close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача с нелокальными начальными данными для одномерного гиперболического уравнения.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2014, № 9, c. 17–26
http://old.kpfu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@kpfu.ru
С.В. КИРИЧЕНКО, Л.С. ПУЛЬКИНА
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Аннотация. В статье рассмотрена краевая задача для одномерного гиперболического уравнения с нелокальными начальными данными, которые представляют собой соотношения, содержащие интегралы от искомого решения. Доказано существование единственного обобщенного
решения.
Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелокальные условия, обобщенное решение.
УДК: 517.956
Введение. В настоящее время задачи с нелокальными условиями для уравнений в частных производных активно изучаются. Интерес к ним вызван необходимостью обобщения
классических задач математической физики в связи с математическим моделированием
ряда физических процессов, изучаемых современным естествознанием [1]. В тех случаях,
когда граница области протекания физического процесса недоступна для непосредственных
измерений, дополнительной информацией, достаточной для однозначной разрешимости соответствующей математической задачи, могут служить нелокальные условия в интегральной форме. Данная статья посвящена исследованию разрешимости нелокальной задачи с
интегральными условиями.
Значительная часть публикаций, начиная с работы Дж.Р. Кэннона [2], посвященных задачам с интегральными условиями, содержит исследования параболических уравнений. Задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений рассмотрены в [3]–[6], а
также в работах, представленных в списках литературы в них. Заметим, что в большинстве
публикаций, посвященных задачам с нелокальными интегральными условиями, рассматриваются пространственно нелокальные условия. В предлагаемой статье рассмотрена задача
с нелокальными по времени интегральными условиями для гиперболического уравнения.
Нелокальные задачи с условиями такого вида для других уравнений рассмотрены в работах [7]–[9]. Исследование задачи с нелокальными по времени интегральными условиями,
результаты которого представлены в настоящей статье, показали, что размер области, в
которой ищется решение, имеет значение, а также, что условия разрешимости могут связывать между собой как размеры области, так и ограничения на другие входные данные.
Задачи с нелокальными по времени условиями тесно связаны с обратными задачами,
условие переопределения в которых является интегральным [10]–[12]. Заданные таким образом условия можно рассматривать как модель действия некоего прибора, регистрирующего физические поля [13]. В качестве примера приведем условие переопределения в задаче
Поступила 18.03.2013
17
18
С.В. КИРИЧЕНКО, Л.С. ПУЛЬКИНА
определения коэффициента параболического уравнения [12]
T
ω(τ )u(x, τ )dτ = χ(x).
0
Одним из этапов исследования разрешимости обратной задачи часто является решение
прямой задачи, при этом не исключено, что прямая задача может оказаться нелокальной.
Эти рассуждения усилили чисто теоретический интерес к исследованию нелокальных задач
с интегральными условиями и привели к постановке задачи с нелокальными начальными
условиями для одномерного гиперболического уравнения.
Задача 1. Рассмотрим в конечной области QT = (0, l) × (0, T ) уравнение
Lu ≡ utt − uxx + c(x, t)u = f (x, t),
(1)
и будем искать его решение, удовлетворяющее условиям
u(0, t) = u(l, t) = 0,
(2)
T
Ki (t)u(x, t)dt = hi (x), i = 1, 2.
(3)
0
Условия (3) являются нелокальными условиями первого рода, поэтому применение известных методов исследования разрешимости нелокальных задач оказывается неэффективным:
метод вспомогательных задач [2] приводит к интегральным уравнениям первого рода относительно временно заданных начальных данных u(x, 0) = ϕ(x), ut (x, 0) = ψ(x), а попытка
исследовать обобщенную разрешимость в пространстве W21 (QT ) методом, разработанным
в ([14], с. 209–215) для начально-краевых задач, наталкивается на невозможность вывести
тождество, пригодное для определения обобщенного решения. Однако в [5] показано, что
метод О.А. Ладыженской можно применить к исследованию задач с нелокальными по пространственным переменным условиями второго рода. Покажем, что и в случае нелокальных по времени условий можно перейти к эквивалентной задаче с нелокальными условиями
второго рода. Под решением задачи подразумевается функция u ∈ C(QT ) ∩ C 2 (QT ), удовлетворяющая заданным условиям и уравнению в классическом смысле.
Лемма. Если функции Ki (t) в (3) удовлетворяют условиям
Ki ∈ C 1 [0, T ] ∩ C 2 (0, T ), Ki (T ) = Ki (T ) = 0,
∆ ≡ K1 (0)K2 (0) − K1 (0)K2 (0) = 0
и выполняются условия согласования hi (0) = hi (l) = 0, то задача (1)–(3) эквивалентна
задаче отыскания решения уравнения (1), удовлетворяющего условиям (2) и нелокальным
условиям второго рода
T
M1 (x, t)u(x, t)dt = g1 (x),
u(x, 0) +
0
(4)
T
ut (x, 0) +
M2 (x, t)u(x, t)dt = g2 (x),
0
где
1
[(K1 (t) + c(x, t)K1 (t))K2 (0) − (K2 (t) + c(x, t)K2 (t))K1 (0)],
∆
1
M2 (x, t) = [(K1 (t) + c(x, t)K1 (t))K2 (0) − (K2 (t) + c(x, t)K2 (t))K1 (0)],
∆
M1 (x, t) =
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
19
(K1 (t)K2 (0) − K2 (t)K1 (0))f (x, t)dt − h1 (x)K2 (0) − h2 (x)K1 (0) ,
0
T
1
(K1 (t)K2 (0) − K2 (t)K1 (0))f (x, t)dt − h2 (x)K2 (0) − h2 (x)K1 (0) .
g2 (x) =
∆ 0
g1 (x) =
1
∆
T
Доказательство. Пусть u(x, t) — решение задачи (1)–(3). Проинтегрируем (1), умножив его
предварительно на Ki (t), по t от 0 до T . Учитывая первое из условий леммы, получим
Ki (0)u(x, 0) − Ki (0)ut (x, 0) +
0
T
=
T
(Ki (t) + c(x, t)Ki (t))u(x, t)dt =
Ki (t)f (x, t)dt −
hi (x) +
0
T
Ki (t)uxx (x, t)dt, i = 1, 2. (5)
0
В силу второго условия леммы ∆ = 0. Эту систему можно разрешить относительно u(x, 0),
ut (x, 0), что приводит к равенствам (4).
Пусть теперь u(x, t) удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2), (4). Но тогда выполняются и равенства (5). После интегрирования (1), умноженного на Ki (t), применим (5)
к каждому из полученных равенств. В результате получим два равенства, которые можно интерпретировать как обыкновенные дифференциальные уравнения относительно неизT
вестных функций Ki (t)u(x, t)dt:
0
d2
dx2
T
Ki (t)u(x, t)dt − hi (x) = 0, i = 1, 2.
0
Из условий согласования вытекают граничные условия
T
T
Ki (t)u(0, t)dt = 0,
Ki (t)u(l, t)dt = 0.
0
0
Так как каждая из краевых задач имеет единственное решение, то
T
Ki (t)u(x, t)dt = hi (x).
0
Теперь сосредоточим внимание на разрешимости задачи с нелокальными условиями второго рода.
Задача 2. В области QT найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2)
и (4).
Для обоснования разрешимости задачи (1), (2), (4) воспользуемся идеей метода, реализованного в [4], а именно, сведем ее к задаче с классическими начальными данными, но
для нагруженного уравнения. Заметим, что в силу условий на Ki (t) и полученных выше
формул Mi ∈ C 1 (QT ), Mixx ∈ C(QT ), Mi (x, T ) = 0. Будем предполагать, что коэффициент
уравнения c(x, t) непрерывен в QT .
Введем обозначения
c0 = max |c(x, t)|,
QT
N (x, t, τ ) = M1 (x, τ ) + tM2 (x, τ ),
P (x, t, τ ) = Nxx (x, t, τ ) + N (x, t, τ )[c(x, τ ) − c(x, t)] − N (x, t, 0)M2 (x, τ ),
20
С.В. КИРИЧЕНКО, Л.С. ПУЛЬКИНА
Ω = (0, T ) × (0, T ), φ(x, ·, ·)L2 (Ω) = max
[0,l]
T
1/2
T
2
φ (x, t, τ )dt dτ
0
,
0
n0 = max{N L2 (Ω) , Nt L2 (Ω) , Nx L2 (Ω) , Nxx L2 (Ω) , Nτ L2 (Ω) }, p0 = P L2 (Ω) ,
1 − n20 + n0
c0 l2
.
, m0 = max 1 + c0 ,
γ0 = max{p0 , n0 }, γ1 =
(1 − n0 )2
2
Потребуем выполнения условия n0 < 1.
Определим оператор B формулой
T
N (x, t, τ )u(x, τ )dτ,
Bu = u(x, t) +
0
и будем обозначать Bu = v(x, t). Пусть u(x, t) — решение задачи (1), (2), (4). Преобразуем
выражение
T
T
T
N (x, t, τ )u(x, τ )dτ =
[(Nxx − c(x, t)N )u + 2Nx ux ]dτ +
N uxx dτ.
L
0
0
0
Так как по предположению u(x, t) — решение уравнения (1), то
T
T
N (x, t, τ )uxx (x, τ )dτ =
N (x, t, τ )[uτ τ + c(x, τ )u − f (x, τ )]dτ.
0
0
Учитывая, что u(x, t) удовлетворяет условиям (2), (4) и N (x, t, T ) = 0, получим
T
T
N (x, t, τ )uxx (x, τ )dτ =
N (x, t, τ )f (x, τ )dτ +
0
0
T
[(N (x, t, τ )c(x, τ ) + N (x, t, 0)M2 (x, τ ))u − Nτ (x, t, τ )uτ ]dτ.
+
0
Обозначим F (x, t) = f (x, t) +
T
N (x, t, τ )f (x, τ )dτ .
0
Теорема 1. Пусть выполняются условия
Mi ∈ C 1 (QT ), Mixx ∈ C(QT ), Mi (x, T ) = 0,
1
.
2
Тогда существует единственное решение u ∈ W22 (QT ) задачи (1), (2), (4) для T
2m0
1
ln
+
1
.
T <
m0
(2 + l)2 γ02 γ12
c ∈ C(QT ), ct ∈ C(QT ), f ∈ L2 (QT ), ft ∈ L2 (QT ), n0 ≤
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу: найти в QT пару функций (u, v),
удовлетворяющую уравнениям
T
[P u + 2Nx ux − Nτ uτ ]dτ = F (x, t),
(6)
vtt − vxx + cv +
0
T
N (x, t, τ )u(x, τ )dτ,
v(x, t) = u(x, t) +
x ∈ [0, l],
(7)
0
и условиям
u(0, t) = u(l, t) = 0, v(x, 0) = g1 (x), vt (x, 0) = g2 (x).
(8)
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
21
(QT ) = {u : u ∈ W (QT ),
Обозначим W (QT ) = {u : u ∈ W21 (QT ), u(0, t) = u(l, t) = 0}, W
u(x, T ) = 0}. Норму в этих пространствах определим следующим образом:
uW (QT ) = uL2 (QT ) + ut L2 (QT ) + ux L2 (QT ) .
(QT ).
Введем понятие обобщенного решения вспомогательной задачи (6)–(8). Пусть η ∈ W
Следуя известной процедуре ([14], с. 210), получим тождество
T l
T
T l
(−vt ηt + vx ηx + cvη)dx dt +
η(x, t)
[P u + 2Nx ux − Nτ uτ ]dτ dx dt =
0
0
0
0
0
l
T
0
l
F (x, t)η(x, t)dx dt. (9)
g2 (x)η(x, 0)dx +
=
0
0
Определение. Обобщенным решением вспомогательной задачи (6)–(8) будем называть
пару функций u, v из W (QT ), удовлетворяющих тождеству (9), равенству (8) и условию
v(x, 0) = g1 (x).
Будем искать приближенные решения вспомогательной задачи из соотношений
T l
(−vtm ηt + vxm ηx + cv m η)dx dt+
0
0
T
l
T
η(x, t)
+
0
0
0
m
[P (x, t, τ )um + 2Nx (x, t, τ )um
x − Nτ (x, t, τ )uτ ]dτ dx dt =
l
T
l
g2 (x)η(x, 0)dx +
=
0
F (x, t)η(x, t)dx dt,
0
v m (x, 0) = gm (x), (10)
0
T
um (x, t) +
N (x, t, τ )um (x, τ )dτ = v m−1 (x, t).
(11)
0
В соотношении (10) {gm (x)} — последовательность гладких функций такая, что gm (x) →
g1 (x) при m → ∞ в норме W21 (0, l). Положим v 0 (x, t) = 0. Тогда u1 (x, t) = 0 как решение
однородного уравнения (11), и тождество (10) для m = 1 не содержит неизвестной функции
u1 (x, t), поэтому v 1 (x, t) определяется как обобщенное решение первой начально-краевой
1 − v 1 + cv 1 = F (x, t) с однородными начальными условиями.
задачи для уравнения vtt
xx
Как известно, эта задача однозначно разрешима в W (QT ) и справедливо неравенство ([14],
с. 215)
(12)
v 1 W21 (QT ) ≤ CF (x, t)L2 (QT ) .
Для обоснования разрешимости как вспомогательной задачи, так и задачи (1), (2), (4), нам
потребуется уточнить постоянную C, входящую в правую часть этого неравенства. Поэтому
приведем здесь кратко его вывод.
1 − v 1 + cv 1 = F (x, t) с
Для гладких функций v(x, t), удовлетворяющих уравнению vtt
xx
F ∈ L2 (QT ) и однородным начальным и краевым условиям, для любого τ ∈ [0, T ] и любой
функции η(x, t), обладающей той же гладкостью, что и v(x, t), справедливо тождество
τ l
τ l
(vtt − vxx + cv)η dx dt =
F η dx dt,
0
0
0
0
положив в котором η(x, t) = vt (x, t), получим равенство
τ l
(vtt vt − vxx vt + cvvt )dx dt =
0
0
0
τ
l
F vt dx dt.
0
22
С.В. КИРИЧЕНКО, Л.С. ПУЛЬКИНА
Интегрируя по частям в левой его части, получим
τ l
T l
1 l 2
2
[v (x, τ ) + vx (x, τ )]dx =
F vt dx dt −
cvvt dx dt.
2 0 t
0
0
0
0
Для оценки правой части последнего равенства используем неравенство Коши. Получим
τ l
T l
1 l 2
2
2
[v (x, τ ) + vx (x, τ )]dx ≤
F dx dt +
(c0 v 2 + (1 + c0 )vt2 )dx dt.
2 0 t
0
0
0
0
Теперь, используя неравенство
l2 l 2
v (x, t)dx ≤
v dx,
2 0 x
0
x
вытекающее из представления v(x, t) = 0 vξ (ξ, t)dξ, приходим к оценке
τ l
l
(vt2 (x, τ ) + vx2 (x, τ ))dx ≤ m0
(vt2 + vx2 )dx dt + F 2L2 (QT ) .
l
2
0
0
(13)
0
Применяя к последнему неравенству лемму Гронуолла, получим
l
[vt2 (x, τ ) + vx2 (x, τ )]dx ≤ exp{m0 τ }F 2L2 (QT ) .
(14)
0
Интегрируя неравенство (14) по τ от 0 до T , приходим к оценке норм
1 exp{m0 T } − 1 F L2 (QT ) .
max{vt L2 (QT ) , vx L2 (QT ) } ≤ √
m0
Воспользовавшись еще раз неравенством (13), получим
l exp{m0 T } − 1F L2 (QT ) .
vL2 (QT ) ≤ √
2m0
Тогда
l+2 exp{m0 T } − 1F L2 (QT ) .
vW (QT ) ≤ √
2m0
Рассматривая предельный переход по норме, убеждаемся, что это неравенство справедливо
и для функций v ∈ W (QT ). Таким образом, в неравенстве (12)
2+l exp{m0 T } − 1.
C=√
2m0
Вернемся к доказательству разрешимости вспомогательной задачи. По найденному v 1 (x, t)
на следующем шаге найдем u2 (x, t) как решение уравнения (11) с правой частью v 1 (x, t) ∈
W (QT ), а затем v 2 (x, t) как решение первой начально-краевой задачи. Продолжая этот
процесс, построим последовательность приближенных решений вспомогательной задачи
{v m , um } таких, что выполняется неравенство
v m W (QT ) ≤ CF m L2 (QT ) ,
(15)
в правую часть которого теперь входит um (x, t):
T
m
[P (x, t, τ )um + 2Nx (x, t, τ )um
F m (x, t) = F (x, t) +
x − Nτ (x, t, τ )uτ ]dτ.
0
Для дальнейших шагов доказательства нам потребуется априорная оценка, к выводу которой и перейдем.
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
23
Обозначим r m = v m+p − v m , sm = um+p − um . Нетрудно видеть, что справедливы соотношения
T l
(−rtm ηt + rxm ηx + cr m η)dx dt+
0
0
T
l
T
η(x, t)
+
0
T
sm (x, t) +
0
m
[P sm + 2Nx sm
x − Nτ sτ ]dτ dx dt = 0, (16)
0
N (x, t, τ )sm (x, τ )dτ = r m−1 (x, t).
(17)
0
Выведем ряд неравенств.
Рассмотрим равенство (17) и скалярно умножим обе его части на sm (x, t). Получим
T
m 2
m−1 m
m
m
, s )L2 (QT ) −
N (x, t, τ )s (x, τ )dτ, s
,
s L2 (QT ) = (r
0
L2 (QT )
из которого в результате очевидных преобразований следует неравенство
1
sm L2 (QT ) ≤
r m−1 L2 (QT ) .
(18)
1 − n0
m
Дифференцируя (17) по t, а затем по x, скалярно умножив на sm
t и sx соответственно,
получим, как и выше, с учетом (18), еще два неравенства:
n0
m−1
L2 (QT ) +
r m−1 L2 (QT ) ,
(19)
sm
t L2 (QT ) ≤ rt
1 − n0
1
n0
rxm−1 L2 (QT ) +
r m−1 L2 (QT ) .
(20)
sm
x L2 (QT ) ≤
1 − n0
(1 − n0 )2
Из (18)—(20) получаем оценку нормы
sm W (QT ) ≤ γ1 r m−1 W (QT ) .
(21)
Заметим, что для каждого m соотношения (16), (17) имеют такой же вид, как и (10),
(11), но для F = 0, gi = 0. Используя выведенную выше оценку (15), получим
r m W (QT ) ≤ CF0m L2 (QT )
с найденной выше постоянной C, где
T
m
m
P (x, t, τ )s (x, τ )dτ + 2
F0 (x, t) =
0
(22)
T
Nx (x, t, τ )sm
x (x, τ )dτ
0
T
−
Nτ (x, t, τ )sm
τ dτ.
0
Рассмотрим правую часть последнего равенства.
Используя неравенство Коши—Буняковского и выведенные неравенства (18)—(20), получим
F0m L2 (QT ) ≤ γ0 sm W (QT ) ,
что в силу (21) и (22) влечет выполнение неравенства
r m W (QT ) ≤ Cγ0 γ1 r m−1 W (QT ) .
(23)
Если
Cγ0 γ1 < 1,
то из (23) следует сходимость последовательности {r m (x, t)}, а в силу (21) — и последовательности {sm (x, t)}. Так как r m = v m+p − v m , sm = um+p − um , то последовательности
{v m (x, t)}, {um (x, t)} являются фундаментальными в пространстве W (QT ) и в силу его
полноты сходятся к элементам v(x, t), u(x, t), принадлежащим W (QT ). Переходя к пределу
24
С.В. КИРИЧЕНКО, Л.С. ПУЛЬКИНА
при m → ∞ в (10) и (11), убеждаемся, что v(x, t), u(x, t) определяют единственное решение
вспомогательной задачи, принадлежащее пространству W (QT ).
Покажем, что это решение принадлежит пространству W22 (QT ). Заметим, что в силу
T
T
∂
условий теоремы [P u+2Nx ux −Nτ uτ ]dτ ∈ L2 (QT ) и ∂t
0 [Pt u+2Nxt ux −Nτ t uτ ]dτ ∈ L2 (QT ).
0
Тогда функция v(x, t), расматриваемая как решение из W (QT ) первой начально-краевой
задачи для уравнения Lv = h + F , имеет производные vtt , vxt ∈ L2 (QT ) ([14], с. 218) и
тождество (9) можно записать так:
T l
T l
(vtt η + vx ηx + cvη)dx dt =
η(F + h)dx dt.
(24)
0
0
0
0
Покажем, что функция v(x, t) имеет и вторую производную по x. В последнем тождестве
выберем η(x, t) = χ(t)Φ(x), где χ(t) — произвольный элемент L2 (0, T ), а Φ(x) — произT l
T
l
· · · dx dt как повторные χ(t) · · · dx dt.
вольный элемент W (0, l), и запишем интегралы
0 0
0
0
В силу произвольного выбора χ(t) из (24) для почти всех t ∈ [0, T ] будет выполняться
тождество
l
l
vx Φ dx =
Φ(−vtt − cv + F + h)dx,
0
0
которое и означает существование vxx ∈ L2 (QT ).
В силу взаимной однозначности оператора B функция u(x, t) также будет иметь uxx ∈
L2 (QT ). Учитывая принадлежность функций u, v пространству W22 (QT ), тождество (9) имеет вид
T l T
T
T l
(vtt − vxx + cv)η dx dt +
η
(N u)xx dτ − c(x, t)
N udτ dx dt+
0
0
T
0
T
0
0
T
η
+
Так как v = Bu,
0
l
0
(N u)xx dτ − c(x, t)
0
0
T
0
0
N udτ = −LBu + Lu,
0
0
T
0
T
+
0
0
l
T
l
F η dx dt.
0
BLu − Lu, то последнее тождество можно записать так:
T l
T l
ηLBu dx dt +
η(Lu − LBu)dx dt+
0
N (uτ τ − uxx + c(x, τ )u)dτ dx dt =
0
N (uτ τ − uxx + c(x, τ )u)dτ =
0
T
η(BLu − Lu)dx dt =
l
ηBf dx dt,
0
0
откуда следует B(Lu − f ) = 0 в силу произвольности η(x, t). Это означает, что u(x, t) —
решение уравнения (1). Выполнение условий (4) следует из (8).
Из доказанной выше леммы вытекает
Теорема 2. Если Ki (T ) = 0, выполняются условия леммы и теоремы 1, то существует
единственное решение u ∈ W22 (QT ) задачи 1.
Заметим, что условие Ki (T ) = 0 обеспечивает выполнения условия N (x, t, T ) = 0 в
теореме 1.
ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ
25
Приведем пример данных, удовлетворяющих условиям теоремы. Пусть в условиях (3)
K1 (t) = (T − t)3 (α1 − β1 (T − t)), K2 (t) = (T − t)3 (α2 − β2 (T − t)),
где αi , βi могут быть произвольными во всем, кроме α1 β2 − α2 β1 = 0. Непосредственными
вычислениями легко убедиться в том, что Ki (T ) = Ki (T ) = Ki (T ) = 0,
∆ ≡ K1 (0)K2 (0) − K2 (0)K1 (0) = T 5 (α1 β2 − α2 β1 ).
Для простоты вычислений рассмотрим случай c(x, t) ≡ 0. Тогда, используя полученные
формулы, найдем
M1 (x, t) = 6T −2 (t − T ), M2 (x, t) = 18T −3 (t − T )2 ,
а затем, и
N (x, t, τ ) = 6(τ − T )T −2 τ + 18T −3 (τ − T )2 t.
√
√
eT − 1. При n0 = 12 находим γ0 =
В нашем случае m0 = 1, C = 2+l
2
1
2 , γ1 = 5. Тогда
√
5
√
eT − 1<1,
условие разрешимости выражается неравенством 2 C<1, и, следовательно, 5(2+l)
2 2
2
. Пусть l = 1. Тогда задача разрешима при T < ln 11
откуда T < ln 8+25(2+l)
9 .
25(2+l)2
Вычислим
T
T
N 2 (x, t, τ )dt dτ =
0
Так как T < ln 233
225 < 0.04, то
0
T T
6
T + 27T 2 .
5
N 2 (x, t, τ )dt dτ < 0.09, откуда следует n0 < 0.3 и, тем
0 0
более, n0 < 0.5.
Замечание. Полученные результаты нетрудно распространить на случай более общего
уравнения utt −(a(x, t)ux )x +c(x, t)u = f (x, t). Если a ∈ C(Q), at ∈ C(Q), то можно показать,
что полученные выше оценки справедливы, однако вывод их более громоздок.
Литература
[1] Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений, Дифференц. уравнения 16 (11), 1925–1935 (1980).
[2] Cannon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy, Quart. Appl. Math., 21
(1), 155–160 (1963).
[3] Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды, Матем. моделир. 12 (1), 94–103 (2000).
[4] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием
интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений, Дифференц. уравнения 42 (9), 1166–
1179 (2006).
[5] Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями 1 и 2-го
рода, Изв. вузов. Матем., № 4, 74–83 (2012).
[6] Пулькина Л.С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями 1
рода с ядрами, зависящими от времени, Изв. вузов. Матем., № 10, 32–44 (2012).
[7] Кузь А.М., Пташник Б.И. Задача з iнтегральними умовами для рiвняння Клейна–Гордона у классi
функцiй, майже периодичних за просторовими змiнними, Прикл. проблеми мех. i мат., Вып. 8, 41–53
(2010).
[8] Абдрахманов А.М., Кожанов А.И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка, Изв. вузов. Матем., № 5, 3–12 (2007).
[9] Лукина Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями по времени для уравнений третьего порядка, Матем. заметки ЯГУ 17 (2), 75–97 (2010).
[10] Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным переопределением, Матем. сб. 183 (4), 49–68 (1992).
26
С.В. КИРИЧЕНКО, Л.С. ПУЛЬКИНА
[11] Cannon J.R., Lin Y.P. An inverse problem of finding a parameter in a semi-linear heat equation, J. Math.
Anal. Appl. 145 (2), 470–484 (1990).
[12] Камынин В.Л., Костин А.Б. Две обратные задачи определения коэффициента в параболическом уравнении, Дифференц. уравнения 46 (3), 372–383 (2010).
[13] Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач (Изд-во Моск. ун-та, М., 1994).
[14] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики (Наука, М., 1973).
С.В. Кириченко
старший преподаватель, кафедра высшей математики,
Самарский государственный университет путей сообщения,
1-й Безымянный переулок, д. 18, г. Самара, 443066, Россия,
e-mail: svkirichenko@mail.ru
Л.С. Пулькина
профессор, кафедра уравнений математической физики,
Самарский государственный университет,
ул. Ак. Павлова, д. 1, г. Самара, 443011, Россия,
e-mail: louise@samdiff.ru
S.V. Kirichenko and L.S. Pul’kina
A problem with nonlocal initial data for one-dimensional hyperbolic equation
Abstract. In this article we consider a boundary-value problem for hyperbolic equation with
nonlocal initial data in integral form. We prove the existence and uniqueness of generalized solution.
Keywords: hyperbolic equation, nonlocal problem, integral conditions, generalized solution.
S.V. Kirichenko
Senior Lecturer, Chair of Higher Mathematics,
Samara State University of Railway Transport,
18 1st Bezymyannyi Lane, Samara, 443066 Russia,
e-mail: svkirichenko@mail.ru
L.S. Pul’kina
Professor, Chair of Equations of Mathematical Physics,
Samara State University,
1 Akad. Pavlov str., Samara, 443011 Russia,
e-mail: louise@samdiff.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
196 Кб
Теги
уравнения, начальных, одномерного, данными, задачи, нелокальные, гиперболическое
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа