close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Индексы Банаха - Сакса для подпространств Радемахера.

код для вставкиСкачать
44
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №4(70)
УДК 517.982
ИНДЕКСЫ БАНАХА — САКСА
ДЛЯ ПОДПРОСТРАНСТВ РАДЕМАХЕРА1
c 2009
А.И. Новикова2
В данной работе рассматриваются подпространства перестановочно-инвариантных пространств, порожденные системой Радемахера,
и исследуется индекс Банаха — Сакса.
Ключевые слова: система Радемахера, перестановочно-инвариантное
пространство, индекс Банаха — Сакса.
Перестановкой измеримой на [0, 1] функции x(t) [1, гл. 2.2] называется
убывающая непрерывная слева функция x∗ (t), определяемая формулой
x∗ (t) = inf{τ : n|x| (τ ) < t},
где nx (τ ) = mes{t : x(t) > τ } — функция распределения. Банахово пространство E = E[0, 1] с мерой Лебега называется симметричным или перестановочно-инвариантным (rearrangement invariant, далее — r.i.), если из
того, что y ∈ E и x∗ (t) 6 y ∗ (t) для всех t ∈ [0, 1], следует x ∈ E и
kxkE 6 kykE [1, гл. 2.4; 2, гл. 2a]. Примерами r.i. пространств служат пространства Lp [0, 1], 1 6 p 6 ∞, пространства Орлича LM :
kxkLM = inf{λ : λ > 0,
Z1
M(
|x(t)|
)dt 6 1},
λ
0
где M — положительная выпуклая на [0, ∞) функция, M (0) = 0. Через G
будем обозначать сепарабельную часть пространства Орлича LN2 , N2 (t) =
2
= et − 1.
R.i. пространством является также пространство Марцинкевича Mψ измеримых на [0, 1] функций x, для которых
kxkMψ
t
= sup
0<t<1 ψ(t)
Z1
x∗ (s)ds < ∞,
0
где ψ — возрастающая, вогнутая функция на [0, 1] и ψ(0) = 0.
1
Статья поддержана грантом РФФИ 08-01-00226а.
Новикова Анна Игоревна (annnovikova@mail.ru), кафедра теории функций и геометрии Воронежского государственного университета, 394006, Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1.
2
Индексы Банаха — Сакса для подпространств Радемахера
45
Пространства lp,q , 1 < p < ∞, 1 6 q 6 ∞ состоят из последовательностей x = (x1 , x2 , . . .), для которых конечно выражение
 ∞
P

 ( (x∗k )q k q/p−1 )1/q , q < ∞,
k=1
kxkp,q =

 sup x∗k k 1/p , q = ∞,
k
∞
где {x∗k }∞
k=1 — невозрастающая перестановка последовательности {|xk |}k=1 .
Данное выражение является нормой для 1 6 q 6 p и квазинормой, эквивалентной некоторой норме, при p < q. Пространство lp,∞ несепарабельно,
0
обозначим замыкание l1 в норме lp,∞ .
через lp,∞
Если 0 < τ < ∞, то семейство операторов растяжения
x(t/τ ), 0 6 t 6 min(τ, 1),
στ x(t) =
0
для остальных t ∈ [0, 1]
действует ограниченно в любом r.i. пространстве E. Числа αE и βE , заданные формулами
τ kE
αE = lim ln kσ
ln τ ,
τ →+0
βE = lim
τ →∞
ln kστ kE
ln τ ,
называются индексами Бойда (индексами растяжения) пространства E [2,
гл. 2b; 1, гл. 2.4]. Для любого r.i. пространства E 0 6 αE 6 βE 6 1.
Индексом Банаха — Сакса γ(E) банахова пространства E [3] называется sup p, удовлетворяющих следующему условию: любая слабо сходящаяся
к 0 последовательность {xn } ⊂ E содержит подпоследовательность {xnk }
такую, что
m
X
− p1 sup m xnk < ∞.
m
k=1
E
Пусть E — r.i. пространство на [0, 1]. Обозначим через R(E) подпространство E, порожденное системой Радемахера rk (t) = sign sin(2k πt),
t ∈ [0, 1]. Последовательность x = (x1 , x2 , . . .) принадлежит R(E), если
∞
P
xk rk принадлежит E и
k=1
kxkR(E)
∞
X
xk rk .
=
k=1
Так как k
n
P
k=1
xk rk kE = k
n
P
k=1
E
ǫk xk rπ(k) kE для любых n ∈ N, xk ∈ R1 , ǫk = ±1 и
перестановки π чисел 1, 2, . . . , n [2, гл. 2b], то естественный базис в R(E)
является симметричным. В силу неравенства Хинчина R(Lp ) (1 6 p < ∞)
совпадает с l2 с точностью до эквивалентных норм, R(L∞ ) = l1 [4]. В этой
работе также было показано, что пространство R(E) изоморфно l2 тогда
и только тогда, когда E ⊃ G.
46
А.И. Новикова
Пусть X0 , X1 — банаховы пространства, непрерывно вложенные в отделимое топологическое пространство. Сумму X0 + X1 и пересечение X0 ∩ X1
будем рассматривать с обычными нормами [2, гл. 2g]:
= inf{kx0 kX0 + kx1 kX1
kxkX0 ∩X1
kxkX0 +X1 =
: x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 },
= max{kxkX0 , kxkX1 }.
Через I(X0 , X1 ) будем обозначать множество всех интерполяционных относительно (X0 , X1 ) пространств. Банахово пространство X называется интерполяционным относительно пары (X0 , X1 ), если имеет место непрерывное
вложение X0 ∩ X1 ⊂ X ⊂ X0 + X1 и любое линейное ограниченное отображение T : X0 + X1 → X0 + X1 , сужения которого на X0 и X1 представляют
собой ограниченные линейные отображения T : X0 → X0 , T : X1 → X1 ,
также ограниченно действует из X в X [5, гл. 2.4].
K-функционал K(t, x; X0 , X1 ) определяется для x ∈ X0 + X1 и t > 0 по
формуле
K(t, x; X0 , X1 ) =
= inf{kx0 kX0 + tkx1 kX1 : x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 }.
Для каждого t > 0 функционал K(t, x; X0 , X1 ) есть норма в пространстве X0 + X1 . Пусть 0 < θ < 1, 1 6 q 6 ∞. Функционал Φθ,q , называемый
параметром вещественного метода интерполяции, определяется на неотрицательных функциях ϕ формулой
 1/q

R∞ −θ

dt
q

, 1 6 q < ∞,
(t ϕ(t)) t
Φθ,q (ϕ) =
0

−θ

 sup t ϕ(t), q = ∞.
06t6∞
Пространство всех x ∈ X0 + X1 , для которых выполнено
Φθ,q (K(t, x; X0 , X1 )) < ∞,
обозначается через (X0 , X1 )θ,q и по определению [5, гл. 3.1]
kxkθ,q = Φθ,q (K(t, x; X0 , X1 )).
Нам понадобятся следующие утверждения.
Лемма 1 [6]. Пусть X ∈ I(l1 , l2 ) и определяется соотношением X =
= (l1 , l2 )K
F для некоторого параметра F вещественного K-метода интерполяции, и E = (L∞ , G)K
F . Тогда пространство R(E) изоморфно X, то есть
выполнено
∞
X
ak rk 6 C2 kakX
C1 kakX 6 k=1
E
с константами, не зависящими от последовательности a = (ak )∞
k=1 .
Вместо последнего двойного неравенства мы будем писать
∞
X
ak rk ≍ kakX .
k=1
E
Индексы Банаха — Сакса для подпространств Радемахера
47
Лемма 2 [6]. Для того чтобы банахово пространство последовательностeй X совпадало с пространством R(E) для некоторого r.i. пространства
E, необходимо и достаточно, чтобы X ∈ I(l1 , l2 ).
Для 1 < p < ∞, 1 6 q < ∞ введем пространство Eϕ,q :
kxkEϕ,q
1/q
 1
Z
du
 ,
=  (x∗ (u)ϕ(u))q
u
0
− p1′ − q1 e
( u ),
где ϕ(u) = ln
1
p
+
1
p′
= 1. Данное выражение совпадает с нормой
− pq′ e
(s)
пространства Лоренца Λq (ψ), ψ(s) = ln

kxkψ,q = 
Z1
0
:
1/q
(x∗ (s))q dψ(s)
1
) и эквивалентно норме в остальных
для 1 < p, q < ∞, q 6 p′ , (q − 1 6 p−1
случаях.
Теорема 1. Если 1 < p < 2, 1 6 q < ∞, то система Радемахера в пространстве Eϕ,q эквивалентна каноническому базису в lp,q , то есть R(Eϕ,q ) =
= lp,q с точностью до эквивалентных норм и
∞
X
≍ k(ak )kp,q .
a
r
k k
k=1
Eϕ,q
Доказательство. Так как lp,q = (l1 , l2 )η,q , где
то по лемме 1 для такого η
∞
X
ak rk k(ak )kp,q ≍ k=1
η
2
=
p−1
p
=
1
p′
[5, т. 5.2.1],
.
(L∞ ,G)η,q
Далее будем использовать следующую формулу для K-функционала [7]:
для x ∈ G
K(t, x; L∞ , G) = K(t, x; L∞ , LN2 ) ≍
(1)
≍t
sup
(x∗ (u) ln−1/2 (e/u)).
2
0<u6min(1,e1−t )
В силу равенства η = 2/p′
kxkq(L∞ ,G)η,q =
=
R∞
t−ηq−1+q
q dt
t
(t−η K(t, x; L∞ , G))
0
R∞
1
0<u6min(1,e
t−ηq−1+q
=
(x∗ (u)q ln−q/2 (e/u))dt >
sup
1−t2
0
>
R∞
sup
2
0<u6e1−t
)
(x∗ (u)q ln−q/2 (e/u))dt.
48
А.И. Новикова
Так как
2
(x∗ (u) ln−1/2 (e/u)) > x∗ (e1−t )t−1 , то, продолжая цепоч-
sup
0<u6e1−t
2
ку неравенств, имеем
kxkq(L∞ ,G)η,q >
=−
R0
1
ηq
1
ln( ue )− 2 − 2 x∗ (u)q
=
1
2
R1
R∞
2
t−ηq−1 x∗ (e1−t )q dt =
1
1
· ln( ue )− 2 du
u =
1
2
(x∗ (u)ϕ(u))q
0
du
u
1
2
R1
0
− pq′ −1 ∗
x (u)q du
u
ln( ue )
= 21 kxkEϕ,q .
Последнее
неравенство
доказывает
непрерывное
(L∞ , G)η,q ⊂ Eϕ,q . Следовательно,
∞
X
6 Ck(ak )kp,q
ak rk k=1
Докажем противоположное неравенство. Обозначим xa =
∞
P
k=1
вложение
Eϕ,q
для некоторой константы C > 0.
=
=
∞
P
ak rk и ha =
k=1
a∗k χ(0,2−k−1 ) . Имеем
2( pq′ +1)
kxa kqEϕ,q > e
> C1
kσe2 xa kqEϕ,q = C1
∞
P
k=1
Отметим, что
x∗a (e−k−1 )q
∞ R −k+1
P
e
k=1
R e−k+1
e−k
ha (e−k−1 ) > ha (2−k−1 − 0) >
e−k
du
u
>
− pq′ −1 du
u .
ln( ue )
k
X
q
x∗a (e−2 s)ϕ(u)
a∗i (k = 1, 2, . . .),
i=1
и верно элементарноe неравенство
β
x 6 (1 + x)β (0 6 x 6 1, β > 0).
2
Последний интеграл оценим снизу с помощью неравенства (2):
q
R e−k+1
R e−k+1
− q −1
e − p′ −1 du
)
=− e−k ln( ue ) p′ d(ln( ue )) =
u
u
e−k ln(
−q
−q
1
q/p′ − 1 >
= pq′ k p′ − (k + 1) p′ = pq′ (k+1)
( k+1
q/p′
k )
1+
>
q
1
p′ (k+1)q/p′ (1
+
q
2p′
·
1
k
− 1) >
1
( pq′ )2 2k(k+1)
q/p′
>
(2)
(3)
1
1
( pq′ )2 2q/p
′ q/p′ +1 .
k
В [4, 8] было показано, что для a ∈ l2 справедливо неравенство
ha (t) 6 x∗a (t). Используя этот факт и оценку (3), получаем
∞
P
− q −1
− pq′ −1 ∗ −k−1 q
k p′ ha (e−k−1 )q
xa (e
) > C2
k=1
k=1 q
∞
∞
k
q
P
P
P
− pq′ −1+q
−1 ∗ q
1
∗
p
k
k
ak = Ck(ak )kqp,q .
a
>
C
2
i
k
i=1
k=1
k=1
kxa kqEϕ,q > C2
> C2 ·
∞
P
k
>
49
Индексы Банаха — Сакса для подпространств Радемахера
Теорема 2. Для 1 < p < 2 система Радемахера в пространстве Мар1
цинкевича Mψ , ψ(u) = ln p′ ( ue )u, p1 + p1′ = 1 эквивалентна каноническому
0 , то есть R(M ) = l0
базису в lp,∞
ψ
p,∞ и
∞
X
≍ k(ak )kp,∞ .
ak rk k=1
Mψ
Доказательство. Так как lp,∞ = (l1 , l2 )η,∞ , где
т. 5.2.1], то по лемме 1 для такого η
∞
X
.
ak rk k(ak )kp,∞ ≍ k=1
η
2
=
p−1
p
=
1
p′
[5,
(L∞ ,G)η,∞
Используя формулу (1), имеем
kxk(L∞ ,G)η,∞ = sup t−η K(t, x; L∞ , G) =
= sup t−η+1
t
t
(x∗ (u) ln−1/2 (e/u)) =
sup
2
0<u6min(1,e1−t )
= sup [x∗ (u) · ln−1/2 ( ue )
06u61
t−η+1 ].
sup
06t6ln1/2 ( ue )
Заметим, что для p < 2 справедливо неравенство η < 1 и, следовательно,
kxk(L∞ ,G)η,∞ = sup [x∗ (u) · ln−1/2 ( ue ) · ln1/2−η/2 ( ue )] =
= sup
[x∗ (u)
06u61
·
06u61
−1/p′ e
ln
( u )]
= sup [x∗ (u) ·
06u61
u
ψ(u) ]
≍ kxkM (ψ) .
Замечание 1. Случай пространств lp , 1 < p < 2 был рассмотрен в
статье [4, 8], а случай пространств lp,∞ в статье [9].
Замечание 2. Пространства lp,q принадлежат множеству I(l1 , l2 ), если
и только если p = q = 2 или 1 < p < 2 [5, 10].
Несложно показать, что для r.i. пространства E 6= L∞ индексы БанахаСакса пространств E и R(E) удовлетворяют соотношению
1 6 γ(E) 6 γ(R(E)) 6 2.
Теорема 3. 1. Для E 6= L∞ верна следующая альтернатива: γ(E) = 1
или γ(R(E)) = 2.
2. Для любой пары (p, q) : p = 1, 1 < q 6 2 или 1 6 p 6 2, q = 2
найдется r.i. пространство E = E[0, 1] такое, что γ(E) = p, γ(R(E)) = q.
Доказательство. 1. Предположим, что γ(E) > 1. Тогда [11, т. 4.2]
нижний индекс Бойда αE > 0 и [2, т. 2.b.3] Lq ⊂ E ⊂ L1 , для любого
q : 0 < 1q < αE . Тогда для произвольного x ∈ R(E) в силу неравенства
Хинчина имеем:
P
P
A1 kxkl2 6 k xk rk kL1 6 k xk rk kE =
k
k
P
= kxkR(E) 6 Ck xk rk kLq 6 CBq kxkl2 ,
k
50
А.И. Новикова
где Bq , A1 — константы из неравенства Хинчина. Таким образом, R(E)
изоморфно l2 и γ(R(E)) = 2.
2. Для семейства пространств Lp , 1 6 p 6 2 имеем γ(Lp ) = p, а R(Lp ) =
= l2 и γ(R(Lp )) = 2. Напротив, для семейства пространств Eϕ,q , рассмотренных в теореме 1, γ(Eϕ,q ) = 1 и γ(R(Eϕ,q )) = γ(lp,q ) = min(p, q),
1 6 q < ∞, 1 < p < 2.
Литература
[1] Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. M., 1978. 400 с.
[2] Lindennstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces II: Function Spaces.
Berlin: Springer-Verlag, 1979. 243 p.
[3] Семенов E.M., Сукочев Ф.А. Индекс Банаха — Сакса // Матем. сборник, 2004. Т. 195(2). С. 117—140.
[4] Rodin V.A., Semenov E.M. Rademacher series in symmetric spaces //
Anal. Mathematika. 1975. V. 1. P. 207—222.
[5] Bergh J., Lofstrom J. Interpolation Spaces. An introduction. Berlin:
Springer-Verlag, 1976.
[6] Асташкин С.В. Об интерполяции подпространств симметричных пространств, порожденных системой Радемахера // ИЗВЕСТИЯ РАЕН.
Cер. МММИУ. 1997. T. 1(1). С. 18—35.
[7] Асташкин С.В. О пространстве мультипликаторов, порожденных системой Радемахера // Матем. заметки. 2004. T. 75(2). С. 173—181.
[8] Никишин Е.М. Об одном свойстве сумм независимых величин // Матем. заметки. 1974. T. 16(5). С. 703—707.
[9] Pisier G. De nouvelles caracterisations des ensembles de Sidon.
Mathematical analysis and applications, Part B // Adv. in Math.
Suppl. Stud. 1981. V. 7B. P. 686—725.
[10] Sparr G. Interpolation of weighted Lp -spaces // Studia Math. 1987. V. 62.
P. 229—271.
[11] Astashkin S.V., Sukochev F.A., Semenov E.M. The Banach-Saks
p-property // Mathematische Annalen. 2005. V. 332. P. 879—900.
Поступила в редакцию 25/II/2009;
в окончательном варианте — 25/II/2009.
Индексы Банаха — Сакса для подпространств Радемахера
51
BANACH — SAKS INDEXES OF RADEMACHER
SUBSPACES
c 2009
A.I. Novikova3
The paper is devoted to the study of subspaces of rearrangement
invariant spaces, generated by Rademacher system, and to the calculation
of their Banach — Saks indexes.
Key words and phrases: Rademacher system, rearrangement invariant
space, Banach — Saks index.
Paper received 25/II/2009.
Paper accepted 25/II/2009.
3
Novikova Anna Igorevna (annnovikova@mail.ru), Dept. of Function Theory and Geometry, Voronezh State University, Voronezh, 394006, Russia.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
151 Кб
Теги
индексы, сакс, банаха, подпространств, радемахера
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа