close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Дарбу для уравнения Эйлера-Дарбу с параметрами 0.

код для вставкиСкачать
???????? ?.?., ?????????? ?.?., ??????? ?.?.
???????????? ??????????????? ???????????
?????? ????? ??? ????????? ?????? ? ?????
? ??????????? 0 < ? < 1 , ? < 0
??????? ?????? ???? ??? ????????? ?????? ? ????? ? ??????????? ? > 0 , ? < 0 ???? ???????? ?
?????? [1] ? ?????????????? ????? ??????? ????????? ?????? ? ????? ? ?????????? ?????????? ???????? ???????? ??????? ?????????????? ? ????????????????? [3]. ? ????????? ?????? ? ?????????????? ?????????? Saigo [4], [5] ???? ???????? ??????? ?????? ????? ??? ?????????? ???????? ??????? ?????????? ? ? ? ????????? ?????? ? ?????.
Рассмотрим уравнение
U ?? ?
?
?
U? +
U? = 0
???
???
(1)
Учитывая выбор ? , (4) можно представить
в следующем виде:
+
()
?
U(?, ?) = ?(?) = ? T( t )(? ? t ) l dt (l > ?? ? 1)
(2)
0
?
? ?? t ?
? T(t )??? ? ? ? ???
?
?
?????
? G (t )??? ? ? t ???
?
(3)
?
Решение уравнения (1) с краевыми условиями (2), (3) имеет следующий вид:
l
?
?????
?? F(?l, ?; ? + ?)dt +
U (?, ?) = (? ? ?) ? T( t )??
? ?? t ?
?
Г(? + ?)Г(l + 1)
(? ? ?) L
Г(?)Г(1 + l + ? )
?+l
F(1 ? ?, ?; ? + l + 1;
?? t
)dt +
???
??
?
?????
???
1
?? F(??,1 ? ?;2 ? ? ? ?;
)dt +
+ (? ? ? ) ?? ??+? ? G ( t )??
?? t
? ?? t ?
0
+
?
Г(1 + ?)Г(2 ? ? ? ?)
(? ? ?)1?? ??+ ?
Г(2 ? ? + ?)Г(1 ? ? )
? ??t ?
? G(t )??? ? ? ? ???
?
1+ ? ??
?? t
F(?,1 ? ?;2 ? ? + ?;
)dt
???
(4)
В целях упрощения решения поставленной
ниже задачи Дарбу параметры l и ? свяжем
следующим равенством:
? + l ?1 = 2 ? ? + ?
т. е. ? = ? ? 1 + ? + l
l
>
?? ? 1 , то, взяв l = ? ? ? ? 1 , полуТак как
чим ? = ? ? 1 + ? + ? ? ? ? 1 = ? ? 2 + ? > ? ? 2 .
Следовательно, ограничения, наложенные
на l и ? , выполняются (здесь ? > 0 , сколь угодно малое число).
98
F(1 ? ?, ?; ? + l + 1;
?? t
)dt + (? ? ? )l
???
1? ? ?? ? l
F(1 ? ? ? ? ? 1;1 ? ?;2 ? ? ? ?
? ??t ?
Г(? + ? + l)Г(2 ? ? ? ?)
??
(? ? ?) l ? G ( t )??
Г(1 + ? + l)Г(1 ? ?)
?????
?
? ?; ? + l + 1;
0
? ?? t ?
? T(t )??? ? ? ? ???
?
? +l
?
?(?) = ? G ( t )(? ? t ) dt (? > ? ? 2)
?
Г(? + ?)Г(l + 1)
(? ? ? ) l
Г(?)Г(1 + l + ? )
0
? ?u ?u ?
1
??
?(? ? ? )? +? =
?
lim
?? ??
??? 2(1 ? ? ? ?) ? ??
+
l
?
?????
???
?? F(?l, ?; ? + ?;
U (?, ?) = (? ? ?) l ? T( t )??
)dt +
?? t
? ?? t ?
?
В работе [1] было получено решение задачи Коши в следующей постановке.
Задача. В области D, ограниченной линиями ? = 0, ? = 1, I : ? = ? , найти решение
U (?, ?) ? C ( n ) D ? C ( n +1) (D ? I ) уравнения (1),
удовлетворяющее краевым условиям
???
)dt +
??t
? +l
F(?,1 ?
?? t
)dt
???
(5)
Заметим, что установленная связь между
параметрами l и ? совсем не обязательна.
Введем в рассмотрение операторы Saigo:
? ? ?a ?b ?
??t
f ( t )(? ? t ) a ?1 F(a + b,?c; a;
)dt , a > 0
?
?
?
? Г( а ) 0
I ao?,b,c f = ?
(6)
d n a + n , b ? n ,c ? n
?
I O?
f , a < 0;
?
d? n
?
f ( x ) ? C[0,1]
c ? b > ?1, c, b ? R
Оператор Saigo обладает следующими свойствами:
(
)
(I
1. . I aO,?b,c
?1
2. .I aO,?b ,c
? ,?,a + c
O?
= I o??a , ? b,a + c ;
)= I
a + ? , b + ?,c
(a , ?
O?
(7)
> 0);
(8)
? (1 ? ?) ?a ? b 1
t ??
f ( t )(t ? ?) a ?1 F(a + b,?c; a;
)dt, a > 0
?
?
1? ?
? Г(а ) 0
I ao?,b,c f = ?
(9)
dn
?
(?1) n n I a?1+ n ,b ? n ,c ? n f , a < 0;
?
d?
?
c ? b > ?1, c, b ? R
Свойства этого оператора аналогичные.
Задача. В области D, ограниченной линиями ? = 0, ? = 1, I : ? = ? , найти решение
??????? ??? 10`2005 ??? 2. ???????????? ? ??????????? ?????
???????? ?.?., ?????????? ?.?., ??????? ?.?.
?????? ????? ??? ????????? ?????? ? ?????...
()
?
U(?, ?) ? C ( n ) D ? C ( n +1) (D ? I ) уравнения (1),
? ? ?(z )(? ? z )?l? ? ? 2 dz, ? < ?
удовлетворяющее краевым условиям (2)
U (o, ?) = ?(?) = I ?O??? ,? ,??1?(?)
?
? ?? t ?
Г(? + ?) Г(l + 1)
??
(? ? ? ) l ? Т (t )??
Г(?) Г(1 + l + ? )
? ? ?
0
? ?, ?; ? + l + 1;
?
? ?? t ?
?
? ??
? G(t )???
0
G (?) =
?+l
?
?? t ?
?dt
F?? ?,1 ? ?; ? + l + 1;
? ??
?
?
Г(? + ? )Г(l + 1) ? + l +1, ? l ?1,? ?1
I 0?
Т(?) +
Г(?)
Г(? + ? + l )Г(2 ? ? ? ?) ? + l +1;? l ?1,? ?1
(12)
+
I 0?
G (?)
Г(1 ? ? )
Взяв оператор обращения от обеих частей
равенства (12), получим:
I 0??? ?l ?1,l +1,? +?+ l ?(?) =
( )(14)
()
?
?
??z?
?dz
?(?) =
?(z )(? ? z )? ? ? ?1F?? ?,1 ? ?; ? ? ?;
? ??
Г(? ? ? ) ?0
?
(I
=
(?)) = d n + 2
? ? ? , ? ,? ?1
?
0?
d n+2
d ?n + 2
n+2
d?
?
?
где (17):
I1 =
1?? ???l
?????
Г(1 ? ? )(? ? ? )l
?
?
Г(? + ? + l )Г(2 ? d ? ?)Г(? 1 ? l ? ? ) ?0 ?? ? ? t ??
?
?
1
(? ? ?)l ? ??? ? ? t ???
????
Г(1 + ? + l)Г(? 1 ? l ? ? )
??
??t ?
? ?? ?
?dt ?(z )(t ? z ) l 2 dz.
? ? ? ?? ?0
d n +2
I10??? ?l+ n ,l?n ?1,? +?+l? n ? 2
d ?n + 2
I10??l + n ? ? ,l ? n ?1+ ? ,? +?+ l ? n ? 2 ?(?) =
1
1
.
?(z )(? ? z )?l + n ? ? dz =
Г(1 ? l + n ? ? ) ?0
Г(? 1 ? l ? ? )
?
F?? ?,1 ?
?
(19)
В I1 изменим порядок интегрирования и
выполним замену по формуле ? ? (? ? z )v = t ,
получим:
I2 =
?
1
(? ? ? )l
Г(1 + ? + l )Г(? 1 ? l ? ? )
? ?? t ?
? ??? ? ? ? ???
?
? +l
?
?? t ?
?dt
F?? ?,1 ? ?; ? + l + 1;
?
? ? ??
?
z?? ?
?l? ? ? 2 ?
??1 ?
v ??
? (1 ? v )
1
?
??? ?
? ? ? ? ? l,1 ? ?;2 ? ? ? ?;
(15)
? +l
(18)
t
? ?; ? + l + 1;
0
Преобразуем (14) с учетом задания функции ?(?)
(?) =
?
????
?dt + I1 + I 2 ,
F??1 ? ? ? ? ? l,1 ? ?;2 ? ? ? ?;
? ? t ??
?
I2 =
I1?? ?l+ n ,l?n ?1,? +?+ l? n ? 2 ? ?
n + 2 0?
d?
= I 0??? ? ,? ,??1? ? , ? < ?. Тогда
I 0?1??? ?l,l+1,? +?+l ?
?
(13)
Действительно, в силу того, что неравенство n + 1 > l + ? должно не нарушиться при всех
значениях ?l ? ? < l ? ??, оно должно сохранить
свой знак и при максимальном значении l = ??;
т. е. n + 1 > ?? + ? или (n + ?) + (1 ? ? ) > 0, где каждое слагаемое положительно.
Преобразуем левую часть равенства (13)
?
Г(1 ? ? )Г(? + ? )Г(l + 1)
(? ? ?)1?? ?? ? Т(t )(? ? t )? +?+ l?1 .
Г(? + ? + l )Г(2 + ? ? ?)Г(? )
0
t
Подберем натуральное число k так, чтобы
Зададим ?(?)
?
?
????
?dt ?(z )(t ? z )?l? ? ?2 dz,
F??1 ? ? ? ? ? l,1 ? ?;2 ? ? ? ?;
? ? t ?? ?0
?
?? ? l ? 1 + к > 0 , т. е. к > 1 + ? + l. Легко видеть,
к=n+2
удовлетворяет условию
что
n + 2 > 1 + ? + l.
d n+2
?
??? ?
?dt ?
U(?, ?) = ? Т(t )(? ? t )l F?? ? l, ?; ? + ?;
? ? t ??
?
0
(11)
Г(? + ?)Г(l + 1)
Т(?) +
Г(?)
Г(? + ? + l )Г(2 ? ? ? ?)
+
G (?)
Г(1 ? ? )
Г(1 ? ? )Г(? + ?)Г(l + 1)
Т(?)
Г(? + ? + l )Г(2 ? ? ? ? )Г(?)
Найденные выражения для G (?) подставим в (5)
U(0, ?) = ?(? ) =
I 0?1??? ?l,l+1,? +?+ l ?(?) =
?
?
?? t
Г(? + ? + l )Г(2 ? ? ? ?) l
?
)dt +
?
Г(1 + l + ? )Г(1 ? ?)
? +l
Г(1 ? ? )
?(z )(? ? z )? l ? ? ? 2 dz ?
Г(? + ? + l )Г(2 ? ? ? ?)Г(? 1 ? l ? ? ) ?0
F(1 ?
Перепишем (11) с помощью операторов Saigo
??
С учетом (16) из (13) определим функцию G (?)
(10)
Полагая в (5) ? = 0 , получим:
U (0; ?) =
(16)
0
? +? + l ?1
F(1 ?
1
)dv
z??
1?
v
???
Применим формулу преобразования
z ?
?
F(?, ?, ?, z ) = (1 ? z )?? F? ?, ? ? ?; ?;
?,
?1 ?
z
?
с учетом которой гипергеометрическая функция, входящая в I1 , примет вид:
?
?
?
?
?+?+l?1
1
? = ?? ? ? z V??
F?1 ? ? ? ? ? l,1 ? ?;2 ? ? ? ?;
.
?
z ? ? ? ?? ? ? ? ??
?
1
V
?
?
??? ?
?
??????? ??? 10`2005 ??? 2. ???????????? ? ??????????? ?????
99
.
???????????? ?????
?
z?? ?
??1 ?
V?
?
? ? ??
?
При таком выборе ?
1? ? ?? ?l
z??
z??
) = F(1,?l;1 ? ? ? l;
),
???
???
? ? z ??
)
3 F2 (? + l + 1,1 ? ?, ?; ? ? ? ,1 + ? + l ) = (
???
3 F2 (1,1 ? ? ? ? ? l,?l;?l ? ?;1 ? ? ? l;
(1 ? ? ? ? ? l,1 ? ?;2 ? ? ? ?;
F
1
).
z??
V
n??
Осуществим далее переход к обратному
аргументу, в результате которого получим
Подставляя в I1 преобразованные обобщенные гипергеометрические функции и заменяя ? = ? + ? ? 1 , получим:
I1 =
1
F(1 ? ? ? ? ? l,1 ? ?;2 ? ? ? ?;
)
z??
V =
???
Г(2 ? ? ? ?)Г(? + l) ? ? z 1?? ???l
(
V)
???
Г(1 ? ?)Г(1 + l)
z??
F(1 ? ? ? ? ? l,?l;1 ? ? ? l;
V) +
???
Г(2 ? ? ? ?)Г(?? ? l) ? ? z 1??
z??
+ Г(1 ? ? ? ? ? l)Г(1 ? ?) ( ? ? ? V) F(1 ? ?, ?;1 + ? + l; ? ? ? V)
В результате двух последних преобразований
получим следующее выражение для функции I1.
?
Г(? + l)(? ? ?) l
I1= Г(1 + l)Г(? + ? + l)Г(?1 ? ? ? l)
? Ф(z)(? ? z)
?l ? ? ?1
dz
U
1
?l ? ? ? 2
? F(1 ? ? ? ? ? l,?l;1 ? ? ? l;
? (1 ? V)
0
?
? ?(z)(? ? z)
+
? Ф(z)(? ? z)
0
? ? ? ?1
dz
?V
?+ l
1
µ ?1 ??1
z
p Fg
I2 =
?
+ l + 1;
z??
V)dV
???
(a 1 , a 2 ,..., a p ; b1 , b 2 ,..., b g ; xz )dz =
1
? l ? ? ?? ?1
F(?,1 ? ?; ? + l + 1, v)dv =
F(1, l + ? + 1; l + 2;
F(1, l + ? + 1; l + 2;
? l ? ?;
?
Г(1 ? ?)Г(?? ? l)Г(? + l + 1)(? ? ?) ??
?(z)(? ? z) ?? ? ?1
Г(? + ? + l)Г(1 ? ? ? ? ? l)Г(1 ? ?)Г(? ? ? ) ?0
z??
)dz
3 F2 (? + l + 1,1 ? ?, ?; ? ? ? ,1 + ? + l;
???
z??
z??
) = F(1 ? ?, ?; ? ? ?;
)
???
???
Выберем далее ? = ? + ? ? 1 , что вполне возможно сделать, ибо ? < ? (здесь ?1 < ? ? 1 < 0 ).
???
)dz
z??
В гипергеометрической функции перейдем
к обратному аргументу
?
z???
3 F2 ?
?1,1 ? ? ? ? ? l,?l;?l ? ?,1 ? ? ? l; ? ? ? ??dz +
?
?
100
?
Г(? + l + 1)Г(1 + l + ?)
(? ? ?)? ?(z)(? ? z) ?l ?????1
Г(2 + l)Г(1 + ? + ? + l)
0
)
?
3 F2 (? + l + 1,1 ? ?, ?; ? ? ?,1 + ? + l;
(t ? z )?l?? ???1 F(?,1 ? ?; ? +
?
Г(? + l )(? ? ? )l
?(z )(? ? z )?l? ? ?1 .
Г(1 + l )Г(? + ? + l )Г(? l ? ? ) ?0
Учтем, что
? +1
(21)
??t
)dt = (? ? ? )? ?(z)(? ? z) ?l ?? ???1 dz ? v ? + l
???
0
0
? ??? ?
??1 ?
v ??
? ??z ?
(Re µ > 0, Re ? > 0, p ? g + 1; если p = g + 1, то x < 1) ,
применив которую, получим:
+
?
? ??t ?
?
I 21 = ? ?(z)dz ? ??
? ? ? ??
??
0
(1 ? V ) ?l? ? ? 2
(
I1 =
( ? ? ?) l
(I 21 + I 22 ) ,
Г(? + l + 1)Г(?l ? ? ? ?)
где
Г(µ )Г(? )
p +1 Fg +1 ?, a 1 , a 2 ,..., a p ; ? + µ, b1 , b 2 ,..., b g ; x
Г( v + µ )
(? ? z) ?? dz
0
0
=
??
(20)
Преобразуем I 2 с учетом выбора ? = ? + ? ? 1
по той же схеме, что и I1 , где I 2 определяется
формулой (19). Изменив порядок интегрирования, представив I 2 в следующем виде
Имеет место формула:
? (1 ? z)
z??
)dt +
???
Г(?? ? l)Г(1 + ? + l)
Г(? + ? + l)Г(1 ? ? ? ? ? l)Г(1 ? ?)
? ?(z)(? ? z)
0
F(1 ? ?, ?;1 + ? + l;
F(1,?l;1 ? ? ? l;
?
z??
V)dV +
???
Г(1 ? ?)Г(?? ? l)(? ? ?) ??
1
?l ?? ??
0
+ Г(? + ? + l)Г(?l ? ? ? 1)Г(1 ? ? ? ? ? l)Г(1 ? ?)
?
Г(? + l)(? ? ?) l
Г(1 + l)Г(? + ? + l)Г(1 ? ? ? ? ? l)
???
Г(l + 2)Г(l + ?) ? ? z
)=
F(1,?l;1 ?
z??
Г(l + ? + 1)Г(l + 1) ? ? ?
z??
Г(l + 2)Г(?l ? ?) ? ? ? z ?
??
??
)+
???
Г(1 ? ?)
?????
F(1 + l + ?, ?;1 + l + ?;
1+ l +?
z??
)
???
С учетом последнего преобразования I 21
примет вид
I21 =
?
z ??
Г(? + l +1)Г(l +?)
)dz+
?(z)(? ? z)?l???? F(1,?l;1? l ??;
?
Г(1+ ? +? + l)Г(l +1) 0
?? ?
?
Г(? + l +1)Г(1+ l +?)Г(?l ??)(?? ?)?l
??
??
??(z)(? ?z) (??z) dz
Г(1+ ? +? + l)Г(1??)
0
??????? ??? 10`2005 ??? 2. ???????????? ? ??????????? ?????
???????? ?.?., ?????????? ?.?., ??????? ?.?.
?????? ????? ??? ????????? ?????? ? ?????...
Находим первое слагаемое формулы (21)
(? ? ?)
l
Г(? + ? + 1)Г( ?l ? ? ? ?)
=
F(?,1 ? ?; ? + l + 1;
Г(l + ?)(? ? ?)
Г(1 + ? + ? + l)Г(1 + l)Г( ?l ? ? ? ?)
? ?(z)(? ? z)
? l ?? ??
F(1,?l;1 ? l ? ?;
0
? ?(z)(? ? z)
??
? ?(z)(? ? z)
z??
)dz +
???
?
(22)
(? ? z) dz
1
dz? v ?+l (1 ? v) ?l?????1
0
?
??z
)dz =
???
?
1
?(z)(? ? z) ?? (z ? ?) ?? dz
Г(1 ? ?) ??
Подставляя найденное выражение суммы в
(17), получим решение задачи Дарбу
?
sin ?x
Применяя эту формулу к (20) и (22), получим
(? ? ?) l
I 21 = 0 ,
Г(? + l + 1)Г(?l ? ? ? ?)
следовательно, сумма I1 + I 2 , входящая в решение (17) задачи Дарбу, равна
l
??
+ l + 1, ?,1 ? ?;1 ? ?, ? + l + 1;
??
Имеет место формула:
I1 +
(t ? z)?l?????1
??z
(? ? ?)?? ?(z)(? ? z) ?? F (? +
v)dv =
3 2
???
Г(1 ? ?) ??
F(?,1 ? ?; ? + l + 1;
0
Г( х )Г(1 ? х ) =
?+1
?? t
(? ? ?) ??
)dt =
???
Г(? + l + 1)Г(?? ? ? ? l)
?
Г(1 + l + ?)Г(?l ? ?)
Г(1 + ? + ? + l)Г(?l ? ? ? ?)Г(1 ? ?)
?
?
? ?? t ?
? ?(z)dz? ??? ? ? ? ???
?
z
I 21 =
l
?
?
l
(? ? ?)
(? ? ?)
I1 + I 2 =
I 22 =
Г(? + l + 1)Г(?? ? ? ? l)
Г(? + ? + l)Г(?? ? ? ? l)
?l
?
?????
???
?? F(?l, ?; ? + ?;
U(?, ?) = (? ? ?)l ? T(z)??
)dz ?
??z
???z?
0
?
?
Г(1 ? ?)(? ? ?) l
Г(? + ? + l)Г(2 ? ? ? ?)Г(?l ? ? ? ?)
1?? ???l
?????
? Т(z)??? ? ? z ???
0
? ?;
F(1 ? ? ? ? ? l,1 ? ?;2 ? ? ?
. (23)
?
???
1
?(z)(? ? z) ?? (z ? ?) ?? dz
)dz +
??z
Г(1 ? ?) ??
Список использованной литературы:
1. Ивашкина Г.А. Задачи Коши для уравнения Эйлера - Дарбу с параметрами ? > 0 , ? < 0 // Вестник ОГУ, 2002, №5. С. 98-106.
2. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений. Ф.М., Москва, 1962.
3. Hardy G., Liltlewood I., Some propertiesof fractional integraes. I Math Z., 27.,565-606.,1928.
4. Saigo M., Math Rep. Kyushu Univ, 1978, Vol 11.
5. Saigo M., Math., Jap., 1979., Vol 24.
??????? ??? 10`2005 ??? 2. ???????????? ? ??????????? ?????
101
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
106 Кб
Теги
параметрами, уравнения, эйлера, дарбу, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа