close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Замечание о полурешеточных конгруэнциях в упорядоченных полугруппах.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (453)
2000
УДК 512.536
Н. КЕХАЙОПУЛУ, М. ЦИНГЕЛИС
ЗАМЕЧАНИЕ О ПОЛУРЕШЕТОЧНЫХ КОНГРУЭНЦИЯХ
В УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛУГРУППАХ
Для полугруппы или упорядоченной полугруппы S обозначим через (x) -класс S , содержащий x (x S ). Если S | полугруппа и | конгруэнция на S , то произведение \ " на
S= (x) x S определяется как (x ) (y ) = (x y) для всех x; y S . Тогда (S=; )
является полугруппой (см., напр., [1]). Если же (S; ; ) является упорядоченной полугруппой
и H S , тогда обозначим (H ] t S t h для некоторого h H .
Для полугруппы S следующие утверждения эквивалентны [2]:
1) существует полурешеточная конгруэнция на S такая, что (x) является подполугруппой S типа для каждого x S ;
2) существует полурешетка Y и отображение ' : S Y , являющееся гомоморфизмом из S
на Y , такое, что ';1 ( a ) есть подполугруппа S типа для всех a Y ;
3) существует полурешетка Y и семейство S 2Y подполугрупп S типа такие, что
S S = ? для всех ; Y; = ;
[ S ; S S S для всех ; Y:
S=
2
f
j
2
g
2
f
2
T
j
2
g
2
!
f g
T
f
2
g
T
\
2
6
2Y
2
Наша цель | получение аналогичного результата для упорядоченных полугрупп.
Пусть (S; ; ) | упорядоченная полугруппа. Полурешеточная конгруэнция на S | это такая
конгруэнция на S (т. е. такое отношение эквивалентности на S , что (a; b) (ac; bc) ,
(ca; cb) для всех c S ), что (a2 ; a) , (ab; ba) для всех c S [3]. Полурешеточная
конгруэнция на S называется полной, если (x; y)
влечет (x; xy) [3]. Полугруппа (Y; )
называется полурешеткой, если x2 = x и xy = yx для всех x; y S .
Пусть (Y; ) | полурешетка. Определим отношение \ " на Y так: (; ) = (=
) . Тогда (Y; ; ) является упорядоченной полугруппой.
В случае упорядоченных полугрупп, имея дело с полурешеткой Y , будем рассматривать ее
как упорядоченную полугруппу (Y; ; ) с отношением , определенным следующим образом:
(; ) = (= ) :
Предложение. Пусть (S; ; ) | упорядоченная полугруппа. Следующие утверждения
эквивалентны:
1) существует полная полурешеточная конгруэнция на S такая, что (x) является подполугруппой типа для всех x S ;
2) существуют полурешетка Y и гомоморфизм \на" ' : S Y (между двумя упорядоченными полугруппами) такие, что ';1 ( a ) является подполугруппой S типа для всех
Y;
3) существуют полурешетка Y и семейство S 2Y подполугрупп S типа такие, что
[S;
S S = ? для всех ; Y; = ; S =
2
2
2
2
2
)
2
2
2
2
2
g
f
j
f
j
g
T
2
!
f g
T
2
f
\
g
2
6
T
2Y
S S S для всех ; 2 Y ; S \ (S ] 6= ? ) :
50
Доказательство. 1)
2). Пусть | полная полурешеточная конгруэнция на S такая, что
(x) | подполугруппа S типа для всех x S .
Пусть Y = S=. Тогда Y | полурешетка (т. е. коммутативная идемпотентная полугруппа).
Рассмотрим отображение ' : S Y x (x) .
) Очевидно, ' всюду определено.
) ' является гомоморфизмом. Действительно, если x; y
S , то '(x; y) = (xy) (x) (y) = '(x)'(y). Пусть x; y S , x y. Так как полна, имеем (x; xy) . Тогда (x) = (xy) = (x) (y) , т. е. (x) (y) .
) Очевидно, ' | отображение \на".
) Пусть Y ( ';1 ( a ) подполугруппа S типа ?). Так как a S=, существует x S
такой, что = (x) .
Покажем, что ';1 ( a ) = (x) . Пусть t ';1 ( a ). Тогда t S , '(t) = . Так как t S , то
'(t) = (t) . Таким образом, (t) = = (x) и t (x) . С другой стороны, t (x) t S и
'(t) = (t) = (x) = t ';1 ( a ).
2) 3). Пусть (Y; ; ) | полурешетка и ' : S Y | гомоморфизм между этими двумя
упорядоченными полугруппами такой, что ';1 ( a ) | подполугруппа S типа для всех Y .
Положим S ';1 ( ) для Y . Тогда S 2Y | семейство подполугрупп S типа .
Продолжим рассуждения следующим образом.
) Пусть ; Y , = ( ';1 ( ) ';1 ( ) = ??). Если t ';1 ( ) ';1 ( ), тогда
'(t) = , '(t) = . Oтсюда = , что невозможно.
) S = 2Y ';1 ( ). Действительно, Y
Y ';1 ( ) S для Y . Отсюда
';1 ( ) S . Теперь пусть x S ( для некоторого Y , x ';1 ( )? для
2Y
некоторого Y , '(x) = ). Достаточно положить = '(x) Y .
) Пусть ; Y ( ';1 ( )';1 ( ) ';1 ( )?). Пусть t ';1 ( )';1 ( ). Тогда
t = xy, x ';1 ( ), y ';1 ( ). Поэтому '(t) = '(x; y) = '(x)'(y) = (' является
гомоморфизмом). Так как '(t) = , t S , то имеем t ';1 ( ).
) Пусть ; Y , S (S ] = ? ( ?). Пусть x S (S ]. Так как x S = ';1 ( ),
то '(x) = . Так как x (S ], то найдется y S такой, что x y. Тогда т. к. ' |
гомоморфизм, имеем '(x) '(y). Поскольку y S = ';1 ( ), то '(y) = . Поэтому
.
3) 1). Определим отношение \" на S следующим образом: = (x; y) S S Y :
x; y S .
i) Докажем, что | полная полурешеточная конгруэнция на S .
) Пусть x S , тогда Y (x S ), (S = 2Y S ).
) Пусть (x; y) Y (x; y S )
Y (y; x S ) (y; x) .
) Пусть (x; y) , (y; z ) . Тогда Y (x; y S ) и Y (y; z S ). Если = , то
y S S , что невозможно. Поэтому = . Тогда x; z S и (x; z ) .
) Пусть (x; z ) , z S ( (xz; yz ) , (zx; zy) ?). Имеем (x; y) Y
(x; y S ) и z S z S для некоторого Y . Тогда xz; yz S S S , Y (Y
является полугруппой), что влечет (xz; yz ) . Аналогично (zx; zy) .
") Пусть x S ( (x2 ; x) ?). Имеем x S
Y (x S ) x2 S S S (S
является подполугруппой полугруппы S ). Так как x2 ; x S , Y , то (x2 ; x) .
) Пусть x; y S ( (xy; yx) ?). Поскольку Y (x S ), Y (x S ), то
xy S S S , yx S S S = S (т. к. Y | полурешетка = ). Так как
xy; yx S , Y , то (xy; yx) .
) Пусть x; y S , x y ( (x; xy) ?). Имеем x S = 2Y S
Y (x S ) и Y
(x S ). Тогда xy S S S . Так как x S , x y, y S , то x (S ]. Далее, т. к.
S (S ] = ?, то , поэтому = . Наконец, т. к. x; xy S , Y , то (x; xy) .
)
T
2
!
j
!
2
2
2
2
)
f g
T
f g
2
2
f g
2
2
2
2
)
)
2
2
!
f g
f
[
[
f
g
2
6
f
g
)
T
f
f
g
\
g
f
2
T
g
2
) f
2
2
g
g )
f
f
)
g
g
\
f
g
2
2
2
2
f
g
,
2
2
)
2
2
f g
2
)
f
f
g
g
f
2
f
g
f
g
2
2
2
\
6
f
g
f
g
g
)
2
2
2
f
g
\
2
2
f
g
2
f
g
)
2
f
2
j 9
2
g
2
9
2
2
) 9
2
2
2
2
[
2
2
) 9
9
2
2
2
2
)
9
\
2
2
2
6
2
2
2
2
2
)
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
2
2
2
2
2
2
2
2
)
2
2
2
2
9
2
2
)
2
)
2
6
9
2
2
2
2
\
)
2
2
2
) 9
2
2
) 9
2
2
2
[
) 9
2
2
9
2
2
2
51
2
2
2
ii) Пусть x S ( (x) является упорядоченной подполугруппой S типа ?), x S x S
для некоторого Y . Имеем (x) = S . Действительно, пусть y (x) . Тогда (y; x) ,
существует такой Y , что y; x S . Если = , то S S = ?, что невозможно. Поэтому
= и y S .
Пусть y S ( y (x) ?). Так как x; y S , Y , то (x; y) . Поэтому y (y) = (x) .
2
)
T
2
2
2
2
2
6
)
2
2
\
2
2
)
2
2
2
2
2
Литература
1. Petrich M. Introduction to semigroups. { Columbus, Ohio: Merrill, 1973. { 198 p.
2. Kehayopulu N., Tsingelis M. Remark on ordered semigroups // Межвузовский сб. научных работ
/ Под ред. Е.С. Ляпина. { С.-Петербург: Образование, 1992. { С. 50{55.
3. Kehayopulu N. Remark on ordered semigroups // Math. Japonica. { 1990. { V. 35. { Є 6. { P. 1061{
1063.
Афинский университет
(Греция)
Поступила
12.11.1997
52
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
117 Кб
Теги
полурешеточных, замечания, упорядоченных, конгруэнции, полугруппы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа