close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области.

код для вставкиСкачать
2007
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (539)
УДК 517.95
К.Б. САБИТОВ, А.Х. СУЛЕЙМАНОВА
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
ВТОРОГО РОДА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Рассмотрим уравнение смешанного типа
Lu uxx + sgn y jyjm uyy ; b2 u = 0;
(1)
где 0 < m < 2, b = const 0, в прямоугольной области D = f(x; y) j 0 < x < 1, ; < y < g, ,
{ заданные положительные числа.
Задача Дирихле. Найти в области D функцию u(x; y), удовлетворяющую условиям
u(x; y) 2 C (D) \ C 1 (D) \ C 2 (D+ [ D; );
(2)
Lu(x; y) 0; (x; y) 2 D+ [ D; ;
(3)
u(0; y) = u(1; y) = 0; ; y ;
(4)
u(x; ) = f (x); 0 x 1;
(5)
u(x; ;) = g(x); 0 x 1;
(6)
где f и g | заданные достаточно гладкие функции, причем f (0) = f (1) = g(0) = g(1) = 0.
В ([1], с. 303) впервые было показано, что некоторые задачи трансзвуковой газовой динамики
сводятся к задаче Дирихле для уравнений смешанного типа. Некорректность задачи Дирихле
для уравнения Лавреньева uxx + sgn y uyy = 0 была показана в [2]. После этой работы возникла
проблема поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. В дальнейшем задача Дирихле для уравнений смешанного типа изучалась многими
авторами [3]{[11]. Более полную библиографию работ, посвященных данной тематике, можно
найти в монографии [11]. В этих работах единственность решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа доказана на основании принципа экстремума или метода интегральных
тождеств, а существование | методом интегральных уравнений или разделения переменных.
Задача Трикоми и другие аналогичные задачи для уравнений смешанного типа второго рода
изучены в работах [12]{[15]. В ([11], с. 33) рассмотрена задача Дирихле для уравнения
L(u) uxx + sgn y [jyjm uyy + ajyjm;1 uy + bjyjm;2 u] = 0; 0 < m < 2;
со следующими условиями сопряжения:
;p2
lim y;p2 u = ylim
y!+0
!;0(;y) u;
1;p1 uy + p2 (;y);p1 u];
lim [y1;p1 uy ; p2 y;p1 u] = ylim
y!+0
!;0[(;y)
где
q
q
2p1 = 1 ; a + (a ; 1)2 ; 4b; 2p2 = 1 ; a ; (a ; 1)2 ; 4b;
a, b | постоянные, подчиненные условиям
1) 4b < (a ; 1)2 < 4b + (2 ; m)2 ,
1. Постановка задачи.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
конкурс \Агидель", грант Є 05-01-97913.
45
2) b = 0 при a < 1, 1 < a < 3 ; m и при a = 1, m < 1,
3) b 0 при a 3 ; m.
В данной работе при 0 < m < 1 установлены критерий единственности и существование
решения задачи (2){(6). Если 1 m < 2, то производная uy (x; y) решения уравнения (1), вообще
говоря, при y ! 0 обращается в бесконечность. В этом случае показано, что задача (2){(6) переопределена, т. е. для выделения единственного решения аналога этой задачи достаточно задать
лишь одно граничное условие на верхнем (5) или нижнем (6) основании прямоугольника D. Если
искать решение уравнения (1) в классе функций C (D) \ C 2 (D+ [ D; ) и ввести для производной
uy (x; y) следующие условия сопряжения:
m;1
lim ym;1uy (x; y) = ylim
!;0(;y) uy (x; y)
y!+0
при 1 < m < 2;
;1
lim (ln y);1 uy (x; y) = ylim
!;0 (ln (;y)) uy (x; y) при m = 1;
y!+0
то задача (3){(6) в указанных выше условиях становится недоопределенной, т. е. необходимо
задать еще одно граничное условие, например, uy (x; ;) = g1 (x) или uy (x; ) = f1 (x).
2. Поиск частных решений уравнения (1). Частные решения уравнения (1), не равные
нулю в области D, будем искать в виде произведения u(x; y) = X (x)Y (y), удовлетворяющего
нулевым граничным условиям (4). Подставляя данное произведение в уравнение (1), получим
X 00 (x) + X (x) = 0; 0 < x < 1;
(7)
X (0) = X (1) = 0;
(8)
Y 00 (y) ; ( + b2) sgn y jyj;m Y (y) = 0; ; < y < ;
(9)
где | постоянная разделения.
Как известно, решение спектральной задачи (7), (8) имеет вид
Xk (x) = sin pk x; k = (k)2 ; k = 1; 2; : : :
(10)
В уравнении (9) (где = k ) при y > 0 произведем замену
Y (y) = W (pk yq )py;
(11)
где q = (2 ; m)=2, p2k = (b2 + k )=q2 . Тогда получим модифицированное уравнение Бесселя ([7],
7.2)
2 1
0
00
(12)
W (z ) + W (z) ; 1 + W (z) = 0;
z
z2
где z = pk yq , = 1=2q = 2;1m . Общее решение уравнения (12) определяется по формуле
W (z) = C1 I 21q (z) + C2 K 21q (z); z > 0;
(13)
где I 21q (z ) и K 21q (z ) | соответственно модифицированные функции Бесселя первого и третьего
рода, C1 и C2 | произвольные постоянные. Тогда на основании (11) и (13) общее решение
уравнения (9) при y > 0 определяется по формуле
Yk+(y) = ak pyI 21q (pk yq ) + bk pyK 21q (pk yq );
(14)
где ak , bk | произвольные постоянные.
Аналогично в уравнении (9) при y < 0 произведем замену
p
p
Y (y) = ;yZ (pk (;y)q ) = ;yZ (z )
46
(15)
и получим обычное уравнение Бесселя
2
Z 00 (z) + 1 Z 0 (z ) + 1 ; Z (z ) = 0;
z
z2
где = 1=2q. Общее решение этого уравнения определяется по формуле
Z (z) = C1J 21q (z) + C2 Y 21q (z ); z > 0;
(16)
где J 21q (z ), Y 21q (z ) | функции Бесселя первого и второго рода соответственно. В силу (15) и (16)
общее решение уравнения (9) при y < 0 определяется по формуле
p
p
(17)
Yk;(y) = ck ;yJ 21q (pk (;y)q ) + dk ;yY 21q (pk (;y)q );
где ck , dk | произвольные постоянные.
Таким образом, в прямоугольной области D построены решения Yk (y), определенные по
формулам (14) и (17).
В дальнейшем рассмотрим случаи, когда 0 < m < 1 и 1 m < 2.
3. Единственность решения задачи (2){(6) при 0 < m < 1. Подберем в (14) и (17)
постоянные ak , bk , ck и dk так, чтобы выполнялись следующие равенства:
Yk (+0) = Yk (;0); Yk0 (+0) = Yk0 (;0):
(18)
Первое из равенств (18) выполнено, если dk = ;bk =2, ak и ck любые, а второе равенство | при
dk = ;bk =2, ck = ctg( 4q )=2 ; ak .
Тогда функция (17) примет вид
p
p
где
Yk;(y) = ;ak ;yJ 21q (pk (;y)q ) + b2 k ;y Y 21q (pk (;y)q ); y < 0;
(19)
Y 21q (pk (;y)q ) = sin1 (J 21q (pk (;y)q ) + J; 21q (pk (;y)q )):
2q
Отметим, что вторые производные функций Yk+ (y), Yk; (y) обращаются в бесконечность при
y ! 0, т. к. справедливы оценки
Yk00+ (y) = O(y;m); Yk00; (y) = O((;y);m ) при y ! 0:
Пусть u(x; y) | решение задачи (2){(6). Рассмотрим функции
Z1
uk (y) = 2 u(x; y) sin kx dx; k = 1; 2; : : :
(20)
0
Предположим, что частная производная ux (x; y) решения u(x; y) удовлетворяет условиям
lim u (x; y) sin kx = x!lim
(21)
x!+0 x
1;0 ux (x; y) sin kx = 0; ; y :
На основании (20) введем функции
uk;" (y) = 2
Z 1;"
"
u(x; y) sin kx dx;
(22)
где " > 0 | достаточно малое число. Дифференцируя равенство (22) по y дважды при y > 0 и
y < 0 и учитывая уравнение (1), получаем
Z 1;"
Z 1;"
u00k;" (y) = 2
uyy (x; y) sin kx dx = sgn y jyj;m 2
(b2 u ; uxx ) sin kx dx =
"
"
Z 1;"
= sgn y jyj;m b2 uk;" (y) ; 2
uxx sin kx dx :
"
47
Интегрируя по частям в последнем интеграле два раза и переходя к пределу при " ! 0 с учетом
условий (21) и (4), получим равенство
u00k (y) ; sgn y jyj;m (b2 + (k)2 )uk (y) = 0;
которое совпадает с (9) при = k . Тогда uk (y) Yk (y) на промежутке [;; ], т. е. функции
uk (y) определяются по формулам (14), (19).
Для нахождения постоянных ak и bk воспользуемся граничными условиями (5) и (6) и формулой (20):
Z1
Z1
uk ( ) = 2 u(x; ) sin kx dx = 2 f (x) sin kx dx = fk ;
(23)
0
0
Z1
Z1
uk (;) = 2 u(x; ;) sin kx dx = 2 g(x) sin kx dx = gk :
(24)
0
0
и (24) для нахождения ak и bk получим систему
ak I 1 (pk q ) + bk K 1 (pk q ) = fk ; 21 ;
Теперь на основании (19), (23)
8
>
<
2q
2q
1
>
: ;ak J 21q (pk q ) + bk Y 21q (pk q ) = gk ; 21 :
2
Если определитель системы (25)
k (; ) = J 21q (pk q )K 21q (pk q ) + 2 Y 21q (pk q )I 21q (pk q ) 6= 0;
то данная система имеет единственное решение
p
fk p Y 21q (pk q ) ; 2gk K 21q (pk q )
p
ak = ;
;
2k (; ) p
fk pJ 21q (pk q ) + gk I 21q (pk q )
p
bk =
:
k (; ) Тогда
py A (y; )
8 p
y
(
;
y
)
+
g
f
>
k
k
k
k
>
p
>
;
y > 0;
<
(
;
)
k
uk (y) = > f p;y B (; ;y) + g p;y (;y; )
k
k
>
pk
: k
; y < 0;
k (; ) где
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
k (; y) = J 21q (pk q )K 21q (pk yq ) + 2 Y 21q (pk q )I 21q (pk yq );
Ak (y; ) = I 21q (pk q )K 21q (pk yq ) ; I 21q (pk yq )K 21q (pk q );
Bk (; ;y) = Y 21q (pk q )J 21q (pk (;y)q ) ; Y 21q (pk (;y)q )J 21q (pk q );
k (;y; ) = J 21q (pk (;y)q )K 21q (pk q ) ; 2 Y 21q (pk (;y)q )I 21q (pk q ):
Пусть теперь f (x) 0 и g(x) 0. Тогда из равенств (23), (24), (29) и (20) следует
Z1
u(x; y) sin kx dx = 0:
0
Отсюда u(x; y) 0 для всех x 2 [0; 1] и y 2 [;; ] в силу полноты системы синусов fsin kxg,
k = 1; 2; : : : , в пространстве L2 [0; 1].
Итак, справедлива
48
Теорема 1. Если существует решение u(x; y ) задачи (2){(6), удовлетворяющее условиям
(21), то оно единственно только тогда, когда k (; ) 6= 0 при всех k 2 N .
Действительно, если выполнено условие (26) и существует решение задачи (2){(6), удовлетворяющее условиям (21), то оно единственно.
Пусть при некоторых , и k = l нарушено условие (26), т. е. l (; ) = 0. Тогда однородная
задача (2){(6) (где f (x) = g(x) 0) имеет нетривиальное решение
(
py sin lx;
(
;
y
)
y > 0;
l
ul (x; y) =
p
l (;y; ) ;y sin lx; y < 0:
где
Выражение k (; ) представим в виде
k (; ) = I 21q (pk q )k (; );
K 21q (pk q ) q
k (; ) = J 21q (pk ) I 1 (p q ) + 2 Y 21q (pk q ):
k
2q
существуют и постоянная C0 > 0 такие, что при
Отметим, что
справедлива оценка
p
inf
j kk (; )j C0 > 0:
k
всех > 0 и больших k
(30)
4. Существование решения задачи (2){(6) при 0 < m < 1. При выполнении условий
(26) и (30) на основании частных решений (10) и (29) решение задачи (2){(6) можно представить
в виде суммы ряда Фурье
+1
X
u(x; y) = uk (y) sin kx:
(31)
k=1
Поскольку система синусов fsin kxg образует базис Рисса, то ряд (31) при каждом y из [;; ]
сходится в L2 [0; 1]. Теперь покажем, что при определенных условиях относительно функций
f (x), g(x) ряд (31) и ряды, полученные из него путем почленного дифференцирования по x и y,
равномерно сходятся на замкнутой области D, и что возможно почленное дифференцирование
два раза по x и y в замкнутой области D" = D \ fjyj " > 0g, где " | заданное достаточно
малое число.
Нетрудно заметить, что из построения решений (14) и (19) с коэффициентами (27) и (28),
т. е. решения (29), следует uk (y) 2 C 1[;; ] \ C 2[;; 0) \ C 2 (0; ] при любом k 2 N .
Рассмотрим следующие отношения:
pyk (; y)
pyAk (y; )
Pk (y) = (; ) ;
Qk (y) = (; ) ;
k
p;yB (; ;y)
p;ky (;y; )
Mk (y) = (k; ) ; Nk (y) = (k; ) :
k
k
Лемма 1. Для достаточно больших k справедливы оценки
jPk (y)j C1; jPk0 (y)j C1k;
jQk (y)j C2 k;; jQ0k (y)j C2k1+ ; = 1=2q ; 1=2;
jMk (y)j C3k1+ e;kd ; jMk0 (y)j C3k1+ e;kd;
jNk (y)j C4 ; jNk0 (y)j C4k1+ ;
Ci | здесь и далее положительные постоянные, d = q =q.
49
Доказательство. Из асимптотических поведений функций J (z ), Y (z ), I (z ), K (z ) в нуле
и на бесконечности ([16], с. 265) имеем следующие оценки при k ! 1:
jpyk (; y)j C5 ek ;
jpyAk (y; )j C6 ke+1 ;
kd
jp;yBk (; ;y)j C7k ;
jpy0k (; y)j C9ekd ;
jp;yBk0 (; ;y)j C11k ;
kd
jp;yk (;y; )j C8 ek ;
jpyA0k (y; )j C10 k ekd;
jp;y0k (;y; )j C12 k ekd:
kd
На основании полученных неравенств и оценки (30) вытекает справедливость леммы 1.
Лемма 2. Справедливы следующие оценки при достаточно больших k :
jPk00(y)j C13 k2; jQ00k (y)j C14k2; ; = 1=2q ; 1=2; " y ;
jMk00(y)j C15 k3+e;kd ; jNk00(y)j C16k2 ; ; y ;"; " > 0:
Доказательство. Вычислим вторые производные функций Ak (y; ); k (; y ); Bk (; ;y );
k (;y; ) и оценим их при k ! 1
jpyA00k (y; )j C18 k1;ekd ;
jpy00k (; y)j C17kekd ;
jp;yBk00 (; ;y)j C19k+2 ; jp;y00k (;y; )j C20 kekd :
Из этих оценок вытекает лемма 2.
Из теории рядов Фурье известно, что если функции f (x); g(x) 2 C 2 [0; 1] на указанном сегменте имеют кусочно-непрерывные производные третьего порядка, f (0) = f (1) = f 00 (0) = f 00 (1) = 0,
g(0) = g(1) = g00(0) = g00(1) = 0, то стандартным образом доказывается равномерная сходимость
ряда (31) в D и возможность его почленного дифференцирования по переменным x и y два раза
в D" ([17], гл. 11, x 3).
Пусть для некоторых и l = n1 ; n2 ; : : : ; nm , где 1 n1 < n2 < < nm , ni ,i = 1; m, m |
заданные натуральные числа, l (; ) = 0 . Тогда для разрешимости системы (25) необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись условия
p
p
fl J 21q (pl q ) + gl I 21q (pl q ) = 0; l = n1 ; n2 ; : : : ; nm:
(32)
Значит, решение задачи (2){(6) определяется в виде суммы ряда
nX
nX
+1 1 ;1
2 ;1
X
X
u(x; y) =
+
+ +
uk (y) sin kx + ul (x; y);
(33)
k=1
k=n1 +1
k=nm +1
l
при этом в последней сумме l принимает значения n1 ; n2 ; : : : ; nm , а
8 p
fl yI 21q (plyq ) Cl pyl (; y) >
>
>
y > 0;
>
< pI 21q (pl q ) + J 21q (pl q ) sin lx;
ul (x; y) = > g p;yJ 1 (p (;y)q )
l
l
>
Cl p;yl (;y; ) sin lx; y < 0;
2q
>
>
p
+
>
:
J 21q (plq )
I 21q (pl q )
где Cl | произвольные постоянные.
Теорема 2. Пусть f (x); g (x) 2 C 2 [0; 1] и на сегменте [0; 1] имеют кусочно-непрерывные
производные третьего порядка, f (0) = f (1) = f 00 (0) = f 00 (1) = 0, g(0) = g(1) = g00 (0) = g00 (1) = 0.
Тогда задача (2){(6) однозначно разрешима, если выполнены условия (26) и (30). Это решение
определяется рядом (31).
50
Если k (; ) = 0 при некоторых и k = n1 ; n2 ; : : : ; nm , то задача (2){(6) при условии (30)
однозначно разрешима только тогда, когда выполнены условия (32), и решение определяется в
виде суммы (33).
5. Случай 1 m < 2. Решение уравнения (1) будем искать в классе функций (2). В этом
случае производные функций Yk+ (y) и Yk; (y) обращаются в 1 со следующими порядками:
Yk0+(y) = O(y1;m); Yk0+(;y) = O((;y)1;m ) при y ! 0 и 1 < m < 2;
(34)
Yk0+(y) = O(ln y); Yk0; (y) = O(ln(;y)) при y ! 0 и m = 1:
(35)
Поскольку в силу (2) должны выполняться равенства (18), то потребуем, чтобы bk = 0 и dk = 0,
ak = ;ck . С учетом последних равенств решения (14), (17) примут вид
8
<Yk+ (y) = ak y 12 I 1 (pk yq );
y > 0;
2q
Yk (y) = : ;
(36)
1
q
2
Yk (y) = ;ak (;y) J 21q (pk (;y) ); y < 0:
В этом случае задача (2){(6) переопределена. Поэтому достаточно задать лишь одно граничное условие на верхнем или нижнем основании прямоугольника D. Пусть для определенности
задано граничное условие (5). Тогда на основании (20), (23) и (36) найдем
ak =
fk
:
I 21q (pk q )
1
2
Подставляя (37) в (36), получим
8
fk
q 1
>
>
y > 0;
>
< 12 I 1 (pk q ) I 21q (pk y )y 2 ;
2q
uk (y) = >
fk
1
q
>
>
:; 12 I 1 (pk q ) J 21q (pk (;y) )(;y) 2 ; y < 0:
2q
Пусть теперь f (x) 0. Тогда из равенств (23), (38) и (20) следует
Z1
u(x; y) sin kx dx = 0:
0
(37)
(38)
Отсюда в силу полноты системы синусов fsin kxg, k = 1; 2; : : : , в пространстве L2 [0; 1] следует
u(x; y) 0 для всех x 2 [0; 1] и y 2 [;; ]. Следовательно, справедлива
Теорема 3. Если существует решение u(x; y ) задачи (2){(5), то оно единственно.
На основании частных решений (10) и (38) решение задачи (2){(5) можно представить в виде
суммы ряда Фурье (31), где uk (y) определяется по формуле (38).
Для отношений
s
r y I 1 (pk yq )
J 21q (pk (;y)q )
;
y
2q
Dk (y) = I 1 (p q ) ; Gk (y) = I 1 (p q )
k
k
2q
2q
имеет место
Лемма 3. Для достаточно больших k справедливы оценки
jDk (y)j C21 ; jDk0 (y)j C21k;
jGk (y)j C22 e;kd; jG0k (y)j C22k1+ ; = 1=2q ; 1=2;
jDk00 (y)j C23k2; = 1=2q ; 1=2; " y ;
jG00k (y)j C24k3+ e;kd; ; y ;"; " > 0:
Доказательство аналогично доказательству лемм 1, 2.
51
Теорема 4. Если f (x) удовлетворяет условиям теоремы 2, то задача (2){(5) однозначно
разрешима. Это решение определяется рядом (31), где коэффициенты uk (y) находятся по формулам (38).
Теперь решение уравнения (1) будем искать в классе функций
C (D) \ C 2(D+ [ D;):
(39)
Поскольку производные функций Yk+ (y) и Yk; (y) при y ! 0 обращаются в 1, то в силу оценки
(34), (35) введем следующие условия сопряжения:
m;1
lim ym;1 uy (x; y) = ylim
(40)
y!+0
!;0(;y) uy (x; y) при 1 < m < 2;
uy (x; y) = lim uy (x; y) при m = 1:
(41)
lim
y!;0 ln (;y )
y!+0 ln y
Учитывая условие (40), подберем в (14), (17) постоянные ak , bk , ck и dk так, чтобы выполнялись равенства
m;1 0+
m;1 0;
Yk (+0) = Yk (;0); ylim
!+0 y Yk (y) = ylim
!;0(;y) Yk (y):
Они будут выполнены, если bk =; 2 dk , ak и ck | любые постоянные. Тогда заменяя в (17) dk
через bk , получим
p
p
Yk;(y) = ck ;yJ 21q (pk (;y)q ) ; b2 k ;y Y 21q (pk (;y)q ); y < 0:
(42)
Учитывая условие (41), подберем в (14), (17) постоянные ak , bk , ck и dk так, чтобы выполня-
лись равенства
Yk (+0) = Yk (;0);
Yk0+ (y) = lim Yk0; (y) :
lim
y!+0 ln y
y!;0 ln (;y )
Они выполнены, если bk =; 2 dk , ak и ck | любые постоянные.
Тогда решения (14), (17) примут вид
( +
pyI (p y 21 ) + b pyK (p y 12 );
y > 0;
Y
(
y
)
=
a
1 k
k
1 k
k
k
(43)
Yk (y) = ;
p
p
1
1
b
k
2
2
Yk (y) = ck ;yJ1 (pk (;y) ) ; 2 ;y Y1 (pk (;y) ); y < 0:
Из построенных решений (14), (42) и (43) следует, что при 1 m < 2 задача (3){(6) в классе
(39){(41) имеет бесконечное множество решений, т. е. поставленная задача недоопределена. Для
выделения единственного решения такой задачи необходимо задать еще одно граничное условие,
например, uy (x; ;) = g1 (x) или uy (x; ) = f1 (x), 0 x 1.
Литература
1. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. { М.: Наука, 1973. { 711 с.
2. Бицадзе А.Б. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // ДАН
СССР. { 1953. { Т. 122. { Є 2. { С. 167{170.
3. Шабат Б.В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН
СССР. { 1957. { Т. 112. { Є 3. { С. 386{389.
4. Вахания Н.Н. Об одной особой задаче для уравнения смешанного типа // Тр. АН ГрузССР.
{ 1963. { Т. 3. { С. 69{80.
5. Cannon J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coecient //
Ann. math. pura ed appl. { 1963. { V. 62. { P. 371{377.
6. Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа
в цилиндрической области // Дифференц. уравнения. { 1970. { Т. 6. { Є 1. { С. 190{191.
52
7. Хачев М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике // Дифференц. уравнения. { 1975. { Т. 11. { Є 1. { С. 151{160.
8. Хачев М.М. О задаче Дирихле для одного уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. { 1976. { Т. 12. { Є 1. { С. 137{143.
9. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева{Бицадзе. I. Теоремы единственности // Докл. РАН. { 1993. { Т. 332. { Є 6. { С. 696{698.
10. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева{Бицадзе. II. Теоремы существования // Докл. РАН. { 1993. { Т. 333. { Є 1. { С. 16{18.
11. Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. { Нальчик.
Изд. \Эльбрус", 1998. { 168 с.
12. Кароль М.В. Краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа
// ДАН СССР. { 1955. { Т. 101. { Є 5. { С. 793{796.
13. Кароль М.В. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического
типа // Матем. сб. { 1956. { Т. 38. { Є 5. { С. 261{283.
14. Крикунов Ю.М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. { Казань:
Казанский университет, 1986. { 148 с.
15. Хайруллин Р.С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода // Сиб.
матем. жур. { 1994. { Т. 35. { Є 4. { С. 927{936.
16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. T. 2. { М.: Наука, 1965. { 295 с.
17. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. { М.: Наука, 1966. {
724 с.
Стерлитамакская государственная
педагогическая академия
Стерлитамакский филиал Академии
наук республики Башкортостан
Поступила
15.11.2005
53
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
17
Размер файла
188 Кб
Теги
рода, типа, уравнения, прямоугольный, смешанной, области, дирихле, задачи, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа