close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Застосування методу сіток до чисельного розв'язування одного класу задач імпульсного керування.

код для вставкиСкачать
УДК 517.972/974
B.C. CАЖЕНЮК, В.М. БРУСНІКІН
ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ СІТОК ДО ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ОДНОГО
КЛАСУ ЗАДАЧ ІМПУЛЬСНОГО КЕРУВАННЯ
Abstract: Examined is one class of impulsive management tasks, which is made by the tasks of determination of stop
time for the dynamic systems with limitation. The method of numeral solution for this class of tasks, which is based on
application of methods of penalty and finite difference approximation, is offered. The ground of method is given as
theorems about convergence. The concerted estimations of velocity of convergence are got.
Key words: variation inequality, method of penalty, difference scheme.
Анотація: Розглядається один клас задач імпульсного керування, який складають задачі визначення часу
зупинки динамічних систем з обмеженням. Пропонується метод чисельного розв’язування цього класу
задач, який базується на застосуванні методів штрафу та скінченно-різницевої апроксимації. Подається
обґрунтування методу у вигляді теорем про збіжність. Отримані узгоджені оцінки швидкості збіжності.
Ключеві слова: варіаційна нерівність, метод штрафу, різницева схема.
Аннотация: Рассматривается один класс задач импульсного управления, который составляют задачи
определения времени остановки динамических систем с ограничением. Предлагается метод численного
решения этого класса задач, который основан на использовании методов штрафа и конечно-разностной
аппроксимации. Дано обоснование метода в виде теорем о сходимости. Получены согласованные оценки
скорости сходимости.
Ключевые слова: вариационное неравенство, метод штрафа, разностная схема.
1. Вступ
Важливий клас задач імпульсного керування складають задачі визначення часу зупинки. Під час
розв’язування таких задач основним є не визначення еволюції стану, а знаходження моменту
зупинки цієї еволюції, який називається часом зупинки. Цей момент є змінна, що підлягає
визначенню у процесі розв’язування задачі оптимального керування.
У статті розглядаються задачі з оптимальним часом зупинки, математичні моделі яких наведені та
досліджені у роботі [1].
Ідея побудови алгоритму чисельного розв’язування задачі з оптимальним часом зупинки
полягає у наступному. Спочатку запишемо цю задачу у вигляді деякої варіаційної нерівності. До
задачі з обмеженням, якою є варіаційна нерівність, застосуємо метод штрафу. Отриману таким
чином нелінійну крайову задачу в подальшому апроксимуємо за методом сіток різницевою схемою.
З метою обґрунтування такого підходу у статті формулюються і доводяться відповідні
теореми про збіжність та отримуються оцінки швидкості збіжності. При цьому суттєвим для
коректної побудови алгоритму є встановлення співвідношень між параметрами методів штрафу та
сіток.
2. Постановка задачі
Нехай
QT = {( x, t ) : x ∈ Ω,
бокова поверхня
t ∈ (0, T )} – паралелепіпед, а ST = {( x, t ) : x ∈ Γ,
t ∈ (0, T )} –
QT , де Ω – прямокутник з границею Γ .
Введемо у розгляд оператор:
A(t )v = −∑
i, j
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
∂ 2v
aij ( x, t )
+ q ( x, t ) v .
∂x j ∂xi
99
Тоді, для вартості
u ( x, t ) стану x = ( x1 , x 2 ) динамічної системи в момент часу t з нульовою
вартістю зупинки, маємо задачу [1]
∂u
∂t
(
∂u
+ A(t )u − f ( x, t ) ≥ 0 , u ( x, t ) ≥ 0 ,
+ A(t )u − f ( x, t )) u ( x, t ) = 0 , ( x, t ) ∈ QT
∂t
(1)
u ( x, t ) = 0 , ( x , t ) ∈ S T ,
u ( x ,0 ) = u 0 ( x ) , x ∈ Ω ,
де f ( x, t ) ∈ L2 (QT ) ,
∑a ξ ξ
ij
i
j
≥ α | ξ | 2 , ∀ξ ∈ R 2 ,
i, j
q ( x1 , x 2 , t ) ≥ q 0 > 0,
q ( x1 , x 2 , t ) ∈ L∞ (QT ),
(2)
a ij ( x1 , x 2 , t ) = a ji ( x1 , x 2 , t ),
a ij ( x1 , x 2 ,.t ) ∈ W∞1 (QT ),
Задача (1) еквівалентна варіаційній нерівності з обмеженням в середині області:
знайти функцію
u ∈ Κ , u (0, x) = u0 ( x) , u0 ( x) ≥ 0,
x ∈ Ω таку, що
1
∂v
–∫
(v − u )dxdt + ∫ a(u, v − u )dt ≥ ∫ ( f , v − u )dt - ∫ | v(0, x) - u 0 (x) | 2 dx , ∀v ∈ Κ ,
∂t
2Ω
0
QT
0
T
T
де
u0 ∈W22 (Ω) , Κ = {v | v ∈ W21, 0 (QT ), v ≥ 0
майже всюди в QT } ,
a(v1 , v 2 ) – білінійна, симетрична, коерцитивна форма, зв’язана з оператором A(t ) :
2
a(v1 , v2 ) = ∑ ∫ aij ( x, t )
i , j =1Ω
∂v1 ∂v2
⋅
dx1dx2 + ∫ q( x , t )v1v2 dx1dx2 ,
∂xi ∂x j
Ω
(v1 , v 2 ) = ∫ v1 v 2 dx1 dx 2 , ∀v1 , v2 ∈ W21,0 (QT ) .
Ω
3. Основні результати
Задача зі штрафом, асоційована з задачею (1), має вигляд:
o
знайти функцію
uε ∈ W21, 0 (QT ) таку, що uε (0, x) = u0 ( x) ,
∂u ε
1 −
+ A(t )u ε − u ε = f ( x, t ) , ( x, t ) ∈ QT ,
∂t
ε
u ε ( x, t ) = 0 , ( x , t ) ∈ S T ,
(3)
u ε ( x ,0 ) = u 0 ( x ) , x ∈ Ω .
Відомо [1], що при виконанні умов (2)
100
u , u ε ∈ W22,1 (QT ) . Справедлива [1, 2] наступна теорема.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
Теорема 1. Нехай виконуються умови (2). Розв’язок задачі (3) збігається при
ε →0
до розв’язку
задачі (1), при чому має місце оцінка
u − uε
≤ M1 ε ⋅ ( f
L2 ( QT )
+ || u 0 ||W 1 ( Ω ) ) ,
(4)
2
M i позначені додатні сталі, які не залежать від
(тут і надалі через
Позначимо
W21, 0 ( QT )
ε,τ
та
h ).
1
g ε (u ε ) = − u ε− . Задачу зі штрафом (3) перепишемо у такому вигляді:
ε
2
∂u ε
∂ 2uε
− ∑ aij
+ q ( x, t )u ε + g ε (u ε ) = f ( x, t ), ( x , t ) ∈ QT ,
∂t i , j =1 ∂xi ∂x j
(5)
uε ( x, t ) = 0 , x ∈ ST , uε ( x,0) = u0 , x ∈ Ω .
Легко бачити, що для функції
∫
gε (ζ ) виконуються умови
[ g ε (v1 ) − g ε ( v 2 )]( v1 − v 2 )dxdt ≥
QT
| g ε ( v1 ) − g ε ( v 2 ) |≤
У прямокутнику
Ω
1
ε
v1 − v 2 ,
введемо рівномірну сітку
1
ε
|| v1− − v 2− ||2L2 (QT ) ,
.
(6)
∀v1 , v 2 ∈W21,0 (QT ).
ω = ω∪ γ,
де
ω
– множина внутрішніх, а
γ
–
множина граничних вузлів відповідно. Позначимо
ωτ = {t = t j = jτ , j = 1, N ;τ = TN } , ωT = ω × ωτ , γ T = γ × ωτ ,
1
2
{
}
1


| y |V 1, 0 (ω ) = max || y ( x, t ) || 2 + | y |W2 1, 0 (ω )  , || y ||* = | y |V2 1, 0 (ω ) +τ || yt ||2L2 (ωT ) 2 ⋅
T
T
T
2
2
2
 t∈ωτ

Апроксимуємо задачу (5) неявною різницевою схемою:
yt −
2
∑ (c
i , j =1
ij
y xi ) x j + c 0 y + P0 T1T2 g ε ( ~
y ) = P0 T1T2 ( f ), ( x, t ) ∈ ω T ,
(7)
y(x, t) = 0, ( x, t) ∈ γ T ,
y ( x,0) = T1T2 u 0 ,
x ∈ω,
1
де [3]
Tα v( x, t ) = ∫ (1 − θ )v( x1 + (2 − α )θh1 , x 2 + (α − 1)θh2 )dθ , α = 1,2 ,
−1
P0 v( x, t ) =
1
τ
t
∫ v( x, ξ )dξ ,
t = τ ,..., Nτ . ,
t −τ
0
Pi v ( x, t ) = ∫ v( x1 + (2 − i )θh1 , x 2 + (i − 1)θh2 )dθ , i = 1,2 ,
−1
cij = P0 P1 P2 (aij ) , c0 = P0T1T2 (q ) ,
~
y ( x, t ) – полілінійне по x та кусково-стале по t поповнення сіткової функції y ( x, t ) .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
101
В силу монотонності функції
g ε (v)
τ ( P T T g ε ( ~y ), y ) = ∑ τ ⋅ P ∫ g ε ( ~y ) ~y dx = ∫ g ε ( ~y ) ~y dxdt ≥ 0 .
∑
ω
ω
0 1 2
0
τ
Ω
τ
yt y =
Крім того, очевидна тотожність
QT
1 2
τ
( y )t + yt2 . Використовуючи це та метод енергетичних
2
2
нерівностей, можна отримати апріорну оцінку
| y|
V21, 0 (ωT )
≤ M2( f
L2 ( QT )
+ || u 0 ||W 1 ( Ω ) ) ,
(8)
2
з якої випливає стійкість різницевої схеми (7) за початковими даними та правою частиною.
Дослідимо збіжність та отримаємо оцінку швидкості збіжності. Справедлива наступна теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови (2). Тоді розв’язок різницевої задачі (7) збігається при
h→0
до розв’язку задачі зі штрафом (5), при цьому має місце оцінка
| y − uε |V 1, 0 (ω ) ≤ M 3 (h +
2
h2
ε
T
+
h2
τ
+
τ
+ τ )( f
ε
L2 ( QT )
+ || u0 ||W 1 ( Ω ) ) ,
(9)
2
 P u , ( x, t ) ∈ ω ,
0 ε
T


0 , ( x, t ) ∈ γ T ,
де u ε ( x, t ) = 

 T1T2 u 0 , x ∈ ω , t = 0.
Доведення. Застосуємо до рівняння (5) оператор
рівнянням (7), для похибки
zt −
z = y − u отримаємо задачу
2
∑ (c z
i , j =1
P0T1T2 . Порівнявши отриману тотожність з
ij x i
~
) x j + c0 z + P0T1Tgε ( ~
y ) − P0T1T2 gε (uε ) = Ψ,
z ( x,0) = 0,
z ( x, t ) = 0,
( x, t ) ∈ ωT ,
( x, t ) ∈ γ T ,
(10)
де позначено
2
2
2
i , j =1
i , j =1
Ψ = − ∑η ij x − ∑η ij( 2xi) − ∑η ij( 3xi) +ψ 0 + η 0 − µ t ,
(1)
i , j =1
i
ηij(1) = P0 PiT3−i (aij
ηij( 2) = P0 PiT3−i ( P0 (aij )
( x, t ) ∈ ω T ,
∂uε
∂u
) − P0 PiT3−i ( P0 (aij ) ε ) ,
∂x j
∂x j
∂uε
∂ ( P0uε )
) − P0 P1 P2 (aij ) PiT3−i
),
∂x j
∂x j
ηij(3) = P0 P1P2 (aij ) PiT3−i
∂ ( P0uε )
) − P0 P1P2 (aij )uεx j ) ,
∂x j
~
ψ 0 = P0T1T2 (q (⋅)(uε (⋅) − uε ( x, t ))) , µ = uε − T1T2uε , η0 = P0T1T2 ( gε (uε ) − gε ((uε )) .
102
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
Помножимо скалярно (10) на z , скористаємось умовами (6), нерівністю Коші-Буньяковського,
ε − нерівністю
( P0 T1 T 2 g ε ( ~
y ), y ) =
та співвідношенням
~
~
∫ g ε ( y ) ⋅ y dxdt .
Після
нескладних
QT
перетворень отримаємо оцінку
z * ≤ M 4{
+
Оцінимо величини
1
ε
3
2
i =1
j =1
∑∑
~
uε − uε
(|| η1( ij) |] L2 (ωT ) + || η 2( ij) ] |L2 (ωT ) ) + || ψ 0 || L2 (ωT )
(11)
L 2 ( QT )
~
ηkj(i ) ,ψ 0 , µ , || uε − uε || L
2 ( QT
+
1
τ
}.
|| µ || L2 (ωT )
).
Позначимо
e1 ( x) = ( x1 − h1 , x1 ) × ( x2 − h2 , x2 + h2 ) , e2 ( x) = ( x1 − h1 , x1 + h1 ) × ( x2 − h2 , x2 ) ,
eit ( x, t ) = ei ( x) × (t − τ , t ) , i = 1,2; E1 = (−1,0) × (−1,1) , E2 = (−1,1) × (−1,0) ;
û – функція, яку можна отримати з u після заміни змінних, що переводить ei ( x) в Ei .
Для
ηij(1)
η
маємо
ξ
3
∂a (ξ , ξ , ρ )
∂u
∂u
1
∂uε
= P0 PiT3−i (aij ε ) − P0 PiT3−i ( P0 (aij ) ε ) = P0 PiT3−i [ ∫ ( ∫ ij 1 2
dρ ) dς
].
τ t −τ ς
∂x j
∂x j
∂ρ
∂x j
t
(1)
ij
Звідси отримаємо оцінку
| ηij(1) |≤
M 5τ
|| aij ||W 1 ( e ) ⋅ || uε ||W 1, 0 ( e ) .
∞
it
it
2
τh1h2
Підсумовуючи останню нерівність по вузлах сітки
2
∑
j =1
Функціонали
ηij( 2)
ηij( 2) = P0 PiT3−i ( P0 (aij )
| ηij( 2 ) |≤
ωT , знайдемо
2
(|| η1(1j) |]L2 (ωT ) + || η 2(1j) ] |L2 (ωT ) ) ≤ M 6τ (∑ || aij ||W 1 ( Q ) ) ⋅ uε
∞
i, j
оцінимо
за
допомогою
„білінійної
T
W21, 0 ( QT )
леми”
(12)
.
[4].
Маємо
∂uε
∂ ( P0uε )
∂u
∂ (uε ) і
) − P0 P1 P2 (aij ) PiT3−i
) = PiT3−i (aij ε ) − P1P2 (aij ) PiT3−i
)
∂x j
∂x j
∂x j
∂x j
M7 ˆ
|| aij ||W 1 ( E ) ⋅ || uε ||W 1 ( E ) .
∞
i
2
t
h
Крім того, білінійна форма
ηij( 2)
задовольняє умовам
ηij( 2 ) (aˆij ,1) = 0 , ∀aˆij ∈ W∞1 ( Ei ) ; ηij( 2 ) (1, u ) = 0 , ∀u ∈ W21 ( Ei ) .
Тоді за допомогою „білінійної леми”,
| ηij( 2 ) |≤
M8 ˆ
| aij |W 1 ( E ) ⋅ | uε |W 1 ( E ) .
∞
i
2
t
h
Звідки випливає, що
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
103
| ηij( 2) |≤ M 9 | aˆij |W 1 ( e ) ⋅ | uε |W 1 ( e ) ,
∞
2
i
i
і так як
| aˆij |W 1 ( e ) ≤|| aij ||W 1 (Q ) , | uε |W 1 ( e ) ≤
∞
∞
i
T
2
i
1
τ
| ηij( 2) |≤
⋅ | uε |W 1, 0 ( e ) , то
2
M 10
τ
|| aij ||W 1 ( e ) ⋅ || uε ||W 1, 0 ( e ) .
∞
Підсумовуючи останню нерівність по вузлах сітки
2
it
2
ωT :
(|| η1( 2j ) |]L2 (ωT ) + || η 2( 2j ) ] |L2 (ωT ) ) ≤ M 11h(∑ || aij ||W 1 (Q ) ) ⋅ uε
j =1
∞
i, j
ηij( 3)
T
W 21, 0 ( QT )
,
(13)
представимо у такому вигляді :
ηij(3) = P1P2 (aij ) PiT3−i (
Тоді
it
2
∑
функціонал
it
∂ (uε )
) − P1P2 (aij )uεx j .
∂x j
M 12 ˆ
|| aij || L ( E ) ⋅ || uε ||W 2 ( E ) .
∞
i
2
t
h
| ηij(3) |≤
ηij(3) (u )
Крім того, функціонал
приймає нульові значення на поліномах нульової та першої степені.
Скориставшись лемою Брембла – Гілберта [4], отримаємо
M h
M 13h
|| aˆij || L ( e ) ⋅ | uε |W 2 ( e ) ≤ 13 || aˆ ij ||W 1 (Q ) ⋅ || u ε ||W 2 , 0 ( e ) .
∞
i
2
t
∞
T
it
2
h1h2
h1 h2
| ηij(3) |≤
Звідси випливає оцінка
2
∑
j =1
Вираз
2
(|| η1( 3j ) |] L2 (ωT ) + || η 2( 3j) ] |L2 (ωT ) ) ≤ M 14 h(∑ || aij ||W 1 (Q ) ) ⋅ uε
∞
i, j
T
W21, 0 ( QT )
.
(14)
µ ( x, t ) представимо у вигляді
µ = uε − T1T2uε = uε − P0T1T2uε + T1T2uε − P0T1T2uε = µ (1) + µ ( 2) .
Очевидно, що
де
| µ ( 2 ) |≤
M 15 τ ∂uε
||
||
,
∂t L2 ( et )
h1h2
et = e ( x) × (t − τ , t ) , e( x) = ( x1 − h1 , x1 + h1 ) × ( x2 − h2 , x2 + h2 ) .
Функціонал
µ (1)
оцінюється за допомогою леми Брембла – Гілберта:
| µ (1) |≤
M 16 h 2
|| uε ||W 2 , 0 ( e ) .
t
2
τh1h2
Таким чином,
h2
| µ |≤ M 17 (
+
h1h2τ
τ
h1h2
) || uε ||W 2 ,1 ( e ) .
2
t
Звідси
104
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
|| µ || L2 (ωT ) ≤ M 18 (h 2 + τ ) || uε ||W 2 ,1 (Q ) .
2
Вираз
ψ 0 ( x, t )
(15)
T
перепишемо у такому вигляді:
ψ 0 ( x, t ) = P0T1T2 (q(ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ))[
τ
ξ3
t
1
∫τ (ς∫
∂aij (ξ1 , ξ 2 , ρ )
∂ρ
t−
dρ )dς ] + T1T2 (qˆ (uε (⋅) − uε )) = ψ 0(1) + ψ 0( 2) .
Тоді
| ψ 0(1) |≤
M 19 τ ∂uε
M
||
|| L ( e ) ⋅ || q || L∞ ( et ) , | ψ 0( 2) |≤ 20 || uε ||W 2 , 0 ( e ) ⋅ || q || L∞ ( et ) .
t
2
∂t 2 t
h1h2
τ
Звідси
τ
| ψ 0 | ≤ M 21 (
h1h2
1
+
τ
) || uε ||W 2 ,1 ( e ) ⋅ || q || L∞ ( et ) .
t
2
Просумувавши по вузлах сітки, отримаємо
|| ψ 0 || L2 (ωT ) ≤ M 22 (τ + h) || uε ||W 2 ,1 (Q ) ⋅ || q || L∞ ( QT ) .
Вираз
(16)
T
2
~
|| uε − uε || L2 (QT ) оцінимо таким чином:
~
~
|| uε − uε || L2 (QT ) ≤|| uε − uε || L2 ( QT ) + || uε − uε || L2 (QT ) ,
2
tj


1
|| uε − uε || L2 ( QT ) = ∫ uε (ξ1 , ξ 2 ,θ ) − ∫ uε (ξ1 , ξ 2 ,θ1 )dθ1  dξ1dξ 2 dθ =
τ t j −1

QT 

2
1
= ∫
τ
QT 

=
≤
≤τ
1
τ
2
∑
m
2
m
j =1

∫t uε (ξ1 , ξ 2 ,θ ) − uε (ξ1 , ξ 2 ,θ1 )dθ1  dξ1dξ 2 dθ =
j −1
tj
1
τ
2
tj
θ
∂u
∫ ( ∫ (θ∫ ∂pε (ξ , ξ , p)dp)dθ )
1
2
QT t j −1
tj
tj
tj
t
2
dξ1dξ 2 dθ ≤
t j −1 t j −1 t j −1
∂uε
(ξ1 , ξ 2 , p) | dp)dθ1 ) 2 dξ1dξ 2 dθ ≤
∂p
∂u
∑ ( ∫ ∫ ( ∂pε (ξ , ξ , p))
j =1
1
1
( ∫( ∫( ∫ ( ∫ |
Ω
2
1
2
Ω t j −1
2
dp ) dξ1dξ 2 ≤ M 23τ 2 || uε ||W2 1,1 (Q ) .
2
T
Значить,
|| uε − uε || L2 ( QT ) ≤ M 24τ || uε ||W 2 ,1 ( Q ) .
2
(17)
T
Далі, маємо
~
|| uε − uε ||2 L2 ( QT ) =|| vε − v~ε ||2L2 ( QT ) .
Лінійний фунціонал
ϑ = vε − v~ε ( vε = uε ) обмежен у W22 (eθ ( x))
та приймає нульові значення на
поліномах першої степені.
Значить,
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
105
| ϑ |≤ M 25h (h1h2 )
2
−
1
2
| vε |W 2 ( e
θ
2
≤ M 26 h (h1h2τ )
2
( x ))
−
1
2
| uε |W 2 , 0 ( e ) .
2
θ
Звідси
m
~
|| uε − uε ||2 L2 ( QT ) ≤ M 27 h 4 ∑∑ | uε |2W22 , 0 ( et ) ≤ M 28h 4 .
x∈ω j =1
Таким чином,
~
|| uε − uε || L2 (QT ) ≤ M 29 (τ + h 2 ) || uε ||W 2 ,1 ( Q ) .
2
(18)
T
Підставляючи (12) – (18) в (11) отримаємо (9). Теорему доведено.
= h 2 , ε = h ) збігається при h → 0 до задачі (1),
Теорема 3. Розв’язок різницевої схеми (7) ( τ
2
при цьому має місце оцінка
y −u
W21, 0 (ωT )
≤ M 30 h( f
L2 ( QT )
+ || u0 ||W 1 ( Ω ) ) .
(19)
2
Доведення. Очевидна нерівність
|| y − u ||W 1, 0 (ω ) ≤|| u − uε ||W 1, 0 (ω ) + || uε − y ||W 1, 0 (ω ) ≤ M 31 (|| u − uε ||W 1, 0 (ω ) + | y − uε |V 1, 0 (ω ) ).
2
T
2
T
T
2
Використовуючи лему Брембла-Гільберта, можна отримати оцінку [5]
(
|| u − uε ||W 1, 0 (ω ) ≤ M 32 u − uε
2
T
T
2
W 21, 0 ( QT )
(20)
T
2
)
+ o(h) . .
Звідси, (20), (9), та з нерівності (4) випливає оцінка
|| y − u ||W 1, 0 (ω ) ≤ M 33 (h +
2
Поклавши
T
h2
ε
+
h2
τ
+
τ
+ τ + ε ) ⋅ (|| f ||
ε
L2 ( QT )
+ || u0 ||W 1 ( Ω ) ) .
2
τ = h 2 , ε = h 2 , отримаємо (19). Теорему доведено.
4. Висновки
Як показано, різницева схема (7) є стійкою при довільних
h,τ і ε . Однак саме при τ = h 2 , ε = h 2
неявна схема (7) є, в деякому розумінні, оптимальною по точності, коли вхідні дані належать
відповідним класам функцій (2). У цьому випадку оцінка швидкості збіжності (19) узгоджена за
вхідними даними. Така ситуація повністю відповідає результатам, щодо скінченно-різницевих та
варіаційно-різницевих схем, які мають місце для першої початково-крайової задачі [6].
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Бенсусан А., Лионс Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства: Пер. с франц. – М.:
Наука, 1987. – 600 с.
2. Саженюк В.С., Черній Д.І., Риженкo А.І. Обгрунтування методу сіток для параболічних варіаційних
нерівностей другого порядку з обмеженням усередині області // Вісник Київського університету. Серія фіз.-мат.
наук. – 2006. – № 3. – С. 176–180.
3. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с
обобщенными решениями. – М.: Высшая школа, 1987. – 296 с.
4. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: Пер. с англ. – М.: Мир, 1980. – 512 с.
5. Войцеховский C.А., Гаврилюк И.П. О сходимости разностных решений к обобщенным решениям первой
краевой задачи для квазилинейного уравнения четвертого порядка в областях произвольной формы. – М.:
Диффер. уравнения. – 1985. – Т. 21, №9. – С. 1582–1590.
6. Войцеховский С.А., Новиченко В.Н. Об оценке скорости сходимости разностных схем для параболических
уравнений второго порядка в классах обобщенных решений. – Киев, 1985. – 18 с. Деп. в УкрНИИТИ 2.09.85 г.,
№ 2006, Ук-ДЕП.
106
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2006, № 4
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
156 Кб
Теги
застосування, імпульсного, метод, керування, чисельної, одного, класс, задачи, розв, сіток, язування
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа