close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Изопериметрические экстремали поворота на двумерных связных группах Ли с инвариантными римановыми метриками.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (458)
УДК 512.812 : 514.754
А.В. ВИННИК, С.Г. ЛЕЙКО
ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЭКСТРЕМАЛИ ПОВОРОТА НА
ДВУМЕРНЫХ СВЯЗНЫХ ГРУППАХ ЛИ С ИНВАРИАНТНЫМИ
РИМАНОВЫМИ МЕТРИКАМИ
На пространстве параметризованных кривых в двумерном римановом многообразии (M; g)
определены два естественных функционала: функционал длины
l[ ] =
Zt q
1
g (;
_ _ ) dt;
t0
где _ | касательный вектор параметризованной кривой , и функционал абсолютного поворота
[ ] =
Zl
l0
1
k1 (l)dl;
где l | длина дуги на кривой , k1 (l) | первая кривизна кривой.
В [1], [2] было показано, что стационарные кривые изопериметрической вариационной задачи
с фиксированными концами
extremum [ ]; (t0 ) = p0 ; (t1 ) = p1; l[ ] = const = bl;
либо удовлетворяют уравнению
K = cbk;
(1)
где K | кривизна метрики g, cb | изопериметрическая постоянная, зависящая от bl, либо являются геодезическими.
Кривые, удовлетворяющие уравнению (1), а также геодезические кривые названы изопериметрическими экстремалями поворота (ИЭП) [1]. Геодезические естественно назвать тривиальными ИЭП.
Для многообразия нулевой кривизны K = 0 всякая допустимая кривая является при cb = 0
его ИЭП. Если K 6= 0, то (1) можно представить в виде
k = cK;
(10 )
где k вычисляется по формуле
(g11 g22 ; g122 )1=2 [u_ 1 (u2 + ;2 u_ i u_ j ) ; u_ 2 (u1 + ;1 u_ i u_ j )];
k=
ij
ij
(gij u_ i u_ j )3=2
и случаем c = 0 охватываются также тривиальные ИЭП. Тем самым изучение ИЭП содержательно при K 6= 0.
Известно [3], что если M 2 | связная двумерная группа Ли, то она изоморфна одной из
следующих групп:
I (абелевы группы) 1) R2 , 2) T 1 R, 3) T 2 ;
II (не абелева группа) 4) A 0 R1 | группа собственных аффинных преобразований прямой
x1 = b2 x + b1 , b2 > 0.
3
Здесь T 1 = fz 2 C j z = ei' g, T 2 = T 1 T 1 | соответственно одномерный и двумерный торы.
В случае I групповые функции имеют вид f 1 (a; b) = a1 + b1 , f 2(a; b) = a2 + b2 и e = (0; 0) |
единица группы. Отсюда получаем координатное представление дифференциала левого сдвига
La :
@f i (a; b) La : Lij (a) =
= ji :
@bj b=e
Компоненты левоинвариантной метрики (L g = g) вычисляются по формуле [4]
gij (a) = gpq (e)Vip (a)Vjq (a);
Vji Ljk
= ki ;
(2)
где gpq (e) (компоненты метрики в единице группы) могут выбираться произвольно. Возьмем их
канонические значения gpq (e) = pq и в дальнейшем соответствующие римановы инвариантные
метрики g на M 2 будем называть каноническими. Так как для случая I Vji (a) = ji , то каноническая левоинвариантная риманова метрика имеет компоненты gij = ij .
Аналогично рассматриваются правые сдвиги Rb : x ! xb, и получается координатное представление дифференциала
@f i (a; b) i
Rb : Rj (b) =
= ji :
@aj a=e
Компоненты правоинвариантной метрики (R g = g) вычисляются по формуле
gij (a) = gpq (e)Uip (a)Ujq (a);
Uji Ljk
= ki :
(3)
В случае I Uji (b) = ji и для канонической правоинвариантной метрики получаем gij (a) = ij .
Таким образом, существует биинвариантная каноническая метрика gij (a) = ij и (M 2 ; g) с этой
метрикой является римановым многообразием нулевой кривизны K = 0. Отметим, что M может
быть гомеоморфно плоскости, цилиндру или тору ( 1), 2), 3) соответственно).
В случае II групповые функции имеют вид
f 1 (a; b) = a1 + a2 b1 ; f 2 (a; b) = a2 b2 ; a2 ; b2 > 0:
Отсюда e = (0; 1), и
Lij (a) =
Rji (b) =
a2 0 2 h
0 a2 = a i ;
1
b1
0 b2
;
1
Vji (a) = 2 ji ;
a
0 b1 1
B1 ; b2 CC
Uji (b) = B
@ 1 A;
0
b2
поэтому левоинвариантная каноническая метрика в соответствии с (2) имеет компоненты
1 1
1
gij (a) = pq 2 ip 2 jq = 2 2 ij :
a a
(a )
Полученная метрика имеет постоянную кривизну K = ;1, и риманово многообразие (M; g)
может быть отождествлено с моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на верхней полуплоскости. Из (10 ) вытекает, что в данном случае ИЭП | геодезические окружности плоскости
Лобачевского. Известно [5], что последние в модели Пуанкаре состоят из двух семейств:
1. прямые y = kx + b, k1 = p1+1 k2 или x = x0 , k1 = 0;
2. окружности (или их части) (x ; x0 )2 + (y ; y0 )2 = r2 , k1 = y0 =r.
4
В силу (3) в данном случае правоинвариантная метрика имеет компоненты
1
0
b1
1
;
B
2 C
(gij (b)) = B
B@ b1 1 + (bb1)2 CCA :
; b2 (b2 )2
Эта метрика имеет также постоянную отрицательную кривизну K = ;1. Как видно из вышеизложенного, на группе A 0 <1 не существует биинвариантной канонической римановой метрики.
Отметим в заключение, что выбор не канонического значения gij (e) приводит к инвариантным римановым метрикам, которые будут получаться из канонических инвариантных метрик
аффинным преобразованием координат. Тем самым получено описание ИЭП с точностью до
таких преобразований.
Литература
1. Лейко С.Г. Вариационные задачи для функционалов поворота и спин-отображения псевдоримановых пространств // Изв. вузов. Математика. { 1990. { Є 10. { C. 9{17.
2. Лейко С.Г. Изопериметрические экстремали поворота на поверхностях в евклидовом пространстве E 3 // Изв. вузов. Математика. { 1996. { Є 6. { C. 25{31.
3. Винберг Э.Б., Горбацевич В.В., Онищик А.Л. Строение групп и алгебр Ли // Итоги науки и
техн. ВИНИТИ. Современ. пробл. матем. { 1990. { Т. 41. { 254 с.
4. Шапуков Б.Н. Задачи по группам Ли. Учеб. пособие. { Изд-во. Казанск. ун-та, 1989. { 152 с.
5. Букреев Б.Я. Планиметрия Лобачевского в аналитическом изложении. { М.-Л.: ГИТЛ, 1951.
{ 127 с.
Одесский государственный
университет
Поступила
(Украина)
08.06.1998
5
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
106 Кб
Теги
связных, инвариантных, двумерные, изопериметрические, группа, поворот, римановы, метриками, экстремалей
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа