close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа в специальной области.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 1 (30). С. 46–52
УДК 517.956.6
ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА В СПЕЦИАЛЬНОЙ
ОБЛАСТИ
А. А. Гималтдинова
1 Поволжская государственная социально-гуманитарная академия,
Россия, 443099, Самара, ул. М. Горького, 65/67.
2 Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал,
Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Ленина, 47 a.
E-mail: g_alf ira@mail.ru
Получены условия на комплексный параметр, при которых единственно решение
задачи Трикоми для уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения
типа.
Ключевые слова: задача Трикоми, уравнение смешанного типа, единственность
решения.
При изучении краевых задач для уравнений смешанного типа важными
являются вопросы единственности решения и расположения спектра соответствующих спектральных задач.
Многими авторами изучалась задача Трикоми для модельного уравнения
Лаврентьева—Бицадзе
Lu ≡ sgn y · uxx + uyy − λu = 0.
(1)
В работе [1] А. В. Бицадзе установил принцип экстремума для уравнений
смешанного типа и на его основе доказал единственность решения задачи
Трикоми для уравнения (1) при λ = 0, а также существование решения.
Т. Ш. Кальменов в работе [2] на основе принципа экстремума А. В. Бицадзе и теории положительных решений операторных уравнений М. А. Красносельского доказал существование хотя бы одного собственного значения
однородной задачи Трикоми для уравнения (1).
задачи Трикоми
С. М. Пономарев [3] доказал единственность решения √
для уравнения (1) при λ = α + iβ таких, что α > 0 и |β| 6 2 2α.
Е. И. Моисеев [4] для уравнения (1) с комплексным параметром λ = µ2
установил единственность решения задачи √
Трикоми при |arg
õ| 6 arctg k0 ,
2
2
где k0 — корень уравнения 2k = 2k − 1 + 2k 2k − 1, k0 > 1/ 2.
К. Б. Сабитов [5] изучил единственность решения задачи Трикоми для
уравнения (1) с кусочно-постоянным параметром λ = λ1 при y > 0, λ = λ2
при y < 0.
В данной работе рассматривается смешанное эллиптико-гиперболическое
уравнение с двумя линиями изменения типа
Lu ≡ sgn y · uxx + sgn x · uyy − λu = 0,
(2)
где λ — комплексный параметр, в области D, ограниченной следующими линиями:
Альфира Авкалевна Гималтдинова (к.ф.-м.н., доц.), докторант, каф. математики и методики обучения1 ; доцент, каф. математического анализа2 .
46
Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа . . .
1) гладкой кривой Γ, лежащей в первой четверти плоскости (x, y) с концами в точках A1 (l1 ,0) и A2 (0, l2 ), l1 , l2 > 0;
2) характеристиками OC1 (x + y = 0) и C1 A1 (x − y = l1 ) уравнения (2)
при x > 0, y < 0;
3) характеристиками OC2 (x + y = 0) и C2 A2 (y − x = l2 ) при x < 0, y > 0,
где C1 = (l1 /2, −l1 /2), C2 = (−l2 /2, l2 /2), O = (0,0).
Введём обозначения: D0 = D ∩ {x > 0, y > 0}, D1 = D ∩ {x > 0, y < 0},
D2 = D ∩{x < 0, y > 0}. В области D для уравнения (2) поставим следующую
задачу Трикоми.
Задача T. Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую условиям:
u(x, y) ∈ C( D ) ∩ C1 (D) ∩ C2 (D0 ∪ D1 ∪ D2 ),
Lu(x, y) ≡ 0, (x, y) ∈ D0 ∪ D1 ∪ D2 ,
u(x, y)Γ = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Γ,
u(x, y)C1 C2 = ψ(x, y), (x, y) ∈ C1 C2 ,
(3)
(4)
где ϕ и ψ — заданные достаточно гладкие функции.
Определение. Под регулярным решением уравнения (2) в области D понимается функция u(x, y), удовлетворяющая условиям (3), (4) и имеющая
непрерывные частные производные ux и uy в D 0 , за исключением, быть может, точек O, A1 , A2 , где они могут иметь степенную особенность порядка
меньше единицы.
В областях D1 и D2 для уравнения (2) рассмотрим следующие задачи.
Вторая задача Дарбу.
1) Найти в области D1 решение u(x, y) уравнения (2), удовлетворяющее
условиям:
uy (x,0) = ν1 (x), x ∈ (0, l1 ),
u(x, −x) = 0, x ∈ [0, l1 /2],
(5)
(6)
где ν1 (x) — заданная функция.
2) Найти в области D2 решение u(x, y) уравнения (2), удовлетворяющее
условиям:
ux (0, y) = ν2 (y), y ∈ (0, l2 ),
u(y, −y) = 0, y ∈ [0, l2 /2],
(7)
(8)
где ν2 (y) — заданная функция.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1.
1) Если ν1 (x) ∈ C1 (0, l1 ) ∩ L1 [0, l1 ], то существует единственное решение
задачи (2), (5) и (6) и оно определяется формулой
Z x+y
i
hp
λ(x + y − t)(x − y − t) dt,
(9)
ν1 (t)J0
u(x, y) =
0
где J0 (z) — функция Бесселя первого рода,
√
λ > 0 при λ > 0.
47
А. А. Г и м а л т д и н о в а
2) Если ν2 (x) ∈ C1 (0, l2 ) ∩ L1 [0, l2 ], то существует единственное решение
задачи (2), (7) и (8) и оно определяется формулой
Z y+x
hp
i
ν2 (t)J0
u(x, y) =
λ(y + x − t)(y − x − t) dt.
(10)
0
Доказательство теоремы 1.1) приведено в [6], а формула (10) получается
из (9) заменой x на y, y на x в силу симметричности уравнения (2) относительно y = x.
Полагая в формулах (9) и (10) соответственно y = 0 и x = 0, найдем:
Z x h√
i
u(x, 0) = τ1 (x) =
J0
λ(x − t) ν1 (t)dt, 0 6 x 6 l1 ,
(11)
0
Z y h√
i
λ(y − t) ν2 (t)dt, 0 6 y 6 l2 .
J0
u(0, y) = τ2 (y) =
0
Пусть комплексное число λ = µ2 , λ = λ1 + iλ2 , µ = µ1 + iµ2 , λi , µi ∈ R.
Тогда u(x, y) = u1 (x, y) + iu2 (x, y), u(x, y) = u1 (x, y) − iu2 (x, y).
Лемма 1. Если u
= 0, то для любого регулярного решения уравнения
AC1
(2) имеет место при любом x ∈ [0, l1 ] неравенство
Z x
e−2at u(t,0) uy (t,0) dt > 0, a = const > |µ2 |.
Re J1a = Re
0
Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании формулы (11) и интегрального представления функции Бесселя
z q Z 1
2
(1 − ξ 2 )q−1/2 cos(zξ)dξ
Jq (z) = √
πΓ(q + 1/2) 2
0
вычислим интеграл
t
J0 µ1 (t − s) ν 1 (s) ds dt =
e
ν1 (t)
ν1 (t) τ 1 (t)dt =
0
0
0
Z 1
Z t
Z x
1
=
(1 − ξ 2 )−1/2 eiµ(t−s) ξ dξ dt =
ν 1 (s) ds
e−2at ν1 (t)
π 0
−1
0
Z x
Z
Z t
1 1
−2at
2 −1/2
e
(1 − ξ )
dξ
ν1 (t) ν 1 (s)e(µ2 +iµ1 ) (t−s) ξ ds dt. (12)
=
π −1
0
0
J1a =
Z
x
−2at
e
Z
x
−2at
Z
Предварительно найдем:
Re [ν1 (t) ν 1 (s) eiµ1 (t−s) ξ ] =
= Re ν11 (t) ν11 (s) + ν12 (t)ν12 (s) + i ν12 (t) ν11 (s) − ν11 (t)ν12 (s) ×
× cos µ1 (t − s) ξ + i sin µ1 (t − s) ξ =
h
i
= ν11 (t) ν11 (s) + ν12 (t)ν12 (s) cos µ1 (t − s) ξ−
48
Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа . . .
h
i
− ν12 (t)ν11 (s) − ν11 (t)ν12 (s) sin µ1 (t − s) ξ =
= [ν11 (t) cos µ1 tξ − ν12 (t) sin µ1 tξ] [ν11 (s) cos µ1 sξ − ν12 (s) sin µ1 sξ]+
+ [ν11 (t) sin µ1 tξ + ν12 (t) cos µ1 tξ][ν11 (s) sin µ1 sξ − ν12 (s) cos µ1 sξ]. (13)
Введём в рассмотрение вспомогательные функции:
P1 (t, ξ) = [ν11 (t) cos µ1 tξ − ν12 (t) sin µ1 tξ] e−µ2 tξ ;
P2 (t, ξ) = [ν11 (t) sin µ1 tξ + ν12 (t) cos µ1 tξ] e−µ2 tξ ;
Z t
Pi (s, ξ) ds, i = 1,2.
Fi (t, ξ) =
0
Тогда на основании формул (12) и (13) получим неравенство
Z
Z x
1 1
2 −1/2
Re Ja1 =
(1 − ξ )
e−2t(a−µ2 ξ) ×
π −1
0
Z t
Z t
i
h
P2 (s, ξ)ds dtdξ =
P1 (s, ξ)ds + P2 (t, ξ)
× P1 (t, ξ)
0
0
Z 1
Z x
d
1
(1 − ξ 2 )−1/2
F12 (t, ξ) + F22 (t, ξ) dtdξ =
e−2t(a−µ2 ξ)
=
2π −1
dt
0
Z 1
1
=
(1 − ξ 2 )−1/2 F12 (x, ξ) + F22 (x, ξ) e−2x(a−µ2 ξ) +
2π −1
Z x
2
+ 2(a − µ2 ξ)
F1 (t, ξ) + F22 (t, ξ) e−2t(a−µ2 ξ) dt dξ > 0,
0
которое доказывает лемму 1. Лемма 2. Если u|AC2 = 0, то для любого регулярного решения уравнения
(2) имеет место при любом y ∈ [0, l2 ] неравенство
Z y
e−2at u(0, t) ux (0, t) dt > 0.
Re J2a = Re
0
Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству леммы 1.
Лемма 3. Если uΓ = 0, то справедливо неравенство
ZZ
ZZ
|∇u|2 dxdy,
u2 dxdy 6 9 mes D0
D0
D0
где mes D0 — площадь области D0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим область D0 симметрично относительно
оси Ox и полученную область обозначим D0∗ . Затем область Q1 = D0 ∪ D0∗ ∪
OA1 отобразим относительно оси Oy, получим область Q2 . Теперь в области
Q = Q1 ∪ Q2 ∪ A2 B2 , где B2 (0, −l2 ) — точка, симметричная точке A2 , доопределим функцию u(x, y) чётным образом по обеим переменным, т. е. получим
◦
функцию ũ(x, y) ∈W 12 (Q). Используя оценку [7, c.71]
||u||2,Ω 6
3
(mes Ω)1/2 ||∇u||2,Ω ,
2
49
А. А. Г и м а л т д и н о в а
получим
ZZ
9
ũ dxdy 6 mes Q
4
Q
2
ZZ
Q
|∇ũ|2 dxdy,
откуда после возвращения к области D0 и следует справедливость доказываемой оценки.
Теорема 2. Если в классе регулярных решений уравнения (2) существует
решение задачи Трикоми, то оно единственно при всех λ, удовлетворяющих
неравенству
|λ| < 2Re λ + p, p = 1/(9 mes D0 ).
(14)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть w(x, y) = exp(−a(x + y)) u(x, y), где a =
= |µ2 | = |Im µ|, u(x, y) — решение однородной задачи Т, тогда w(x, y) в области D0 является решением уравнения
M w = wxx + wyy + 2awx + 2awy + (2a2 − λ)w = 0.
Рассмотрим равенство
w M w = (w wx )x +(w wy )y −w x wx −wy wy +2a w wx +2a w wy +(2a2 −λ)|w|2 = 0
и проинтегрируем его по области D0εδ , полученной из D0 при отходе внутрь
нее на расстояние ε > 0 от кривой Γ и на расстояние δ > 0 от отрезков OA1
и OA2 . У полученного равенства выделим вещественную часть:
i
1 ∂
h 1 ∂
dx dy−
|w|2 + a|w|2 +
|w|2 + a|w|2
2 ∂x
2 ∂y
x
y
D0εδ
ZZ h
i
|∇w|2 − Re (2a2 − λ)|w|2 dx dy = 0.
−
ZZ
D0εδ
Применяя здесь формулу
Грина, в пределе при ε → 0, δ → 0 с учётом
граничного условия wΓ = 0 получим
ZZ
|∇w| dx dy + (Re λ − 2a )
+ Re
Z
D0
2
2
ZZ
D0
l1
−2ax
e
u(x,0) uy (x,0) dx + Re
0
|w|2 dx dy+
Z
l2
e−2ay u(0, y) ux (0, y) dy = 0. (15)
0
В силу лемм 1 и 2 при Re λ > 2(Im µ)2 из равенства (15) следует единственность решения задачи Трикоми. А если −p < Re λ − 2(Im µ)2 , то в силу
равенства (15) и леммы 3 получим
ZZ
D0
2
2
|∇w| dx dy 6 −(Re λ − 2a )
ZZ
D0
|w|2 dx dy 6
Re λ − 2a2
6−
p
50
ZZ
D0
|∇w|2 dx dy,
Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа . . .
откуда следует, что u(x, y) ≡ 0 в D.
Запишем неравенство −p < Re λ − 2(Im µ)2 в другом виде. Так как λ =
= µ2 = (µ1 + iµ2 )2 , то µ21 = 12 (|λ| + Re λ), µ22 = 21 (|λ| − Re λ), поэтому получим
неравенство
|λ| < 2Re λ + p,
что и требовалось доказать. Неравенство (14) можно привести к виду
(Re λ + 2p/3)2
(Im λ)2
√
> 1,
−
(p/3)2
(p/ 3)2
Re λ > −p/2,
т. е. на плоскости (λ) получится внутренность правой ветви гиперболы с вершиной в точке (−2p/3, 0).
Таким образом, решение задачи Трикоми для уравнения (2) единственно
при всех λ из указанной области.
Отметим, что в работе [8] была доказана единственность
√ решения задачи
Трикоми для уравнения (2) при Re λ > 0, |Im λ/Re λ| 6 2 2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. А. В. Бицадзе, “О некоторых задачах для уравнений смешанного типа” // Докл. Акад.
наук СССР, 1950. Т. 70, № 4. С. 561–564. [A. V. Bicadze, “On some problems for mixed
type equations” // Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1950. Vol. 70, no. 4. Pp. 561–564].
2. Т. Ш. Кальменов, “О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева—Бицадзе” //
Диффер. уравн., 1977. Т. 13, № 8. С. 1418–1425. [T. Sh. Kal’menov, “The spectrum of the
Tricomi problem for the Lavrent’ev-Bicadze equation” // Differ. Uravn., 1977. Vol. 13, no. 8.
Pp. 1418–1425].
3. С. М. Пономарев, “К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева–
Бицадзе” // Докл. Акад. наук СССР, 1978. Т. 238, № 6. С. 1299–1302. [S. M. Ponomarev,
“On the eigenvalue problem for the Lavrent’ev–Bicadze equation” // Dokl. Akad. Nauk SSSR,
1978. Vol. 238, no. 6. Pp. 1299–1302].
4. Е. И. Моисеев, Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: МГУ,
1988. 150 с. [E. I. Moiseev, Equations of mixed type with a spectral parameter. Moscow:
Moscow State Univ., 1988. 150 pp.]
5. К. Б. Сабитов, “О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева–Бицадзе со спектральным параметром” // Диффер. уравн., 1986. Т. 22, № 11. С. 1977–1984; англ.
пер.: K. B. Sabitov, “Tricomi problem for the Lavrent’ev-Bitsadze equation with a spectral
parameter” // Differ. Equ., 1986. Vol. 22. Pp. 1380-1386.
6. К. Б. Сабитов, “Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. 1” // Диффер. уравн.,
1990. Т. 26, № 6. С. 1023–1032; англ. пер.: K. B. Sabitov, “Construction in explicit form
of solutions of the Darboux problems for the telegraph equation and its application in the
inversion of integral equations. I” // Differ. Equ., 1990. Vol. 26, no. 6. Pp. 747–755.
7. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с. [O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Uraltseva, Linear and
quasilinear equations of elliptic type. Moscow: Nauka, 1973. 576 pp.]
8. Ю. У. Талмирзаев, К теории краевых задач для уравнений смешанного типа с негладкой
линией вырождения: Автореф. . . . канд. физ.-мат.наук: 01.01.02. Ташкент: АН Уз.ССР.
Ин-т математики, 1980. 16 с. [Yu. U. Talmirzaev, On the theory of boundary value problems
for equations of mixed type with a smooth line of degeneracy: Ph.D. Thesis (Phys. & Math.).
Tashkent: AN Uz.SSR. In-t matematiki, 1980. 16 pp.]
Поступила в редакцию 15/XI/2012;
в окончательном варианте — 17/I/2013.
51
G i m a l t d i n o v a A. A.
MSC: 35M10, 35M12
TRICOMI PROBLEM FOR A MIXED TYPE EQUATION WITH TWO
LINES OF TYPE CHANGING IN A SPECIAL AREA
A. A. Gimaltdinova
1
Samara State Academy of Social and Humanities,
65/67, M. Gorky st., Samara, 443099, Russia.
2 Sterlitamak Branch of Bashkir State University,
47 a, Lenin st., Sterlitamak, 453103, Russia.
E-mail: g_alf ira@mail.ru
We obtain conditions on the complex parameter, when there is an unique solution of
the Tricomi problem for an equation with two perpendicular lines of degeneracy.
Key words: Tricomi problem, mixed type equation, uniqueness of solution.
Original article submitted 15/XI/2012;
revision submitted 17/I/2013.
Alfira A. Gimaltdinova (Ph. D. (Phys. & Math.)), Doctoral Candidate, Dept. of Mathematics
and Teaching Methods1 ; Associate Professor, Dept. of Mathematical Analysis2 .
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
156 Кб
Теги
двумя, типа, линиям, уравнения, смешанной, области, специальный, задачи, изменения, трикоми
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа