close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача формирования портфеля ценных бумаг.

код для вставкиСкачать
Экономика
УДК 519.86
ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
Н.С. Дёмин*, С.В. Рожкова, О.В. Рожкова
*Томский государственный университет
Томский политехнический университет
E"mail: rozhkova@tpu.ru
Работа посвящена нахождению математического ожидания и дисперсии капитала портфеля, состоящего из рискового и безри"
скового активов, как основных характеристик в задаче оптимального управления портфелем ценных бумаг.
Ключевые слова:
Финансовый рынок, портфель ценных бумаг, актив, капитал, оптимальное управление.
Key words:
Financial market, equity security portfolio, asset, capital, optimal control.
Введение
Вопрос исследования задачи формирования
портфеля ценных бумаг, как задачи оптимального
управления капиталом портфеля в смысле мини
мизации функционала, характеризующего его от
клонения от капитала эталонного портфеля рас
сматривался в [1]. В данной работе на основе ре
зультатов [1] исследуются вопросы нахождения
среднего значения и дисперсии капитала.
Теория финансов, как составляющая часть мак
роэкономической теории, возникла в 20х гг. XX в.
На начальном этапе все сводилось к вопросам под
счета сложных процентов и увеличения фондов.
Последующее развитие теории финансов проходи
ло в двух направлениях, а именно, в предположе
ниях условий полной определенности [2] и неопре
деленности [3, 4]. В первом случае рассматрива
лись вопросы оптимальных решений в условиях
полной определенности, когда все сводилось к за
дачам максимизации функций многих перемен
ных. Во втором случае вероятностный анализ, по
лучивший название «meanvariance analysis», вы
явил важную ковариаций в стоимостях акций, как
того важного показателя, от которого зависит сте
пень риска портфеля акций. Основным результа
том этого подхода явилась идея диверсификации,
получившая образное выражение в виде «don’t put
all your eggs in one basket». Современный этап разви
тия той части теории финансов, которая занимает
ся проблемой формирования портфелей ценных
бумаг из рисковых активов, связан, вопервых,
с описанием процесса изменения стоимости ри
сковых активов в виде случайного процесса [5],
а вовторых, с формулировкой задачи формирова
ния портфеля, как задачи стохастического опти
мального управления [6].
1. Постановка задачи
Цена рискового актива (для определенности –
акции) определяется стохастическим дифферен
циальным уравнением (модель Самуэльсона) [5, 7]
dS (t ) S (t )[ adt V dW (t )],
S (0) S 0 ! 0, t  [0, t1],
(1)
где a – доходность (a>0); V – волатильность (V>0);
W(t) – стандартный винеровский процесс. Цена
безрискового актива B(t) (например, банковский
счет) определяется в виде
B (t ) B0e rt , B0 ! 0, r ! 0,
(2)
где r – процентная ставка. Пусть X(t) – капитал
портфеля. В текущий момент времени доля капи
тала, равная u(t) вкладывается в рисковый актив,
а доля капитала, равная u~(t)=1–u(t), вкладывается
в безрисковый актив. В [1] (формула (7)) показано,
что капитал определяется стохастическим диффе
ренциальным уравнением
dX (t ) X (t ){[r (a r )u (t )]dt u (t )V dW (t )}. (3)
5
Известия Томского политехнического университета. 2010. Т. 317. № 6
Пусть капитал эталонного портфеля Y(t) опре
деляется в виде
Y (t ) Y0e Pt , Y0 ! 0 P ! 0,
(4)
где P – доходность эталонного портфеля.
Задача оптимального формирования портфеля
ставится как задача нахождения такого значения
u(t)=u0(t), которое минимизирует критерий качества
­[ X (t1 ) Y (t1 )] 2 ½
° t
°
J M®
(5)
¾,
2
° ³ [ X (t ) Y (t )] | dtX (0) X 0 °
¯ 0
¿
где M{.} – оператор математического ожидания,
как интегральной меры расхождения между фор
мализуемым и эталонным портфелями. Эта задача
была решена в [1].
В данной работе ставится задача исследования
свойств полученного решения, а именно задача на
хождения математического ожидания и дисперсии
капитала, которые достигаются на оптимальном
решении.
1
2. Основные результаты
Утверждение 1. При оптимальном управлении
u0(t) капитал X(t)=X0(t) определяется уравнением
dX (t )
(a r )
[b1 (t ) b2 (t ) X 0 (t )]dW (t ),
V b2 (t )
(6)
ª (a r ) 2 [b1 (t ) b2 (t ) X 0 (t )] º 0
«r » X (t )dt V 2b2 (t ) X (t )
¬
¼
(a r )
0
[b1 (t ) b2 (t ) X (t )]dW (t )
V b2 (t )
2
º
1 ª (a r ) b1 (t ) «
» dt 2
2
2
0
V b2 (t ) « rV (a r ) b2 (t ) X (t ) »
¬
¼
(a r )
0
[b1 (t ) b2 (t ) X (t )]dW (t ).
V b2 (t )
ª (a r ) 2 º
(a r ) 2 b1 (t )
,
« r V 2 » X (t ) V 2
b2 (t )
¬
¼
решение которого имеет вид
X (t )
6
ª §
« ¨
« F ¨ ln
«¬ ¨©
d e
d e
(r E )
t
2
(r E )
t
2
ln
4E (P 2 E 2 ) r E 1
ue
d
b22 b12 , E
(r E )
t1
2
u
,
(9)
[(a r ) 2 V 2 ] r.
(10)
Доказательство. Пусть процесс X (t) определя
ется стохастическим дифференциальным уравне
нием
dX 0 (t ) f (t , X 0 (t ))dt )(t , X 0 (t )) dW (t ). (11)
Тогда, согласно (6) из [1]
1
f (t , X 0 (t ))dt
u
V 2b2 (t )
0
u[(a r ) 2 b1 (t ) ( rV 2 ( a r ) 2 )b2 (t ) X 0 (t )].
(12)
Интегрируя уравнение (11) получаем
X (t )
t
t
0
0
X 0 ³ f (W , X (W ))dW ³ )(W , X (W ))W (W ) dW .
Тогда
X (t )
t
X 0 ³ M { f (W , X (W ))}dW M { X 0 (t )}
­
½
M ® ³ ) (W , X (W ))W (W ) dW ¾.
(13)
¯0
¿
Поскольку математическое ожидание от сто
хастического интеграла равно нулю [7], из (12) сле
дует, что
t
X (t )
X 0 ³ M { f (W , X 0 (W ))}dW .
(14)
0
Использование (12) дает, что
M { f (W , X 0 (W ))}
ª (a r ) 2 º
(a r ) 2 b1 (t )
.
«r » X (t ) 2
V
V 2 b2 (t )
¬
¼
Подстановка (15) в (14) дает, что
(15)
X (t )
Утверждение доказано.
– Теорема 1. Среднее значение капитала
X (t)=M{X0(t)} определяется уравнением
dX (t )
dt
X 0 (r 2 E 2 )[2 E ( P E 1)( P E ) e ( P E t1 ) ]
t
где b1(t) и b2(t) определены в Утверждении 2 из [1]
(формулы (31), (32)).
Доказательство. Подстановка (54) из [1] в (3)
дает, что
dX 0 (t )
F
0
2
º
1 ª (a r ) b1 (t ) «
» dt 2
2
2
0
V b2 (t ) «¬ (rV (a r ) )b2 (t ) X (t ) »¼
0
где
(7)
º
·
d 1 ¸
»
X 0 » e E t , (8)
d 1 ¸¸
»¼
¹
t
§ ª (a r ) 2 º
( a r 2 ) b1 (t ) ·
X 0 ³ ¨ «r ¸ dW . (16)
» X (t ) 2
V
V 2 b2 (t ) ¹
¼
0 ©¬
Дифференцирование (16) приводит к (7).
Общее решение однородного уравнения
ª (a r ) 2 º
« r V 2 » X (t )
¬
¼
с учетом того, что (a–r)2/V2=E+r, имеет вид [8]
dX (t )
dt
(17)
X (t ) C (t )e E t .
Подставляя (17) в (7), получим уравнение для
dC (t )
b (t )
(E r ) 1 eE t ,
нахождения C(t) в виде
dt
b2 (t )
общее решение которого имеет вид
Экономика
C (t )
F ln
d e
(r E )
t
2
(r E )
t
2
C1 ,
(18)
d e
где F определено в (9). Подставляя (18) в (17), по
лучаем общее решение уравнения (7) в виде
X (t ) C1e
Et
Fe
Et
d e
d 1
.
d 1
X 0 F ln
ª
(a r ) 2 º 2
( a r ) 2 b12 (t )
« 2r V 2 » X (t ) V 2 b 2 (t ) , (21)
¬
¼
2
решение которого имеет вид
d X 2 (t )
dt
X 02e ( r E )t .
(22)
Доказательство. Введем процесс M(X (t))=[X (t)]2
и применим к данному процессу формулу Ито [7]
wM ( X 0 (t ))
dM ( X (t ))
dX (t ) wX 0 (t )
0
1 w 2M ( X (t ))
) (t , X 0 (t )) dt.
2 w[ X 0 (t )]2
0
(23)
Тогда, согласно (6)
(a r ) 2
)(t , X 0 (t ))
[b1 (t ) b2 (t ) X 0 (t )]2 ,
V 2b22 (t )
0
2
wM ( X (t ))
w M ( X (t ))
(24)
2 X 0 (t ),
2.
wX (t )
wX 2 (t )
Подстановка (24) в (23) приводит к уравнению
для процесса [X0(t)]2 в виде
d [ X 0 (t )]2 2r[ X 0 (t )]2 dt ª (a r ) 2 b12 (t ) (a r ) 2 0 2 º
«
[ X (t )] » dt 2 2
V2
¬ V b2 (t )
¼
2(a r )[b1 (t ) b2 (t ) X 0 (t )] X 0 (t )
dW (t ).
V b2 (t )
(25)
Тогда уравнение (21) следует из (25) аналогично
тому, как было получено уравнение (7).
Найдем решение ур. (21). Согласно [8] общее
решение линейного неоднородного дифферен
циального уравнения с переменными коэффици
ентами dy(t)/dt=–p(t)y(t)+q(t) имеет вид
(26)
t
§
b 2 ([ ) (E r )[ ·
e( r E ) t ¨ C ( E r ) ³ 12
e
d[ ¸ . (27)
b ([ )
0 2
©
¹
Используя (31), (32), (35)–(37) из [1] и формулу
X 2 (t )
[9]
f
xD 1e px
³0 (eqx z )n
(20)
Подстановка (20) в (18) приводит к (8). Теорема
доказана.
Утверждение –2. Математическое ожидание ква
драта капитала X 2(t)=M{[X0(t)]2} определяется ура
внением
X 2 (t )
ªt
º
­° [
½°
u « ³ q ([ ) exp ® ³ p( s) ds ¾d [ C » .
¯° 0
¿°
¬« 0
¼»
Тогда из (21), (26) следует, что
(rE )
t
2
(19)
.
(r E )
t
d e 2
C1 находится из граничного условия
– Константа
–
X (0)=X 0:
C1
ln
­ t
½
exp ® ³ p([ ) d [ ¾ u
¯ 0
¿
y (t )
* (D ) f (k 1)n 1 ( z )k
,
¦
( n 1)! k 0 ( p qk qn )D
где Г(D) – гаммафункция, которая имеет вид
*(D )
f
³t
D 1 t
e dt , в (27), получаем общее решение
0
уравнения (21) в виде
X 2 (t ) e ( r E ) t u
§
X 02 (r E ) 2
u
¨ C (E r)
( P E ) 2 ( r E 1) 2
¨
¨ ­ 2( r E )t f
( k 1) d k
1
¨ °e
¦
k 0 (E r 2P ) ( E r ) k
¨°
¨ ° 2( P E 1) e 2( P E 2 r ) t1 u
u¨ ° f
¨°
( k 1) d k
¨ ®u¦
¨ ° k 0 (r P ) ( E r )k
¨ ° ( P E 1) 2 e 2( P r )t1 u
¨°
¨° f
( k 1) d k
¨ °u¦ ( E r ) ( E r )k
©¯ k 0
Константа
условия X(t0)=X0:
C
·
¸
¸
½¸
° ¸
°¸
°¸
°¸.
°¸
¾¸
°¸
°¸
(28)
°¸
°¸
°¸
¿¹
в (21) находится из граничного
X 02 ( E r )
X 02 ( r E ) 2
u
( P E ) 2 ( r E 1) 2
­ 2( r E )t1 f
( k 1) d k
¦
°e
k 0 (E r 2P ) ( E r)k
°
° 2( P E 1) e 2( P E 2 r ) t1 u
° f
( k 1) d k
°
u ®u¦
° k 0 (r P ) ( E r )k
° ( P E 1) 2 e 2( P r )t1 u
°
° f
( k 1) d k
u
° ¦ ( E r ) ( E r )k
¯ k 0
½
°
°
°
°
°
¾.
°
°
(29)
°
°
°
¿
Подстановка (29) в (28) приводит к (22). Теоре
ма доказана.
–
–
Теорема 2. Дисперсия капитала D(t)=X 2(t)–(X (t))2
определяется уравнением
7
Известия Томского политехнического университета. 2010. Т. 317. № 6
dD(t )
dt
(a r ) 2
V2
3. Обсуждение результатов
2[rV 2 (a r ) 2 ]
D(t ) V2
ª 2
b1 (t )
b12 (t ) º
X
(
t
)
2
X
(
t
)
«
»,
b2 (t )
b22 (t ) ¼
¬
(30)
решение которого имеет вид
2
D(t ) (e ( r E ) t 1) X 0 F e E t u
(r E )
­ª
§
t
d e 2
°«
¨
ln
(rE )
°«
¨
t
°« X 2 F e E t ¨
d e 2
0
°«
¨
°° «
¨ 1
d 1
u ®«
¨ 4 ln
d 1
©
° ¬«
°
(r E )
t
° ª
d e 2
«
Et
° 2 X 0 F e ln
(r E )
t
° «
d e 2
¯° «¬
·º
¸»
¸»
¸ » ln
¸»
¸»
¸»
¹ ¼»
º
» ln
»
»¼
½
°
°
d 1
°
°
d 1
°°
¾,
°
( r E ) °
t
d e 2 ° (31)
°
( r E )
t °
d e 2 °¿
где F и d определены в (9), (10).
Доказательство. Так как
d ( X (t )) 2
dX (t )
2 X (t )
,
dt
dt
то с учетом (7) получаем
d ( X (t )) 2
dt
[rV 2 (a r ) 2 ]
( a r ) 2 b1 (t )
2
X
t
X (t ). (32)
2
(
(
))
V2
V 2 b2 (t )
Так как
dD (t ) d X 2 (t ) d ( X (t )) 2
,
(33)
dt
dt
dt
то уравнение (30) следует в результате использова
ния (21) и (32) в (33).
–
–
Так как D (t)=X 2(t)–(X (t))2, то формула (31) сле
дует из (8), (22). Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дёмин Н.С., Рожкова С.В., Цитко А.В. Применение математи
ческого метода динамического программирования к решению
одной задачи управления портфелем ценных бумаг // Известия
Томского политехнического университета – 2006. – Т. 309. –
№ 3. – С. 10–14.
2. Modigliani F., Miller M. The cost of capital, corporation finance
and theory of investment // American Economic Review. – 1958. –
№ 6. – P. 261–297.
3. Markowitz H. Portfolio selection // Journal of Finance. – 1952. –
March. – P. 77–91.
4. Markowitz H. Meanvariance analysis in portfolio choice and capi
tal markets. – Cambridge, Massachusetts: Blackwell, 1990. – 387 p.
8
Поскольку зависимости среднего значения ка
питала, определяемого формулой (8), и дисперсии
капитала, определяемой формулой (31), от параме
тров постановки задачи являются сложными,
то исследовать свойства решения возможно только
численно. Анализ численных результатов привел к
следующим выводам.
1. В случае равенства доходностей рискового
и безрискового активов и эталонного портфе
ля,
– т. е. если a=r=P, среднее значение капитала
X (t) и стоимость эталонного портфеля Y(t) сов
падают.
2. В случае, если P>a–r, среднее значение капита
ла и стоимость эталонного
портфеля не совпа
–
дают и при этом Y(t)>X (t).
3. В случае, если P<a–r, среднее значение капита
ла и стоимость эталонного
портфеля не совпа
–
дают и при этом Y(t)<X (t).
4. При увеличении волатильности V цены риско
вого актива S(t) хаотичность траектории вели
чины капитала оптимального портфеля X0(t)
возрастает.
5. Дисперсия капитала оптимального портфеля
D(t) является возрастающей функцией времени.
Содержательная интерпретация указанных
свойств очевидна. Результаты данной работы сов
местно с результатами работы [1] представляют за
конченное исследование.
Выводы
Получены дифференциальные уравнения, опре
деляющие изменения во времени среднего значе
ния и дисперсии капитала оптимального портфеля,
из которых получены точные формулы для средне
го значения и капитала. Проведено исследование
свойств решения путем численных расчетов.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и науч
нопедагогические кадры инновационной России» на
2009–2013 гг., проект № 02.740.11.5190.
5. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Ma
nagement Review. – 1965. – № 6. – P. 13–31.
6. Merton R. Continuoustime finance. – Cambridge, Massachusetts:
Blackwell, 1990. – 732 p.
7. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных
процессов. – М.: Наука, 1977. – 568 с.
8. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. – М.: Просве
щение, 1988. – 254 с.
9. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функ
ции. – М.: Наука, 1981. – 797 с.
Поступила 03.11.2010 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
86 Кб
Теги
ценные, бумаги, задачи, формирование, портфель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа