close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Римана на n-листной поверхности проекции точек ветвления которой не имеют предельных точек в C.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2010, № 4, c. 10–18
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421000123 \0033
И.А. БИКЧАНТАЕВ
ЗАДАЧА РИМАНА НА n-ЛИСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ПРОЕКЦИИ
ТОЧЕК ВЕТВЛЕНИЯ КОТОРОЙ НЕ ИМЕЮТ ПРЕДЕЛЬНЫХ ТОЧЕК В C
Аннотация. Получены условия разрешимости и дано явное решение краевой задачи Римана
на n-листной поверхности в случае, когда проекции на комплексную плоскость точек ветвления имеют единственную точку сгущения на бесконечности.
Ключевые слова: краевые задачи, римановы поверхности.
УДК: 517.544
Abstract. We obtain the solvability conditions and explicitly solve the Riemann boundary value
problem on an n-sheeted surface in the case when projections of branch points on the complex
plane have a single limit point at infinity.
Keywords: boundary value problem, Riemann surface.
На компактной римановой поверхности краевая задача Римана была решена Л.И. Чибриковой, Р.Н. Абдулаевым и Э.И. Зверовичем ([1], [2]). На некомпактной римановой поверхности явное решение этой задачи было получено в случае конечнолистной поверхности,
все точки ветвления которой имеют максимальный порядок, а их проекции на комплексную плоскость C не имеют предельных точек в C [3]. В данной статье получены условия
разрешимости и дано явное решение краевой задачи Римана на n-листной поверхности в
случае, когда точки ветвления могут иметь любой порядок, а их проекции на комплексную
плоскость имеют единственную точку сгущения на беконечности.
Предварительные результаты
Пусть R — риманова поверхность рода бесконечность, на которой существует голоморфная функция z, принимающая каждое свое значение в C n раз (с учетом кратности). Тогда
отображение z : R → C определяет n-листную безграничную накрывающую (R, z) плоскости C с бесконечным числом точек ветвления, проекции которых не имеют в C предельных
точек.
Обозначим через D область на R с компактным дополнением R\D и такую, что (D, z) является безграничной накрывающей для области G := z(D) ⊂ C. Пусть G — подмножество
G, состоящее из тех точек, над которыми лежит n различных точек накрывающей (D, z),
т. е. G \ G состоит из проекций на G всех точек ветвления накрывающей (D, z). На любой
круг U ⊂ G при отображении z : D → G взаимно однозначно проецируются n областей
Ui ⊂ D, i = 1, 2, . . . , n.
Поступила 21.02.2008
10
ЗАДАЧА РИМАНА НА n-ЛИСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
11
Пусть F — ограниченная голоморфная функция в D. Функция v(z) := F (q(z)) (q(z) —
поднятие точки z ∈ C на накрывающую (R, z)) является, вообще говоря, многозначной
аналитической функцией в G, причем ее точки ветвления являются проекциями на C точек ветвления накрывающей (D, z). В круге U ⊂ G функция v(z) допускает выделение n
однозначных ветвей vi (z) = F (q(z)), q ∈ Ui , i = 1, 2, . . . , n.
Лемма. Пусть D — область на R с компактным дополнением такая, что (D, z) является
безграничной накрывающей для области G ⊂ C и F — ограниченная голоморфная функция
в D. Тогда в любом круге U ⊂ G по меньшей мере две из ветвей функции v(z) := F (q(z))
совпадают.
Доказательство. Положим
H(z) =
(vi (z) − vk (z))2 , z ∈ U.
1≤i<k≤n
Эта функция аналитически продолжима вдоль любого пути в области G и не изменяется
при всевозможных перестановках v1 , v2 , . . . , vn . Следовательно, H есть ограниченная голоморфная функция в области G , аналитически продолжимая в G.
Пусть q0 есть точка ветвления (любого порядка) накрывающей (D, z). Тогда в точке
z0 := z(q0 ) совпадают по меньшей мере две из функций vi , i = 1, 2, . . . , n (точнее, их
аналитические продолжения вдоль одного и того же пути в эту точку). Поэтому H(z0 ) = 0.
Так как накрывающая (D, z) содержит бесконечное число точек ветвления и их проекции
имеют предельную точку z = ∞, то по теореме единственности H = 0. Тогда совпадают
хотя бы две из функций vi , i = 1, 2, . . . , n.
Теорема 1. Пусть D — область на R с компактным дополнением. Тогда D является
род которой конечен, и любая ограниченная
накрывающей для некоторой поверхности D,
голоморфная функция принимает одинаковые значения в точках поверхности D, проеци
рующихся в одну и ту же точку поверхности D.
Доказательство. Обозначим через Ui1 , Ui2 , . . . , Uim все параметрические круги, лежащие
над кругом U ⊂ G , в которых vi1 = vi2 = · · · = vim для любой ограниченной голоморфной в D функции F ; по лемме m ≥ 2. Через pi1 , pi2 , . . . , pim обозначим центры этих параметрических кругов, т. е. z(pi1 ) = z(pi2 ) = · · · = z(pim ) =: a — центр круга U . При
поднятии петли γ ⊂ G в точке a на накрывающую (D, z) из точки pik приходим к точке
pjk , k = 1, 2, . . . , m, являющейся центром параметрического круга Ujk . Соответствующие
кругам Ujk , k = 1, 2, . . . , m, ветви функции v(z) = F (q(z)), получаемые аналитическим продолжением вдоль γ ветвей vik , также совпадают для любой ограниченной голоморфной
в D функции F . Таким образом, все параметрические круги Uj , j = 1, 2, . . . , n, разбиваются
на n/m групп, обладающих указанным свойством, а число m, 2 ≤ m ≤ n, должно быть
делителем числа n.
при склеивании точек поверхности D, в коОбразуем теперь риманову поверхность D
торых любая ограниченная голоморфная в D функция принимает одинаковые значения.
проводится следующим образом. Введем на поверхности D отноФормальное построение D
шение эквивалентности. Две точки q1 и q2 на D назовем эквивалентными (q1 ∼ q2 ), если все
ограниченные голоморфные в D функции принимают в них одинаковые значения. Класс
эквивалентности точки q обозначим через q и максимальное число точек в q, q ∈ D, обозна = D/ ∼, снабженное фактор-топологией.
чим через m. Рассмотрим фактор-пространство D
индуцируется естественным отображением ρ : D → D;
при
Конформная структура на D
этом (D, ρ) становится m-листной накрывающей римановой поверхности D, а (D, z), где
12
И.А. БИКЧАНТАЕВ
z(
q ) := z(q), — n/m-листной накрывающей области G. Так как по построению ограничен то род римановой поверхности D
конечен по
ные голоморфные функции разделяют D,
лемме. В частности, если число n простое, то D есть плоская область, конформно эквивалентная G.
z) есть n/m-листная безграничная накрывающая комплексной плосЕсли D = R, то (R,
кости C с конечным числом точек ветвления. Добавляя к ней n/m точек, лежащих над
∗ обозначим
∗ . Род поверхноcти R
z = ∞, получаем компактную риманову поверхность R
через h.
Задача Римана
1. Пусть Γ — кусочно-гладкая линия на R и ζ(q) — голоморфная функция в окрестности Γ
такая, что dζ не имеет нулей на Γ. Тогда ζ является локальной униформизирующей в
окрестности любой точки τ ∈ Γ. Если Γ не содержит точек ветвления накрывающей (R, z),
то можно взять ζ = z. Если τ ∈ Γ есть точка ветвления порядка k − 1, то в ее окрестности z
и ζ связаны соотношением вида z −z(τ ) = (ζ −ζ(τ ))k a(ζ), где a(ζ) — функция, голоморфная
в точке ζ = ζ(τ ) и a(ζ(τ )) = 0.
Пусть α : [0, 1] → R — путь на R. Его длиной назовем длину плоского пути z ◦ α : [0, 1] →
1
C, т. е. |d(z ◦ α)|. Расстоянием ρ(p, q) между точками p и q на R назовем точную нижнюю
0
грань длин всех путей, соединяющих p и q. Используя локальную однолистность функции
ζ(q), нетрудно показать: найдется число ε > 0 такое, что из требований ρ(t1 , t2 ) ≤ ε, t1 = t2
вытекает неравенство ζ(t1 ) = ζ(t2 ), t1 , t2 ∈ Γ.
Обозначим через T множество всех узлов контура Γ. На T определим действительнозначную функцию λ = λ(τ ). По аналогии с ([4], § 2) введем пространство Hµ,λ (Γ, T ), состоящее
из функций на Γ, Hµ -непрерывных вне любой окрестности множества T и ведущих себя
вблизи T как весовая функция
|ζ(t) − ζ(τ )|λ(τ ) , τ ∈ T, t ∈ Γ.
ρλ (t) =
τ ∈T
Пространство Hµ,λ (Γ, T ) является банаховым относительно нормы
ϕµ,l = sup |ϕ(t)ρ−λ (t)| + {ρµ−λ ϕ}µ ,
t∈Γ
где
{ϕ}µ =
sup
t1 ,t2 ∈Γ, ρ(t1 ,t2 )<ε, t1 =t2
|ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )|
.
|ζ(t1 ) − ζ(t2 )|µ
Выберем δ > 0 столь малым, чтобы множества
Γτ = Γ ∩ {q ∈ R : 0 < ρ(q, τ ) ≤ δ}, τ ∈ T,
попарно не пересекались и распадались на компоненты Γτ,i , 1 ≤ i ≤ nτ , τ ∈ T . Введем
класс Hµ,(λ) (Γ, T ) функций ϕ(t), которые Hµ -непрерывны на Γ вне любой окрестности множества T и на каждом Γτ , τ ∈ T , представимы в виде
ϕ(t) = pτ,i (t) + ϕτ (t), t ∈ Γτ,i ,
где pτ,i — многочлен степени меньше, чем λ(τ ) (многочлен отрицательной степени условимся
считать равным нулю), ϕτ ∈ Hµ,λ(τ ) (Γτ , τ ). Пространство Hµ,(λ) (Γ, T ) является банаховым
ЗАДАЧА РИМАНА НА n-ЛИСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
относительно нормы
ϕµ,(λ) =
nτ
τ ∈T
13
sup |pτ,i | + ϕτ Hµ,λ(τ ) (Γτ ,τ )
i=1 Γτ
+ ϕHµ (Γ ) ,
где Γ = Γ ∩ {q : ρ(q, T ) ≥ δ/2}, ρ(q, T ) = min ρ(q, τ ) ([4], § 2).
τ ∈T
2. Предположим, что Γ — кусочно-гладкий контур на R такой, что множество R \ Γ
связно. Зададим дивизор D, носитель которого лежит в R \ Γ, и функции G ∈ Hµ,(µ) (Γ, T ),
g ∈ Hµ,λ (Γ, T ), 0 < µ < 1, −1 < λ < 0, причем G(t) = 0, t ∈ Γ.
Рассмотрим краевую задачу Римана в следующей постановке.
Найти кусочно-мероморфную функцию F на R с линией скачков Γ, кратную дивизору
1/D и ограниченную в окрестности идеальной границы поверхности R, предельные значения которой на Γ принадлежат классу Hµ,λ (Γ, T ), 0 < µ < 1, −1 < λ < 0, и удовлетворяют
соотношению
(1)
F + (t) = G(t)F − (t) + g(t), t ∈ Γ.
3. Через q будем обозначать точку на R такую, что ρ(q) = q. Если F есть решение зада \ ρ(Γ) и аналитически
q )) однозначна в R
чи (1), то в силу теоремы 1 функция f (
q ) = F (ρ−1 (
\ γ, где γ есть множество точек на ρ(Γ), имеющих m прообразов при отобпродолжима в R
ражении ρ : Γ → ρ(Γ) (точки ветвления накрывающей (R, ρ) при этом считаются столько
раз, какова их кратность).
Множество M на римановой поверхности называется AB-устранимым, если для некоторой окрестности U множества M любая аналитическая и ограниченная в U \ M функция
аналитически продолжима в U .
дивизор ∆, полагая ordq ∆ = min{ordq D для всех q ∈ q} для точек q,
Определим в R
не являющихся точками ветвления накрывающей (R, ρ); если же q есть
1точка ветвления
ordq D , где [ ]
накрывающей (R, ρ) порядка k, 1 ≤ k ≤ m − 1, то ordq D заменяется на k+1
означает целую часть числа.
Если множество γ является AB-устранимым, то функция f аналитически продолжима
∗ и является мероморфной функцией, кратна всю замкнутую риманову поверхность R
ной дивизору 1/∆. Из условия (1) вытекает, что в случае разрешимости задачи Римана
функции G и g удовлетворяют соотношению g(t) = (1 − G(t))f (z(t)), t ∈ Γ, где f есть ме∗ , кратная дивизору 1/∆. Так как это соотношение выполняется,
роморфная функция на R
то функция F (q) = f (ρ(q)) является решением краевой задачи Римана (1).
Отсюда вытекает, что 1) при ord ∆ < 0 задача (1) имеет решение (равное нулю) только
при g = 0; 2) если G = 1, то для разрешимости задачи Римана (1) необходимо и достаточно,
чтобы g = 0; при этом число l линейно независимых решений задачи (1) равно числу
∗ , кратных дивизору 1/∆; это число равно max{0, ord ∆−h+1}
мероморфных функций на R
при ord ∆ < 0 или ord ∆ > 2h − 2; при 0 ≤ ord ∆ ≤ 2h − 2 по теореме Клиффорда l ≤
[(ord ∆ + 2)/2]; 3) если G(t) ≡ 1, то задача (1) не может иметь более одного решения.
4. Предположим теперь, что множество γ не является AB-устранимым; при этом его
линейная мера будет положительной [5]. Разрезая R вдоль гладких дуг, соединяющих точки
разобьем R на m областей Rk , k = 1, 2, . . . , m,
ветвления накрывающей (R, ρ) поверхности R,
при проектировании ρ : R → R.
каждая из которых взаимно однозначно отображается в R
Так как Γ не разбивает R, то можем считать, что эти разрезы не имеют с Γ общих точек,
кроме, быть может, точек ветвления накрывающей (R, ρ). Через k : ρ(Rk ) → Rk , k =
q )) = q при q ∈ ρ(Rk ).
1, 2, . . . , m, обозначим конформный гомеоморфизм такой, что ρ(
k (
Положим fk (
q ) = F (
k q), k = 1, 2, . . . , m. Обозначим через Γk = k (ρ(Γ)) кривую на Rk ,
14
И.А. БИКЧАНТАЕВ
гомеоморфную ρ(Γ) относительно отображения ρ : Γk → ρ(Γ), k = 1, 2, . . . , m, причем
иметь общие точки только в точках ветвления накрывающей (R, ρ) и
кривые
Γk могут
Γ1 Γ2 · · · Γm = ρ−1 (ρ(Γ)).
Ориентацию на Γ выберем так, чтобы на линейных участках контура, имеющих одина отображение ρ : Γ → ρ(Γ) индуцировало одну и ту же ориентацию
ковые проекции на R,
на ρ(Γ). Ориентацию на Γk выберем таким образом, чтобы индуцированная ею при проек ориентация на ρ(Γ) совпадала с уже выбранной.
тировании ρ : R → R
Доопределяем G и g на Γ1 Γ2 · · · Γm , полагая G = 1, g = 0 в точках, не принадлежащих Γ. Тогда функция f кратна дивизору 1/∆ и на ρ(Γ) удовлетворяет краевым
условиям
f + (ξ) = G(
k (ξ))f − (ξ) + g(
k (ξ)), ξ ∈ ρ(Γ), k = 1, 2, . . . , m.
(2k )
К множеству T отнесем все узлы контура Γ, все точки ветвления накрывающей (R, ρ),
лежащие на Γ, все точки разрыва коэффициентов G и g, все точки t ∈ Γ такие, что ρ(t)
есть узловая точка контура ρ(Γ), а также можем включить в него любое конечное число
других точек контура Γ.
Функции G(
k (ξ)) принадлежат классу Hµ,(µ ) (ρ(Γ), ρ(T )), где
⎧
µ/k, если ρ−1 (ρ(τ )) ⊂ T и среди точек множества ρ−1 (ρ(τ ))
⎪
⎪
⎪
⎨
есть точка ветвления (k − 1)-го порядка накрывающей (R, ρ)
µ (ρ(τ )) =
⎪
и нет точек ветвления более высокого порядка;
⎪
⎪
⎩
0,
если τ ∈ T и ρ−1 (ρ(τ )) ⊂ T .
классу Hµ,ν (ρ(Γ), ρ(T )), где ν(ρ(τ )) = λ/k, если τ ∈ T и
Функции g(
k (ξ)) принадлежат
среди точек множества T ρ−1 (ρ(τ )) минимальный порядок ветвления равен k − 1 (для
удобства формулировок точку накрывающей (R, ρ), не являющуюся точкой ветвления, называем точкой ветвления нулевого порядка).
Решение задачи (2k ) будем отыскивать в классе функций, предельные значения которых
на ρ(Γ) принадлежат классу Hµ,ν (ρ(Γ), ρ(T )).
Таким образом, функция f является одновременно решением m краевых задач Римана
\ γ. В точки множества
на контуре ρ(Γ). Из связности R \ Γ следует связность множества R
ρ(Γ) \ γ функция f аналитически продолжима и, следовательно, является аналитической в
\ γ, за исключением, возможно, конечного числа полюсов. Более того, это верно
области R
\ γ1 , где γ1 — объединение тех компонент γ, которые не являются AB-устранимыми.
вR
Для совпадения решений краевых задач (2k ), k = 1, 2, . . . , m, достаточно потребовать их
\ (ρ(Γ supp D)).
совпадения в окрестности некоторой
ζ0 ∈ R
точки
5. Если на множестве Γ1 Γ2 · · · Γm функция G принимает одинаковые значения во
то в силу теоремы 1 для разрешимости
всех точках, имеющих одинаковые проекции на R,
задачи (1) необходимо, чтобы и функция g обладала этим же свойством. Тогда функции
G◦ρ−1 и g◦ρ−1 однозначно определены на ρ(Γ) и все m задач (2k ), k = 1, 2, . . . , m, совпадают.
Так как f — решение задачи (2k ), то F = f ◦ ρ будет решением задачи (1).
Выпишем решение задачи (2k ), следуя изложенной в [2] схеме. Обозначим через a1 ,
∗ , через ϕj , j = 1, 2, . . . , h, —
a2 , . . . , ah , b1 , b2 , . . . , bh канонические циклы на поверхности R
∗ , нормированный услобазис пространства абелевых дифференциалов первого рода на R
виями
ak
ϕj = δkj , k, j = 1, 2, . . . , h,
ЗАДАЧА РИМАНА НА n-ЛИСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
15
где δkj есть символ Кронекера. Через ωqq0 обозначим комплексно нормированный абелев
дифференциал третьего рода с единственными простыми полюсами в точках q и q0 с вычетами 1 и −1 соответственно.
Положим
1
∗ .
(ln G ◦ ρ−1 )ωqq0 , q ∈ R
X(
q ) = exp
2πi ρ(Γ)
Нули и бесконечности функции X образуют квазидивизор (X) = τ1κ1 τ2κ2 · · · τrκr , где τk =
ρ(tk ), tk ∈ T , — узлы линии Γ, κk — числа, определяемые коэффициентом G и выбором
r
[κk − λ(τk )], где [ ] означает целую часть
ветви функции ln G ◦ ρ−1 [2]. Положим κ =
k=1
числа. Число κ, не зависящее от выбора ветви ln G ◦ ρ−1 , назовем индексом коэффициента
[κ −λ(τ1 )] [κ2 −λ(τ2 )]
[κ −λ(τr )]
τ2
· · · τr r
,B =
задачи (2k ) в классе Hµ,λ (ρ(Γ), ρ(T )). Положим A = τ1 1
−1
−1
h
(
q ) q 1 · · · q h , где q ∈ R — произвольно фиксированная точка, не совпадающая с q0 ,
точки q1 , q2 , . . . , qh образуют решение проблемы обращения Якоби вида
h qj
1
ϕν ≡
(ln G ◦ ρ−1 )ϕν (по модулю периодов), ν = 1, 2, . . . , h.
2πi ρ(Γ)
q
j=1
Тогда общее решение однородной (g = 0) задачи Римана (2k ) имеет вид [2]
q h qj
1
−1
,
u(
q ) exp
(ln G ◦ ρ )ωqq0 −
ωqq0 − 2πimj
ϕj
2πi ρ(Γ)
q
q
(3)
j=1
где в последних двух интегралах путь интегрирования не пересекает канонических сечений
∗ , mj — вполне определенные целые числа, u — произвольная
a1 , a2 , . . . , ah поверхности R
мероморфная функция, кратная дивизору ∆−1 A−1 B −1 . У функции (по переменной q) ωq q0
∗ \ ∪h ak ветвь, исчезающая в точке q0 .
выбрана фиксированная в R
k=1
Обозначим через l0 и l0 число линейно независимых мероморфных функций и дифферен∗ , кратных соответственно дивизорам ∆−1 A−1 B −1 и ∆AB. Через P обозначим
циалов на R
∗ \ ρ(Γ) такой, что не существует абелевых дифцелый дивизор порядка l0 с носителем в R
∗ , кратных дивизору ∆ABP и отличных от тождественного нуля. Для
ференциалов на R
построения решения неоднородной задачи (2k ) найдем сначала частное решение этой задачи в классе функций, кратных дивизору ∆−1 P −1 . Такая задача безусловно разрешима в
силу выбора дивизора P . Ее частным решением является функция [2]
q)
g(ρ−1 (
t))
X0 (
t, q),
(4)
A1 (
+
2πi ρ(Γ) X0 (
t)
t, q) — мероморфный аналог ядра Коши на
где X0 есть функция вида (3) при u = 1, A1 (
∗
R с характеристическим дивизором ∆1 , который получается делением дивизора ∆ABP
на некоторый целый дивизор. Функция (4) будет решением задачи (2k ) в том и только
том случае, если g удовлетворяет l0 условиям, обеспечивающим кратность функции (4)
дивизору ∆−1 . Эти условия равносильны условиям разрешимости задачи (2k ) и имеют вид
ψj
g ◦ ρ−1
= 0, j = 1, 2, . . . , l0 ,
(5)
X
0
ρ(Γ)
∗ , кратных
где ψj , j = 1, 2, . . . , l0 , — базис пространства абелевых дифференциалов на R
дивизору ∆AB.
16
И.А. БИКЧАНТАЕВ
При выполнении условия (5) общее решение задачи (2k ) имеет вид
f (
q ) = u(
q ) exp
1
2πi
ρ(Γ)
(ln G ◦ ρ
−1
)ωq q0 −
h j=1
qj
ωqq0 − 2πimj
q
X0 (
q)
+
2πi
ρ(Γ)
q
q
ϕj
+
g(ρ−1 (
t))
∗ .
t, q), q ∈ R
A1 (
+ X0 (t)
∗ , кратОбозначим через u1 , u2 , . . . , ul0 базис пространства мероморфных функций на R
ных дивизору ∆−1 A−1 B −1 . Тогда функция f может быть записана в виде
l0
X0 (
q)
g(ρ−1 (
t))
q)
ck uk (
q) +
t, q),
(6)
f (
q ) = X0 (
A1 (
+
2πi ρ(Γ) X0 (
t)
k=1
где ck — произвольные комплексные числа.
Таким образом, доказана
Теорема 2. Пусть γ имеет
линейную меру и коэффициент G задачи (1),
положительную
продолженный на Γ1 Γ2 · · · Γm , принимает одинаковые значения во всех точках с
одинаковой проекцией на ρ(Γ). Тогда для разрешимости задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы функция g обладала тем же свойством и удовлетворяла условиям
ψj ◦ ρ
= 0, j = 1, 2, . . . , l0 .
g
Γ X0 ◦ ρ
При этом общее решение задачи (1) имеет вид
F (q) = X0 (ρ(q))
l0
k=1
X0 (ρ(q))
ck uk (ρ(q)) +
2πi
g(t)
A1 (ρ(t), ρ(q)).
+
Γ X0 (ρ(t))
6. Пусть γ такое же, как в предыдущем пункте. Здесь будем предполагать, что G не
удовлетворяет предыдущему условию. Тогда на некоторой кривой положительной длины,
принадлежащей ρ(Γ), по меньшей мере две из функций G ◦ k , k = 1, 2, . . . , m, различны
во всех точках этой кривой. Ясно, что при этом однородная (g = 0) задача Римана (1)
имеет лишь нулевое решение, а неоднородная может иметь не более одного решения. В рассматриваемом случае функция f является решением одновременно m различных краевых
задач Римана (2k ), k = 1, 2, . . . , m. Обозначим через Xk (z) каноническую функцию (того
же класса, что и в п. 5) задачи (2k ); она строится так же, как и X0 в п. 5. Соответствующие
дивизоры A, B, числа l0 , l0 и ядро A1 (
t, q) в данном случае зависят от k и будут обознаt, q). Условия разрешимости и общее решение задачи (2k )
чаться через Ak , Bk , lk , lk , Ak (
записываются по формулам, аналогичным (5) и (6),
ψkj
g ◦ k
= 0, j = 1, 2, . . . , lk ,
(7)
Xk
ρ(Γ)
lk
Xk (
q)
g(
k (
t))
q ) = Xk (
q)
akα ukα (
q) +
t, q), k = 1, 2, . . . , m,
fk (
Ak (
+
2πi ρ(Γ) Xk (
t
)
α=1
∗ , кратных
где ψkj , j = 1, 2, . . . , lk , — базис пространства абелевых дифференциалов на R
∗ ,
дивизору ∆Ak Bk , ukj , j = 1, 2, . . . , lk , — базис пространства мероморфных функций на R
−1 −1
−1
кратных дивизору ∆ Ak Bk , akα — произвольные комплексные числа.
ЗАДАЧА РИМАНА НА n-ЛИСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
17
Для того чтобы функции fk определяли решение задачи (1), должны выполняться равенства
(8)
f1 = f2 = · · · = fm .
∗
\ γ связно, то достаточно потребовать выполнения этих равенств в окрестности
Так как R
∗ \ γ.
некоторой точки ζ0 ∈ R
∗ \ ρ(Γ), в которой функции Xk и fk , k = 1, 2, . . . , m, голоморфПусть ζ0 есть точка из R
ны. Запишем тейлоровские разложения функций Xk (
q )Ak (
t, q)/2πiXk+ (
t) и Xk (
q )ukα (
q) в
окрестности точки q = ζ0 :
∞
Xk (
q )Ak (
t, q) γkj (
t)(
z (
q ) − z(ζ0 ))j , k = 1, 2, . . . , m,
=
2πiXk+ (
t)
j=0
q )ukα (
q) =
Xk (
∞
akαj (
z (
q ) − z(ζ0 ))j , k = 1, 2, . . . , m, α = 1, 2, . . . , lk ,
j=0
где γkj — линейные дифференциальные формы на ρ(Γ).
Сравнивая коэффициенты тейлоровских разложений функций fk , k = 1, 2, . . . , m, получим соотношения, эквивалентные равенствам (8):
l1
α=1
a1α a1αj −
lk
α=1
=−
akα akαj =
ρ(Γ)
(g(
1 (
t))γ1j (
t) − g(
k (
t))γkj (
t)), k = 2, 3, . . . , m, j = 0, 1, 2, . . . (9)
Упорядочим систему (9) следующим образом: сначала запишем уравнения (9), соответствующие значению j = 0, затем соответствующие j = 1 и т. д. Матрицу этой системы
уравнений обозначим через A и положим
⎧
⎪
⎨−γ1j (ρ(t)), t ∈ Γ ∩ Γ1 ,
αjk (t) = γkj (ρ(t)),
k = 2, 3, . . . , m, j = 0, 1, 2, . . . ,
t ∈ Γ ∩ Γk ,
⎪
⎩
0,
t ∈ Γ ∩ (∪i=1,i=k Γi ) ,
α = (α02 , α03 , . . . , α0m , α12 , α13 , . . . , α1m , α22 , α23 , . . . , α2m , . . . )t =: (α1 , α2 , α3 , . . . )t ,
a = (a11 , a12 , . . . , a1 l1 , a21 , a22 , . . . , a2 l2 , . . . , am1 , am2 , . . . , am lm )t ,
причем в случае lk ≤ 0 соответствующие компоненты akα вектора a отсутствуют. Тогда
система уравнений (9) запишется в виде
gα.
(10)
Aa =
Γ
В силу единственности решения задачи Римана (1) ранг r матрицы A должен быть равен
числу неизвестных akα , т. е. r = max{0, l1 } + max{0, l2 } + · · · + max{0, lm }.
Пусть B — невырожденная квадратная матрица порядка r, составленная из строк матри— квадратная
матрица порядка r + 1,
цы A с номерами j1 , j2 , . . . , jr (j1 < j2 < · · · < jr ), Bj составленная из r + 1 строк расширенной матрицы A, gα с номерами j1 , j2 , . . . , jr , j.
Γ
Тогда
det Bj =
Γ
gβj ,
18
И.А. БИКЧАНТАЕВ
где
βj =
r
m=1
Bj,jm αjm + Bj,j αj ,
Bj,k — алгебраическое дополнение элемента
Γ
gαk матрицы Bj ; очевидно, Bj,j = det B = 0.
Если j принимает одно из значений j1 , j2 , . . . , jr , то βj = 0. Условия разрешимости системы
(9) (или (10)) имеют вид
gβj = 0, j ∈ Z, j ≥ 0, j = j1 , j2 , . . . , jr .
(11)
Γ
Совокупность условий (7) и (11) необходима и достаточна для разрешимости задачи (1).
При их выполнении единственное решение задачи (1) определяется равенством
lk
Xk (ρ(q))
g(t)
Ak (ρ(t), ρ(q)).
akα ukα (ρ(q)) +
(12)
F (q) = Xk (ρ(q))
+
2πi
X
(ρ(t))
Γ∩Γ
k
k
α=1
Таким образом, доказана
Теорема
3.Пусть γ имеет положительную линейную меру и имеются точки на
Γ1 Γ2 · · · Γn c одинаковой проекцией на C, в которых коэффициент G задачи (1) принимает различные значения. Тогда для разрешимости задачи Римана (1) необходимо и
достаточно выполнения условий (7) и (11). При их выполнении задача (1) имеет единственное решение, определяемое равенством (12), где числа akα суть линейные ограниченные функционалы от g ∈ Hµ,l (Γ, T ), k может принимать любое из m возможных
значений.
Литература
[1] Чибрикова Л.И. Граничные задачи теории аналитических функций на римановых поверхностях //
Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Матем. анализ. – 1980. – Т. 18. – С. 3–66.
[2] Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых
поверхностях // УМН. – 1971. – Т. 26. – № 1. – С. 113–179.
[3] Бикчантаев И.А. Задача Римана на конечнолистной римановой поверхности бесконечного рода // Матем. заметки. – 2000. – Т. 67. – № 1. – С. 25–35.
[4] Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. – М.: Высшая
школа, 1991. – 208 c.
[5] Sario L., Nakai M. Classification theory of open Riemann surfaces. – Berlin–Heidelberg–New York: SpringerVerlag, 1970. – 446 p.
И.А. Бикчантаев
профессор, кафедра дифференциальных уравнений,
Казанский государственный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008,
e-mail: ibikchan@ksu.ru
I.A. Bikchantaev
Professor, Chair of Differential Equations,
Kazan State University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan 420008, Russia,
e-mail: ibikchan@ksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
192 Кб
Теги
римана, проекции, имею, листной, точек, поверхности, задачи, ветвление, предельных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа