close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Изопериметрическое неравенство для жесткости кручения в многомерных областях.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 7, c. 45–49
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421200123 \0066
Ф.Г. АВХАДИЕВ
ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО
ДЛЯ ЖЕСТКОСТИ КРУЧЕНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ
Аннотация. Рассматривается функционал Сен-Венана P для жесткости кручения в произвольной плоской или пространственной области. Основной результат статьи — точная оценка
P ≤ (4/n)m, где n — размерность пространства, m — гармоническое среднее от моментов
инерции области относительно координатных плоскостей. Экстремальными областями являются эллипсоиды специального вида. Тем самым, получено обобщение изопериметрического
неравенства, доказанного Е. Николаи для жесткости кручения односвязных плоских областей.
Ключевые слова: изопериметрическое неравенство, жесткость кручения, моменты инерции.
УДК: 517.54
1. Введение. Нашей целью является обобщение изопериметрического неравенства, тесно
связанного с классическими приближенными формулами Кулона и Коши для жесткости
кручения упругих балок с односвязными сечениями и доказанного Е. Николаи в 1924 г.
Е. Николаи рассматривает односвязные плоские области Ω с кусочно-гладкими границами и пользуется определением жесткости кручения P (Ω) области по модели Сен-Венана. А
именно, для Ω определяется неотрицательная величина
u(x) dx =
|∇u(x)|2 dx,
(1)
P (Ω) := 2
Ω
Ω
где u = u(x) = u(x1 , x2 ) — функция напряжения, удовлетворяющая в области уравнению
Пуассона ∆u = −2 и обращающаяся в нуль на границе этой области (см. [1] и [2]).
Е. Николаи доказал два следующих точных неравенства:
P (Ω) ≤ I0 (Ω),
P (Ω) ≤
4Ix1 (Ω)Ix2 (Ω)
,
I0 (Ω)
(2)
где I0 (Ω) — момент инерции области относительно ее центра тяжести, а величины Ix1 (Ω) и
Ix2 (Ω) представляют собой моменты инерции той же области относительно главных осей.
Очевидно, первое неравенство в (2) является следствием второго в силу простого соотношения Ix1 (Ω) + Ix2 (Ω) = I0 (Ω) и неравенства для арифметических и геометрических средних
для двух моментов Ix1 (Ω) и Ix2 (Ω).
Исторически неравенства (2) тесно связаны с классическими приближенными формулами, которые были известны задолго до появления модели Сен-Венана, использующего
Поступила 06.02.2012
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 11-01-00762-а.
45
46
Ф.Г. АВХАДИЕВ
уравнение Пуассона. А именно, речь идет о приближенных формулах для жесткости кручения
4Ix1 (Ω)Ix2 (Ω)
,
P (Ω) ≈ I0 (Ω) и P (Ω) ≈
I0 (Ω)
восходящих к точной формуле Кулона
P (D) = I0 (D)
для любого круга D и, соответственно, к приближенной формуле Коши
P (Π) ≈ 4Ix1 (Π)Ix2 (Π)/I0 (Π)
для прямоугольников Π (см. [1]–[7]).
Первое неравенство в (2) оказывается справедливым для произвольных плоских и пространственных областей. А именно, с использованием результатов статьи [8] в работе [9]
нами было доказано неравенство
P (Ω) ≤ 4I0 (Ω)/n2
(3)
в случае n-мерных областей, т. е. для функционала вида (1) с функцией u = u(x), определенной как решение уравнения Пуассона ∆u = −2, исчезающее на границе области Ω ⊂ Rn .
Основной целью этой статьи является получение обобщения второго неравенства из (2),
главного результата Е. Николаи, на случай многомерных и произвольных плоских областей. Полезным оказывается следующее наблюдение: функционал Коши представляет собой
удвоенное среднее гармоническое моментов a = Ix1 (Π) и b = Ix2 (Π) относительно главных
осей. Поэтому второе неравенство из (2) может быть записано в форме
P (Ω) ≤ 2mh (Ix (Ω), Iy (Ω)),
где
mh (a, b) :=
2
.
1/a + 1/b
Для многомерной области мы будем рассматривать гармоническое среднее
n −1
1
,
mh (I1 (Ω), I2 (Ω), . . . , In (Ω)) = n
Ik (Ω)
k=1
где Ik (Ω) — момент инерции области Ω ⊂ Rn относительно координатной плоскости
{x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : xk = 0}.
Отметим, что свойства различных моментов областей и их приложения интенсивно исследовались в ряде работ (см. [8]– [15]). Было бы, например, интересно установить теоремы
сравнения для гармонического среднего при симметризации или переходе к равновеликому
эллипсоиду, как это сделано для произведения моментов Ik (Ω) (см. [15]).
2. Основные результаты. Пусть Ω — n-мерная область. Будем пользоваться следующим вариационным определением функционала Сен-Венана:
2
2 f (x) dx
.
P (Ω) = sup Ω
|∇f (x)|2 dx
f ∈C0∞ (Ω)
Ω
ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ЖЕСТКОСТИ КРУЧЕНИЯ
47
Ясно, что такая величина P (Ω) определена для любой области и P (Ω) ∈ (0, +∞]. Хорошо известно также, что для областей с кусочно-гладкими границами получается исходное
определение, т. е.
u(x) dx,
P (Ω) = 2
Ω
где u = u(x) — решение краевой задачи: ∆u = −2 в области и u = 0 на границе. Кроме
того, с применением формулы Грина для областей с кусочно-гладкими границами легко
получаем равенство
|∇u(x)|2 dx = 2
Ω
u(x) dx = P (Ω).
(4)
Ω
Теорема 1. Пусть P (Ω) — функционал Сен-Венана для области Ω ⊂ Rn (n ≥ 2). Если
среднее гармоническое моментов инерции Ik (Ω), определенных равенствами
Ik (Ω) =
x2k dx (k = 1, 2, . . . , n),
Ω
является конечной величиной, то имеет место точная оценка
n −1
4
1
=: mh (I1 (Ω), I2 (Ω), . . . , In (Ω)),
P (Ω) ≤ 4
Ik (Ω)
n
k=1
равенство в которой реализуется для эллипсоидов вида
Ω = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x21 /b21 + x22 /b22 + · · · + x2n /b2n < C}.
Пользуясь тем же подходом, что и при доказательстве теоремы 1, получаем новое доказательство неравенства (3), распространяющего первое неравенство Е. Николаи из (2) на
случай произвольных плоских и пространственных областей.
Теорема 2. Пусть P (Ω) — функционал Сен-Венана для области Ω ⊂ Rn (n ≥ 2). Тогда
справедливо следующее изопериметрическое неравенство:
4
|x|2 dx.
P (Ω) ≤ 2
n Ω
Равенство достигается для любого шара с центром в начале координат (0, 0, . . . , 0).
Схема доказательства теоремы 1. При обосновании оценки теоремы 1 можно ограничиться областями с кусочно-гладкими границами. Общий случай получается с помощью
аппроксимации, как в [9]. Пусть u = u(x) — решение краевой задачи: ∆u = −2, x ∈ Ω и
u = 0, x ∈ ∂Ω, в области Ω с кусочно-гладкой границей.
Рассмотрим функцию g, определенную равенством g(x) = g(x1 , x2 , . . . , xn ) := x21 /a21 +
2
x2 /a22 + · · · + x2n /a2n , где ak — положительные числа, удовлетворяющие условию
1/a21 + 1/a22 + · · · + 1/a2n = 1.
Ясно, что ∆g = 2 в
Rn ,
(5)
и функция ϕ := u + g является гармонической в области Ω. Имеем
u(x)∆g dx = 2
u(x) dx = P (Ω).
Ω
Ω
Кроме того, прямые вычисления приводят к интегральным равенствам
n
n
x2k
Ik (Ω)
2
|∇g(x)| dx = 4
dx
=
4
4
ak
a4k
Ω
Ω
k=1
k=1
48
Ф.Г. АВХАДИЕВ
и
|∇ϕ(x)| dx =
Ω
|∇u(x)| dx +
2
|∇g(x)| dx + 2
2
Ω
(∇u(x), ∇g(x)) dx.
2
Ω
Ω
В силу первой формулы Грина третье слагаемое последнего равенства можно преобразовать
к виду
u(x)∆g(x) dx = −4
−2
u(x) dx = −2P (Ω).
Ω
Ω
В итоге получаем формулу
2
2
2
|∇ϕ(x)| dx =
|∇u(x)| dx +
|∇g(x)| dx − 2P (Ω) = −P (Ω) +
|∇g(x)|2 dx,
Ω
Ω
Ω
Ω
или, что то же самое, равенство
P (Ω) = 4
n
Ik (Ω)
a4k
k=1
−
|∇ϕ(x)|2 dx.
(6)
Ω
Это соотношение является ключевым. Из него немедленно следует неравенство
n
Ik (Ω)
.
P (Ω) ≤ M := 4
a4k
(7)
k=1
Минимум мажоранты M из (7) при ограничении (5) для переменных a1 , a2 , . . . , an может
быть найден методом Лагранжа с использованием функции
n
n
1
Ik (Ω)
−λ
−1 .
L :=
a4k
a2k
k=1
k=1
Получаем, что искомый минимум достигается в точке (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn , где
b2k = Ik (Ω)
n
j=1
1
Ij (Ω)
(k = 1, 2, . . . , n).
Прямые вычисления дают искомую оценку, так как
n −1
n
Ik (Ω)
1
=4
.
M0 := min M = 4
Ik (Ω)
b4k
k=1
k=1
В силу соотношения (6) равенство P (Ω) = M0 имеет место тогда и только тогда, когда
∇ϕ(x) ≡ 0 для соответствующей коэффициентам bk функции ϕ, т. е. ϕ(x) ≡ C = const, или,
что то же самое, когда функция напряжения определяется формулой вида u(x) = C −g(x) =
n
x2k
, x ∈ Ω. Кроме того, граничное условие u = 0 и свойство положительности
C−
b2
k=1
k
функции напряжения в области приводят к следующему выводу: C > 0, а область Ω —
n-мерный эллипсоид, определяемый неравенством
n
x2k
< C.
b2
k=1 k
√
Схема доказательства теоремы 2. Возьмем ak = n для любого k = 1, 2, . . . , n в
доказательстве теоремы 1. Тогда формулы (6) и (7) приводят к соотношениям
n
n
4 4
4 Ik (Ω) −
|∇ϕ(x)|2 dx ≤ 2
Ik (Ω) = 2 I0 (Ω).
(8)
P (Ω) = 2
n
n
n
Ω
k=1
k=1
ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ЖЕСТКОСТИ КРУЧЕНИЯ
49
Очевидно, неравенство превратится в равенство тогда и только тогда, когда ϕ(x) ≡ C =
const > 0, а это равносильно тому, что Ω — n-мерный шар, определяемый неравенством
вида x21 + x22 + · · · + x2n < Cn.
Литература
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
Timoshenko S.R. History of the strength of materials (McGraw-Hill, London, 1954).
Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел (ГИФМЛ, М., 1963).
Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике (ГИФМЛ, М., 1962).
Bandle C. Isoperimetric inequalities and applications (Pitman Adv. Publ. Program, Boston–London–
Melbourne, 1980).
Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи (Казанский фонд “Математика”, Казань,
1996).
Авхадиев Ф.Г. Решение обобщенной задачи Сен-Венана, Матем. сб. 189 (12), 3–12 (1998).
Bañuelos M., Berg Van Den M., Carrol T. Torsional rigidity and expected lifetime of Brownnian motion, J.
London Math. Soc. 66 (2), 499–512 (2002).
Avkhadiev F.G., Kayumov I.R. Comparizon theorems of isoperimetric type for moments of compact sets,
Collectanea Math. 55 (3), 553–563 (2004).
Авхадиев Ф.Г. Новые изопериметрические неравенства для моментов областей и жесткости кручения, Изв. вузов. Матем., № 7, 3–11 (2004).
Hadwiger H. Konkave eikörperfunktionale und höhere Trägheitsmomente, Comment. Math. Helv. 30 (2),
285–296 (1956).
Knothe H. Contributions to the theory of convex bodies, Michigan Math. J. 4 (1), 39–52 (1957).
Avkhadiev F.G., Salahudinov R.G. Isoperimetric inequalities for conformal moments of plane domains, J.
Inequal. Appl. 7 (4), 593–601 (2002).
Avkhadiev F.G. A simple proof of the Gauss–Winckler inequality. Amer. Math. Monthly 112 (5), 459–461
(2005).
Keady G. On a Brunn–Minkowski theorem for a geometric domain functional considered by Avhadiev, JIPAM
8, iss. 2, art. 33 (2007), 10 p.
Henrot A., Philippin G.A., Safoui A. Some isoperimetric inequalities with application to the Stekloff problem,
J. Convex Analysis 15 (3), 581–592 (2008).
Ф.Г. Авхадиев
профессор, заведующий кафедрой теории функций и приближений,
Казанский (Приволжский) федеральный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия,
e-mail: favhadiev@ksu.ru
F.G. Avkhadiev
Isoperimetric inequality for torsional rigidity in multidimensional domains
Abstract. We consider the Saint Venant functional P for the torsional rigidity in arbitrary plane
and space domains. Our main result is the following sharp estimate: P ≤ (4/n)m, where n is the
dimension of domains and m is the harmonic mean of inertial moments of a domain with respect
to coordinate planes. Extremal domains are some ellipsoids. Hence, we obtain a generalization
of the isoperimetric inequality, proved by E. Nicolay for the torsional rigidity of simply connected
planar domains.
Keywords: isoperimetric inequality, torsional rigidity, inertial moments.
F.G. Avkhadiev
Professor, Head of the Chair of Function Theory and Applications,
Kazan (Volga Region) Federal University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: favhadiev@ksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
163 Кб
Теги
областям, изопериметрическое, кручение, жесткости, неравенства, многомерная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа