close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Коши для системы уравнений термоупругости в пространстве.

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 6 (445)
УДК 517.958:539.3
Т.И. ИШАНКУЛОВ, О.И. МАХМУДОВ
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ТЕРМОУПРУГОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть x = (x1 ; x2 ; x3 ), y = (y1 ; y2 ; y3 ) | точки трехмерного евклидова пространства E 3 и
термоупругая среда есть ограниченная односвязная область D в E 3 с кусочно-гладкой границей,
состоящей из куска плоскости y3 = 0 и гладкой поверхности S , лежащей в полупространстве
y3 > 0, т. е. @D = S [ . Рассмотрим матричный дифференциальный оператор
B (@=@x; !) = kBmj (@=@x; !)k44 ;
Bmj (@=@x; !) = (1 ; m4 )(1 ; 4j )[mj ((@=@x) + !2=) + ( + )@ 2 =@xm @xj ] ;
;4j (1 ; m4 )@=@xm + i!m4 (1 ; 4j )@=@xj + m44j ((@=@x) + i!={); m; j = 1; 2; 3; 4;
где (@=@x) = @ 2 =@x21 + @ 2 =@x22 + @ 2 =@x23 | оператор Лапласа, , , | постоянные Ламе и
плотность упругой среды соответственно, ! | частота колебания, mj | символ Кронекера, =
(3 + 2), | коэффициент линейного температурного расширения среды, { | коэффициент
температуропроводности, i | мнимая единица, k | коэффициент теплопроводности среды,
= 0 =k, 0 | температура среды в недеформированном состоянии. Уравнение термоупругоколебательного состояния среды D в компонентах смещения принимает вид [1]
B (@=@x; !)v = 0;
(1)
где v = (u1 ; u2 ; u3 ; u4 ) = (u; u4 ) | компоненты смешения, u4 = | отклонение температуры
среды от температуры 0 . Решение v системы (1) в области D назовем регулярным, если v 2
C 1 (D) \ C 2 (D).
В дальнейшем будем использовать матричный дифференциальный оператор термонапряжения
R(@=@y; n(y)) =
T
;n1
;n2
;n3 ;
;n4
0 0 0 @=@n где T означает оператор напряжения
T (@=@y; n(y)) = kTmj k33 = knm @=@yj + nj @=@ym + mj @=@nk33 ;
n(y) = (n1 ; n2 ; n3 ) | единичный вектор внешней нормали к поверхности @D в точке y. Через
Re (@=@y; n(y)) обозначим матрицу, которая получается из R(@=@y; n(y)) заменой в последнем
столбце на i!.
Постановка задачи. Требуется определить регулярное решение v системы (1) в области
D, исходя из ее данных Коши, заданных на поверхности S ,
v(y)jS = f (y); R(@=@y; n(y))v(y)jS = g(y);
(2)
f = (f1 ; f2 ; f3 ; f4), g = (g1 ; g2 ; g3 ; g4 ) | заданные непрерывные вектор-функции.
27
Данная задача является некорректной. Характер некорректности такой же, как у задачи
Коши для уравнения Гельмгольца. Для случая ! = 0, = 0 [2] (система уравнений статики)
рассматриваемая задача исследована в [3]. Наша цель состоит в построении приближенного
решения задачи (1), (2), основанном на методе функции Карлемана.
Функцию Карлемана задачи Коши для уравнения Лапласа в случае, когда | часть поверхности конуса, построил Ш.Я. Ярмухамедов [4], [2]. Матрица Карлемана задачи Коши для
уравнений Коши{Римана в случае, когда S | произвольное множество положительной меры,
построена в [5]. Развивая идею С.Н. Мергеляна [6] построения функции Карлемана в случае
задачи Коши для уравнения Лапласа, когда S | кусок с гладким краем границы односвязной области, основанного на теоремах об аппроксимации, Н.Н. Тарханов [7] построил матрицу
Карлемана для эллиптических систем (см. также [8]{[15]).
Пусть вместо f (y) и g(y) заданы их приближения f (y) и g (y) с точностью , 0 < < 1 (в
метрике C ), которые могут не принадлежать классу существования решений. В работе строится
семейство функций U (x; f ; g ) = U (x), зависящее от параметра , и доказывается, что при некоторых условиях и специальном выборе параметра () при ! 0 семейство U (x) сходится в
обычном смысле к решению U (x) задачи (1), (2). Следуя [8], U (x) назовем регуляризованным
решением задачи. Регуляризованное решение определяет устойчивый метод приближенного решения задачи (1), (2).
Используя результаты [9], [10], [4] по задаче Коши для уравнения Лапласа, построим матрицу
Карлемана в явном виде и на ее основе | регуляризованное решение задачи Коши для системы
уравнений термоупругости.
Ранее в работах [5], [7] было доказано, что матрица Карлемана существует во всякой задаче
Коши для решений эллиптических систем, если только данные Коши задаются на граничном
множестве с положительной мерой. Поскольку здесь идет речь о явных формулах, то построение матрицы Карлемана в элементарных и специальных функциях представляет значительный
интерес.
Следуя [9], приведем
Определение. Матрицей Карлемана задачи (1), (2) называется 4 4-матрица (y; x; !; ; ),
удовлетворяющая следующим двум условиям:
(y; x; !; ; ) = ;(y; x; !; ) + G(y; x; !; ; );
где | положительный числовой параметр, матрица G(y; x; !; ; ) по переменной y удовлетворяет системе (1) всюду в области D, ;(y; x; !; ) | матрица фундаментальных решений
уравнений (1);
Z
(jj + j(Re ) j)dsy "();
где "() ! 0 при ! 1; здесь и далее означает матрицу, сопряженную матрице , а jj |
P
1=2
P
1=2
4
4
евклидова норма матрицы = kmj k, т. е. jj =
2mj
(в частности, jU j =
u2m
m=1
m;j =1
для вектора U = (u; u4 )).
С целью построения приближенного решения задачи (1), (2) рассмотрим матрицу
(y; x; !; ; ) = kmj (y; x; !; ; )k44 ;
3
2
X
(1
;
@
m
4 )(1 ; j 4 ) mj
mj (y; x; !; ; ) =
2
(y; x; i3 ) ; k=1 k @xm @xj (y; x; ik ) +
+ i!
2 m4 (1 ; j4 )
3
X
k=1
k @x@ (y; x; ik ) ;
28
j
(3)
; 2 j4 (1 ; m4)
3
X
k=1
3
X
k @x@ (y; x; ik ) + j42m4 k (y; x; ik );
m
k=1
где постоянные k , k , k , k явно выражаются через постоянные термоупругости | коэффициенты системы (1) [1],
p
Z 1
1
(w ; x3 )2 ] p
cos u du ;
(y; x; ) = 2
Im exp[(w ;wx3;) +
x3
u2 + 2
0
(4)
w = i u2 + 2 + y3, 2 = (y1 ; x1 )2 + (y2 ; x2)2 , > 0.
Из результатов работы [4] вытекает
Лемма 1. Функция (y; x; ) является функцией Карлемана для уравнения Гельмгольца,
т. е. обладает следующими двумя свойствами:
r)
(5)
(y; x; ) = exp(
4r + v(y; x; ; ); r = jx ; yj;
где v (y; x; ; ) | некоторая функция, определенная для всех значений y , x и удовлетворяющая
уравнению Гельмгольца
Z
где
(@=@y)v ; 2 v = 0; y 2 D;
(j j + j@ =@nj)dsy C (; D) exp(;x3 );
(6)
C (; D) | постоянная.
Докажем аналогичную лемму для системы (1).
Лемма 2. Матрица (y; x; !; ; ), определенная равенствами (3) и (4), является
цей Карлемана для задачи (1), (2).
Доказательство.
матри-
В силу равенств (3) и (5) имеем
3
2
X
(1
;
@
m
4 )(1;j 4 ) mj
(y; x; !; ; );;(y; x; !; )=
2
v(y; x; i3 ; ) ; k=1 k @xm@xj v(y; x; ik ; ) ;
3
3
X
X
@
j
4
m
4
; 2 j4 (1 ; m4 ) k @x v(y; x; ik ; ) ; 2
k v(y; x; ik ; ) =
m
k=1
k=1
= kGmj (y; x; !; ; )k = G(y; x; !; ; ):
Непосредственным вычислением можно убедиться, что матрица G(y; x; !; ; ) по переменному y удовлетворяет системе (1) всюду в области D. Используя формулы (3), (4) и (6), на
каждом компакте D0 D получим
Z
(jj + j(Re ) j)dsy C (; ; !; ; D)3 exp(;x3 );
(7)
где C (; ; !; ; D) | некоторая постоянная. Здесь и далее для краткости обозначений опускаем
аргументы функции .
Положим
2U (x) =
Z
;
S
(RU (y) ; Re ) U (y) dsy ; x 2 D:
29
(8)
Имеет место
U (x) | регулярное решение системы (1) в области D, удовлетворяющее
Теорема 1. Пусть
условию
jU (x)j + jR(@=@y; n)U (x)j 1; y 2 :
Тогда при
1 справедлива оценка
jU (x) ; U (x)j C1 (; ; !; ; D)3 exp(;x3); x 2 D:
(9)
Доказательство. Из леммы 2 для регулярного решения в области D системы (1) вытекает
справедливость интегральной формулы Грина{Купрадзе [1]
2U (x) =
Z
@D
(R(@=@y; n)U (y) ; (Re (@=@y; n) ) U (y))dsy ; x 2 D:
Перепишем это равенство в виде
Z
Z
2U (x) = (RU (y) ; (Re ) U (y))dsy + (RU (y) ; (Re ) U (y))dsy :
S
(10)
Неравенство (9) следует из (7) и (10).
Приведем результат, который позволяет вычислить U (x) приближенно, когда на поверхности
S вместо U (x) и R(@=@y; n(y))U (x) заданы их непрерывные приближения f (y) и g (y), для
которых
max
jf (y) ; f (y)j + max
jg(y) ; g (y)j ; 0 < < 1:
S
S
(11)
Предполагаем, что S удовлетворяет условиям Ляпунова. Определим функцию
Z
2U (x) = (g (y) ; (Re (@=@y; n) ) f (y))dsy ; x 2 D;
(12)
S
где = x103 ln(1=), x03 = max
x.
D 3
Теорема 2. Пусть
U (x) | регулярное решение системы (1) в области D, удовлетворяющее
условию
jU (x)j + jR(@=@y; n)U (x)j 1; y 2 :
Тогда справедлива оценка
jU (x) ; U (x)j C2(; ; !; ; D)x =x (ln(1=))3 ; x 2 D0 D:
3
Доказательство.
jU (x) ; U (x)j = 12
0
3
Из формул (8), (10), (12) для любого x 2 D вытекает
Z S
(R(@=@y; n)U (y) ; g (y)) ; (Re (@=@y; n) ) (U (y) ; f (y)) dsy +
+
Z R(@=@y; n)U (y) ; (Re (@=@y; n) ) U (y) dsy ; x 2 D:
30
Из условия теоремы и неравенств (7), (9), (11) имеем
jU (x) ; U (x)j C1(; ; !; ; D)3 exp(x03 ; x3 ) + C (; ; !; ; D)3 exp(;x3) C2(; ; !; ; D)3 (1 + exp(x03 )) exp(;x3); x 2 D0:
Так как = x103 ln(1=), то из (13) следует утверждение теоремы.
Из доказанных теорем получаем
Следствие. Предельные равенства
lim U (x) = U (x); lim
U (x) = U (x)
!1
!0
(13)
выполняются равномерно на каждом компакте из D.
Формула (8) дает в явном виде приближенное решение задачи (1), (2), а формула (12) изображает приближенное решение, когда данные Коши на S заданы приближенно.
Теперь приведем аналогичные результаты для областей типа конуса. Обозначим через S 0
гладкую поверхность в E 3 , которая видна из начала координат под телесным углом ненулевого
раствора. Предположим, что конус
y12 + y22 = y32 ; = tg 2q ; q > 1;
отсекает гладкий кусок S S 0 и S вместе с частью этого конуса образует границу односвязной области Dq . Будем считать, что существует регулярное решение уравнения (1) в области
Dq , удовлетворяющее условию Коши на поверхности S . С целью построения приближенного
решения задачи Коши в точке x0 = (0; 0; x3 ) 2 Dq функцию (y; x; ) в равенстве (7) запишем
в виде
p
2 ;y12 ;y22
Z
q
'
(
w
)
(y; x; ) = 2E (1=q x )
Im w ; x p 2cos 2u 2 du;
u + y 1 + y2
q
3
3
0
p
' (w) = exp[wq q + (w ; x3)2 ], = y3 , w = i u2 + y12 + y22 + y3 , Eq (z) | целая функция
Миттаг-Леффлера [11].
Введем обозначения
Z
2U (x) = ((y; x0 ; !; ; )g(y) ; (Re (y; x0 ; !; ; )) f (y))dsy ;
2U (x) =
Теорема 3.
ZS
S
((y; x0 ; !; ; )g (y) ; (Re (y; x0 ; !; ; )) f (y))dsy ;
q
= R0 ln(1=); R0q = Re (i y12 + y22 + y3)q :
Пусть U (x) | регулярное решение системы (1) в области Dq , удовлетворяю-
щее условию
jU (x)j + jR(@=@y; n)U (x)j 1; y 2 :
Тогда справедлива оценка
jU (x0 ) ; U (x0)j C3(; ; !; ; D)5 exp(; q xq3); 1;
jU (x0) ; U (x0)j C4(; ; !; )(x =R ) (ln(1=))5 :
3
0
q
Теорема 4. Имеют место предельные равенства
lim
!1 U
(x ) = U ( x ) ;
0
0
lim U (x0 ) = U (x0 ):
!0
31
Доказательства теорем 3, 4 аналогичны доказательствам теорем 1, 2.
В заключение авторы выражают признательность академику М.М. Лаврентьеву и профессору Ш.Я. Ярмухамедову за постановку задачи и обсуждения в процессе ее решения.
Литература
1. Купрадзе В.Д., Бурчуладзе Т.В., Гегелиа Т.Г. и др.
Трехмерные задачи математической
теории упругости и термоупругости. Классическая и микрополярная теория. Статисти-
. { 2-е изд. { М.: Наука,
ка, гармонические колебания, динамика. Основы и методы решения
1976. { 624 с.
2. Ярмухамедов Ш.Я., Ишанкулов Т.И., Махмудов О.И. О задаче Коши для системы уравнений
теории упругости в пространстве // Сиб. матем. журн. { 1992. { Т. 33. { Є 1. | С.186{190.
3. Махмудов О.И. Задача Коши для системы уравнений пространственной теории упругости
в перемещениях // Изв. вузов. Математика. { 1994. - Є 1. { С. 54{61.
4. Ярмухамедов Ш.Я. О задаче Коши для уравнения Лапласа // ДАН СССР. { 1977. { Т. 235.
{ Є 2. { С. 281{283.
5. Айзенберг Л.А., Тарханов Н.Н. Абстрактная формула Карлемана // ДАН СССР. { 1988. {
T. 298. { Є 6. { С. 1292{1296.
6. Мергелян С.Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для
уравнения Лапласа // УМН. { 1956. { Т. 11. { Є 5. { С. 3{26.
7. Тарханов Н.Н. О матрице Карлемана для эллиптических систем // ДАН СССР. { 1985. {
Т. 284. { Є 2. { С. 294{297.
8. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН
СССР. { 1963. { Т. 151. { Є 3. { С. 501{504.
9. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. { Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1962. { 92 с.
10. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка
// ДАН СССР. { 1957. { Т. 112. { Є 2. { С. 195{197.
11. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной
области. { М.: Наука, 1966. { 696 с.
12. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. { 3-е изд. { М.: Физматгиз, 1961. { 400 с.
13. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР. Сер. матем. {
1956. { Т. 20. { Є 6. { С. 819{842.
14. Иванов В.К. Задача Коши для уравнения Лапласа в бесконечной полосе // Дифференц. уравнения. { 1965. { Т. 1. { С. 131{136.
15. Махмудов О.И. Задача Коши для системы теории упругости в пространстве // Дис. : : :
канд. физ.-матем. наук. { Новосибирск, 1990. { 80 с.
Самаркандский государственный
Поступила
28.03.1996
университет
32
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
153 Кб
Теги
уравнения, термоупругость, пространство, кошик, система, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа