close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Инвариантная стабилизация некоторого класса функционально-дифференциальных уравнений.

код для вставкиСкачать
УДК 517.929
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 2
ИНВАРИАНТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ∗
И. Е. Зубер1 , А. Х. Гелиг2
1. С.-Петербургский государственный университет,
д-р техн. наук, ведущий научный сотрудник, zuber-yanikum@mail.ru
2. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, agelig@yandex.ru
1. Введение. Под инвариантностью понимается независимость выхода системы от
возмущения, постоянно действующего на систему. Первой работой в этой области была
статья [1], в которой было предложено решение задачи инвариантности для линейной
стационарной системы шестого порядка. Эта работа явилась предметом оживленной
дискуссии, описанной в книге [2], и стимулировала многочисленные исследования, обзор которых приведен в [3].
В большинстве работ рассматривались линейные системы. Существенное развитие
теории инвариантности таких систем получено в [4–9].
В предлагаемой статье излагается метод синтеза инвариантного стабилизирующего
управленния для неопределенных систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых являются ограниченными функционалами произвольной природы.
2. Построение стабилизирующей обратной связи для неопределенных систем. Рассмотрим при t > 0 систему функционально-дифференциальных уравнений
ẋ = A(·)x + b(·)u,
x(0) = x0 ,
∗
(1)
u = s (·)x,
(2)
где A(·) ∈ R
, b(·) ∈ R
, s(·) ∈ R
, все величины вещественные, ∗ — знак транспонирования. Элементы матрицы A(·) и столбцов b(·), s(·) являются функционалами
произвольной Rприроды. Например, они могут быть непрерывными функциями от t,
t
x(t), x(t − τ ), 0 kx(τ )k2 dτ . Предполагается лишь конечность супремума евклидовых
норм kA(·)k, kb(·)k, ks(·)k, справедливость теоремы существования решения и продолжимости на [0, ∞) любого решения, остающегося в ограниченной области. Ставится
задача определения таких b(·) и s(·), при которых система (1), (2) глобально асимптотически устойчива. Ниже будут рассмотрены некоторые классы систем, для которых
эта задача имеет решение с помощью квадратичной функции Ляпунова с постоянной
матрицей коэффициентов.
Назовем матрицу A(·)
— нижнетреугольной со знакопостоянной наддиагональю, если ее элементы aij (·) удовлетворяют условиям
n×n
n×1
aij (·) ≡ 0
n×1
при j > i + 1, i = 1, . . . , n − 2;
inf |ai,i+1 (·)| > 0 при
(·)
i = 1, . . . , n − 1;
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-01-00245).
c И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг, 2010
98
— верхнетреугольной со знакоопостоянной поддиагональю, если матрица A∗ (·) является нижнетреугольной со знакоопостоянной наддиагональю;
— нижнетреугольной со знакопостоянной поддиагональю, если
aij (·) ≡ 0
при j ≥ i, i = 2, . . . , n;
inf |ai,i−1 (·)| > 0 при
i = 2, . . . , n;
(·)
— верхнетреугольной со знакопостоянной наддиагональю, если матрица A∗ (·) является
нижнетреугольной со знакопостоянной поддиагональю;
— нижнетреугольной с отрицательной диагональю, если
sup aii (·) < 0 при
i = 1, . . . n;
(·)
aij (·) ≡ 0 при
j > i, i = 1, . . . , n − 1;
— верхнетреугольной с отрицательной диагональю, если матрица A∗ (·) является нижнетреугольной с отрицательной диагональю.
Примером нижнетреугольной матрицы со знакопостоянной наддиагональю может
служить матрица Фробениуса с функциональной нижней строкой, у которой на наддиагонали стоят единицы, а остальные элементы, кроме элементов нижней строки, равны
нулю.
Рассмотрим задачу синтеза стабилизирующей обратной связи для всех перечисленных видов матрицы A(·).
I. Нижнетреугольная матрица A(·) со знакопостоянной наддиагональю
В [10] была рассмотрена функция Ляпунова
V (x) = x∗ H −1 x
(3)
с положительно определенной матрицей H, и было показано, что свойство
V̇ < −αx∗ H −1 x
при x 6= 0,
(4)
гарантирующее при α > 0 глобальную экспоненциальную устойчивость системы (1),
(2), при
s(·) = λH −1 b(·)
(λ — скаляр)
(5)
эквивалентно матричному неравенству
HA∗ (·) + A(·)H + 2λb(·)b∗ (·) + αI < 0,
(6)
∗
где I — единичная n × n-матрица. В предположении что b = (0, . . . , 0, βn (·)) и
inf |βn (·)| > 0, была построена положительно определенная якобиева матрица H и най(·)
дено такое λ, что неравенство (6) выполняется для всех матриц A(·) рассматриваемого
класса. При этом H и λ зависят лишь от границ изменения коэффициентов aij (·) и
не зависят от их видов. Таким образом, построенная стабилизирующая обратная связь
является робастной по отношению к матрице A(·).
II. Верхнетреугольная матрица A(·) со знакопостоянной поддиагональю
Возьмем функцию Ляпунова в виде
V (x) = x∗ Hx.
(7)
99
Легко убедиться, что свойство
V̇ < −αkxk2
(α > 0)
(8)
при b(·) = λH −1 s(·) эквивалентно матричному неравенству
A∗ (·)H + HA(·) + 2λs(·)s∗ (·) + αI < 0,
то есть неравенству (6) при замене A(·) на A∗ (·) и b(·) на s(·). Поскольку матрица
A∗ (·) является нижнетреугольной со знакопостоянной наддиагональю, построенная в
п. I матрица H гарантирует свойство (8) и, следовательно, глобальную экспоненциальную устойчивость системы, если
s∗ (·) = (0, . . . , 0, σn (·)),
inf |σn (·)| > 0.
(·)
III. Нижнетреугольная матрица A(·) со знакопостоянной поддиагональю
Не умаляя общности, будем считать, что
ai,i−1 (·) ≥ α0 > 0
(i = 2, . . . , n).
(9)
Этого можно достичь, идя сверху вниз и в случае необходимости умножая i-е уравнение
на −1 и заменяя xi на −xi . В рассматриваемом случае матрица A(·) имеет вид

0
0

 a21 (·)
0


a31 (·) a32 (·)
A(·) = 


..
..

.
.

an1 (·) an2 (·)
0
0
0
..
.
an3 (·)
... 0


... 0 


... 0 .

.. 
. 

0
Рассмотрим функцию Ляпунова (3), где H — якобиева матрица вида

h1
h12
0
...
0
 h
 12

 0


.
H=
 ..


 0


h2
h23
...
0
h23
..
.
h3
..
.
...
0
..
.
0
0
. . . hn−1,n
0
0
...
0
hn







,






p
в которой hi > 0 (i = 1, . . . , n), hij = −0, 5 hi hj . Свойство (4) при связи (5) сводится к
матричному неравенству (6), эквивалентному в случае
b∗ (·) = (β1 (·), 0, . . . , 0)
100
(10)
отрицательной определенности матрицы Q вида

2λβ1 + α
a21 h1
a31 h1 + a32 h12 . . .
an1 h1 + an2 h12


a21 h1
2a21 h12 + α
a31 h12 + a32 h2 . . . an1 h12 +an2 h2+


+an3 h23


2a31 h23 + α
. . . an2 h23 +an3 h3+
 a31 h1 + a32 h12 a31 h12 + a32 h2

+an4 h34



..
..
..
..

.
.
.
.


 an1 h1 + an2 h12 an1 h12 +an2 h2+ an2 h23 +an3 h3+
2an,n−1 hn−1,n +α
+an3 h23
+an4 h34








.







(Здесь, как и выше, aij = aij (·), β1 = β1 (·).)
Обозначим через ∆i (·) (i = 1, . . . , n) главные диагональные миноры матрицы Q,
отсчитываемые сверху. Пусть
inf |β1 (·)| > 0.
(11)
(·)
Тогда ∆1 (·) < 0 при достаточно большом |λ| и signλ = −signβ1 (·). Поскольку
p
∆2 (·) = ∆1 (·)(−a21 (·) h1 h2 + α) − a221 (·)h21 ,
фиксировав h1 , можно в силу свойства (9) выбрать h2 столь большим, что будет выполняться неравенство ∆2 (·) > 0.
Обозначим через Dk (·) матрицу, составленную из элементов минора ∆k (·), и предположим, что hk выбрано таким образом, что sign ∆k (·) = (−1)k . Матрица Dk+1 (·) имеет
вид
!
Dk (·) gk (·)
Dk+1 (·) =
,
p
gk∗ (·) −ak+1,k (·) hk hk+1 + α
где столбец gk (·) зависит от выбранных h1 , . . . , hk и не зависит от hk+1 . По лемме Шура
p
∆k+1 (·) = ∆k (·)[α − ak+1,k (·) hk hk+1 − gk∗ Dk−1 (·)gk (·)].
Ввиду свойства (9) можно выбрать hk+1 столь большим, что sign ∆k+1 (·) =
−sign ∆k (·) = (−1)k+1 . Продолжая таким образом селекцию параметров hi , выберем
их так, что будет выполняться свойство ∆k (·) = (−1)k при k = 1, 2, . . . , n. Согласно
критерию Сильвестра матрица Q станет отрицательно определенной и, следовательно,
система (1), (2), у которой матрица A(·) является нижнетреугольной со знакопостоянной поддиагональю, при условиях (10), (11) стабилизируется обратной связью (5).
IV. Верхнетреугольная матрица A(·) со знакопостоянной наддиагональю
Рассуждая так же, как при рассмотрении случая II, легко убедиться, что система
(1), (2) стабилизируется обратной связью b(·) = λH −1 s(·), если
s∗ (·) = (σ1 (·), 0, . . . , 0) и
inf |σ1 (·)| > 0.
(·)
V. Нижнетреугольная матрица A(·) с отрицательной главной диагональю
В [11] с помощью построения функции Ляпунова (3) с матрицей H = diag(h1 , . . . , hn )
было показано, что система
ẋ = A(·)x
(12)
101
глобально асимптотически устойчива, если
sup aii (·) < 0;
(i = 1, . . . , n).
(13)
(·)
При этом матрица H удовлетворяет неравенству
HA∗ (·) + A(·)H < −αI
(α > 0).
(14)
VI. Верхнетреугольная матрица A(·) с отрицательной главной диагональю
Возьмем функцию Ляпунова (7). Тогда оценка (8) производной V̇ эквивалентна
матричному неравенству
A∗ (·)H + HA(·) < −αI,
которое при выполнении условия (13) разрешимо относительно матрицы H =
diag(h1 , . . . , hn ) в силу (14), поскольку матрица A∗ (·) является нижнетреугольной с
отрицательной главной диагональю.
3. Инвариантная стабилизация. Рассмотрим при t > 0 систему
ẏi =
n
X
aij (·)yj + βi (·)u1 + γi (·)u2 + ψi (·) (i = 1, . . . , n)
(15)
j=1
со скалярным выходом
σ=
n
X
ci y i .
(16)
i=1
Предполагается, что элементы aij (·), βi (·), γi (·), ψi (·) являются функционалами произвольной природы, удовлетворяющими ограничению
sup(|aij (·)| + |βi (·)| + |γi (·)| + |ψi (·)|) < ∞,
(·)
при которых решение существует при всех y(0) ∈ Rn и продолжимо на [0, +∞), если не
покидает ограниченной области.
Ставится задача определения таких u1 и u2 , при которых любое решение системы
(15) удовлетворяет условию инвариантности
σ̇ + εσ = 0,
ε≥0
(17)
и ограниченности
lim |y(t)| ≤ κ lim
t→+∞
t→+∞
n
X
i=1
|ψi (·)|.
(18)
Не умаляя общности, будем считать, что c1 6= 0, c2 = . . . = cn = 0. Этого всегда можно
достичь, сделав в системе (15) линейное неособенное преобразование координат.
Синтез стабилизирующих управлений u1 и u2 будем производить при следующем
условии
inf |β1 (·)| > 0.
(19)
(·)
102
Полагая в системе (15)
u1 (·) = −
n
i
X
1 h
εy1 +
a1j (·)yj + γ1 (·)u2 + ψ1 (·) ,
β1 (·)
j=1
(20)
приведем ее к виду
ẏ1 + εy1 = 0,
ẏi =
n
X
j=2
где
e
aij (·)yj + γ
ei (·)u2 + gi (·) (i = 2, . . . , n),
e
aij (·) = aij (·) −
γ
ei (·) = γi (·) −
gi (·) = −
(21)
βi (·)
a1j (·),
β1 (·)
βi (·)
γ1 (·),
β1 (·)
εβi (·)
βi (·)
y1 −
ψ1 (·) + ψi (·).
β1 (·)
β1 (·)
Полагая в (21)
u2 =
n
X
sj (·)yj ,
(22)
j=2
и вводя столбцы x = (y2 , . . . , yn )∗ , g(·) = (g2 (·), . . . , gn (·))∗ , запишем систему (21), (22)
в виде
ẋ = P (·)x + g(·).
(23)
Предположим, что элементы e
aij (·), γ
ei (·) и si (·) таковы, что однородная система
ẋ = P (·)x
принадлежит к одному из рассмотренных выше шести классов. Тогда существует такая
положительно определенная матрица G, что выполнено неравенство
P ∗ (·)G + GP (·) < −νI,
(24)
где ν — положительная постоянная. Дифференцируя функцию V (x) = x∗ Gx в силу
системы (23), получаем выражение
V̇ = x∗ (P ∗ (·)G + GP (·))x + 2g ∗ (·)Gx.
(25)
Очевидны соотношения
2g ∗ (·)Gx = 2(G1/2 g)∗ G1/2 x ≤ µkG1/2 gk2 +
1 1/2 2
kG xk ,
µ
(26)
где µ — произвольный положительный параметр. Поскольку kG1/2 xk2 = V (x), из (25),
(26) вытекает неравенство
V̇ ≤ −νkxk2 +
1
V + µkG1/2 gk2 .
µ
(27)
103
Ввиду соотношения Рэлея имеет место оценка
−νkxk2 ≤ −
ν
V,
λ+
(28)
где λ+ — максимальное собственное число матрицы G. Выберем теперь µ таким обраν
1
зом, чтобы постоянная ν1 =
− была положительной. Тогда из (27), (28) следует
λ+
µ
соотношение
V̇ + ν1 V ≤ µkG1/2 k2 kgk2.
Умножив обе части этого неравенства на exp(ν1 t) и проинтегрировав, приходим к оценке
Zt
−ν1 t
1/2 2
V (x(t)) ≤ e
V (x(0)) + µkG k
kg(·)k2 e−ν1 (t−λ) dλ,
0
из которой вытекает неравенство
lim V (x(t)) ≤ µkG1/2 k2 lim kg(·)k2 .
t→∞
Таким образом, оценка (18) установлена при
r
1/2
κ = kG k
t→∞
µ
,
λ− (G)
где λ− (G) — минимальное собственное число матрицы G. Сформулируем полученный
результат.
Теорема. Пусть выполняется условие (19), матрица {e
aij (·)} принадлежит к одному из классов I–VI, столбцы (e
γ2 (·), . . . , e
γn (·))∗ и (s2 (·), . . . , sn (·))∗ соответствуют
выбранному классу и управления u1 (·) и u2 (·) определяются формулами (20), (22). Тогда любое решение системы (15) обладает свойствами (17), (18).
4. Заключение. Рассматривается система дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются функционалами произвольной природы. С помощью построения квадратичной функции Ляпунова с якобиевой матрицей коэффициентов решена
задача синтеза двух скалярных управлений, при которых скалярный выход системы
не зависит от внешнего возмущения и экспоненциально затухает, а вектор состояния
системы остается ограниченным при любых начальных условиях.
Литература
1. Щипанов Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. № 1. С. 4–37.
2. Левина З. М., Левин В. И. Г. В. Щипанов и теория инвариантности. М.: Физматлит, 2004.
3. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. № 2. С. 3–13.
1985. № 2. С. 3–14. 1985. № 6. С. 3–14.
4. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания
// ДАН СССР. 1995. Т. 343. № 2. С. 172–175.
5. Якубович В. А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость
выходной переменной системы управления от внешнего воздействия // Докл. РАН. 2001.
Т. 380. № 1. С. 25–30.
6. Якубович В. А., Проскурников А. В. Задача об инвариантности системы управления //
Докл. РАН. 2003. Т. 343. № 6. С. 742–746.
104
7. Проскурников А. В., Якубович В. А. Приближенное решение задачи об инвариантности
системы управления // Докл. РАН. 2003. Т. 392. № 6. С. 750–754.
8. Proskurnikov A. V., Yakubovich V. A. The Problem of Absolute Invariance of a Linear Discrete-Time Control System // Doklady Mathematics. 2008. Vol. 78. N 3. P. 956–960.
9. Proskurnikov A. V., Yakubovich V. A. Synthesis of an Adaptive Regulator in the Problem of
Invariance of an Uncertain Discrete Linear Systems // Doklady Mathematics. 2009. Vol. 89. N 2.
P. 1–4.
10. Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Робастная стабилизация некоторого класса неопределенных
систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 1.
11. Зубер И. Е., Гелиг А. Х. Устойчивость неопределенных систем // Вестн. С.-Петерб.
ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 2. С. 23–30.
Статья поступила в редакцию 24 ноября 2009 г.
105
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
194 Кб
Теги
инвариантная, функциональная, уравнения, дифференциальной, некоторой, стабилизацией, класс
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа