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Задача Дирихле в двумерной стационарной анизотропной термоупругости.

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E-mail: bogan@hydro.nsc.ru
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?11 = c11 ?11 + c12 ?22 + c16 ?12 + ?11 u3 ,
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?12 = c16 ?11 + c26 ?22 + c66 ?12 ? 2?66 u3 .
(1)
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64
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d
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u1 = Re n1 ?3 (x1 + �x2 ),
u2 = Re n2 ?3 (x1 + �x2 ).
(4)
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n1 �(d12 + d66 ) + n2 (d66 + d22 � ) = ?2 �? ?????????????
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???? �??????, ??? ?(�) 6= 0, ?? ?????????? n1 , n2 ?????????? ???????????? ?? (4) ? ??? ????? ????????? ????????? ??????? ???????. ?? ?????????
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2
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1
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N (祂 )
k=1
65
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v12 (x1 , x2 ) = ?
2
X
(a12 + a66 )祂
1
Re
ln(x1 + 祂 x2 ),
2
2?
N (祂 )
k=1
2
X
a66 � + a11
1
ln(x1 + 祂 x2 ).
v22 (x1 , x2 ) = 2 Re
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N (祂 )
k=1
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N (�) = d22 d66 (�? �)(�? �1 )(�? �2 ).
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(? ????????? ?? ???????? ???????????):
u1 (x1 , x2 ) = Re {b11 ?1 (z1 ) + b12 ?2 (z2 ) + n1 ??3 (z3 )},
u2 (x1 , x2 ) = Re {b21 ?1 (z1 ) + b22 ?2 (z2 ) + n2 ??3 (z3 )},
u3 (x1 , x2 ) = Re ?3 (z3 ).
??? b1k = c11 � + c12 ? c16 祂 , b2k = c12 祂 + c22 �1
k ? c26 , k ? {1, 2}.
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66
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(5)
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67
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Re {b21 ?1 (z1 ) + b22 ?2 (z2 )} = g2 (s0 ) ? n2 ??3 (t3 (s0 )),
Re ?3 (z3 ) = g3 (s0 ),
g3 (s) ? C 1,? (?Q).
??????? ?k (s) = gk (s) ? nk ?? (t3 (s)), k ? {1, 2}. ????? ??????? ?k (s) ?
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u2 (x1 , x2 ) = Re
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Z
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+ Re
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t2 ? z2 t1 ? z1
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1
u2 (x1 , x2 ) = Re
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Z
f2 (s) dt2
+
t2 ? z2
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b21
+ Re
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Z
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b22 f1 (s) ? b12 f2 (s)
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t1 ? z1 t2 ? z2
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1
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f1 (s) dt1
+
t1 ? t10
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?b21 f1 (s) + b11 f2 (s)
= ?1 (s0 ),
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t2 ? t20 t1 ? t10
f1 (s0 ) + Re
Z
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1
f2 (s0 ) + Re
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Z
f2 (s) dt2
+
t2 ? t20
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69
? ? ? ? ? ?. ?.
b21
+ Re
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Z
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b22 f1 (s) ? b12 f2 (s)
dt1
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t1 ? t10 t2 ? t20
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4. ????????? ???????. ??????? ?????? ??????? ????? ?????? ???????????? ?????????. ?????????????, ???? ????????? ?????? ??????????? ??????
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k ? {1, 2, 3},
(8)
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??????? ?????? ???????????????? ? ????????????? R+ 2 = {(x1 , x2 ); x2 > 0}.
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????????????, ??? ?????????? ???????? ? > 1/2. ??? ????????????? ?????????? ?? ??????? ??????? ???????????? ?????????????? ????????? ??????
??????? gk (s) ? C 1,? (?Q), k ? {1, 2}, g3 (s) ? C 2,? (?Q).
????????????????? ??????
1. Zhao Yu-Qui On the Plane Orthotropic Stress Problem of Quasi-Static Thermoelasticity //
J. Elasticity, 1997. ? Vol. 46, No. 3. ? P. 199?216.
2. ????? ?. ?. ?????????? ???????????? ????????? ??? ?????? ??????? ?????? ? ???????????? ?????? ????????? // ???. ???. ???, 2005. ? ? 4. ? C. 17?26.
3. ?????? ?. ?. ???????????? ???????????? ?????????. ? ?????: ???, 1978. ? 200 c.
70
?????? ??????? ? ????????? ???????????? ???????????? ?????????????? . . .
4. ???????????? ?. ?. ??????????? ???????????? ?????????. ? ?.: ?????, 1968. ? 511 ?.
5. ?????????? ?. ?. ??????? ?????? ??? ??????????? ?????????????? ????????? ? ??????????? ?????????????? // ???. ?????. ?????., 1975. ? ? 6. ? C. 3?13.
????????? ? ???????? 18/VIII/2010;
? ????????????? ???????? ? 22/IX/2010.
MSC: 74B05, 74E10
THE DIRICHLET PROBLEM IN THE 2D STATIONARY
ANISOTROPIC THERMOELASTICITY
Yu. A. Bogan
M. A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of RAS,
15, Lavrentyeva pr., Novosibirsk, 630090, Russia
E-mail: bogan@hydro.nsc.ru
In this article the Dirichlet problem for an anisotropic thermoelastic media is studied.
It means, by definition, that a displacement vector and a stationary temperature are
assigned at a boundary. This boundary value problem is reduced to a system of integral
equations. Kernels of integral operators, entering into this system, are weakly regular
in a bounded region with a Lyapunov boundary and Ho?lder continuous boundary data.
This boundary value problem keeps up the property of Fredholm solvability if a region
and boundary data have weaker properties of smoothness.
Key words: integral equations, anisotropy, elasticity.
Original article submitted 18/VIII/2010;
revision submitted 22/IX/2010.
Yurii A. Bogan, Dr. Sci. (Phys. & Math.), Leading Research Scientist, Dept. of Deformable
Solid Body.
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