close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Неванлинны--пика в классе s[a b].

код для вставкиСкачать
2003
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (489)
УДК 517.547
Ю.М. ДЮКАРЕВ, А.Е. ЧОКЕ РИВЕРО
ЗАДАЧА НЕВАНЛИННЫ{ПИКА В КЛАССЕ
S [a; b]
1. Введение
При исследовании степенной проблемы моментов на компактном интервале М.Г. Крейн ввел
([1], c. 527) некоторый специальный класс голоморфных функций S [a; b]. Этот класс был использован для описания всех решений неопределенной степенной проблемы моментов на компактном интервале. Как известно ([2], c. 121), решение проблемы моментов можно свести к описанию
неванлинновских функций с предписанной асимптотикой вдоль мнимой оси. В этих терминах
можно считать, что при решении проблемы моментов на компактном интервале была решена
интерполяционная задача с кратным узлом интерполяции в бесконечно удаленной точке для
функций класса S [a; b].
В данной работе поставлена и решена задача Неванлинны{Пика в классе S [a; b] в случае,
когда заданы простые комплексные узлы интерполяции. При этом мы рассматриваем случай
матричнозначных функций. Следует отметить, что проблема моментов на компактном интервале в матричной постановке была рассмотрена в [3].
Основными результатами статьи являются теоремы 8 и 9, в которых дано описание всех решений вполне неопределенной задачи Неванлинны{Пика в классе S [a; b] и установлен критерий
разрешимости соответствующей интерполяционной задачи.
В работе используется метод В.П. Потапова решения интерполяционных задач [4] и некоторые его обобщения для неванлинновских [5] и стилтьесовских функций [6]{[8].
2. Постановка задачи Неванлинны-Пика в классе
S [a; b]
Пусть задано целое число m 1. Обозначим через R (и назовем неванлинновским) множество m m-матриц-функций w(z ), которые определены и голоморфны в верхней полуплоскости
Im z > 0 и удовлетворяют условию (w(z ) ; w (z ))=2i 0.
Пусть [a; b] | конечный интервал в R. Обозначим через S [a; b] множество m m-матрицфункций, которые определены и голоморфны в полуплоскости Im z > 0, определены и непрерывны в точках x 2 (;1; a) [ (b; +1) и удовлетворяют условиям
1. fs(z ) ; s (z )g=f2ig 0, Im z > 0,
2. s(x) 0, x 2 (;1; a) [ (b; +1).
Из этого определения видно, что матрицы-функции s(z ) 2 S [a; b] по принципу симметрии Шварца s(z ) = s(z ) аналитически продолжаются через (;1; a) [ (b; +1) в нижнюю полуплоскость.
Поэтому они фактически определены и голоморфны во всей комплексной плоскости с разрезом
по интервалу [a; b].
Сформулируем две теоремы ([1], c. 528).
Теорема 1. Матрица-функция s(z ) принадлежит S [a; b] тогда и только тогда, когда s(z )
допускает интегральное представление вида
Z d(t)
s(z) = (b ; z )
:
(1)
b
a
36
t;z
Здесь (t) | неубывающая эрмитова m m-матрица-функция ограниченной вариации.
Теорема 2. Матрица-функция s(z ) принадлежит S [a; b] тогда и только тогда, когда
s(z) 2 R и ;; s(z ) 2 R.
Пусть задана последовательность комплексных чисел
z1 ; z2 ; : : : ; z ; z 6= z ; z 6= z ; j 6= k; Im z 6= 0;
и последовательность квадратных m m-матриц s1 ; : : : ; s . Интерполяционная задача Неванлинны{Пика в классе S [a; b] состоит в описании таких матриц-функций s(z ), что
s(z ) = s ; 1 j n; s(z) 2 S [a; b]:
(2)
Множество всех решений этой проблемы обозначим через L.
Вместе с каждым решением s(z ) проблемы (2) будем рассматривать матрицы-функции
z
a
b
z
n
j
k
j
k
j
n
j
Введем блочные матрицы
j
; a s(z):
s1 (z ) = s(z ); s2 (z) = zb ;
z
2z1 I
60
T = 664 ..
.
0
se
0 :::
z2 I : : :
K2 = z ; z
j
j
3
s ; s 77
75 ; K1 = z ; z
0
0
..
.
.. . . .
.
0 ::: z I
; se j
k
j
k
n
j;k
=1
;
n
n
; se = zb ;;za s ; 1 j n;
=1
2(z1 ; z);1 I : : :
3
0
j
k
k
(3)
j
j;k
j
j
R (z) = (T ; zI );1 = 64
..
.
0
T
..
.
...
75 ;
: : : (z ; z );1 I
v = col[I; I; : : : ; I ]; u1 = col[s1 ; s2 ; : : : ; s ]; u2 = col[se1 ; se2 ; : : : ; se ]:
В этих формулах 0 и I обозначают соответственно нулевую и единичную m m-матрицы.
Теорема 3. Если s(z ) является решением задачи (2), то s1 (z ) и s2 (z ), определенные формуn
n
n
лой (3), удовлетворяют следующей системе основных матричных неравенств (ОМН ) В.П. Потапова (Im z 6= 0)
R (z)f u ; vs (z ) g 0; r = 1; 2:
A (z) K
(4)
fs (z) ; s(z)g=fz ; z g
Доказательство. Получим интегральные представления для блоков неравенства (4). Пусть
r = 1, тогда
s1 (z ) ; s1 (z) = Z 1 (b ; t)d(t) 1 :
z;z
t;z
t;z
И далее
r
r
r
T
r
r
r
b
a
2 I 3
66 t ; z1 77
I
Z
Z 666 I 777
I
I
t
;
z
K1 = 66 . 2 77 (b ; t)d(t) t ; z t ; z t ; z = R (t)v(b ; t)d(t)v R (t):
1
2
66 .. 77
4 I 5
t;z
b
b
T
a
n
n
37
a
T
Кроме того,
R (z )[u ; vs1 (z )] = ;
b
r
T
Следовательно,
Z
R (t)v(b ; t)d(t) t ;1 z :
T
a
Z R (t)v ;1 A1 ( z ) =
;(t ; z);1 I (b ; t)d(t) v R (t); ;(t ; z) I 0:
b
T
T
a
Аналогично при r = 2 имеем
A2(z) =
Z R (t)v v R (t); ;(t ; z);1I 0: (
t
;
a
)
d
(
t
)
;
1
;(t ; z) I
b
T
T
a
Докажем обратное утверждение.
Теорема 4. Пусть матрица-функция s(z ) голоморфна в Im z > 0 и построенные по s(z )
матрицы-функции s1 (z ) и s2 (z ) (см. (3)) удовлетворяют системе ОМН (4) в полуплоскости
Im z > 0. Тогда s(z ) является решением задачи Неванлинны{Пика (2).
Из ОМН следует fs (z ) ; s (z )g=f2ig 0, Im z > 0, r = 1; 2. Следовательно, s (z ) 2 R. По теореме 2 s(z ) 2 S [a; b]. Далее, снова из ОМН имеем
Доказательство.
r
r
2 s ; s
66 z ; z
64 s ; s(z)
z ;z
j
j
j
j
j
j
r
s ; s(z)
z ;z
s(z ) ; s (z)
z;z
j
j
3
77
75 0:
Пусть e и f | произвольные такие m-мерные вектор-столбцы, что kek 1 и kf k 1. Тогда
2 s ; s
66 f z ; z f
64 s ; s(z)
e z ; z f
j
j
j
j
j
j
; s(z) e 3
z ; z 777 0:
e s(z)z ;;sz (z) e 5
fs
j
j
Отсюда
s ; s(z) 2 s ; s s(z) ; s(z) e
z ; z f f z ; z f e z ; z e :
Из того, что правая часть этого неравенства ограничена при z ! z , получим e [s (z ) ; s ]f = 0.
Поэтому s (z ) = s . Из принципа симметрии Шварца следует s(z ) = s , 1 j n.
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
3. Решение задачи Неванлинны{Пика в классе
S [a; b]
Задача Неванлинны{Пика (1) называется вполне неопределенной, если выполнены неравенства
K1 > 0; K2 > 0:
(5)
Во вполне неопределенном случае свяжем с задачей (1) две матрицы-функции порядка 2m 2m.
Эти матрицы-функции позволяют решить систему ОМН методом факторизации.
38
Теорема 5.
Пусть
B = I ; i(z ; b)J uv R (b)K ;1 R (z )[u ; v]; r = 1; 2;
I M 1
U1(z) = 0
I B1 ;
I
0
U2(z ) = ;M
I B2 ;
2
0 ;iI M1 = (b ; a)v R (b)K2;1 R (b)v;
J = iI
0 :
M2 = (b ; a)u1 R (b)K1;1 R (b)u1 ;
r
r
T
r
r
(6)
T
T
T
T
Тогда
T
U (z )JU (z ) ; J = i(z ; z ) uv R (z)K ;1 R (z )[u ; v]; r = 1; 2:
r
r
r
T
T
r
. Проверим тождество (7)
Доказательство
(7)
r
U (z )JU (z ) ; J = I + i(z ; b) uv R (z)K ;1 R (b)[u ; v]J JB ; J =
u
u
;
1
= ;i(z ; b) v R (b)K R (z )[u ; v] + i(z ; b) v R (z )K ;1 R (b)[u ; v] +
+ jz ; bj2 uv R (z )K ;1 R (b)i(K T ; TK )R (b)K ;1 R (z )[u ; v] =
u
= i(z ; z ) v R (z )K ;1 R (z )[u ; v]:
r
r
r
T
r
T
T
r
r
T
r
T
r
r
r
r
r
T
T
r
r
T
r
r
T
T
r
r
r
T
r
T
r
При этом использовано очевидное тождество
u
[u ; v]J v = i(K T ; TK ): r
r
r
r
Матрицы-функции U1 (z ) и U2 (z ) обратимы во всех точках z , кроме узлов интерполяции и комплексно сопряженных точек
z 1 ; z2 ; : : : ; z ; z 1 ; z 2 ; : : : ; z :
Обратные матрицы могут быть найдены по принципу симметрии
Следствие.
n
n
U ;1(z) = JU (z )J; r = 1; 2:
r
(8)
r
Для J -форм U ;1 (z ) имеют место выражения
r
U ;1(z )JU ;1 (z) ; J
r
r
u
= ;i(z ; z )J v R (z )K ;1 R (z )[u ; v]J; r = 1; 2:
r
T
r
T
r
(9)
Пусть в (7) z = z = x. Тогда
U (x)JU (x) ; J = 0; x 2 R:
Умножим это равенство слева на J . Получим
Доказательство.
r
r
JU (x)JU (x) ; I = 0; x 2 R:
r
r
39
(10)
Рассмотрим рациональную матрицу-функцию F (z ) = JU (z )JU (z );I . Из (10) следует F (x) = 0,
x 2 R. По теореме единственности F (z ) = 0 во всех точках голоморфности. Отсюда следует (8).
В равенстве (7) заменим z на z и умножим его слева и справа на J . Получим
r
r
JU (z )JJJU (z )J ; J = i(z ; z)J uv R (z)K ;1 R (z )[u ; v]J; r = 1; 2:
r
r
r
T
r
r
T
Из (8) следует (9).
Обозначим
U (z) = ((zz)) ((zz)) ; r = 1; 2;
где , , , являются m m-матрицами.
Теорема 6. Матрицы-функции U1 (z ) и U2 (z ) связаны следующим соотношением:
0 z ; a 1;1
0 z ; a 1
I
0
A U1 (z ) @ b ; z I 0 A :
U2(z ) = @ b ; z
0
I
0
I
r
r
r
r
(11)
r
r
r
r
r
Имеем
1 (z ) = I M1 1 (z )
0
I
I ; (z ; b)v R (b)K ;1R (z)u
(z ; b)u R (b)K ;11R (z)u1 1
1
1
(12)
Доказательство.
(z)
U1 (z) = 1(z )
1
;(z ; b)v R (b)K1;1R (z)v :
I + (z ; b)u1 R (b)K1;1 R (z)v
T
T
T
T
T
T
T
T
Преобразуем
1 (z ) = I ; (z ; b)v R (b)K1;1 R (z)u1 + (b ; a)(z ; b)v R (b)K2;1 R (b)vu1 R (b)K1;1 R (z)u1 =
= I ; (z ; b)v R (b)K1;1 R (z )u1 + (z ; b)v R (b)K2;1 fK2 + R;1 (a)R (b)K1 gK1;1 R (z )u1 =
= I ; (z ; b)v R (b)K2;1 R (z )u2
с использованием очевидного тождества
R (b)vu1 R (b) = (b ; a);1 fK2 + R;1 (a)R (b)K1 g:
Аналогичным образом убеждаемся в том, что 1 (z ) = (z ; a)v R (b)K2;1 R (z )v. Следовательно,
b)K2;1 R (z )u2
(z ; a)v R (b)K2;1 R (z )v :
U1 (z ) = I ;(z (;z ;b)ub)vRR(b)(K
(13)
;1
I + (z ; b)u1 R (b)K1;1 R (z )v
1 R (z )u1
1
Точно так же покажем
I ; (z ; b)v R (b)K ;1 R (z)u
R (b)K ;1 R (z )v ;
(
z
;
b
)
v
2
2
2
U2 (z) = ;(z ; a)u R (b)K ;1 R (z )u
(14)
I + (z ; b)u1 R (b)K1;1 R (z )v :
1
1
1
Из (13) и (14) следует (12).
Теорема 7. Во вполне неопределенном случае (5) система ОМН (4) эквивалентна факторизованной системе ОМН
;1
;1 (z ) s (z )
[s (z ) I ] U (iz(z)JU
(15)
I 0:
; z)
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
r
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
r
r
40
r
T
Умножим неравенство (4) при r = 1 слева и справа на матрицы
I
0 ; I ;K1;1R (z )fu1 ; vs1 (z )g :
;fu1 ; s1(z)v gR (z)K1;1 I
0
I
Доказательство.
T
T
Получим
2K
4 1
0
Отсюда
0
s1(z ) ; s1 (z) ; fu ; s (z)v gR (z )K ;1 R (z)fu ; vs(z )g
1
1
1
1
1
z;z
T
T
3
5 0:
s1(z) ; s1 (z ) ; fu ; s (z)v gR (z)K ;1 R (z)fu ; vs (z)g 0:
1
1
1
1
1
z;z
T
T
Последнее неравенство можно записать в виде
[s1 (z ) I ] i(z J; z ) ; J uv1 R (z )K1;1 R (z )[u1 v]J s1I(z ) 0:
Отсюда и из (7) следует
J
;1
;1 (z ) ; J s (z )
U
1 (z )JU1
1
[s1 (z ) I ] i(z ; z ) +
I 0:
i(z ; z )
Таким образом, неравенство (15) доказано при r = 1. Аналогично (15) доказывается при
r = 2.
Рассмотрим всевозможные пары m m-матриц-функций [p(z ) q(z )], которые мероморфны в
C n [a; b] и для которых существует такое дискретное в C n [a; b] множество точек D , что
p(z)p (z) + q(z )q (z ) > 0; z 2 C n f[a; b] [ D g;
(16)
[p(z ); q(z )] i(z J; z ) pq ((zz)) 0; z 2 C n fR [ D g;
(17)
z ; a
J 2 z ; a p(z)3
4
5
(18)
b ; z p(z); q(z) i(z ; z) b ;qz(z) 0; z 2 C n fR [ D g:
Примером пар, удовлетворяющих условиям (16){(18), являются пары вида [s(z ); I ], s(z ) 2 S [a; b].
Пара [p(z ); q(z )] называется эквивалентной паре [p1 (z ); q1 (z )], если существует мероморфная
и мероморфно обратимая в C n [a; b] матрица-функция Q(z ) такая, что
p1(z) = Q(z )p(z ); q1 (z) = Q(z)q(z):
Множество классов эквивалентности пар обозначим через S 1 [a; b].
Теорема 8. Пусть U1 (z ) определена формулами (11) и (6). Тогда дробно-линейное преобразование
s(z ) = fp(z)1 (z ) + q(z)1 (z )g;1 fp(z)1 (z) + q(z)1 (z)g
(19)
задает взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности S 1 [a; b] и решениями задачи Неванлинны{Пика L (2).
Доказательство теоремы основано на леммax 1{6.
Лемма 1. Если пара [p(z ); q (z )] удовлетворяет условиям (16){(18), то и пара
[p1 (z ); q1 (z )] = [p(z ); q(z )]U1 (z )
(20)
тоже удовлетворяет условиям (16){(18).
T
T
pq
pq
pq
pq
41
Доказательство. Обозначим через D 1 1 множество D , участвующее в определении пары [p(z ); q(z )], объединенное с узлами интерполяции и точками, комплексно сопряженными с узлами интерполяции. Ясно, что это множество дискретно в C n [a; b]. Во всех точках
z 2 C nf[a; b] [D 1 1 g матрица-функция U1 (z) невырождена (см. следствие из теоремы 5), а пара
[p(z ); q(z )] удовлетворяет условию (16). Отсюда следует, что пара [p1 (z ); q1 (z )] удовлетворяет
условию (16) с заменой множества D на множество D 1 1 .
Теперь покажем, что выполнено условие (17) для пары [p1 (z ); q1 (z )]. Для всех z 2 C nf[a; b] [
D 1 1 g имеем
p(z)
J
U
1 (z )JU1 (z ) p (z )
1
[p1 (z ); q1 (z )] i(z ; z ) q (z ) = [p(z ); q(z )] i(z ; z ) q (z ) 1
[p(z); q(z)] i(z J; z) pq((zz)) 0:
p q
pq
p q
pq
p q
p q
Здесь использовано неравенство U1 (z )JU1 (z )=i(z ; z ) J=i(z ; z ), которое следует из (7). Аналогичным образом может быть доказано (18).
Лемма 2. det q1 (z ) 6 0, z 2 C n [a; b]:
Доказательство. Пусть z0 2 C n fR [ D 1 1 g. Из (20) имеем
p(z )
;1
;1 (z0 ) p(z )
J
U
1 (z0 )JU1
0
1 0
0 [p(z0 ); q(z0 )] i(z ; z ) q (z ) = [p1 (z0 ); q1 (z0 )] i(z ; z )
q1 (z0 ) :
0
0
0
0
0
Поэтому
;1
;1 (z0 ) p (z )
U
1 (z0 )JU1
1 0
[p1 (z0 ); q1(z0 )] i(z ; z )
(21)
(z0 ) 0:
q
1
0
0
Пусть вектор-столбец e 2 C таков, что q1 (z0 )e = 0. Из (21) следует
;1
;1 (z ) p (z )e
J
;
U
0
1 (z0 )JU1
1 0
[e p1 (z0 ); 0]
0 0:
i(z 0 ; z0 )
Отсюда и из (9) имеем
u
p(z )e
;
1 1
[e p1 (z0 ); 0]J v R (z0 )K1 R (z0 )[u1 ; v]J 1 00 0:
Но ядро последнего неравенства строго положительно, поэтому p1 (z0 )e = 0. Таким образом,
p1 (z0 )e = q1(z0 )e = 0. Отсюда и из (16) следует e = 0. Поэтому
det q1 (z0 ) 6= 0 и det q1 (z ) 6 0:
Лемма 3. Дробно-линейное преобразование (19) корректно определено для всех пар (p(z ); q (z )),
удовлетворяющих условиям (16){(18), и s(z ) 2 S [a; b].
Доказательство. По заданной паре [p(z ); q (z )] с помощью (20) построим [p1 (z ); q1 (z )]. С
учетом (11) имеем
[p1 (z ); q1 (z )] = [p(z )1 (z ) + q(z )1 (z ); p(z )1 (z ) + q(z )1 (z )]:
Так как det q1 (z ) 6 0 по лемме 2, то s(z ) = q1 (z );1 p1 (z ) корректно определена как мероморфная
матрица-функция (19). По построению [p1 (z ); q1 (z )] эквивалентна паре [s(z ); I ]. Следовательно,
[s(z ); I ] удовлетворяет в точках голоморфности соотношениям (17) и (18), т. е.
s(z) ; s(z ) 0; ;; s (z) ; ;; s(z) 0:
(z ; z )
(z ; z )
p q
T
T
z
a
z
a
b
z
b
z
42
Первое из этих неравенств показывает, что все невещественные особенности s(z ) устранимы [9].
По теореме 2 s(z ) 2 S [a; b].
Лемма 4. Пары [p(z ); q (z )] и [p1 (z ); q1 (z )] в результате дробно-линейного преобразования
(19) приводят к одной и той же матрице-функции s(z ) тогда и только тогда, когда они эквивалентны.
Доказательство. Очевидно, что дробно-линейное преобразование (20), примененное к эквивалентным парам [p(z ); q(z )] и [p1 (z ); q1 (z )], приводит к одной и той же матрице-функции s(z ).
Докажем обратное утверждение. Пусть [p(z ); q(z )] и [p1 (z ); q1 (z )] приводят к одной и той же
матрице-функции s(z ) в результате дробно-линейного преобразования (20). Рассмотрим пары
[u(z ); v(z )] = [p(z ); q(z )]U1 (z ); [u1 (z ); v1 (z )] = [p1 (z ); q1 (z )]U1 (z ):
Отсюда
[v(z );1 u(z ); I ]U1;1 (z ) = [v;1 p(z ); v;1 q(z )];
[v1 (z );1 u1 (z ); I ]U1 = [v1;1 (z )p1 (z ); v1;1 (z )q1 (z )]:
По условию имеем v;1 (z )u(z ) = v1;1 (z )u1 (z ) = s(z ). Но тогда
[v;1 (z )p(z ); v;1 (z )q(z )] = [v1;1 (z )p1 (z ); v1;1 (z )q1 (z )]:
Окончательно получим p(z ) = v(z )v1;1 (z )p1 (z ); q(z ) = v(z )v1;1 (z )q1 (z ).
Лемма 5. Из соотношения (15) следует представление (19).
Доказательство. Рассмотрим пару
[p(z ); q(z )] = [s(z ); I ]U1;1 (z ):
(22)
Покажем, что для этой пары выполнятся условия (16){(18). Действительно, во всех точках
z 2 C n [a; b], за исключением узлов интерполяции и сопряженных точек, имеем
[p(z ); q(z )] pq ((zz)) = [s(z ); I ]U1;1 (z )U1;1 (z ) s I(z ) > 0;
т. е. выполнено (16). И далее с учетом (15) имеем
p(z)
;1
;1 (z ) s (z )
J
U
1 (z )JU1
[p(z ); q(z )] i(z ; z ) q (z ) = [s(z ); I ] i(z ; z )
I 0;
т. е. выполнено (17). Аналогичным образом убеждаемся в том, что выполнено условие (18).
Из (22) следует
[s(z ); I ] = [p(z )1 (z ) + q(z )1 (z ); p(z )1 (z ) + q(z )1 (z )]:
Отсюда
s(z ) = p(z )1 (z) + q(z)1 (z ); I = p(z )1 (z ) + q(z )1 (z):
Следовательно, s(z ) допускает представление в виде преобразования (19) над парой [p(z ); q(z )],
удовлетворяющей условиям (16){(18).
Лемма 6. Если задана произвольная пара [p(z ); q (z )], удовлетворяющая условиям (16){(18),
то преобразование (19) задает матрицу-функцию s(z ), которая удовлетворяет системе ОМН
(15).
43
Доказательство. Рассмотрим пару [p1 (z ); q1 (z )] = [p(z ); q (z )]U1 (z ). Матрица-функция q1 (z )
мероморфно обратима в C n [a; b]. Поэтому
[q1;1 (z )p1 (z ); I ]U1;1 (z ) = [q1;1 (z )p(z ); q1;1 (z )q(z )]:
(23)
Пусть s(z ) = q1;1 (z )p1 (z ), P (z ) = q1;1 (z )p(z ), Q(z ) = q1;1 (z )q(z ). Ясно, что s(z ) представлена в
виде (19) и s(z ) 2 S [a; b] по лемме 3. Пара [P (z ); Q(z )] удовлетворяет условиям (16){(18), т. к.
она эквивалентна паре [p(z ); q(z )]. Из (23) следует
P (z)
;1
;1 (z ) s (z )
J
U
1 (z )JU1
0 [P (z ); Q(z )] i(z ; z ) Q (z ) = [s(z ); I ] i(z ; z )
I :
Таким образом, s(z ) удовлетворяет ОМН (15) при r = 1. Аналогичным образом убеждаемся,
что s(z ) удовлетворяет (15) при r = 2. Следовательно, s(z ) 2 L.
Теорема 9. Для разрешимости задачи Неванлинны{Пика (2) необходимо и достаточно,
чтобы K1 0, K2 0.
R
Пусть s(z ) = (b ; z ) (t ; z );1 d(t) является решением
интерполяционной задачи Неванлинны{Пика (2). Как и при доказательстве теоремы 3, убеждаемся в том, что
b
Доказательство. Необходимость.
a
K1 =
K2 =
Z
R (t)v(b ; t)d(t)v R (t) 0;
b
Z
T
T
a
R (t)v(t ; a)d(t)v R (t) 0:
b
T
T
a
Достаточность. Рассмотрим вспомогательную интерполяционную задачу. Узлы интерполяции будут такими же, как и в задаче (2), а интерполируемые значения задаются формулами
Z Idt
Z Idt
Z Idt
w1 = (b ; z1) t ; z ; w2 = (b ; z2 ) t ; z ; : : : ; w = (b ; z ) t ; z :
1
2
b
b
b
n
n
a
a
a
Требуется описать решения следующей интерполяционной задачи:
w(z ) = w ; 1 j n; w(z) 2 S [a; b]:
j
(24)
j
R
n
Легко видеть, что w(z ) = (b ; z ) I (t ; z );1 dt является решением интерполяционной задачи
(24). Но тогда, как и при доказательстве теоремы 3, имеем
b
a
K1 =
w
K2 =
w
Z
b
Z
R (t)vv R (t)(b ; t)dt 0;
T
T
a
b
a
R (t)vv R (t)(t ; a)dt 0:
T
T
Покажем, что эти матрицы строго положительны. Действительно, пусть на некотором n mмерном столбце F = col[f1 ; f2 ; : : : ; f ] выродилась матрица K1 . Тогда имеем
w
Z
n
0 = F K
w
1
F=
b
F (t)F (t)(b ; t)dt; F (t) = v R (t)F:
T
a
Отсюда следует F (t) 0, но тогда F = 0: Таким образом, K1 > 0. Аналогичные рассуждения
приводят к выводу K2 > 0. Доказали, что вспомогательная интерполяционная задача (24)
является вполне неопределенной.
Пусть теперь дана интерполяционная задача (2) и для нее выполнено условие теоремы K1 0,
K2 0. Покажем, что у задачи (2) существует хотя бы одно решение.
w
w
44
При каждом k 1 рассмотрим интерполяционную задачу
s(z ) = s + w =k; 1 j n; s(z) 2 S [a; b]:
(25)
Из полной неопределенности задачи (24) вытекает полная неопределенность задачи (25) при
всех k. При каждом k выберем по одному решению s (z ) задачи (25). Легко видеть, что
ks (z1 )k ks1k + kw1k 8k 1:
Отсюда следует ([10], c. 32), что существует подпоследовательность s (z ), которая равномерно
на компактах в полуплоскости Im z > 0 сходится к голоморфной матрице-функции s(z ). Для
каждой из матриц-функций s (z ) запишем систему ОМН (4). Переходя к пределу, получим, что
матрица-функция s(z ) удовлетворяет системе ОМН, т. е. является решением задачи (2).
j
j
j
k
k
kl
kl
Литература
1. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Идеи
и проблемы П.Л. Чебышева и А.А. Маркова и их дальнейшее развитие. { М.: Наука, 1973. {
551 с.
2. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с
нею. { М.: Физматгиз, 1961. { 310 с.
3. Дюкарев Ю.М., Чоке Риверо А.Е. Степенная проблема моментов на компактном интервале // Матем. заметки. { 2001. { T. 69. { Вып. 2. { С. 200{213.
4. Ковалишина И.В. Аналитическая теория одного класса интерполяционных задач // Изв.
АН СССР. Сер. матем. { 1983. { Т. 47. { Є 3. { C. 455{497.
5. Ivanchenko T.S., Sakhnovich L.A. An operator approach to the Potapov scheme for the solution
of interpolation problems // Operator Theory: Advances and Applications. { 1994. { V. 72. {
P. 48{86.
6. Dyukarev Yu. M. Integral representations of a pair of nonnegative operators and interpolations
problems on the Stieltjes class // Operator Theory: Advances and Apllications. { 1997. { V. 95. {
P. 165{184.
7. Дюкарев Ю.М. Общая схема решения интерполяционных задач в классе Стилтьеса, основанная на согласованных интегральных представлениях пар неотрицательных операторов. 1 // Матем. физика, анализ, геометрия. { 1999. { Т. 6. { Є 1/2. { C. 30{54.
8. Дюкарев Ю.М. Факторизация оператор-функций мультипликативного класса Стилтьеса
// Докл. НАН Украины. { 2000. { Є 9. { С. 23{26.
9. Dym H. On Hermitian block Hankel matrices, matrix polynomials, the Hamburger moment
problem, interpolation and maximum entropy // Integral Equations and Operator Theory. { 1989.
{ V. 12. { P. 757{812.
10. Donoghue W.F. Monotone matrix functions and analytic continuation. { Berlin{N. Y. { SpringerVerlag, 1974. { 182 p.
Харьковский национальный университет
Поступила
06.11.2001
45
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
201 Кб
Теги
пика, класс, неванлинны, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа