close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Достаточные условия существования и единственности чебышевского центра непустого ограниченного множества геодезического пространства.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2010, № 6, c. 47–51
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421000123 \0056
Е.Н. СОСОВ
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
ЧЕБЫШЕВСКОГО ЦЕНТРА НЕПУСТОГО ОГРАНИЧЕННОГО
МНОЖЕСТВА ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Аннотация. Получены достаточные условия существования и единственности чебышевского
центра непустого ограниченного множества геодезического пространства, а также принадлежности чебышевского центра замыканию выпуклой оболочки данного множества.
Ключевые слова: чебышевский центр, геодезическое пространство.
УДК: 515.124
Abstract. We obtain sufficient conditions for the unique existence of a Chebyshev center of a
nonempty bounded set in a geodesic space. We also establish conditions under which the Chebyshev
center belongs to the closure of the convex shell of the mentioned set.
Keywords: Chebyshev center, geodesic space.
1. Обозначения, определения и результаты
Рассмотрим метрическое пространство (X, ρ) и примем следующие обозначения. R+ —
множество всех неотрицательных вещественных чисел. |xy| = ρ(x, y) для x, y ∈ X. M —
замыкание множества M ⊂ X. |xW | = inf{|xy| : y ∈ W } для непустого множества W ⊂ X
и x ∈ X. B(X) (B[X]) — множество всех непустых ограниченных (замкнутых) подмножеств пространства X. α : B(X) × B(X) → R+ , α(M, W ) = max{β(M, W ), β(W, M )}, где
β(M, W ) = sup{|xW | : x ∈ M }, — псевдометрика Хаусдорфа на множестве B(X) (ограничение которой на множество B[X] является метрикой) ([1], с. 223). R(M ) = inf{β(M, x) : x ∈
X} — чебышевский радиус множества M ∈ B(X) [2]. Z(M ) = {x ∈ X : β(M, x) = R(M )}
— множество всех чебышевских центров множества M ∈ B(X) [2]. Пусть M ⊂ X, M = ∅.
PM : X → 2M , PM (x) = {y ∈ M : |xy| = |xM |} — оператор метрического проектирования
на множество M [3].
Понадобятся также следующие определения.
Кривая, соединяющая точки x, y ∈ X, длина которой равна расстоянию |xy| между этими
точками, называется сегментом [x, y] ([4], с. 42).
Метрическое пространство называется геодезическим пространством, если любые две его
точки можно соединить сегментом ([5], с. 34).
Множество M геодезического пространства, удовлетворяющего условию (A) (см. ниже),
называется выпуклым, если для любых различных x, y ∈ M [x, y] ⊂ M ([5], с. 67).
Поступила 21.04.2008
47
48
Е.Н. СОСОВ
C(M ) — выпуклая оболочка множества M (т. е. пересечение всех выпуклых множеств,
содержащих множество M ).
Достаточные условия существования и единственности чебышевского центра непустого
ограниченного множества банахова пространства были получены А.Л. Гаркави [2], а достаточные условия принадлежности чебышевского центра замыканию выпуклой оболочки данного множества банахова пространства были получены А.Л. Гаркави [6] и П.К. Белобровым
[7]. В случае геодезического пространства такие условия были установлены автором в [8]
и [9] соответственно. В последующих лемме 1 и теоремах 1–3 эти условия на геодезическое пространство ослаблены. Перечислим отдельно условия для полного метрического
пространства (X, ρ).
A. Для любых x, y ∈ X существует единственная точка ω(x, y) ∈ X такая, что
|xω(x, y)| = |yω(x, y)| =
|xy|
.
2
B1 . Для всех p, x, y ∈ X верно неравенство
|pω(x, y)| ≤ max{|px|, |py|}.
B2 . Отображение ω : X × X → X равномерно непрерывно на каждом множестве B × B,
где B — произвольный замкнутый шар пространства X.
C1 . Для каждого r > 0 и для любых ограниченных последовательностей (pn ), (xn ), (yn )
в пространстве X таких, что для каждого n ∈ N
|pn xn | ≤ r,
|pn yn | ≤ r,
справедливо равенство
lim |pn ω(xn , yn )| = r,
n→∞
lim |xn yn | = 0.
n→∞
C2 . Для каждого r > 0, для каждой сходящейся к нулю последовательности неотрицательных вещественных чисел (εn ) и для любых ограниченных последовательностей (pn ),
(xn ), (yn ) в пространстве X таких, что для каждого n ∈ N
|pn xn | ≤ r + εn ,
|pn yn | ≤ r + εn ,
верно равенство
lim |pn ω(xn , yn )| = r,
n→∞
lim |xn yn | = 0.
n→∞
D. Для каждого x ∈ X и для любой точки p из произвольного сегмента [u, v] ⊂ X имеет
место неравенство
|pP[u,v] (x)| ≤ |px|.
Отметим, что полное метрическое пространство, удовлетворяющее условию A, является
геодезическим пространством [10]. Примером полного метрического пространства, в котором выполнены условия A, B1 , B2 , C2 , является равномерно выпуклое банахово пространство, а пространство Адамара (в частности, гильбертово пространство и пространство Лобачевского) удовлетворяет кроме того и условию D.
Лемма. Для каждого непустого ограниченного множества метрического пространства,
удовлетворяющего условиям A, B1 , C1 , существует не более одного чебышевского центра.
Теорема 1. Для каждого непустого ограниченного множества полного метрического пространства, удовлетворяющего условиям A, B1 , C2 , существует единственный чебышевский центр.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
49
Теорема 2. Для каждого непустого ограниченного множества полного метрического пространства, удовлетворяющего условиям A, B1 , B2 , C1 , существует единственный чебышевский центр.
Теорема 3. Пусть X — полное метрическое пространство, удовлетворяющее условиям
A, B1 , B2 , C1 , D, M ∈ B(X). Тогда существует единственный чебышевский центр множества M , принадлежащий множеству C(M ), совпадающий с чебышевским центром
множества C(M ) и с чебышевским центром множества C(M ).
2. Доказательства
Доказательство леммы. Пусть x, y — чебышевские центры множества M ∈ B(X). Тогда
из определения чебышевского центра и условий A, B1 следует
sup |ω(x, y)u| ≤ sup max{|xu|, |yu|} ≤ R(M ).
u∈M
u∈M
Тогда ω(x, y) — чебышевский центр множества M и из определения чебышевского центра
следует, что в множестве M найдется такая последовательность (pn ), что для каждого n ∈ N
lim |pn ω(x, y)| = R(M ), |pn x| ≤ R(M ), |pn y| ≤ R(M ).
n→∞
В силу условия С1 получим x = y.
Доказательство теоремы 1. Для множества M ∈ B(X) рассмотрим семейство непустых
замкнутых множеств
Kε (M ) = {y ∈ X : β(M, y) ≤ R(M ) + ε},
где ε > 0. Это семейство обладает следующими свойствами:
a) если α ≤ ε, то Kα (M ) ⊂ Kε (M );
b) ∩{Kε (M ) : ε > 0} есть множество всех чебышевских центров множества M .
По лемме существует не более одного чебышевского центра множества M . Выберем сходящуюся к нулю последовательность положительных вещественых чисел (εn ) и для каждого
n ∈ N такие точки xn , yn ∈ Kεn (M ), что
diam (Kεn (M )) ≤ |xn yn | + εn .
В силу условий A, B1 , определения чебышевского радиуса и множества Kε (M ) для каждого
n ∈ N получим
R(M ) ≤ sup |zω(xn , yn )| ≤ sup max{|zxn |, |zyn |} ≤ R(M ) + εn .
z∈M
z∈M
(1)
Следовательно, в множестве M найдется такая последовательность (zn ), что
lim |zn ω(xn , yn )| = R(M ).
n→∞
(2)
В силу условия C2 получим lim |xn yn | = 0. Тогда по теореме Кантора ([11], c. 399) множеn→∞
ство ∩{Kε (M ) : ε > 0} состоит из одной точки.
Доказательство теоремы 2. Начало доказательства совпадает с доказательством теоремы 1 за исключением последнего равенства. Рассмотрим для каждого n ∈ N такие точки
un , vn в сегментах [zn , xn ], [zn , yn ], что
|un xn | = µn |zn xn |, |vn yn | = µn |zn yn |,
50
Е.Н. СОСОВ
где
εn
.
R(M ) + εn
Используя эти равенства и неравенства (1), получаем для каждого n ∈ N вспомогательные
неравенства
|un xn | ≤ εn , |yn vn | ≤ εn , |zn un | ≤ R(M ), |zn vn | ≤ R(M ).
В свою очередь, из этих неравенств, определений точек un , vn , равенства (2) и условия B2
получим
lim |zn ω(un , vn )| = R(M ).
µn =
n→∞
Следовательно, в силу условия C1
lim |un vn | = 0.
n→∞
Отсюда и из неравенств
|xn yn | ≤ |xn un | + |un vn | + |vn yn | ≤ 2εn + |un vn |
для каждого n ∈ N имеем lim |xn yn | = 0. Тогда по теореме Кантора множество ∩{Kε (M ) :
n→∞
ε > 0} состоит из одной точки.
Доказательство теоремы 3. Существование и единственность чебышевского центра Z(M )
непустого ограниченного множества M вытекает из теоремы 2, а из условий A, B1 следует,
что замкнутые шары пространства X выпуклые. Тогда
M ⊂ C(M ) ⊂ C(M ) ⊂ B[Z(M ), R(M )]
и, следовательно,
R(M ) = R(C(M )) = R(C(M )).
Учитывая единственность чебышевского центра, получаем Z(M ) = Z(C(M )) = Z(C(M )).
Предположим, что Z(M ) не принадлежит C(M ). В силу условий теоремы 3 и доказательства теоремы 1 из [12] оператор PC(M ) является однозначным и непрерывным в пространстве X. Тогда найдется единственная точка y = PC(M ) (Z(M )). Выберем произвольно
x ∈ C(M ). В силу выпуклости множества C(M ) имеем [x, y] ⊂ C(M ). Тогда, использовав
условие D, получим
|xPC(M ) (Z(M ))| = |xP[x,y] (Z(M ))| ≤ |xZ(M )| ≤ R(M ).
Таким образом, β(C(M ), y) ≤ R(C(M )) и y — чебышевский центр множества C(M ). Учитывая единственность чебышевского центра, получаем
Z(M ) = y ∈ C(M ).
Литература
[1] Куратовский К. Топология. Т. 1. – М.: Мир, 1966. – 594 с.
[2] Гаркави А.Л. О наилучшей сети и наилучшем сечении множеств в нормированном пространстве //
Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1962. – Т. 26. – № 1. – С. 87–106.
[3] Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах //
УМН. – 1973. – Т. 28. – Вып. 6. – С. 3–66.
[4] Буземан Г. Геометрия геодезических. – М.: Физматгиз, 1962. – 503 с.
[5] Papadopoulos A. Metric spaces, convexity and nonpositive curvature. – Zurich: European Math. Society, 2005.
– 287 p.
[6] Гаркави А.Л. О чебышевском центре и выпуклой оболочке множества // УМН. – 1964. – Т. 19. – Вып. 6.
– С. 139–145.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
51
[7] Белобров П.К. К вопросу о чебышевском центре множества // Изв. вузов. Математика. – 1964. – № 1.
– С. 3–9.
[8] Sosov E.N. On existence and uniqueness of Chebyshev center of a bounded set in a special geodesic space //
Lobachevskii J. Math. – 2000. – V. 7. – P. 43–46.
[9] Сосов Е.Н. О наилучших N -сетях ограниченных замкнутых выпуклых множеств в специальном метрическом пространстве // Изв. вузов. Математика. – 2003. – № 9. – С. 42–45.
[10] Ефремович В.А. Неэквиморфность пространств Эвклида и Лобачевского // УМН. – 1949. – Т. 4. –
Вып. 2. – С. 178–179.
[11] Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986. – 751 с.
[12] Сосов Е.Н. Об аппроксимативных свойствах множеств в специальном метрическом пространстве
// Изв. вузов. Математика. – 1999. – № 6. – С. 81–84.
Е.Н. Сосов
доцент, кафедра геометрии,
Казанский государственный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008,
e-mail: Evgenii.Sosov@ksu.ru
E.N. Sosov
Associate Professor, Chair of Geometry,
Kazan State University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: Evgenii.Sosov@ksu.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа