close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей производной.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 11 (474)
2001
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.956
В.И. ЖЕГАЛОВ, Е.А. УТКИНА
ЗАДАЧА ГУРСА ДЛЯ ОДНОГО ТРЕХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ
СО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ
В параллелепипеде D = fx < x < x ; y < y < y ; z < z < z g рассмотрим уравнение
0
L(u) 1
X X
2
1
; =0 =0
0
1
0
1
a (x; y; z) @x@ @y @zu = F (x; y; z):
+
+
(1)
Плоский его аналог, когда a 0 для всех , (z можно считать при этом параметром или
вообще отсутствующим), содержит в себе уравнение Буссинеска{Лява uxxyy ; uxx + uyy = 0
из теории колебаний ([1], формула (20)) и уравнение Аллера uy = (aux + buxy )y , описывающее
процесс фильтрации при поглощении влаги корнями растений ([2], с. 261). Общее двумерное
уравнение со старшей производной uxxy рассматривалось в работах [3]{[9]. В (1) содержится
также случай уравнения со старшей производной uxyz , изучавшийся в [10]{[12]. Уравнения с такой производной используются при моделировании процессов вибрации и играют существенную
роль в теориях аппроксимации и отображений ([13], с. 109). К подобным уравнениям сводится
задача интегрального представления преобразования одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие [14]. Таким образом, можно рассматривать (1) как обобщение
ряда исследованных ранее уравнений.
Будем далее считать, что a 1, гладкость остальных коэффициентов определяется включениями
(D);
(2)
a 2 C (D); F 2 C
где C | класс непрерывных в D функций вместе с их производными @ r s t =@xr @ys @z t
(r = 0; : : : ; ; s = 0; : : : ; ; t = 0; : : : ; ).
1. Пусть X , Y , Z | грани D при x = x , y = y , z = z соответственно.
Задача (Гурса). Найти в D решение уравнения (1) класса C
, удовлетворяющее граничным условиям
ujX = '(y; z); ujY = (x; z); ujZ = (x; y);
uxjX = ' (y; z); uy jY = (x; z);
(3)
2 C (Z ); '; ' 2 C (X ); ; 2 C (Y ):
На ребрах D предположим выполненными условия согласования
'(y ; z) = (x ; z); '(y; z ) = (x ; y); (x; z ) = (x; y );
' (y ; z) = x(x ; z); (x ; z) = 'y (y ; z);
при этом сами согласованные значения непрерывно дифференцируемы.
Будем решать данную задачу путем развития варианта метода Римана из работ [9], [11].
Для сокращения объема формул далее операторы дифференцирования и интегрирования будем
1
221
+
+
2+2+1
+
+
+ +
0
0
0
2+2+1
1
1
2+2
2+1
2+1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
77
0
0
0
0
записывать с помощью символов Dtk . А именно, если k = 1; 2; : : : , то Dtk ' @ k '=@tk ; если
Rt
k = ;1; ;2; : : : , то Dtk ' t;;;kk;;1' d ; Dt | единичный оператор.
t0
Решение интегрального уравнения
(
)
(
(
2
2
1
X
X
X
)
0
1)!
(;1) i1
(
i2 +i3 )+1 D i1 ;2 D i2 ;2 D i3 ;1 (a
i1 i2 i3 R) = 1;
x
y
z
(4)
+
i1 =0 i2 =0 i3 =0
которое существует и единственно ([15], с. 180), назовем функцией Римана R(x; y; z; ; ; ). Очевидно, запись (4) легче всего получить, отправляясь от сопряженного с (1) уравнения
L(V ) 2
2
1
X
X
X
(
i1 =0 i2 =0 i3 =0
Для любой функции u из класса C
(uR)xxyyz RL(u) +
(;1) i1
2
2
1
X
X
X
2+2+1
(;1)i1
i1 =0 i2 =0 i3 =0
0<i1 +i2 +i3 <5
+
i2 +i3 )+1 D i1 D i2 D i3 (a
x y z i 1 i2 i 3 V )
= 0:
(5)
(D) имеет место тожество
i2 +i3 ;1 D i1 D i2 D i3 [uA
i1 i2 i3 ] +
x y z
+
+ fu(a R)y + uz (a R)y + ux (a R)y + uxz (a R)y +
+ uxx(a R)y + uxxz Ry gy + fu(a R)x + uz (a R)x + uy (a R)x +
+ uyz (a R)x + uyy (a R)x + uyyz Rx gx + fu(a R)xy + uz Rxy gxy ; (6)
020
021
120
220
200
211
где
121
ai1 i2 i3 (; ; ) =
201
210
220
2
2
1
X
X
X
1 =i1 2 =i2 3 =i3
(;1)1
220
2 +3 D 1 ;i1 D 2 ;i2 D 3 ;i3 (a
1 2 3 R):
x
y
z
+
Здесь a зависит от (x; y; z ), а R и ее производные | от (x; y; z; ; ; ). Вывод тождества (6)
представляет эвристическую задачу. Сам же результат проще всего проверить непосредственным вычислением. При этом следует учесть, что по (x; y; z ) R удовлетворяет уравнению (5).
Для дальнейшего нам понадобятся соотношения
Ai1 i2 i3 (x; y; z) 0 (i = 0; 2; i = 0; 2; i = 0; 1; 0 < i + i + i < 5);
(7)
справедливость которых может быть непосредственно усмотрена из (4).
Положим в (6) x = , y = , z = , = x, = y, = z и вычислим от правой и левой частей
тройной интеграл в пределах x < < x, y < < y, z < < z . Если при этом считать, что
u(x; y; z) есть решение уравнения (1), учесть тождества (7) и граничные условия (3), то придем
к формуле
1
2
0
uxy (x; y; z) =
1
0
2
3
0
Z xZ yZ z
R(; ; ; x; y; z)F (; ; )d d d + ' y (y; z)R(x ; y; z; x; y; z) +
; ' y (y ; z)R(x ; y ; z; x; y; z) +
+xy (x; y)R(x; y; z ; x; y; z ) ; ' y (y; z )R(x ; y; z ; x; y; z ) ;
; x(x; z )R(x; y ; z ; x; y; z) + ' y (y ; z )R(x ; y ; z ; x; y; z) ;
XX
2
1
x0 y0 z0
+ 1x(x; z )R(x; y0 ; z; x; y; z )
1
;
3
2
i1 =1 i2 =1
i1 +i2 <4
0
(;1)i1
0
i2
+
h
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Dyi2 ; ('i1 ; (y; z))Ai1 i2 (x ; y; z) + Dxi1 ; (
1
1
1
1
0
i2 ;1 (x; z ))
Ai i (x; y ; z) + Dxi ; Dyi ; ((x; y))Ai i (x; y; z ) ;
Dyi ; ('i ; (y ; z))Ai i (x ; y ; z) ; Dxi ; Dyi ; ((x ; y))Ai i (x ; y; z ) ;
i
;Dxi ; ( i ; (x; z ))Ai i (x; y ; z ) + Dyi ; ('i ; (y ; z ))Ai i (x ; y ; z ) ;
1 21
2
1
1
1
1
2
1
1
1 21
0
0
1
0
1 21
0
1
2
1
0
0
1
2
0
78
1 21
1
1
2
0
1
1 21
0
1
1
0
0
1 21
0
0
0
0
0
;
Z xX
2
(;1)i2
h
i ;1
i2 (; z )A0i2 i3 (; y0 ; z ) + Dy2 (; y )A0i2 i3 (; y; z0 )
x0 i2 =1
i
;Dyi ; ((; y ))A i i (; y ; z ) d ;
2
1
0
0
2 3
0
0
+Dxi1 ; ((x; ))Ai1 i3 (x; ; z ) ;
1
0
+
Z zX
2
2
X
z0 i1 =1 i2 =1
(;1)i1
i2
+
Z xZ y
x0 y0
h
h
(;1)i1 'i1 ; (; z )Ai1 i3 (x ; ; z ) +
1
0
0
y0 i1 =1
i
Dxi1 ;1((x0; ))Ai1 0i3 (x0 ; ; z0 ) d +
Dyi2 ; ('i1 ; (y; ))Ai1 i2 (x ; y; ) + Dxi1 ; (
1
i2 ;1 (x; ))
1
1
0
0
i
Ai i (x; y ; ) ; Dyi ; ('i ; (y ; ))Ai i (x ; y ; ) d ;
1 20
;
0
Z yX
2
;
2
0
1
(; )A (; ; z )d d +
001
+
0
Z yZ z X
2
1
1
1 20
0
Z xZ z X
2
0
0
(;1)i2 i2 ; (; )A i2 (; y ; )d d +
1
x0 z0 i2 =1
0
0
0
(;1)i1 'i1 ; (; )Ai1 (x ; ; )d d:
1
y0 z0 i1 =1
00
(8)
0
Отсюда, обозначив через H (x; y; z; x; y; z ) правую часть (8) без первого слагаемого, приходим к
решению рассматриваемой задачи (1), (3)
u(x; y; z) = '(y; z) + (x; z) ; '(y ; z) +
Z xZ y
0
+
H (; ; z; ; ; z)d d +
x0 y0
Z xZ Z yZ Z z
x0 x0 y0 y0 z0
R(t ; t ; ; ; ; z)F (t ; t ; )d dt d dt d: (9)
1
2
1
2
2
1
Условия гладкости (2) обеспечивают принадлежность решения классу C
(D). Если считать
', , , ' , произвольными функциями, то можно рассматривать формулы (8), (9) как общее
структурное представление решений уравнения (1), подобно тому как в ([16], с. 66) это сделано
для уравнения uxy + a(x; y)ux + b(x; y)uy + c(x; y)u = 0.
2. Формулы (8), (9) дают решение задачи (1), (3) в явном виде, если функция R известна.
Пусть, например,
a a a a a a a a a a 0:
(10)
Тогда (4) имеет тот же вид, что уравнение (4) из [12]. Если дополнительно к (10) выполняются
тождества
2+2+1
1
1
201
021
001
101
011
020
200
100
010
000
@a + a a ; a 0; @a + a a ; a 0;
@x
@y
@a + a a ; a 0; @a + a a ; a 0;
@x
@x
220
220
220
121
120
211
220
211
210
210
121
110
211
121
111
то в соответствии с формулой (14) из [12] функция Римана имеет вид
R(x; y; z; ; ; ) = exp
(11)
210
Z z
a (; ; )d +
220
Z y
a (; ; z)d +
221
Z x
a (; y; z)d :
121
В случае, когда вместо нуля в правой части последнего тождества (11) стоит произведение
(x)(y) (z), а коэффициенты a , a , a имеют представления
a = A(z) + xy; a = B (x) = yz; a = C (y) + xz; = const;
следует воспользоваться формулами (18), (25) из [12], в соответствии с которыми
R(x; y; z; ; ; ) = R (x; y; z; ; ; ) F (1; 1; !);
220
220
121
211
121
211
0
0
79
2
где F | обобщенная гипергеометрическая функция ([17], с. 20), а
0
2
R exp
0
Z x
B ()d +
!=
Z x
Z y
C ( )d +
()d
Z y
Z z
( )d
A( )d + (xyz ; ) ;
Z z
( )d:
Приведем еще один пример. Пусть в (1) a 1, a = a (z ) 6= 0, а все остальные коэффициенты | тождественные нули. Введем преобразование
221
Z z
p=
z0
000
000
a ()d;
(12)
000
обратное к которому запишем как z = s(p). Полагая, что (12) переводит в q, в ! и обозначая
w(x; y; p) = V (x; y; s(p)) в уравнении (4), записанного для данного примера, найдем
w(x; y; p) = 1 +
Z xZ yZ p
q
(x ; )(y ; )w(; ; !)d! d d:
(13)
Если ввести перед интегралом параметр и представить, как обычно, решение (13) в виде ряда
по степеням , то получим
1
X
)(y ; )] k :
w(x; y; p) = k1! (p ; q)k [(x ;[(2
(14)
k)!]
k
В том, что (14) удовлетворяет (13), можно убедиться также непосредственным вычислением.
Подставляя в (14) значения p и q, имеем
k
Z z
1
X
1
V (x; y; p) = k![(2k)!] (x ; ) (y ; ) a ()d :
k
Аналогично можно вычислить V и в других случаях, когда в (4) лишь один из коэффициентов a , имея определенную структуру, отличен от тождественного нуля.
2
2
=0
2
2
000
2
=0
Литература
1. Солдатов А.П., Шхануков М.Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием
А.А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР. {
1987. { Т. 297. { Є 3. { С. 547{552.
2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. { М.: Высш. школа, 1995. { 301 с.
3. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Dierent. Equat. { 1972. { V. 12.
{ Є 3. { P. 559{565.
4. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solution of pseudoparabolic equation
// Proc. Amer. Math. Soc. { 1977. { V. 63. { Є 1. { P. 77{81.
5. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations in noncylindrical domains
// J. Dierent. Equat. { 1978. { V. 27. { Є 3. { P. 394{404.
6. Rundell W., Stecher M. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equation
// Proc. Amer. Math. Soc. { 1979. { V. 76. { Є 2. { P. 253{257.
7. Водахова В.А. Краевая задача с нелокальным условием А.М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. { 1982. { Т. 18. { Є 2. {
С. 280{285.
8. Шхануков М.Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка
// ДАН СССР. { 1982. { Т. 265. { Є 6. { С. 1327{1330.
9. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка
// Изв. вузов. Математика. { 1999. { Є 10. { С. 73{76.
80
10. Фаге М.К. Задача Коши для уравнения Бианки // Матем. сб. { 1958. { Т. 45. { Є 3. { С. 281{
322.
11. Жегалов В.И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассич. уравнения и уравнения смешан. типа. { Новосибирк: Ин-т матем. СО АН СССР, 1990. { С. 94{98.
12. Жегалов В.И.О трехмерной функции Римана // Сиб. матем. журн. { 1997. { Т. 36. { Є 5. {
С. 1074{1079.
13. Бондаренко Б.А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений
уравнений в частных производных. { Ташкент: ФАН, 1987. { 146 с.
14. Фаге М.К. Операторно-аналитические функции одной независимой переменной // Тр. Моск.
матем. о-ва. { 1958. { Т. 7. { С. 227{268.
15. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Ч. 1. { Л.{M.: ГТТИ, 1934. { 320 с.
16. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. { М.: Наука, 1981. {
448 с.
17. Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики.
{ М.: ГИФМЛ, 1963. { 102 с.
Казанский государственный
университет
Поступили
полный текст 03:07:2000
краткое сообщение 06:02:2001
81
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
149 Кб
Теги
трехмерного, уравнения, одного, старшей, производной, задачи, гурса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа