close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Изучение равномерной ограниченности решений нелинейных систем дифференциальных уравнений методом сравнения.

код для вставкиСкачать
Приволжский научный вестник
УДК 517.91
T.А. Горшунова
канд. физ.-мат. наук, доцент,
Центр математического образования,
ФГБОУ ВО «Московский политехнический университет»
ИЗУЧЕНИЕ РАВНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ СРАВНЕНИЯ
Аннотация. Решается задача о равномерной ограниченности решений возмущенных систем дифференциальных уравнений с нелинейным первым приближением. Исследования проводятся методом функций
Ляпунова и методом сравнения.
Ключевые слова: нелинейная система, дифференциальные уравнения, функция Ляпунова, метод
сравнения.
T.A. Gorshunova, Moscow Polytechnic University
STUDY OF THE UNIFORM BOUNDEDNESS OF SOLUTIONS OF NONLINEAR SYSTEMS OF
DIFFERENTIAL EQUATIONS BY THE METHOD OF COMPARISON
Abstract. The problem on the uniform boundedness of the solutions of perturbed systems of differential
equations with a nonlinear first approximation. Research carried out by the method of Lyapunov functions and the
method of comparison.
Keywords: nonlinear system, differential equations, Lyapunov function, method of comparison.
Оценки, полученные в работе [3] методом сравнения [6], могут быть использованы для
получения новых достаточных условий равномерной ограниченности решений возмущенных
систем дифференциальных уравнений и условий, при которых верхняя граница таких решений
может быть вычислена аналитически.
Рассмотрим возмущенную систему дифференциальных уравнений
dx
= p(t , x ) + f (t , x ) ,
dt
(
(1)
)
где p, f ∈ C ( k ,l ) [T , +∞ ) × R n , R n , k ≥ 0, l ≥ 1 .
Обозначим через x(t : t0 , x0 ) – решение системы (1), удовлетворяющее начальным данным (t0 , x0 ) ∈ [T , +∞ ) × R n .
Определение. Решение x(t : t0 , x0 ) системы (1) будем называть равномерно ограниченным справа (слева), если
x(t : t0 , x0 ) < C (r ) при x0 < r , t ≥ t0 , t0 ≥ T ( t ≤ t0 , t0 ≥ T ),
где C(r ) – положительная постоянная.
Решение x(t : t0 , x0 ) системы (1), равномерно ограниченное и справа, и слева будем называть абсолютно равномерно ограниченным [1].
Первое приближение системы (1)
dy
= p(t , y )
dt
имеет уравнение в вариациях, и его матрица Коши Y (t , t 0 , y 0 ) для решения y ( t : t0 , y 0
(2) имеет вид Y (t , t 0 , y 0 ) =
∂y ( t : t0 , y 0 )
∂γ
(2)
)
системы
, γ = y0 .
Предположим, что на возмущение системы (1) наложено ограничение:
(
)
f (t , x ) ≤ F ( t , x ) , где F ∈ C [T , +∞ ) × R+1 , R+1 , R+1 = [0, +∞ ) и F (t ,v1 ) ≤ F (t ,v 2 ) при v1 ≤ v 2 и
№ 12-1 (64) – 2016
31
Приволжский научный вестник
любом t ≥ T .
Введём скалярное уравнение
dz
= λ (t , z ) ,
dt
(3)
 t
 
t

где λ (t , z ) = K (t )exp  − ∫ψ (τ )dτ  F  t , z exp  ∫ψ (τ )dτ   , t ≥ T ,


 T
 
T

(
)
(
)
K ∈ C [T , +∞ ), R+1 , ψ ∈ C [T , +∞ ), R 1 .
Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:
t

1) Y (t , t 0 , y 0 ) ≤ K exp  ∫ψ (τ )dτ  при t ≥ t0 ≥ T ;
t

0

+∞
2)
∫ ψ (τ ) dτ = M < +∞ ;
T
3) J (α ) =
+∞
∫ λ (t,α )dt < +∞
при любом α ∈ [0, +∞ ) ,
T

t


T




t



λ (t , z ) = K exp  − ∫ψ (τ )dτ  F  t , z exp  ∫ψ (τ )dτ   ,
T
K – положительная постоянная;
где
4) при некотором a ≥ 0
+∞
dα
∫ J (α ) = +∞ ;
a
5) функция q(t ,α ) =
t
∫
T
{
λ (τ ,α )
dτ имеет непрерывную частную производную qα′ (t ,α ) ≥ 0 .
J (α )
Тогда решения системы (1) равномерно ограничены справа на произвольном множестве
}
S = x ∈ Rn : x ≤ r :
x(t : t0 , x0 ) ≤ C (r ) , при x0 ∈ S , t ≥ t0 ≥ T , C(r ) > 0 .
Доказательство. Из условий 3) – 5) теоремы 1 вытекает, что все решения уравнения (3)
абсолютно равномерно ограничены:
z(t : t 0 , z0 ) ≤ D(r ) при z0 ∈ S1 и всех t ≥ T , S1 = {z ∈ R+1 : z ≤ r } .
 t λ (τ , z )  z dα
Действительно, рассмотрим функцию V (t , z ) = exp  − ∫
dτ  ∫
.
 T J (z )
 a J (α )
На множестве Ωh = {(t , z ) : T ≤ t < +∞, a < h ≤ z} эта функция удовлетворяет локальному условию Липшица относительно (t , z ) и при достаточно больших значениях h обладает свойствами:
a) V (t , z ) → + ∞ при z → +∞ ;
→
t
b) V (t , z ) ≤ V1(r ) при z ≤ r , V1(r ) > 0 ;
c) Vɺ (t , z )(3) ≤ 0.
Свойства a) и b) очевидны. Покажем, что выполняется свойство c). Для этого рассмотрим производную функции V (t , z ) по времени t в силу уравнения (3):
32
№ 12-1 (64) – 2016
Приволжский научный вестник
z
  z dα  1
dα 
− qz′ (t , z )∫
Vɺ (t , z )(3) = λ (t , z )exp ( −q(t , z ))   1 − ∫
 .


a J (α ) 
  a J (α )  J (α )
z
Так как величину h можно подобрать таким образом, что
dα
∫ J (α ) ≥ 1 , то Vɺ (t, z)
(3)
≤ 0 . То-
a
гда на основании критерия Мизохаты-Ямагути [5] решения уравнения (3) равномерно ограничены справа на S1 :
z(t , t0 , z0 ) ≤ D(r ),
z0 ≤ r ,
t ≥ t0 .
 λ (τ , z )  z dα
Аналогично, рассматривая функцию W (t , z ) = exp  ∫
dτ  ∫
на множестве Ωh ,
 T J (z)
 a J (α )
t
можно доказать, что решения уравнения (3) равномерно ограничены слева на
z(t , t0 , z0 ) ≤ D(r ),
z0 ≤ r ,
S1 :
t ≤ t0 . Отсюда следует, что решения уравнения (3) абсолютно равно-
мерно ограничены на множестве S1 .
Дальнейшее доказательство основывается на применении принципа сравнения [6]. В
качестве уравнения сравнения выбирается скалярное уравнение (3).
Рассмотрим решение x(t : t0 , x0 ) системы (1), где t0 ≥ T , x0 ≤ r , r ≥ 0 .
В силу условия 2) теоремы 1, имеем
 t0

 +∞

K x0 exp  − ∫ψ (τ )dτ  ≤ K x0 exp  ∫ ψ (τ ) dτ  ≤ K x0 eM .


T

 T

Положим z0 = KeM x0 , тогда z0 ≤ Ke M r = r , r ≥ 0 .
В работах [3; 4] показано, что если для матрицы Коши уравнения в вариациях системы
(2) справедлива оценка вида:
t

Y (t , t 0 , y 0 ) ≤ K (t0 )exp  ∫ψ (τ )dτ  , t ≥ t0 ≥ T , y 0 ∈ R n ,
t

0

то решение x ( t : t0 , x0
)
системы (1) и максимальное решение z + ( t : t 0 , z0
)
уравнения (3) на об-
щем интервале существования связаны неравенством:
x ( t : t 0 , x0
)
t

≤ exp  ∫ψ (τ )dτ  z + ( t : t0 , z0 ) ,
T

 t0

если K (t0 ) x0 exp  − ∫ψ (τ )dτ  ≤ z0 .


 T

Критерии существования экспоненциальных оценок для фундаментальной матрицы
уравнения в вариациях даны в работе [2]. Наличие таких оценок равносильно существованию
функции Ляпунова на разности двух решений.
Так как решение z + (t : t0 , z0 ) равномерно ограничено справа и справедливо неравенство
x(t : t 0 , x0 ) ≤ z + (t : t0 , z0 )e M ,
t ≥ t0 ≥ T , то
x(t : t 0 , x0 ) ≤ D(r )e M = D(KeM r )e M = C (r ) , при x0 ≤ r и t ≥ t0 ≥ T .
Таким образом, решения системы (1) равномерно ограничены справа. Теорема 1 доказана.
Если в теореме 1 условие 1) выполняется при T ≤ t ≤ t0 , y 0 ∈ R n , то решения системы (1)
будут равномерно ограниченны слева. Если же условие 1) имеет место при всех t ≥ T , то все
решения системы (1) абсолютно равномерно ограничены.
№ 12-1 (64) – 2016
33
Приволжский научный вестник
Теорема 2. Пусть выполняются условия 1) – 3) и 5) теоремы 1. Кроме того:
a) функция
b) V0 ( ρ ) =
ρ
1
– непрерывна при 0 ≤ a ≤ α < +∞ ;
J (α )
dα
∫ J (α ) > 1 при
ρ ≥ h > a ≥ 0 и V0 – строго монотонно возрастающая на множе-
a
стве [h, +∞ ) ;
c) при некотором ρ > ρ справедливо неравенство
ρ
ρ
dα
dα
∫a J (α ) > e∫a J (α ) .
Тогда все решения системы (1) x(t : t0 , x0 ) , t0 ≥ T равномерно ограничены справа и при
x0 ≤
ρ
Ke M
справедливо неравенство:
x(t : t 0 , x0 ) ≤ e MV0−1(K 0 ) ,
где K 0 = eV0 ( ρ ) , V0−1 – функция, обратная функции V0 .
Доказательство. Рассмотрим функцию V (t , z ) = V1(t , z )V0 ( z ) , где
 t λ (τ , z ) 
V1(t , z ) = exp  − ∫
dτ  ,
 T J (z)

z
V0 ( z ) =
dα
∫ J (α ) ,
a
(t , z ) ∈ Ω h = {(t , z ) : a < h ≤ z, T ≤ t < +∞} .
В доказательстве теоремы 1 показано, что в этом случае Vɺ (t , z )(3) ≤ 0 . Кроме того, из условий теоремы 2 имеем c0 =
ρ
1
dα
≤ V1(t , z ) ≤ 1 = c1 и R0 = V0 (h ) ≤ eV0 ( ρ ) < ∫
= V0 ( ρ ) = R1 .
J (α )
e
a
Таким образом, выполняются все условия теоремы 7.4.1 работы [2, с. 266]. Это означает, что все решения z(t : t0 , z0 ), t0 ≥ T , t ≥ t0 , z0 ≤ ρ уравнения (3) равномерно ограничены
справа и z(t : t 0 , z0 ) ≤ V0−1(K 0 ),
где K 0 = eV0 ( ρ ), V0−1 − функция, обратная функции V0 .
Рассмотрим решение x(t : t0 , x0 ) системы (1), t0 ≥ T , x0 ≤
ρ
Ke M
.
Положим z0 = KeM x0 , тогда z0 ≤ ρ и решение z + (t : t0 , z0 ) уравнения (3) равномерно
ограничено справа.
 t0

Так как K x0 exp  − ∫ψ (τ )dτ  ≤ Ke M x0 = z0 , то решения


 T

x(t : t0 , x0 ) системы (1) и
z + (t : t0 , z0 ) уравнения (3) связаны неравенством
t

x(t : t 0 , x0 ) ≤ exp  ∫ψ (τ )dτ  z + (t : t0 , z0 ) ≤ e M z + (t : t0 , z0 ),
T

Отсюда имеем: x(t : t 0 , x0 ) ≤ e MV0−1(K 0 ),
t ≥ t0 ,
x0 ≤
ρ
Ke M
t ≥ t0 .
, где K 0 = eV0 ( ρ ). Теорема 2
доказана.
Таким образом, при выполнении условий теоремы 2 верхняя граница равномерно ограниченных решений систем вида (1) находится аналитически.
На основании теоремы 1 можно получить новые достаточные условия равномерной ограниченности решений уравнения Рэлея [5], которым описываются различные динамические системы.
34
№ 12-1 (64) – 2016
Приволжский научный вестник
Список литературы:
1. Воскресенский Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений
// Изв. вузов. Математика, 2003. – № 4. – С. 17–26.
2. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. – Саранск:
СВМО, 2001. – 300 с.
3. Воскресенский Е.В. Оценки для решений возмущенных дифференциальных уравнений первого порядка // Изв. вузов. Математика. – 1993. – № 9. – С. 13–17.
4. Горшунова Т.А. Об О-кривых возмущенных систем дифференциальных уравнений с
нелинейным первым приближением // Труды Средневолжского математического общества. –
Саранск: СВМО, 2003. – Т. 5, № 1. – С. 152–153.
5. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1974. – 320 с.
6. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.:
Мир, 1980. – 300 с.
№ 12-1 (64) – 2016
35
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа