 1 = imP; F 1 = imQ:
Из предыдущей леммы следует, что
U = U 0 U 1; F = F 0 F 1:
Через
0; 1.
Ak (Blk ) обозначим сужение оператора A(Bl ) на
U k k = 0; 1;l =
~ полиномиально А-ограничен, выполняПусть пучок B
ются условия (5). Тогда действия операторов A; B1 ; B0 расщепляются:
Теорема 2.
Достаточные условия полиномиальной ограниченности
1)
2)
3)
4)
:::
69
Ak 2 L(U k ; F k ); k = 0; 1;
Blk 2 L(U k ; F k ); k; l = 0; 1;
существует оператор (A1 ) 1 2 L(F 1 ; U 1 );
A0 -спектор пучка B~ 0 0A не содержит конечных точек.
~ полиномиально А-ограничен, выполПусть пучок B
няется условие (5). Тогда существует оператор (B00 ) 1 2 L(F 0 ; U 0 ):
Следствие 1.
Обозначим
H1 = (B00 ) 1 A0 2 L(U 0 ); H2 = (B00 ) 1 B10 2 L(F 0 );
S1 = (A1 ) 1 B11 2 L(U 1 ); S0 = (A1 ) 1 B01 2 L(U 1 ):
Тогда
1
X
R (B~ ) = (
+
k=0
(2 H1
H2 )k )(B00 ) 1 (I
Q)+
1
X
2(
k=0
( 1 S1 + 2 S0 )k )(A1 ) 1 Q:
~ полиномиально A-ограничен,
Пусть пучок операторов B
выполнено условие (5), причем 1 полюс порядка p 2 f0g [
A1
~ [3]. Тогда при любых uk 2 U существует единрезольвенты пучка B
ственное решение задачи (1), (2), которое можно представить в
виде
Теорема 3.
N
u(t) = M 1 (t)u0 + N 1 (t)u1 ;
где M 1 ; N 1 сужение семейства вырожденных M; N -функций [3] на
подпространство U 1 .
3. Относительно присоединенные векторы
ker A 6= f0g, вектор '0
называть собственным вектором оператора A.
Определение 2.
Пусть
2 ker A n f0g будем
70
А.А. Замышляева, А.В. Уткина
Упорядоченное множество векторов f'1 ; '2 ; :::g
~ -присоединенных векторов собственного векназывается цепочкой B
тора '0 , если
Определение
3.
A'1 = B1 '0 ; A'q+2 = B1 'q+1 + B0 'q ;
q = 0; 1; ::: 'l 62 ker A n f0g; l = 1; 2; :::
Для присоединенного вектора 'q определим высоту, равной порядковому номеру вектора в цепочке.
~ - присоЛинейную оболочку всех собственных и B
~
единенных векторов оператора A назовем его B -корневым линеалом.
Определение 4.
Определение 5.
~ -корневым
B
пространством
~ - корневой линеал оператора A.
мкнутый B
будем называть за-
~ -присоединенных векторов может быть бесконечной.
Цепочка B
В частности, она может быть заполнена нулями, если '0 2 ker A \
ker B1 \ ker B0 . Но она будет конечной в случае существования такого
B~ -присоединенного вектора 'q , что либо B1 'q 62 imA, либо B0 'q 62
imA.
~ - присоединенного вектора
Высоту q последнего B
в конечной цепочке f'1 ; '2 ; :::g будем называть длиной этой цепочки.
Определение 6.
Пусть Bk 2 L(U ; F ); k = 0; 1, оператор A 2 F (U ; F ) - фредгольмов (т.е. образ imA замкнут и dim ker A = codim imA < 1). Редуцируем уравнение (1) к операторно-дифференциальному уравнению
Lu_ = Mu;
где оператор
M :=
а оператор
L :=
0 I
B0 B1
I 0
0 A
2 L(M; N );
2 L(M; N )
(6)
Достаточные условия полиномиальной ограниченности
:::
71
фредгольмов. Пространства M := U U ; N := U F банаховы
с естественной топологией прямого произведения банаховых пространств.
Возьмем вектор ' 2 ker L и рассмотрим итеративную процедуру:
'0 = '; L'i+1 = M'i 'j 2 coim L j = 2; :::
(7)
Векторы 'j ; i = 1; 2; :::; получающиеся из векторов ' 2 ker L n f0g посредством процедуры (6), называются M присоединенными векторами. Если M' 62 im L, то говорят, что
вектор ' не имеет M -присоединенных векторов. Линеал M1 M,
содержащий все собственные и M - присоединенные векторы оператора L, называется M -корневым пространством оператора L.
Определение 7.
Длины всех цепочек B -присоединенных векторов оператора A ограничены числом p 2 f0g[ точно тогда, когда длины всех
цепочек M -присоединенных векторов оператора L ограничены числом
p 2 f0g [ .
Лемма 3.
N
N
Доказательство. Действительно, легко проверить, что вектор 'q+n 1
является B -присоединенным вектором высоты q оператора A точно
тогда, когда вектор col('q ; 'q+1 ; :::; 'q+n 1 ) является M -присоединенным вектором высоты q оператора L.
4. Полиномиальная ограниченность относительно
фредгольмова оператора
Пусть Bk 2 L(U ; F ); k = 0; 1, оператор A 2 F (U ; F ) - фредгольмов. Редуцируем уравнение (1) к операторно-дифференциальному
уравнению
Lu_ = Mu;
где оператор
M :=
0 I
B0 B1
2 L(M; N );
(8)
72
А.А. Замышляева, А.В. Уткина
оператор
I 0
0 A
2 L(M; N )
фредгольмов. Пространства M := U U ; N :=
L :=
U F банаховы
с естественной топологией прямого произведения банаховых пространств.
2 L(U ; F ) называется ограниченным
относительно оператора L 2 L(U ; F ), т.е. (L; )-ограниченным, если
90 > 0 8 2 C (jj > 0) ) (L M ) 1 2 L(F ; U ):
Определение 8.
Оператор M
Оператор M 2 L(M; N ) ограничен относительно оператора L 2 F (M; N ) точно тогда, когда пучок операторов B полиномиально ограничен относительно оператора A.
Лемма 4.
Пусть оператор L 2 F (M; N ) фредгольмов. Обозначим через
coimL := M ker L некоторое топологическое и алгебраическое дополнение к ядру ker L до пространства M. В [4] была доказана следующая
Пусть операторы L; M 2 L(M; N ), причем оператор L
фредгольмов. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
1) Длины всех цепочек M -присоединенных векторов оператора
L ограничены числом p 2 f0g [ .
2) Оператор M (L; )-ограничен, причем точка 1 является
полюсом порядка не более p L-резольвенты оператора M .
Теорема 4.
N
В силу теоремы 4 и леммы 3 имеет место следующая теорема:
Пусть операторы A; B1 ; B0 2 L(U ; F ), причем оператор
A фредгольмов. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
(i) Длины всех цепочек B -присоединенных векторов оператора
A ограничены числом p 2 f0g [ .
(ii) Пучок операторов B полиномиально A-ограничен, причем
точка 1 является полюсом порядка не более p A-резольвенты пучка
операторов B .
Теорема 5.
N
Достаточные условия полиномиальной ограниченности
:::
73
Список литературы
1.
Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов
2.
Свиридюк Г.А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в
наук. 1994. Т. 49, ќ 4. С. 4774.
банаховых пространствах:
3.
// Успехи мат.
Дис. ... дра физ.мат. наук. Челябинск, 1992.
Замышляева А. А. Задача Коши для линейного уравнения соболевско-
// Уравнения соболевского типа. Сб. науч. тр.
Челлябинск: Челяб. гос. унт, 2002. С. 1629.
го типа второго порядка
4.
Кузнецов Г. А. Исследование относительно спектральных свойств ли-
нейных операторов.
Дис. ... канд. физ.мат. наук. Екатеринбург: Урал.
гос. унт, 1999.
Челябинский государственный университет
alzam@csu.ac.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
13
Размер файла
206 Кб
Теги
ограниченности, пучко, условия, достаточно, полиномиальной, оператора
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа