close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Интегральная теорема сравнения для кавитационных диаграмм.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2011, № 9, c. 95–98
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421100123 \0099
Л.А. АКСЕНТЬЕВ, Д.В. МАКЛАКОВ
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ
ДЛЯ КАВИТАЦИОННЫХ ДИАГРАММ
Аннотация. Доказана теорема сравнения для функционала, положительность которого является необходимым условием разрешимости задачи о построении гидропрофиля по заданной
кавитационной диаграмме.
Ключевые слова: теорема сравнения, кавитационная диаграмма, гидропрофиль, огибающая
давлений, условие разрешимости.
УДК: 532.5 : 517.518
Abstract. In this paper we prove a comparison theorem for a functional whose positiveness is a
necessary condition for the solvability of the problem on the construction of a hydrofoil from a
given cavitation diagram.
Keywords: comparison theorem, cavitation diagram, hydrofoil, pressure envelope, solvability condition.
При проектировании гидропрофилей под кавитационной диаграммой понимается зависимость F (α) коэффициента минимального давления Cp min , взятого с обратным знаком, от
угла атаки α:
p∞ − pmin (α)
,
F (α) = −Cp min (α) = 2
2
ρv∞
где pmin — минимальное давление на контуре профиля, p∞ — давление на бесконечности,
v∞ — скорость набегающего потока, ρ — плотность жидкости. Функция F (α) — одна из важнейших характеристик гидропрофилей, позволяющая определить диапазон углов атаки, в
котором будет отсутствовать кавитация.
В [1]–[3] был разработан метод проектирования гидропрофилей, кавитационная диаграмма которых в точности совпадает с заданной функцией F (α). Для решения этой обратной
задачи область течения около профиля конформно отображается на внешность круга единичного радиуса с условием, что бесконечно удаленная точка в физической плоскости z
переходит в бесконечно удаленную точку параметрической плоскости t, а образом острой
кромки профиля является точка t = 1. При этом между точками параметрической окружности t = eiγ (γ — полярный угол) и точками профиля возникает взаимно однозначное
соответствие, не зависящее от угла атаки α.
В работах [1]–[3] (также [4]) было показано, что одним из основных шагов решения задачи
о построении гидропрофиля по заданной кавитационной диаграмме является определение
2π-периодической, непрерывной, неотрицательной, не равной тождественно нулю функции
Поступила 22.03.2011, окончательный вариант 16.05.2011
95
96
Л.А. АКСЕНТЬЕВ, Д.В. МАКЛАКОВ
g(γ) из уравнения
γ
− α = f (α)
max g(γ) cos
γ∈R
2
при заданной функции f (α) = 1 + F (α). Таким образом, g(γ) ∈ G, где
(1)
G = {g ∈ C(R) : g(γ) ≥ 0, g(γ + 2π) = g(γ), γ ∈ R} \ {0}.
Уравнение (1) отличается от обычных уравнений типа свертки заменой интеграла на
максимум по переменной интегрирования. В статье [5] дано подробное исследование этого
уравнения (см. также [6], § 10.2).
Наряду с G введем класс функций
T = {f ∈ G : f (α) > 0, f (α) тригонометрически выпукла},
т. е. T — множество, состоящее из строго положительных, π-периодических и тригонометрически выпуклых функций.
Напомним ([7], [8]), что функция f (α) называется тригонометрически выпуклой (порядка 1), если для любых α1 и α2 , 0 < α2 − α1 < π, выполняется неравенство
f (α) ≤ H(α),
α1 < α < α2 ,
(2)
где
f (α1 ) sin(α2 − α) + f (α2 ) sin(α − α1 )
.
sin(α2 − α1 )
Геометрически неравенство (2) означает, что график функции y = f (α) над отрезком [α1 , α2 ]
лежит не выше “тригонометрической хорды”, определяемой уравнением вида y = H(α) =
a cos α + b sin α и условиями H(α1 ) = f (α1 ), H(α2 ) = f (α2 ).
В работе [5] (теорема 1) было установлено, что для разрешимости уравнения (1) в классе G необходимо и достаточно, чтобы f ∈ T . Если f ∈ T , то функция
f (α)
gm (γ; f ) = min
α∈R | cos(γ/2 − α)|
H(α) =
принадлежит классу G, строго положительна и является решением уравнения (1).
Кроме того, в этой работе была доказана теорема сравнения (теорема 3). Потребуется
Следствие ([5], теорема 3). Если f и f ∗ ∈ T , f (α) ≥ f ∗ (α), f (α) ≡ f ∗ (α), то gm (γ; f ) ≥
gm (γ; f ∗ ) и gm (γ; f ) ≡ gm (γ; f ∗ ).
В работе [5] уравнение (1) было полностью исследовано. Однако этого недостаточно для
разрешимости исходной гидродинамической задачи об определении формы профиля по заданной кавитационной диаграмме. Как показано в [1], существенную роль в построении
физически реализуемого замкнутого профиля играют три константы, являющиеся функционалами от функции f (α) ∈ T :
π
log gm (γ; f )dγ − 2π log 2,
K0 [f ] =
−π
π
π
log gm (γ; f ) cos γdγ + π, K2 [f ] =
log gm (γ; f ) sin γdγ.
K1 [f ] =
−π
−π
В частности, одно из наиболее важных необходимых условий разрешимости состоит в строгой положительности нелинейного функционала
M[f ] = K0 [f ] − K1 [f ] + iK2 [f ].
В данной заметке доказываем теорему сравнения для этого функционала.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА СРАВНЕНИЯ ДЛЯ КАВИТАЦИОННЫХ ДИАГРАММ
97
Теорема. Если f и f ∗ ∈ T , f (α) ≥ f ∗ (α), f (α) ≡ f ∗ (α), то M[f ] > M[f ∗ ].
Доказательство базируется на следующей лемме.
Лемма. Пусть g(x) — непрерывная на интервале [a, b] функция, c1 , c2 — действительные
постоянные, D = c1 + ic2 , функционал T[g] определен равенствами
b
b
ik(x)
P0 [g] =
g(x)dx, P[g] = g(x)e
dx + D , T[g] = P0 [g] − P[g],
a
a
где k(x) ∈ C[a, b] — заданная функция, k(x) ≡ const. Если g и g∗ ∈ C[a, b], g(x) ≥ g∗ (x),
g(x) ≡ g∗ (x), то T[g] > T[g∗ ].
Доказательство. Используем неравенство треугольника в применении к разности интегралов
b
b
ik(x)
∗
ik(x)
≥ P[g] − P[g∗ ].
g(x)e
dx
+
D
−
g
(x)e
dx
+
D
(3)
a
a
b
К левой части, записанной в виде [g(x)−g∗ (x)]eik(x) dx, применим формулу Вейерштрасса
a
([9], c. 62)
b
∗
[g(x) − g (x)]e
ik(x)
a
dx = Z
b
[g(x) − g∗ (x)]dx.
(4)
a
Здесь Z — центр тяжести системы масс m(x) = g(x) − g∗ (x) ≥ 0, m(x) ≡ 0, распределенных
по дуге окружности с параметрическим уравнением z = eik(x) , x ∈ [a, b]. Равенство |Z| = 1
возможно только в случае, если вся система масс сосредоточена в одной точке, т. е. eik(x) =
eiα , k(x) = α при постоянном параметре α. Тогда Z = eiα . Этого не может быть при
k(x) ≡ const.
Во всех остальных случаях для Z выполняется строгое неравенство |Z| < 1, так как
центр тяжести находится внутри выпуклой оболочки всех точек расположения масс.
Из (3) и (4) получим неравенство
b
[g(x) − g∗ (x)]dx = P0 [g] − P0 [g∗ ],
P[g] − P[g∗ ] <
a
которое доказывает утверждение леммы.
Замечание. Формулу Вейерштрасса вида (4) удобно использовать при оценке комплексных и вещественных интегралов. Именно,
b
b
b
b
i arg f (x)
f (x)dx = |f (x)|e
dx = |Z| |f (x)|dx ≤
|f (x)|dx
a
a
a
a
со знаком равенства при f (x) ≡ 0 только для случая arg f (x) ≡ const. Для вещественных
интегралов arg f (x) равен 0 или π, и знак равенства в оценке получается при arg f (x) ≡ 0
или при arg f (x) ≡ π.
Теорема сравнения для функционала M[f ] непосредственно вытекает из утверждения
леммы при k(x) = x и сформулированного выше следствия теоремы 3 статьи [5].
Данная теорема играет принципиальную роль при решении экстремальных задач теории
гидропрофилей. Во-первых, она значительно упрощает проведенные в работе [2] рассуждения, позволившие построить симметричные гидропрофили с оптимальными кавитационными свойствами, и во-вторых, открывает путь для конструирования оптимальных несимметричных профильных форм, обтекаемых в бескавитационном режиме при углах атаки,
изменяющихся в максимально широком диапазоне.
98
Л.А. АКСЕНТЬЕВ, Д.В. МАКЛАКОВ
Литература
[1] Авхадиев Ф.Г., Маклаков Д.В. Критерий разрешимости задачи построения профилей по кавитационной диаграмме, Изв. вузов. Матем., № 7, 3–12 (1994).
[2] Авхадиев Ф.Г., Маклаков Д.В. Аналитический метод построения гидропрофилей по заданной кавитационной диаграмме, Докл. РАН 343 (2), 195–197 (1995).
[3] Avhadiev F.G., Maklakov D.V. A theory of pressure envelope for hydrofoils, J. Ship Technology Research
(Schiffstechnik) 42 (2), 81–102 (1995).
[4] Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами
(Янус-К, М., 1997).
[5] Авхадиев Ф.Г., Маклаков Д.В. Новые уравнения типа свертки, получаемые заменой интеграла на максимум, Матем. заметки 71 (1), 18–26 (2002).
[6] Елизаров А.М., Касимов А.Р., Маклаков Д.В. Задачи оптимизации формы в аэрогидродинамике (Физматлит, М., 2008).
[7] Левин Б.Я. Распределение корней целых функций (ГИТТЛ, М., 1956).
[8] Харди Г.Г., Литлвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства (Ин. лит., М., 1948).
[9] Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 2. Ч. 1 (ГТТИ, М.–Л., 1933).
Л.А. Аксентьев
профессор, кафедра математического анализа,
Казанский (Приволжский) федеральный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008,
e-mail: Leonid.Aksentev@ksu.ru
Д.В. Маклаков
профессор, кафедра аэрогидромеханики,
Казанский (Приволжский) федеральный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008,
e-mail: Dmitri.Maklakov@ksu.ru
L.A. Aksent’ev
Professor, Chair of Mathematical Analysis,
Kazan (Volga Region) Federal University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: Leonid.Aksentev@ksu.ru
D.V. Maklakov
Professor, Chair of Aerohydromecanics,
Kazan (Volga Region) Federal University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: Dmitri.Maklakov@ksu.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
139 Кб
Теги
диаграмма, теорема, интегральная, сравнение, кавитационно
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа