close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Замечание о перенормировке эффективного действия и квантовых уравнений движения для модели sin-Гордона в формализме фонового поля.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 4. 2010. Вып. 1
УДК 53:51, 530.145.1, 517.9
А. А. Багаев
ЗАМЕЧАНИЕ О ПЕРЕНОРМИРОВКЕ ЭФФЕКТИВНОГО ДЕЙСТВИЯ
И КВАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
ДЛЯ МОДЕЛИ SIN-ГОРДОНА
В ФОРМАЛИЗМЕ ФОНОВОГО ПОЛЯ
Вычислим однопетлевые бесконечные части эффективного действия и полной одночастичной вершины («головастика») модели sin-Гордона [1–3]:
+ 1
1
∂μ u∂μ u − m2 (1 − cos u) d2 x,
S(u) =
(1)
γ
2
где γ – малая безразмерная константа связи. Расчёты проведём в формализме фонового
поля v [4–7],
√
(2)
u = v + γq;
будем считать v и квантовое поле q удовлетворяющими соответствующим граничным
условиям [8].
√
√
Подставляя (2) в (1) и представляя sin( γq) и cos( γq) рядами Тейлора, получаем
+
, 2
1
1
2
2
∂μ v∂μ v − m (1 − cos v) d x − √
∂ v + m2 sin v qd2 x −
2
γ
+
+
,
1
√ m2
−
q ∂ 2 + m2 cos v qd2 x + γ
sin v q 3 d2 x +
2
6
+ 1
√ 2n
√ 2n+1 2
1
m2 n
cos v( γq) −
sin v( γq)
(−1)
+
d x≡
γ
(2n)!
(2n + 1)!
n2
+
+
+
1
1
1
√
2
2
≡ W−1 (v) + √
J−1 qd x −
qK(v)qd x + γ Γ(v)q 3 d2 x + O(γ). (3)
γ
γ
2
√
1
S(v + γq) =
γ
+ Эффективное действие в однопетлевом приближении имеет вид W = 1/γW−1 + W0 ,
где
1
W0 (v) = − ln det K(v).
2
Вычислим бесконечную часть детерминанта методом собственного времени Фока [9] по
формуле
+∞
+
+
ds
1
2
,
ln det K(v) = −
a1 (x, x)d x
4π
s
0
где a1 (x, y) – коэффициент разложения θK (x, y, s) – решения задачи Коши для параболического уравнения
∂
θK (x, y, s),
K(v)θK (x, y, s) = ∂s
θK (x, y, 0) = δ(x − y)
©
162
А. А. Багаев, 2010
по степеням собственного времени s при первой его степени. Диагональное значение коэффициента a1 выражается через предыдущий коэффициент: a1 (x, x) = ∂ 2 a0 (x, y)|y=x +
+ m2 cos v(x). Нетрудно показать, что для модели (1) a0 (x, y) = 1. С учётом того, что
мы работаем в евклидовой версии теории поля для расходящейся части эффективного
действия получаем
+
1
m2
Λ
(4)
W (v) = W−1 (v) −
cos v(x)d2 x ln ,
γ
4π
μ
где ln Λ/μ –регуляризованный интеграл по собственному времени.
Теперь вычислим полную вершину J(x) с точностью до однопетлевого приближения:
J(x) ≡
≡
+ Gv
Γ(v)
1
√ m2
sin v(x)Gv (x, x),
= √ J−1 (x) + γ
γ
2
Gv и Γ(v) – пропагатор и трёхчастичная вершина теории (1) в формализме фонового
поля, соответственно. Для вычисления функции Грина воспользуемся её представлением в методе собственного времени
Gv (x, y) =
+∞
+
θK (x, y, s)ds,
0
из которого следует, что расходящаяся часть на диагонали регуляризуется так: Gv →
→ 1/(2π) ln Λ/μ. Таким образом,
Λ
√ m2
1
sin v(x) ln .
J(x) = √ J−1 (x) + γ
γ
4π
μ
(5)
Сравнивая (4) и (5) и учитывая δW−1 (v)/δv = J−1 , наблюдаем соотношение
√ δW (v)
= J(x).
γ
δv
(6)
Равенство (6) означает совпадение перенормировок эффективного действия и «головастика» в однопетлевом приближении. С другой стороны, его можно интерпретировать так: квантовые уравнения движения J(x) = 0 [4, 5] являются условиями стационарности эффективного действия.
Отметим, что (6) не выполняется для таких теорий как поля Янга–Миллса [10]
и нелинейная сигма-модель [11, 12]. В этом случае требуется дополнительная перенормировка «головастика». Её, в свою очередь, можно свести к множителям перенормировки волновой функции. Заметим, что для модели sin-Гордона, как известно [1, 13],
такой множитель отсутствует.
Автор благодарит академика Л. Д. Фаддеева за внимательное прочтение рукописи
статьи и ценные замечания.
Литература
1. Faddeev L. D., Korepin V. E. Quantum theory of solitons // Phys. Rep. (C). 1978. Vol. 42.
N 1. P. 1–87.
163
2. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М., 1986.
592 с.
3. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М., 1985. 415 с.
4. Фаддеев Л. Д. Замечания о расходимостях и размерной трансмутации в теории Янга–Миллса // Теор. мат. физика. 2006. Т. 148. № 1. С. 133–142.
5. Faddeev L. Mass in quantum Yang–Mills theory (comment on Clay Millennium Problem) // Bull. Braz. Math. Soc. 2004. Vol. 33. N 2. P. 1–12.
6. Девитт Б. С. Динамическая теория групп и полей / пер. с англ. М., 1987. 288 с.
7. Jack I., Osborn H. Two-loop background field calculations for arbitrary background fields // Nucl. Phys. (B). 1982. Vol. 207. P. 474–504.
8. Faddeev L. D. Inroduction to the functional methods // Methods in field theory (Les Houches
Session XXVIII) / ed. by R. Balian, J. Zinn-Justin, Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1976. P. 3–40.
9. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля. Л., 1957. 160 c.
10. Багаев А. А. Перенормировка квантовых уравнений движения для полей Янга–Миллса
в формализме фонового поля // Записки научн. семин. ПОМИ РАН. 2005. Т. 325. С. 5–12.
11. Багаев А. А. Замечание о перенормировке квантовых уравнений движения для матричной сигма-модели // Записки научн. семин. ПОМИ РАН. 2007. T. 347. С. 30–33.
12. Багаев А. А. Применение метода собственного времени Фока к исследованию нелинейной сигма-модели в формализме фонового поля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика,
химия. 2009. Вып. 4. C. 183–204.
13. Dashen R. F., Hasslacher B., Neveu A. Particle spectrum in model field theories from
semiclassical functional integral techniques // Phys. Rev. (D). 1975. Vol. 11. N 12. P. 3424–3450.
Статья поступила в редакцию 29 сентября 2009 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа