close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Трикоми в классе функций неограниченных на характеристике.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 4 (503)
УДК 517.546
Л.А. АКСЕНТЬЕВ
ВЫПУКЛОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО РАДИУСА
И ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТОБРАЖАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
В данной статье показывается, что выпуклость вниз поверхности конформного радиуса
R(D; F (!)) = R(D; f ( )) для области D (1 2 D), которая построена над E ; = C n E ,
E = f : j j 1g, влечет выпуклость области C n D, D = F (E ; ) = f (E ). Отмечена связь
выпуклости вниз поверхности R(D; f ( )) с оценками снизу [1] коэффициентов функции
f ( ) = + c + c + ; f (E ) = D;
2
2
3
3
имеющей полюс первого порядка в точке p 6= 0, p 2 E , и отображающей E на область с выпуклой
границей.
Как было отмечено в [2], [3], поверхность конформного радиуса с уравнением
= R(f (E ); f ( )) = jf 0 ( )j(1 ; j j2 )
может быть выпуклой вверх над кругом E только для выпуклой области f (E ), т. е. для регулярной выпуклой функции f ( ) в E .
Докажем аналогичный результат из [3] для бесконечной области D (1 2 D).
Теорема 1.
Если поверхность с уравнением
= R(F (E ; ); F (!)) = jF 0 (!)j(j!j2 ; 1) (F (1) = 1; F 0 (1) > 0)
(1)
является выпуклой; вниз поверхностью над областью E ; = f! : j!j > 1g, то граница @D
области D = F (E ) будет выпуклой линией. Обратное утверждение в общем случае неверно.
Условие выпуклости вниз поверхности (1) над областью E ; имеет вид,
аналогичный формуле из доказательства теоремы 5 ([2], с. 10),
Доказательство.
@ R
@
R
@
R
@ R 0:
i
Re @! e + @!@! 0; 0 2; (= ; @! + @!@!
2
2
2
2
2
2
2
(2)
Неравенство (2) перепишем в форме
(j!j2 ; 1)2 @ 2 R (j!j2 ; 1)2 @ 2 R
R
@!
2
R
@!@!
(3)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проекты ЄЄ 02-01-00914 и 03-01-00015).
8
и используем выражения для производных конформного радиуса, которые получим дифференцированием функции (1). Выпишем результаты нетрудных вычислений в следующем виде:
s
@R = 1 F 0 F 00(!)(j!j ; 1) + jF 0 (!)j! = jF 0 (!)j 1 F 00 (j!j ; 1) + !;
@! s
2 F0
2 F0
@ R = 1 F 0 F 00 1 F 00 (j!j ; 1) + ! + jF 0 j 1 F 00 0(j!j ; 1) + 1 F 00 ! =
@! 2 F 0 2 F 0
2 F0
2 F0
00 1 F 00
00 0
00 1
1
F
F
1
F
0
= jF j 2 F 0 2 F 0 (j!j ; 1) + ! + 2 F 0 (j!j ; 1) + 2 F 0 ! =
2
2
2
2
2
2
2
2
00 0
00 2 00 = jF 0 j 12 FF 0 + 21 FF 0 (j!j2 ; 1) + ! FF 0 ;
(j!j2 ; 1)2 @ 2 R = 1 fF; !g(j!j2 ; 1)2 + F 00 (!) (j!j2 ; 1) 1 F 00 (!) (j!j2 ; 1) + !;
R @!2 2
F 0(!)
2 F 0 (! )
причем fF; !g = (F 00 =F 0 )0 ; (F 00 =F 0 )2 =2 | производная Шварца;
(4)
s
@ R = 1 F 0 F 00 1 F 00 (j!j ; 1) + ! + jF 0 j 1 F 00 ! + 1 =
@!@! 2 F 0 2 F 0
2 F0
0 !)j 1 F 00 00 (j! j ; 1) + Re ! F
= jj!Fj (;
(
j
!
j
;
1)
+
j
!
j
;
1
;
1 4 F0 F0
(j!j ; 1) @ R = 1 F 00 (!) (j!j ; 1) + ! ; 1:
R @!@! 2 F 0(!)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(5)
(6)
Подставляя (4) и (6) в (3), получим
2
00
1
F
2
A[F (!)](j!j ; 1) 2 F 0 (j!j ; 1) + ! ; 1;
2
где
(7)
00 00
A[F (!)] = 12 fF; !g(j!j ; 1) + FF 0 12 FF 0 (j!j ; 1) + ! :
Так как условие выпуклости вниз ((3) () (7)) для поверхности конформного радиуса (1)
2
2
должно выполняться, то как следствие из (7) будем иметь
2
1 F 00 (! )
2
2
2 F 0 (! ) (j! j ; 1) + ! 1 + A[F (! )](j! j ; 1):
Это неравенство перепишем с учетом эквивалентности (6) и (5) в виде
00 2
00 Re ! FF 0 ;1 ; 14 FF 0 (j!j2 ; 1) + A[F (!)]:
(8)
Выпуклые функции F (!), j!j > 1, характеризуются условием
00 (!) F
Re ! F 0(!) ;1; ! 2 E ; ;
(9)
и будут входить в класс функций, удовлетворяющих неравенству (8). Покажем, что невыпуклые
функции не могут содержаться в классе (8).
Действительно, пусть выполняется предельное равенство
1 F 00 (!) 2 (j!j2 ; 1) = B () 0
A
[
F
(
!
)]
;
(10)
lim
!!ei
4 F 0 (!) 9
почти всюду на окружности
! = ei , 0 2. Тогда по принципу максимума для гармониче;
F
(! )
ской функции Re ; ! F (!) получим (9) в качестве следствия из (8).
Условие (10) выполняется, в частности, для гладких граничных значений функции F (!),
когда в замкнутой области j!j 1 ограничена функция F 00 (!)=F 0 (!). Если (10) не выполняется,
то нужно использовать поверхность для конформного радиуса jF!0 (!)j(j!j2 ; 1) с = 1 + ",
" | малая положительная величина.
Осталось доказать, что в общем случае из выпуклости границы @D области D (1 2 D) не
следует выпуклость вниз поверхности с уравнением = R(F (E ; ); F (!)) над областью E ; . Для
этого возьмем пример с функцией F (!) = ! + a2 =!. Областью F (E ; ) будет внешность эллипса
u2=(1 + a2)2 + v2=(1 ; a2)2 = 1 при 0 < a < 1. Конформный радиус имеет вид
R(!) = jF 0(!)j(j!j2 ; 1) = j!2 ; a2j(1 ; j!j;2 ):
(11)
2
2
;2
Линия с уравнением
p = R(i) = ( + a )(1 ; ), 1, содержит точку перегиба при
0 > 1, когда a > 1= 3. Проверим это с помощью производных
0 = 2(1 ; ;2 ) + (2 + a2 )2;3 = 2( + a2 ;3 ); 00 = 2(1 ; 3a2 ;4 ):
p
pp
Поэтому знак кривизны меняется (если 1 > a > 1= 3): 00 () < 0 при 1 < < 0 = 4 3 a и
00 () > 0 при > 0 . Значит, в окрестности линии = R(i) на поверхности с уравнением (11)
сохранится выпуклость вниз при > 0 , а при < 0 поверхность будет выпуклой вверх.
Поведение конформного радиуса области D (1 2 D) не сохраняется в случае, когда поверхность R(D; f ( )) строится над кругом E . Область D = f (E ) оказывается образом круга E при
отображении функцией f ( ) с полюсом первого порядка в точке p, 0 < jpj < 1, если требовать,
чтобы f (0) = 0.
Покажем, что в окрестности полярной особенности p 2 E функции f ( ) условие вида (2) или
(7) не осуществится. Для этого используем поведение функций, участвующих в неравенстве
00
0
00
2
0
00
2 00 00
(1 ; j j2 ) 21 ff 0(()) + 12 ff 0(()) (1 ; j j2 ) ; ff 0(()) 21 ff 0(()) (1 ; j j2 ) ; ; 1: (71 )
При из окрестности точки p будем иметь
00
f ( ) ;c p ; c 6= 0; =) ff 0 ; ;2 p =)
f 00 0 2 :
f0
( ; p)
2
(12)
Поэтому поведение левой части неравенства (71 ) оценится величиной
1
2 + 1 4 (1 ; jpj2 )[1 + O( ; p)] = 2(1 ; jpj2 )2 [1 + O( ; p)];
2 ( ; p)2
2 ( ; p)2 j ; pj2
а поведение правой части | величиной
2
1 2
(1 ; jpj2 )2
2 2 ; p (1 ; jpj ) (1 + O ( ; p)) = j ; pj2 [1 + O ( ; p)]:
Значит, в окрестности точки p неравенство (71 ) превращается в свою противоположность.
Полное представление о противоположном неравенстве по сравнению с (71 ) можно увидеть
для функции f ( ) = ( ; p);1 , 2 E , jpj 1. Получим
2
2
R( ) = 1j;;jpjj2 ; R = ; j ; pj2 + j ;1p;j2(jj; p) = j ;ppj2;(1; p) ;
1 ; j j2 ; R = 1 [p( ; p) ; (p ; 1)]
R = 2
+
j ; pj4
( ; p)( ; p)2 ( ; p)( ; p)3
10
и далее
jR j = 2jj1;;ppj j ; R = j1;;jppjj :
Неравенство в форме (7 ) окажется невозможным, т. к. 2 1 + jpj, j1 ; p j > 1 ; jpj, поскольку
0 < jpj 1 и 2 E .
При p = 0 в левой части неравенства (7 ) будем иметь 2(1 ; j j ) j j; =R, а в правой части
окажется (1 ; j j ) j j; =R.
2
4
4
1
1
2 2
2 2
4
4
Для обоснования теоремы 2 понадобится
Лемма ([4]; [5], п. 27.3). Если функция f ( ) отображает круг E
выпуклой границей @f (E ), причем f (p) = 1, p 2 E , то функция
00
g(; p) = 1 + ff 0(()) + 2;p p ; 1 2;pp
на бесконечную область с
будет иметь неположительную вещественную часть в круге E .
В силу (12) получим представление
00
ff 0(()) = ; 2;p p + '(; p);
причем '(; p) | регулярная функция в окрестности точки p. Поэтому функция f 00 ( )=f 0 ( )
имеет в точке p полюс первого порядка с вычетом (;2p).
Так как
p
p
p
p
Re ; p ; 1 ; p = Re ei ; p ; e;i ; p = 0;
Доказательство.
=ei
то функция g(; p) является регулярной в круге E с сохранением у своей вещественной части
знака Re(f 00 ( )=f 0 ( )+1) < 0 на окружностях j j = 1 ; ", близких к j j = 1. Приведем подробные
пояснения.
Образом круга E при отображении функцией (; p) = 2;pp ; 12;pp является вся плоскость с
разрезом по отрезку мнимой оси, симметричному относительно начала координат. В прообразах
1;2 концов этого отрезка производная по отображающей функции (; p) обратится в нуль.
Найдем нули производной и их образы. Будем иметь
2
2
2
2
0 (; p) = ;
2
( ; p) (1 ; p )2 [(pp + p) ; 4pp + pp + p] = 0;
если
2
2
i2 arg p
2 2
2
p
; 1 + jpj2 = (1 +4pjpj2 )2 ; pp = ; e (1 +(1jp;j2j)p2j ) :
Поэтому нулями производной будут точки
2
1;2 = 2jpj 1 +i(1jp;j2 jpj ) ei arg p = ei(arg p);
где = arg(2jpj + i(1 ;jpj2 )) 2 (0; =2), т. е. аргумент точки, расположенной в первом квадранте.
Вычислив значения
(1;2 ; p), убедимся в том, что они являются чисто мнимыми сопряженными
i
числами i4jpj e ; jpj;2 sin .
Образами окружностей j j = 1 ; " с радиусами, близкими к единице, будут овалы (напоминающие эллипсы), которые окаймляют отрезок [;ij (1 ; p)j; ij (2 ; p)j]. Поэтому Re (; p)
на отмеченных окружностях будет близка к нулю, следовательно, отрицательный знак у
Re(1 + f 00 =f 0 ) + Re (; p) сохранится и будет верен в круге E (в силу принципа максимума
для гармонических функций).
Функция (; ei ) = ;2(ei + )=(ei ; ) будет отображать круг E на полуплоскость слева
от мнимой оси, т. е. Re (; ei ) < 0, (0; ei ) = ;2. Неравенство Re g(; ei ) 0 получается
предельным переходом из оценки Re g(; p) 0, когда p ! ei , jpj < 1.
11
Для перехода к оценкам коэффициентов функции f ( ) = + c2 2 + c3 3 + , участвующей
в лемме, понадобится характеризация, доказанная Л.В. Ковалевым.
Теорема 2 ([4]). Для выпуклости вниз поверхности конформного радиуса
= R(D; z ) = R(f (E ); z ); z = f ( );
(13)
построенной над областью D (1 2 D), необходимо и достаточно, чтобы дополнение f (E ) до
полной плоскости было выпуклым множеством.
докажем иначе, чем в [4], повторив с помощью измененных формул для производных доказательство теоремы 1.
При дифференцировании формулы (13) последовательно имеем ([2], с.10)
Доказательство. Необходимость
s
@R = @R 1 = f 0( ) f 00( ) (1 ; j j ) ; ;
@z @ f 0( )
f 0( ) 2f 0( )
@ R = f 00( ) (1 ; j j ) ; ; 1:
R @@zR = 12 jff ( ); gj(1 ; j j ) ; R @z@z
2f 0 ( )
2
2
2
2 2
2
2
2
Тогда получим два эквивалента для свойства выпуклости вниз поверхности конформного
радиуса
2 00
2
2
@ R
f
@
R
1
2 2
2
R @z2 R @z@z () 2 jff ( ); gj(1 ; j j ) 2f 0 (1 ; j j ) ; ; 1:
(14)
Выполнение условия выпуклости вниз в форме второго неравенства из (14) означает справедливость оценки
2
1 f 00
1
2
1 + jff; gj(1 ; j j2 )2 ;
(1
;
j
j
)
;
2 f0
2
которую перепишем в эквивалентном виде
00 2
00
1
f
(
)
(15)
Re f 0( ) ;1 + 4 ff 0 (1 ; j j2 ) ; 12 jff; gj(1 ; j j2 ):
В дополнительном предположении гладкости @f (E ) отсюда будем иметь Re(f 00 ( )=f 0 ( )) ;1.
При невыполнении условия
2
00
f ( ) ; 2jff ( ); gj (1 ; j j2 ) 0; 0 2;
lim
!ei f 0 ( ) нужно использовать конформный радиус jf0 (r )j(1 ;j j2 ), когда r > 0 близко к единице и jpj < 1.
Воспроизведем с некоторыми изменениями схему Л.В. Ковалева для удобства в применении к оценкам коэффициентов.
Выпишем основные формулы по плану, изложенному при доказательстве теоремы 4 из [2],
с изменениями, связанными с появлением полярной особенности у f ( ) в точке p [4], jpj 1.
Так как @f (E ) | выпуклый контур, то будет выпуклым и контур @ (E ) при отображении
функцией
! ; f (!).[f 0(!)(1 ; j!j2 )] = + a 2 + a 3 + ( ) = f 1++!
(16)
2
3
с любым фиксированным ! 6= p, ! 2 E . Для функции ( ) полярная особенность будет в точке
q = (p ; !)=(1 ; !p), т. к. (q + !)=(1 + !q) = p.
С помощью разложения (16) придем к представлению
00
0(()) = 2a2 + (6a3 ; 4a22 ) 2 + ;
Достаточность.
12
из которого выделим полярную особенность, и образуем
00 G( ) def
= ; 2;q q + 1 2;qq ; 1 + 0(()) =
= 1 + 2 q + 1q ; a2 + 2 q2 + q12 ; (3a3 ; 2a22 ) 2 + (17)
Эта функция регулярна в круге E и имеет в нем неотрицательную действительную часть в силу
леммы. Используем функцию
+ ei )w + 1 ; ei = 1 + ei (w ; 1) ; ei (1 ; ei ) (w ; 1)2 + ;
(w) = (1
(18)
(1 ; ei )w + 1 + ei
2
которая отображает правую полуплоскость Re w > 0 на себя с появлением дополнительного
свободного параметра .
Составим суперпозицию функций (18) и (17)
i
i
(G( )) = 1 + ei (G( ) ; 1) ; e (1 2; e ) (G( ) ; 1)2 + = 1 + B1 e + B2 e2 + ;
где e = e;i ,
B = 2ei(+) q + 1 ; a ;
1
B = ei ( +2 )
2
q
2
2 i 2 q2 + q12 ; (3a3 ; 2a22 ) ; 1 ;2e 4 q + 1q ; a2 :
Для коэффициентов функции с положительной действительной частью в круге E имеем
оценки jB1 j 2, jB2 j 2 ([6], с. 199), поэтому
jqj + 1=jqj ; a ei 1; = arg q;
jq j + 1=jq j ; (3a ; 2a )ei ; (1 ; ei )(jq j + 1=jq j ; a ei ) 1:
2
2
(19)
(20)
2
3
2
2
2
2
2
После некоторых преобразований ([4], с. 72) из (20) получим
;3ja ; a j + ja j 1:
3
2
2
2
(21)
2
Остается вспомнить, что
00
000
00
a2 = 12 ff 0((!!)) (1 ; j!j2 ) ; 2! ; a3 = 16 ff 0((!!)) (1 ; j!j2)2 ; ff 0((!!)) !(1 ; j!j2 ) + !2
и a3 ; a22 = 61 ff (!); !g(1 ; j!j2 )2 со шварцианом ff; !g = f 000 =f 0 ; 3(f 00 =f 0 )2 =2 в последнем равенстве. После подстановки в неравенство (21) этих выражений для коэффициентов правая часть
эквивалентности (14) будет достигнута.
Теорема 3. Для функции f ( ) из теоремы 2 справедливы оценки снизу
f 00 (1 ; j!j ) ; ! ; 1 1 jff (!); !gj(1 ; j!j ) =) f 00 (1 ; j!j ) ; ! 1;
2f 0
2f 0
2
в частности, при ! = 0
jf 00(0)j 2; jf 000(0)j 6:
2
2
2
2 2
13
2
(22)
(23)
Доказательство. Первая оценка в (22) совпадает с условием (14) выпуклости конформного
радиуса вниз. Вторая оценка следует из первой в силу неотрицательности правой части первой
оценки аналогично переходу при получении (15).
Первая оценка в (23) получена из второй оценки в (22) при ! = 0. Вторая оценка в (23)
следует из первой оценки в (22) с помощью следующих переходов:
jf 00(0)j2 ; 1 1 f 000(0) ; 3 f 00 2(0) 3 jf 00(0)j2 ; 1 jf 000 (0)j =)
4
2
2
4
2
=) 21 jf 000 (0)j 21 jf 00 (0)j2 + 1 3 =) jf 000 (0)j 6: Оценки (23) были получены в [1] другим путем в числе оценок
jf (n)(0)j n!; n = 2; 3; 4;
(24)
и сформулирована гипотеза в виде (24) для n 5.
Замечание 2. Серию оценок коэффициентов снизу можно получить с использованием оценок коэффициентов для функции G( ). В частности, получим неравенства
1
1 ; (3a ; 2a2 ) 1
q + ; a 1; q 2 +
Замечание 1.
q
2
q
3
2
2
(которые напоминают (19), (20)), поэтому
ja2 j jq + 1=qj ; 1 = jqj + 1=jqj ; 1 1; j3a3 ; 2a22j 1:
(25)
Путь обоснования первой оценки в (25)
1 f 00 (! )
2
ja2j 1 () 2 f 0(!) (1 ; j!j ) ; ! 1 =) jf 00(0)j 2
является, пожалуй, самым простым.
Правда, если сравнить критерии выпуклости вверх и выпуклости вниз поверхности конформного радиуса R(f (E ); f ( )), то тоже просто получаются такие следствия:
2 2
2
@
R
@
R
@ 2 R () 1 jff; gj(1 ; j j2 )2 i
2
Re @z 2 e ; @z@z (= @@zR2 ; @z@z
2
00
f
1 ; 2f 0 (1 ; j j ) ; =) jc j 1; jc j 1 (jc j 1=3 при c = 0);
@ R
@
R
@
R
i
(
= @ ; @ R ()
Re @ e ;
@@
@@
00 0
00 00 1
f
1
f
f
() (1 ; j j ) 2 f 0 + 2 f 0 (1 ; j j ) ; f 0 2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
00
1
f
2
1 ; 2 f 0 (1 ; j j ) ; =) jc2 j 1; jc3 j 2=3 (jc3 j 1=3 при c2 = 0) ;
@ R ; 0 2; (= (14) =) jc j 1; jc j 1:
@
R
i
Re @z e ; @z@z
2
2
2
2
2
3
Пограничным случаем между отмеченными совокупностями неравенств будет
@
R
@ R (= @ R = @ R = 0 ()
i
Re @z e = ; @z@z
@z@z @z
00
() ff; g = 0; 2ff 0 (1 ; j j ) ; = 1 =) jc j = 1; jc j = 1:
2
2
2
2
2
2
2
2
14
2
3
Тем самым получается переход от оценок jc2 j < 1, jc3 j < 1 к оценкам jc2 j > 1, jc3 j > 1 через
равенства jc2 j = 1, jc3 j = 1. Этот эффект связан с изменением области D, когда она из состояния
выпуклой области переходит в область с выпуклым дополнением. Обязательной промежуточной формой при этом будет полуплоскость | единственная область, которая выпукла сама и
дополнение ее до полной плоскости | тоже выпуклое множество.
Хорошо иллюстрируют эти переходы функция z = f{ ( ) = [(1 + )=(1 ; )]{ , 0 < { < 2, и ее
образы f{ (E ) в виде бесконечных секторов j arg z j < { =2.
Дополнительно отметим, что при отображении круга E на правую полуплоскость Re z > 0
с соответствием z (0) = z0 получим представление для пограничной функции
i z = Re z0 1 + 1 2;eei + i Im z0 = z0 + 2ei Re z0 f ( );
1
f ( ) = + P ck k , с возможным линейным окаймлением af ( )+ b, a; b 2 C , a 6= 0. Отсюда видно,
k
что R(z (E ); z ) = 2 Re z , ck = ei k; , и справедливо равенство jck j = 1 для всех k = 2; 3; : : :
n (0)j n!, n = 2; 3; : : : g представляет собой необхоЗамечание 3. Совокупность оценок fjf
димое условие выпуклости граничной линии @f (E ). Обратное утверждение несправедливо, т. е.
=2
0
0
(
1)
( )
из этой совокупности оценок вывести выпуклость граничной линии нельзя. Для эквивалентности оценок и свойства выпуклости граничной линии нужно использовать функцию ( ) из (16),
для которой эта эквивалентность утверждается уже на втором коэффициенте: ja2 (!)j 1 при
любом ! 2 E () ( ) | выпуклая функция при любом ! () f ( ) | выпуклая функция.
Замечание 4. Л.В. Ковалев недавно сообщил, что в моих публикациях [2], [3] неточно передана характеризация внешности выпуклой области из [4]: вместо \C n D | выпуклая область"
должно быть \C n D | выпуклое множество". Для пояснения нужно провести разрезы произвольных форм в области с выпуклым дополнением при сохранении односвязности области.
Тогда условие \C n D | выпуклая область" сохранится, а выпуклость конформного радиуса
нарушится.
Кроме того, Л.В. Ковалев предложил аналог теоремы 5 из [2] сформулировать для бесконечной области так, чтобы там тоже участвовало выпуклое множество, совпадающее с C n D.
По-видимому, такое уточнение делать необязательно, т. к. утверждается переход лишь в одну
сторону, как это сформулировано в тезисах моего доклада на мартовской конференции 2002 г.
([3], с. 19, формула (3)) и в виде теоремы 1 данной статьи.
Литература
1. Avkhadiev F.G., Wirths K.-J. Convex holes produce lower bounds for coecients // Complex
Variables. { 2002. { V. 47. { Є 7. { P. 553{563.
2. Аксентьев Л.А. Локальное строение поверхности внутреннего конформного радиуса для
плоской области // Изв. вузов. Математика. { 2002. { Є 4. { С. 3{12.
3. Аксентьев Л.А. О выпуклости поверхности конформного радиуса // Тр. Матем. центра им.
Н.И. Лобачевского. { Казань, 2002. { Т. 13. { С. 18{20.
4. Ковалев Л.В. Приведенные модули и теоремы искажения в теории однолистных функций:
Дисс. : : : канд. физ.-матем. наук. { Владивосток, 2000. { 106 с.
5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. { М.: Наука, 1977. { 640 с.
6. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. { 2-е изд. { М.:
Наука, 1966. { 628 с.
Казанский государственный
университет
Поступила
03.02.2003
15
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
189 Кб
Теги
неограниченных, функции, характеристика, класс, задачи, трикоми
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа