close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Единицы циклических групп порядков 7 и 9.

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 11 (450)
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 512.552.7
Р.Ж. АЛЕЕВ, Г.А. ПАНИНА
ЕДИНИЦЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП ПОРЯДКОВ 7 И 9
1. Введение
Данная работа написана на основе доклада авторов на Международной конференции \Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, июнь 1994 г.)
[1]. В работе будут рассматриваться целочисленные групповые кольца, и для краткости будем
называть их единицы (= обратимые элементы) единицами соответствующих групп. Полная информация о группах единиц циклических групп порядков 5, 8, 10 и 12 приведена в [2]. В данной
работе описаны группы единиц циклических групп порядков 7 и 9. Таким образом, получается
описание групп единиц всех циклических групп порядка не более 10, потому что для других
порядков единицы тривиальны.
2. Единицы циклической группы порядка 7
Пусть | первообразный корень степени 7 из единицы, 1 = + ;1 и 2 = 2 + ;2 . Пусть
Z[] | кольцо круговых целых степени 7, и U (Z[]) | его группа единиц.
Лемма 1 ([3], c. 241). U (Z[]) = h;1i hi h1 i h2 i.
Пусть Zhxi | целочисленное групповое кольцо циклической группы hxi порядка 7, и U (Zhxi)
| его группа единиц. Пусть
' : Zhxi ! Z[] '
: Zhxi ! Z
6
X
i=0
6
X
i=0
ai xi =
ai xi =
6
X
i=0
6
X
i=0
ai i ;
ai :
Эти отображения | гомоморфизмы колец.
k
Лемма 2. Если u1 | единица кольца Zhxi и '(u1 ) = 1 , то k делится на 3. Причем, если
;
1
3
2
5
6
'(u1 ) = 1 , то u1 = ;1 + 2x ; x ; x + 2x и u1 = ;3 + x + 3x2 ; 2x3 ; 2x4 + 3x5 + x6 .
Доказательство.
Пусть '(u1 ) = 1 . Тогда u1 2 x+x6 +ker '. Так как ker ' =
o
для всех i = 1; : : : ; 5 , то u1 = x + x6 + a
6 i
x,
i=0
P
6
ai xi ai = a6
i=0
P
но тогда (u1 ) = 2 + 7a = 1, что невозможно.
6 i
x и
i=0
6
P
и u1 = 3x + x3 + x4 + 3x6 ; xi = ;1 + 2x ; x2 ; x5 + 2x6 .
i=0
Пусть '(u1 ) = 13 = 3 +3 +3;1 +;3 . Тогда u1 = 3x+x3 +x4 +3x6 +a
Отсюда a = ;1
n
Аналогично доказываются
81
P
(u1 ) = 8+7a = 1.
Если u2 | единица кольца Zhxi и '(u2 ) = 2n , то n делится на 3. Причем если
то u2 = ;1 + 2x2 ; x3 ; x4 + 2x5 и u;2 1 = ;3 ; 2x + x2 + 3x3 + 3x4 + x5 ; 2x6 .
r s
Лемма 4. Если u3 | единица кольца Zhxi, '(u3 ) = 1 1 , r и s не делятся на 3, то
2
6
r 6 s (mod 3). Причем если '(u3 ) = 1 2 , то u3 = ;1 + x + x и u;3 1 = 1 + x ; x3 ; x4 + x6 .
Теорема 1. Пусть U (Zhxi) | группа единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка 7 и ' определено как ранее. Тогда
U (Zhxi) = h;1i hxi hu2 i hu3 i;
где u2 и u3 , как в леммах 3 и 4. Кроме того, U (Z[])='(U (Zhxi)) = Z3.
Доказательство. Пусть u | произвольная единица кольца Zhxi. Тогда по лемме 1 '(u) =
(;1)i j 1k 2n и '((;1)i x;j u) = 1k 2n . Пусть k = 3p + r и n = 3t + s, где r; s 2 f0; 1; 2g, и по леммам
2{4 либо r = s = 0, либо rs = 2. По леммам 2 и 3 '((;1)i x;j u;1 p u;2 t u) = 1r 2s и по лемме 4
'((;1)i x;j u;1 p u;2 t u;3 1 u) = 1 при r = 1 и s = 2, а '((;1)i x;j u;1 p u;2 t u;1 1 u;2 1 u3 u) = 1 при r = 2 и
s = 1. Так как по теореме 12 из [2] гомоморфизм ' инъективен на группе единиц кольца Zhxi,
то
U (Zhxi) = h;1i hxi hu1 ; u2 ; u3 i:
Заметим, что 13 = (1 22 )3 (23 );2 и в силу инъективности ' на группе единиц u1 = u33 u;2 2 . Отсюда
hu1 ; u2; u3 i = hu2; u3 i и
U (Z[])='(U (Zhxi)) = (h;1i hi h1 i h2 i)=(h;1i hi h23 i h1 22 i) =
= (h1 i h2i)=(h23 i h1 22 i):
Откуда U (Z[])='(U (Zhxi)) = Z3.
Лемма 3.
'(u2 ) = 23 ,
3. Единицы циклической группы порядка 9
3.1. Единицы круговых целых степени 9. Пусть | первообразный корень степени 9 из
единицы и k = Q (). Пусть P = h1 ; i j i = 1; : : : ; 8i | подгруппа мультипликативной группы
поля k. По определению подгруппой круговых единиц назовем подгруппу C = P \ U (Z[]), где
U (Z[]) | группа единиц кольца круговых целых степени 9.
Лемма 5. U (Z[]) = C , т. е. всякая единица кольца Z[] является круговой единицей.
1
+ | подгруппа вещественных единиц кольца Z[]
Доказательство . Пусть U (Z[]) = E , E
+
+
и C = C \ E . Из ([6], сс. 107, 119) следует, что E + =C + = E=C и jE + =C + j = h+ , где h+ |
число классов максимального вещественного подполя поля k. Согласно [7] h+ = 1 и потому
U (Z[]) = E = C: Теорема 2. Группа единиц кольца круговых целых степени 9
U (Z[]) = h;1i hi hi hi;
где = + 8 и = 4 + 5 .
9;j = (;;j )(1 ; j ) и (1 ; )(1 ; 2 )(1 ; 4 ) =
Доказательство. Для любого j 1 ; 2
3
(; )(1 ; ). Поэтому для u 2 C = U (Z[])
u = (;)j (1 ; )n (1 ; 2 )p (1 ; 4 )r
для подходящих целых j , n, p, r.
1 Первоначальное
доказательство
следовало
доказательству
Л.В. Кузьмину на указание статьи [6].
82
леммы
1.
Авторы
признательны
Пусть N | норма расширения k=Q . По лемме 1.3 из ([4], с. 19) N (1 ; j ) = 3 для (j; 3) = 1.
Так как u | единица, то N (u) = 1j 3n 3p 3r = 3n+p+r = 1 и n + p + r = 0. Поэтому
1
;
2 p 1 ; 4 r
j
u = (;)
1;
1; :
Так как 11;;2 = 1+ и 11;;4 = (1+ )(1+ 2 ), а = + 8 = ;1 (1+ 2 ) и = 4 + 5 = 4 (1+ ),
то U (Z[]) = h;1i hi hi hi.
3.2. Единицы кольца Zhxi. Для дальнейших вычислений удобно ввести следующие отображения:
' : Zhxi ! Z[]; : Zhxi ! Z[3];
: Zhxi ! Z;
действующие по правилам
'
8
X
i=0
ai
xi
=
8
X
i=0
ai
i ;
8
X
i=0
ai
xi
Эти отображения | гомоморфизмы колец.
Лемма 6.
n
2
o
=
8
X
i=0
ai 3i ;
8
X
i=0
ai
xi
=
8
X
i=0
ai :
1) ker ' =
ci xi (1 + x3 + x6 ) j c0 ; c1 ; c2 2 Z ;
i=0
2) U (Z[3]) = f1; 3 ; (1 + 3 )g.
Доказательство. 1) Стандартно.
2) Известно (см., напр., [5], гл. II, x 7).
k
Лемма 7. Если u1 | единица кольца Zhxi и '(u1 ) = , то k делится на 3. Причем если
;
'(u1 ) = 3 , то u1 = ;1 + 2(x + x8 ) ; (x2 + x7 ) ; (x4 + x5 ) и u1 1 = 5 + (x + x8 ) ; 5(x2 + x7 ) ; 3(x3 +
x6 ) + 4(x4 + x5 ).
8
3 6
4 7
2
Доказательство. Пусть '(u1 ) = . Тогда u1 = x + x + c0 (1+ x + x )+ c1 (x + x + x )+ c2 (x +
5
8
x + x ), но отсюда (u1 ) = 2 + 3(c0 + c1 + c3 ) = 1 и потому c0 + c1 + c2 = ;1. Легко видеть,
что (u1 ) = (3c0 ; 3c2 ; 1) + 3 (3c1 ; 3c2 ). По предыдущей лемме c1 = c2 , 3c1 ; 3c2 ; 1 = ;1 и
получается противоречие с c0 + c1 + c2 = ;1. Поэтому нет единицы u1 с '(u1 ) = . Если '(u1 ) =
3 = 3 +3 +3;1 + ;3 , то u1 = 3x + x3 + x6 +3x8 + c0 (1+ x3 + x6 )+ c1 (x + x4 + x7 )+ c2 (x2 + x5 + x8 ) и
(u1 ) = 8+3(c0 + c1 + c2 ) = 1. Отсюда c0 + c1 + c2 = ;3. Теперь (u1 ) = (3c0 ; 3c2 ; 1)+ 3 (3c1 ; 3c2 ).
По предыдущей лемме c1 = c2 , 3c1 ; 3c2 ; 1 = ;1 и c0 = c1 = c2 = ;1. Таким образом, получаем
элемент
u1 = 3x + x3 + x6 + 3x8 ; (1 + x3 + x6 ) ; (x + x4 + x7 ) ; (x2 + x5 + x8 ) =
= ;1 + 2(x + x8 ) ; (x2 + x7 ) ; (x4 + x5 ): Аналогично доказываются
n
Лемма 8. Если u2 | единица кольца Zhxi и '(u2 ) = , то n делится на 3. Причем если
3
8
2
7
4
5
'(u2 ) = , то u2 = ;1 ; (x + x ) ; (x + x ) + 2(x + x ) и u;2 1 = 5 ; 5(x + x8 ) + 4(x2 + x7 ) ;
3(x3 + x6 ) + (x4 + x5 ).
r s
Лемма 9. Если u3 | единица кольца Zhxi, '(u3 ) = , r и s не делятся на 3, то
2
r 6 s (mod 3). Причем, если '(u3 ) = , то u3 = 1 + (x + x8 ) ; (x3 + x6 ) ; (x4 + x5 ) и
u;3 1 = ;1 + (x + x8 ) ; (x2 + x7 ).
Аналогично теореме 1 доказывается
Теорема 3. Пусть U (Zhxi) | группа единиц целочисленного группового кольца циклической группы порядка 9 и ' определено как ранее. Тогда U (Zhxi) = h;1i hxi hu2 i hu3 i, где u2
и u3 , как в леммах 8 и 9. Кроме того, U (Z[])='(U (Zhxi)) = Z3.
P
83
Литература
1. Алеев Р.Ж., Панина Г.А. О единицах групповых колец циклических групп // Алгебра и анализ. Тез. докл. международн. научн. конф., посв. 100-летию со дня рожд. Н.Г. Чеботарева.
Ч. I. { Казань, 1994. { С. 6.
2. Aleev R.Z . Higman's central unit theory, units of integral group rings of nite cyclic groups and
Fibonacci numbers // Int. J. Algebra and Comput. { 1994. { V. 4. { Є 3. { P. 309{358.
3. Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. { М.: Мир, 1980. { 484 с.
4. Бовди А.А. Мультипликативная группа целочисленного группового кольца. { Ужг. гос. ун-т.
{ Ужгород, 1987. { 210 c. { Деп. в УкрНИИНТИ 24.09.87, Є 2712-Ук87.
5. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. { 3-е изд. { М.: Наука, 1985. { 503 с.
6. Sinnott W. On the Stickelberger ideal and the circular units of a cyclomatic eld // Ann. Math. {
1978. { V. 108. { Є 1. { P. 108{134.
7. Masley J.M., Montgomery H.L. Cyclotomic elds with unique factorization // J. Reine und Angew.
Math. { 1976. { Bd. 286/287. { S. 248{256.
Челябинский государственный университет
Медногорский электротехнический
завод АО \Уралэлектро"
84
Поступили
полный текст 01.09.1994
краткое сообщение 26.04.1999
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
156 Кб
Теги
единицы, группы, циклические, порядков
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа