close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Интегральное представление решения одного многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с положительным параметром.

код для вставкиСкачать
Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 19–33
Математика
УДК 517.956
Интегральное представление решения
одного многомерного вырождающегося
эллиптического уравнения первого рода
с положительным параметром
А. М. Нигмедзианова
Аннотация. Строится
фундаментальное
решение
для
многомерного
вырождающегося
эллиптического
уравнения
первого рода с положительным параметром. Дается интегральное
представление решения уравнения.
Ключевые слова: многомерное вырождающееся эллиптическое
уравнение
первого
рода
с
положительным
параметром,
фундаментальное решение.
1. Введение
Пусть E+
p — полупространство xp > 0 p-мерного евклидова пространства
′
′
точек x = (x , xp ), x = (x1 , x2 , ..., xp−1 ), D-конечная область в E+
p,
ограниченная открытой частью Γ0 гиперплоскости xp = 0 и гиперповерхностью Γ.
Рассмотрим вырождающееся эллиптическое уравнение с положительным
параметром вида:
T (U ) = xm
p
p−1 2
X
∂2U
∂ U
+
+ λ2 xm
p U = 0,
∂xj 2
∂x2p
(1)
j=1
где m > 0, p > 3, λ ∈ R.
Фундаментальные решения, интегральные представления, а также
решения основных краевых задач (внутренняя и внешняя задачи Дирихле,
А. М. Нигмедзианова
20
Неймана и N) для многомерных вырождающихся эллиптических уравнений:
xm
p
p−1 2
X
∂ U
∂2U
+
= 0,
∂xj 2
∂x2p
j=1
µ
¶
p−1 2
X
∂ U
∂
α ∂U
+
xp
= 0,
∂xj 2
∂xp
∂xp
j=1
p−1 2
2
X
∂ U
m∂ U
+
x
= 0,
p
∂xj 2
∂x2p
j=1
были рассмотрены автором ранее [1]-[4].
Вопрос об изучении многомерных
отрицательным параметром
xm
p
эллиптических
уравнений
с
p−1 2
X
∂2U
∂ U
+
− λ2 xm
p U =0
∂xj 2
∂x2p
j=1
был также рассмотрен автором ранее [5].
Вопрос об изучении многомерных эллиптических уравнений с
положительным параметром до последнего времени оставался открытым.
2. Фундаментальное решение
Обозначим через C0∞ (E+
p ) множество всех бесконечно дифференцируе+
мых и финитных в Ep функций.
Определение. Функция E(x, x0 ) называется фундаментальным решением уравнения (1) с особенностью в точке x0 ∈ E+
p , если она удовлетворяет
условиям:
1) для любой ϕ(x) ∈ C0∞ (E+
p ), такой, что x0 ∈ supp ϕ(x), имеет место
равенство
Z
E(x, x0 ) T [ϕ(x)]dx = −ϕ(x0 );
E+
p
2) она является решением уравнения (1) во всех точках E+
p за
+
исключением точки x0 ∈ Ep .
С помощью замены переменных по формулам
ξj = xj ,
j = 1, p − 1,
ξp =
m+2
2
xp 2
m+2
(2)
Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения 21
уравнение (1) приводится к эллиптическому уравнению с отрицательным
параметром
p−1 2
X
∂ U
m 1 ∂U
∂2U
+ λ2 U = 0.
(3)
+
+
2
2
∂ξ
m
+
2
ξ
∂ξ
∂ξ
p
p
p
j
j=1
m
Ясно, что 0 < m+2
< 1 при m > 0.
Решение уравнения (3) будем искать в виде
(4)
U (ξ) = V (r),
где r =
s
p
P
i=1
ξi2 .
Подставляя функцию (4) в уравнение (3), получаем
V ′′ +
p−1+β ′
V + λ2 V = 0,
r
(5)
m
где β = (m+2)
. Ясно, что 0 < β < 1 при m > 0.
Умножая уравнение на r2 , получаем
r2 V ′′ + (p − 1 + β) rV ′ + λ2 r2 V = 0.
(6)
С помощью замены переменных по формулам
V (r) =
³ t ´− p−2+β
2
λ
W (t),
r=
t
λ
(7)
уравнение (6) сводится к уравнению Бесселя
¡
¢
t2 W ′′ + tW ′ + t2 − ν 2 W = 0,
где ν =
p−2+β
.
2
Известно [6], что общее решение уравнения (8) имеет вид
W (t) = C1 Jν (t) + C2 Yν (t),
(8)
где Jν (t) и Yν (t) – функции Бесселя первого и второго родов соответственно,
C1 и C2 – произвольные постоянные.
Возвращаясь в (8) к переменной r, с учетом формул (7) получим частное
решение уравнения (5):
V (r) = ar−ν (C1 Jν (λr) + C2 Yν (λr)) ,
(9)
где a – нормирующая постоянная.
Известно [6], что при r → ∞ имеет место следующая асимптотическая
формула:
³
´
1
V (r) = O r−ν− 2 .
(10)
А. М. Нигмедзианова
22
Из разложения функций Jν (t) и Yν (t) в степенной ряд следует, что
решение (9) может быть представлено в виде
V (r) =
a 2ν Γ(ν) −2ν
r
+ ψ(r),
π
(11)
где ψ(r) – функция, имеющая в начале координат особенность вида r−2γ
(γ < ν).
Функция (11) является решением уравнения (5) и имеет в начале
координат степенную особенность вида r−2ν .
Для получения решения уравнения (3) с особенностью в точке ξ0
применим к функции (11) оператор обобщенного сдвига Tξξ0 :
a 2ν Γ(ν)Cβ
G(ξ; ξ0 ) =
π
Zπ ³
´−ν
2
|ξ ′ − ξ0′ | + ξp2 + ξp20 − 2ξp ξp0 cos ϕ
sinβ−1 ϕdϕ+
0
+ψ ∗ (ξ; ξ0 ),
где Cβ−1 =
Rπ
√
sinβ−1 ϕdϕ =
πΓ
0
³ ´
β
2
Γ−1
³
β+1
2
(12)
´
, ψ ∗ (ξ; ξ0 ) – регулярная в точке
ξ0 функция.
Докажем, что интеграл (12) имеет степенную особенность в точке ξ0 . Для
этого рассмотрим в (12) подынтегральную функцию
³
´−ν ³
2
2
|ξ ′ − ξ0′ | + ξp2 + ξp20 − 2ξp ξp0 cos ϕ
= |ξ ′ − ξ0′ | + ξp2 + ξp20 − 2ξp ξp0 +
−ν
+2ξp ξp0 (1 − cos ϕ))
p
³
´−ν
X
2
2 ϕ
2
(ξj − ξj0 )2 .
, где rξξ0 =
= rξξ0 + 4ξp ξp0 sin
2
j=1
Тогда интеграл в (12) запишем в виде
Zπ ³
´−ν
2
sinβ−1 ϕdϕ =
|ξ ′ − ξ0′ | + ξp2 + ξp20 − 2ξp ξp0 cos ϕ
J =
0
=
Zπ ³
2
rξξ
+ 4ξp ξp0 sin2
0
0
−ν
= (ξp ξp0 )
ϕ ´−ν β−1
sin
ϕdϕ =
2
Zπ ³
ϕ ´−ν β−1
ω 2 + 4 sin2
sin
ϕdϕ,
2
0
(13)
Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения 23
где ω 2 =
2
rξξ
0
ξp ξp0
. Разность между интегралом (13) и интегралом
−ν
(ξp ξp0 )
Zπ
0
¡
¢−ν
ϕβ−1 ω 2 + ϕ2
dϕ
является регулярной функцией от ξ, даже в точке ξ0 , когда rξξ0 = 0, т.е.
ω = 0. Обозначим ее через Φ(ξ, ξ0 ). Тогда интеграл J можно представить в
виде
Zπ
¡
¢−ν
−ν
J = (ξp ξp0 )
ϕβ−1 ω 2 + ϕ2
dϕ + Φ(ξ, ξ0 ).
0
Проводя в этом интеграле замену переменной по формуле ϕ = ωη, получим
π
J = (ξp ξp0 )−ν ω 2−p
Zω
0
¡
¢−ν
η β−1 1 + η 2
dη + Φ(ξ, ξ0 ) =
π
= (ξp ξp0 )−ν
2−p
rξξ
0
(ξp ξp0 )
2−p
2
π
ω
Z
β
2−p
= (ξp ξp0 )− 2 rξξ
0
0
Zω
0
¡
¢−ν
η β−1 1 + η 2
dη + Φ(ξ, ξ0 ) =
¡
¢−ν
η β−1 1 + η 2
dη + Φ(ξ, ξ0 ).
Преобразуем последний интеграл:
π
− β2
J = (ξp ξp0 )
2−p
rξξ
0
Zω
0
− β2
= (ξp ξp0 )
¡
¢−ν
η β−1 1 + η 2
dη + Φ(ξ, ξ0 ) =
2−p
rξξ
0
Z∞
0
− β2
− (ξp ξp0 )
2−p
rξξ
0
Z∞
π
ω
¡
¢−ν
η β−1 1 + η 2
dη−
¡
¢−ν
η β−1 1 + η 2
dη + Φ(ξ, ξ0 ) = J1 − J2 + Φ(ξ, ξ0 ).
С помощью известной формулы [7]
µ ¶µ ¡µ¢ ¡
Z∞
1
p ν Γ ν Γ n+1−
xµ−1 dx
=
ν
n+1
n+1
(p + qx )
νp
q
Γ(n + 1)
0
µ¢
ν
,
0<
µ
< n + 1,
ν
А. М. Нигмедзианова
24
интеграл J1 запишется в виде
− β2
J1 = (ξp ξp0 )
2−p
rξξ
0
Z∞
0
Γ
¡
¢−ν
β
2−p 1
η β−1 1 + η 2
dη = (ξp ξp0 )− 2 rξξ
0 2
³ ´ ¡
β
p−2 ¢
2 Γ
2
Γ (ν)
.
Разлагая подынтегральную функцию интеграла J2 в степенной ряд,
получим
¶
¶
µ
µ
¡
¢
1 −ν
1 −ν
1−p
β−1
2 −ν
β−1 −2ν
=η
=
1+ 2
η
1+η
=η
η
1+ 2
η
η
¡
¡
¢
¢¡ν
¢
¸
·
ν ν
ν ν
ν −2
−4
−6
1−p
2 2 +1
2 2 +1
2 +2
η −
η + ... =
=η
1− η +
2
2!
3!
¡
¡
¢
¢¡ν
¢
ν ν
ν ν
ν −(p+1)
1−p
−(p+3)
2 2 +1
2 2 +1
2 +2
=η
− η
+
η
−
η −(p+5) + . . . .
2
2!
3!
Ясно, что этот ряд сходится равномерно в промежутке [π/ω, ∞), поэтому
его можно интегрировать в этом промежутке почленно. В результате имеем
³ ´ ³
´
Γ β2 Γ ν − β2
β
2−p
+ Φ1 (ξ, ξ0 ),
J =
(ξp ξp0 )− 2 rξξ
0
2Γ (ν)
где Φ1 (ξ, ξ0 ) – регулярная в точке ξ0 функция. Отсюда и из (12) следует, что
³ ´ ³
´
β
β
ν
Γ
Γ
ν
−
β
2
2
a 2 Γ(ν)Cβ
2−p
G(ξ; ξ0 ) =
(ξp ξp0 )− 2 rξξ
+ Φ2 (ξ; ξ0 ).
(14)
0
π
2Γ (ν)
Возвращаясь в (14) к переменной x, с учетом формул (2) и значений
m
, имеем
, β = (m+2)
ν = p−2+β
2
µ ¶ µ
¶
m
a 2ν−1−β Cβ (m + 2)β
β
p−2
∗
Γ
Γ
(xp xp0 )− 4 ρ2−p
E(x; x0 ) =
xx0 + E (x; x0 ) =
π
2
2
e x0 ) + E ∗ (x, x0 ),
= E(x,
(15)
s
p−1
m+2 ´2
¡ 2 ¢2 ³ m+2
P
xp 2 − xp02
(xj − xj0 )2 + m+2
, E ∗ (x, x0 ) – регулярная
где ρxx0 =
j=1
функция в E+
p.
Из формул (10) следует, что при ρxx0 → ∞ имеет место асимптотическая
формула
´
³
−ν−1/2
.
E(x; x0 ) = O ρxx
0
Докажем, что при определенном значении постоянной a функция (15)
удовлетворяет равенству (1) и, следовательно, является фундаментальным
Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения 25
решением уравнения (T ) с особенностью в точке x0 ∈ Ep+ . Для этого введем
формулы Грина для оператора T .
Обозначим через C n (D) множество n раз непрерывно дифференцируемых
функций в D.
Пусть функции U ∈ C 2 (D) ∩ C 1 (D), V ∈ C 2 (D) ∩ C 1 (D) .
Непосредственным вычислением можно убедиться, что имеет место тождество
!
à p−1
X ∂U ∂V
∂V ∂U
m
+
=
V T [U ] + xp
∂xj ∂xj
∂xp ∂xp
j=1
=
p−1
X
j=1
∂
∂xj
µ
xm
p V
∂U
∂xj
¶
∂
+
∂xp
µ
¶
∂U
V
+ λ2 xm
p U V.
∂xp
Интегрируя обе части этого тождества по области D и пользуясь формулой
Остроградского, получаем
!
Z
Z Ã X
p−1
∂V
∂U
∂V
∂U
+
dx =
V T [U ]dx +
xm
p
∂xj ∂xj
∂xp ∂xp
j=1
D
D
Z
Z
2
= V A[U ]dΓ + λ
xm
(16)
p U V dx,
Γ
где A[U ] = xm
p
p−1
P
j=1
D
∂U
∂U
cos(n, xj ) ∂x
– конормальная производная,
+ cos(n, xp ) ∂x
p
j
n – единичный вектор внешней нормали к границе. Формула (16) называется
первой формулой Грина для оператора T .
Меняя местами U и V в формуле (16), имеем
!
Z
Z Ã X
p−1
∂U
∂V
∂U
∂V
+
dx =
U T [V ]dx +
xm
p
∂xj ∂xj
∂xp ∂xp
j=1
D
D
Z
Z
= U A[V ]dΓ + λ2 xm
p U V dx.
Γ
D
Вычитая это равенство из (16), получаем
Z
Z
[V T [U ] − U T [V ]]dx = [V A[U ] − U A[V ]] dΓ.
D
(17)
Γ
Формула (17) называется второй формулой Грина для оператора T .
Пусть ϕ(x) ∈ C0∞ (E+
p ), x0 ∈ supp ϕ(x) — фиксированная точка, Sx0 ε —
+
+
сфера с центром в точке x0 и радиуса ε такого, что Sx0 ε ⊂ E+
p , SR = {x ∈ Ep :
+
|x| = R, xp > 0} — полусфера в Ep с центром в начале координат, такая,
А. М. Нигмедзианова
26
+
+
что supp ϕ ⊂ Q+
R , где QR — полушар в Ep с центром в начале координат
+
и радиуса R. Через Q+
εR обозначим область, ограниченную полусферой SR ,
сферой Sx0 ε и частью гиперплоскости xp = 0.
Применяя к функциям (15) и ϕ(x) вторую формулу Грина в области Q+
εR ,
получаем
Z
[E(x, x0 )T [ϕ(x)] − ϕ(x)T [E(x, x0 )]]dx =
Q+
εR
=
Z
[E(x, x0 )A[ϕ(x)] − ϕ(x)A[E(x, x0 )]]dSx0 ε ,
Sx0 ε
где A — внутренняя конормаль к сфере Sx0 ε .
Так как в Q+
εR T [E(x, x0 )] = 0, то последняя формула может быть записана
следующим образом:
Z
Z
E(x, x0 )T [ϕ(x)]dx =
[−E(x, x0 )A[ϕ(x)] + ϕ(x)A[E(x, x0 )]]dSx0 ε =
Q+
εR
Sx0 ε
Z
=−
E(x, x0 )A[ϕ(x)]dSx0 ε +
Sx0 ε
(18)
Z
′
′′
ϕ(x)A[E(x, x0 )]dSx0 ε = I ε + I ε ,
Sx0 ε
где A — внешняя конормаль к сфере Sx0 ε .
Вычислим пределы при ε → 0 двух интегралов в правой части последней
формулы. Ясно, что lim I ′ ε = 0. Вычислим предел при ε → 0 интеграла
ε→0
I ′′ ε =
Z
ϕ(x)A[E(x, x0 )]dSx0 ε = −(p − 2)
a 2ν−1−β Cβ (m + 2)β
×
π
Sx0 ε
(19)
µ ¶ µ
¶
Z
β
p−2
−m
−m
1−p
′′
4
ϕ(x)ρxx0 A[ρxx0 ]xp dSx0 ε + J ε .
×Γ
Γ
(xp0 ) 4
2
2
Sx0 ε
Также нетрудно доказать, что
lim J ′′ ε = 0.
ε→0
Вычислим предел интеграла
J
′
ε
µ ¶ µ
¶
m
a 2ν−1−β Cβ (m + 2)β
β
p−2
= −(p − 2)
Γ
Γ
(xp0 )− 4 ×
π
2
2
Z
−m
4
×
ϕ(x)ρ1−p
dSx0 ε
xx0 A[ρxx0 ]xp
Sx0 ε
(20)
Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения 27
при ε → 0. Вычисляя конормальную производную A[ρxx0 ] и пользуясь
формулой Лагранжа f (x) − f (x0 ) = f ′ (x0 + θ(x − x0 ))(x − x0 ), где 0 < θ < 1,
получаем
m
µ ¶ µ
¶
a 2ν−1−β Cβ (m + 2)β
β
p − 2 (xp0 )− 4
′
J ε = −(p − 2)
Γ
×
Γ
π
2
2
ε
p−1
m
m
P
2 + (x + θ(x − x )) 2 x 2 (x − x )2
(x
−
x
)
xm
p
j
j
p
p
p
p
p0
Z
p
0
0
0
×
Sx0 ε
−m
4
j=1
ϕ(x) µ
p−1
P
j=1
(xj − xj0 )2 + (xp0 + θ(xp − xp0 ))m (xp − xp0 )2
¶ p2 xp
dSx0 ε .
Переходя в этих интегралах к обобщенной сферической системе координат

x1 = x10 + r sin φ1 sin φ2 . . . sin φp−2 sin φp−1 ,





x2 = x20 + r cos φ1 sin φ2 . . . sin φp−2 sin φp−1 ,



 x3 = x3 + r cos φ2 . . . sin φp−2 sin φp−1 ,
0
.
.
.
.
.
.
.
.
......................





xp−1 = xp−10 + r cos φp−2 sin φp−1 ,




xp = xp0 + r cos φp−1 ,
( 0 6 r < ∞, 0 6 φ1 < 2π; 0 6 φν 6 π; ν = 2, . . . , p − 1 ) и учитывая, что
элемент поверхности сферы представляется в виде dSx0 ε = εp−1 sin ϕ2 . . .
. . . sinp−2 ϕp−1 dϕ1 . . . dϕp−1 , имеем
m
µ ¶ µ
¶
a 2ν−1−β Cβ (m + 2)β
β
p − 2 (xp0 )− 4
′
Γ
×
Γ
J ε = −(p − 2)
π
2
2
ε
×
×
Zπ
Z2π
0
dϕ1
Zπ
sin ϕ2 dϕ2
0
Zπ
0
sinp−3 ϕp−2 dϕp−2 ×
ϕ(x10 + ε sin ϕ1 . . . sin ϕp−1 , . . . , xp0 + ε cos ϕp−1 )×
0
ס
(xp0 + ε cos ϕp−1 )m ε2 sin2 ϕp−1
ε2 sin2 ϕp−1 + (xp0 + θε cos ϕp−1 )m ε2 cos2 ϕp−1
m
m
¢p +
2
(xp + ε cos ϕp−1 ) 2 (xp0 + θε cos ϕp−1 ) 2 ε2 cos2 ϕp−1
+ ¡ 0
¢p ×
ε2 sin2 ϕp−1 + (xp0 + θε cos ϕp−1 )m ε2 cos2 ϕp−1 2
m
×(xp0 + ε cos ϕp−1 )− 4 εp−1 sinp−2 ϕp−1 dϕp−1 .
А. М. Нигмедзианова
28
Сократив на εp+1 и переходя к пределу при ε → 0, получаем
a 2ν−1−β Cβ (m + 2)β
J ′ = − (p − 2)
Γ
π
...
Zπ
sinp−3 ϕp−2 dϕp−2
Zπ
0
0
где J ′ = lim J ′ ε .
¡
µ ¶ µ
¶
Z2π
m
β
p−2
dϕ1 . . .
Γ
(xp0 ) 2 ϕ(x0 )
2
2
0
sinp−2 ϕp−1 dϕp−1
2
sin2 ϕp−1 + xm
p0 cos ϕp−1
¢p ,
2
ε→0
Учитывая, что
R2π
dϕ1
0
с. 62), имеем
Rπ
sin ϕ2 dϕ2 . . .
0
Rπ
sinp−3 ϕp−2 dϕp−2 =
0
p−3
2
J ′ = −(p − 2)a 2ν−β Cβ (m + 2)β Γ(β/2)π
×
Zπ
0
¡
sinp−2 ϕp−1 dϕp−1
2
sin2 ϕp−1 + xm
p0 cos ϕp−1
Преобразуем последний интеграл в (21):
I=
Zπ
0
¡
sinp−2 ϕp−1 dϕp−1
2
sin2 ϕp−1 + xm
p0 cos ϕp−1
Zπ/2
=2
0
=2
−m
xp0 2
Zπ/2
0
Используя замену
¢p = 2
2
Zπ/2
0
¡
m
2
2
sin2 ϕp−1 + xm
p0 cos ϕp−1
−m
(xp0 2 tg ϕp−1 )p−2 d((xp0 2 tg ϕp−1 )
.
´p
³ −m
2
2
2
(xp0 tg ϕp−1 ) + 1
−m
xp0 2 tg ϕp−1 = t,
ϕp−1 = 0, t = 0,
π
ϕp−1 = , t = ∞,
2
I=
−m
2xp0 2
Z∞
0
tp−2 dt
p
(1 + t2 ) 2
.
(21)
¢p .
sinp−2 ϕp−1 dϕp−1
−m
([8],
(xp0 ) 2 ϕ(x0 )×
tgp−2 ϕp−1 d(tg ϕp−1 )
=
¢p
¡ 2
2
tg ϕp−1 + xm
p0
получаем
p−1
2π 2
Γ( p−1
2 )
¢p =
2
Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения 29
С помощью известной формулы
Z∞
1
xµ−1 dx
=
ν
n+1
(p + qx )
νpn+1
0
µ ¶µ ¡µ¢ ¡
p ν Γ ν Γ n+1−
q
Γ(n + 1)
имеем
I=
−m
2xp0 2
1 Γ
2
µ¢
ν
,
0<
µ
< n + 1,
ν
¡ p−1 ¢ ¡ 1 ¢
2¡ Γ
¢ 2 .
Γ p2
Подставляя полученное выражение в (21), имеем
³ ´ ¡
¢
β
Γ
Γ p−1
p−2
2
2
¡ ¢
J ′ = −(p − 2)a 2ν−β Cβ (m + 2)β π 2
ϕ(x0 ).
Γ p2
(22)
Находим нормирующую константу:
Γ
a=
(p −
2)2ν−β π
p−3
2
¡p¢
2
(m + 2)β Γ
³
β+1
2
´ ¡
¢.
Γ p−1
2
Следовательно, имеет место следующее предельное соотношение:
Z
lim
ϕ(x)A[E(x, x0 )]dSx0 ε = −ϕ(x0 ).
ε→0
(23)
(24)
Sx0 ε
Переходя к пределу в (18) при ε → 0 и R → ∞, с учетом (23), предельных
соотношений (20), (22) и финитности функции ϕ(x), получаем (1).
Таким образом, фундаментальное решение уравнения (1) с особенностью
в точке x0 представляется в виде
¢ ¡p¢
¡
Γ 2
Γ p−2
−m
∗
2
E(x, x0 ) =
¡ p−1 ¢ (xp xp0 ) 4 ρ2−p
p
xx0 + E (x; x0 ),
2
(p − 2) 2π Γ 2
где E ∗ (x, x0 ) – регулярная функция в E+
p.
Нетрудно доказать, что для фундаментального решения E(x, x0 ) имеют
место следующие асимптотические формулы:
³ − m −(p−2) m+2 ´
2
при xp → 0,
E(ξ, x) = O xp 4
³ − m −1−(p−2) m+2 ´
∂E(ξ, x)
2
при xp → 0,
= O xp 4
(25)
∂xp
³ − m −(p−1) m+2 ´
∂E(ξ, x)
2
= O xp 4
при ξp → 0,
∂xp
q
³
´
¡ −p ¢
−(p−2)
E(x, x0 ) = O ρx0
, A[E(x, x0 )] = O ρx0 , r = x21 + . . . + x2p → ∞,
А. М. Нигмедзианова
30
где
ρ2x0
=
p−1
X
x2j
j=1
+
µ
2
m+2
¶2
xm+2
.
p
3. Интегральное представление решения уравнения (1)
и вытекающие из него свойства
Пусть функция U (x) ∈ C 2 (D) ∩ C01 (D) — решение уравнения (1) в
области D.
Зададим в области D произвольную точку x0 . Вырежем эту точку шаром
Qx0 ε . Радиус ε возьмем столь малым, чтобы шар Qx0 ε целиком находился внутри области D. В области Dε = D \ Qx0 ε фундаментальное решение
E(x, x0 ) уравнения (1) принадлежит классу C 2 (Dε ) ∩ C01 (Dε ) и в силу (25)
удовлетворяет условию
∂E(x, x0 ) ¯¯
= 0.
(26)
¯
∂xp
xp =0
Применяя к функциям U (x) и E(x, x0 ) вторую формулу Грина для
оператора T в области Dε , с учетом условия (26) получим
Z
[E(x, x0 )A[U (x)] − U (x)A[E(x, x0 )]]dΓ =
=
Z
Γ
(27)
[E(x, x0 )A[U (x)] − U (x)A[E(x, x0 )]]dSx0 ε = I1ε − I2ε .
Sx0 ε
Ясно, что lim I1ε = 0. Интеграл I2ε имеет такой же вид, что и интеграл
ε→0
(19). Аналогично доказательству, проведенному для этого интеграла,
lim I2ε = −U (x0 ).
ε→0
(28)
Переходя к пределу при ε → 0 в формуле (27), с учетом (28) получаем
Z
[E(x, x0 )A[U (x)] − U (x)A[E(x, x0 )]]dΓ = U (x0 ).
(29)
Γ
Из интегрального представления (29) вытекают следующие свойства решений уравнения (1):
10 . Существуют решения U (x) уравнения (1) в области D, удовлетворяющие условию
³ − m −(p−2) m+2 ´
2
U (x) = O xp 4
при xp → 0.
(30)
Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения 31
20 . Существуют решения U (x) уравнения (1) в области De = E+
p \D,
удовлетворяющие условию
q
³
´
−(p−2)
U (x) = O ρx0
при r = x21 + . . . + x2p → ∞,
где
ρ2x0
=
p−1
X
x2j +
j=1
4
xm+2 .
(m + 2)2 p
30 . Принцип максимума, вытекающий из интегрального представления
(29), сформулируем в виде теоремы:
Теорема (принцип максимума).
Пусть U ∈ C 2 (D) ∩ C(D) —
решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (30), тогда функция
U (x) достигает своего положительного наибольшего и отрицательного
наименьшего значений на границе Γ, если она тождественно не равна
нулю.
Доказательство. Пусть функция U ∈ C 2 (D) ∩ C(D) удовлетворяет
уравнению (1), условию (30) и достигает своего наибольшего положительного
значения U0 в некоторой внутренней точке M0 (x0 ) области D, т.е. существует
δ-окрестность Qx0 δ точки x0 (шар), где
U (x) < U (x0 ) = U0
x 6= x0
,
U (x) > 0.
(31)
Полагая в интегральном представлении (29) Γ = Sx0 δ , где Sx0 δ — сфера с
центром в точке x0 радиуса δ, получаем
Z
Z
U (x0 ) =
E(x, x0 )A[U (x)]dSx0 δ −
U (x)A[E(x, x0 )]dSx0 δ = I1δ + I2δ .
Sx0 δ
Sx0 δ
(32)
Здесь конормаль A — внешняя по отношению к сфере Sx0 δ , E(x, x0 ) > 0 и
U (x) > 0 в силу (31), поэтому A[U (x)] < 0, A[E(x, x0 )] < 0 и, следовательно,
I1δ < 0 и I2δ > 0.
В силу (24)
Z
lim I1δ = lim
E(x, x0 )A[U (x)]dSx0 δ = 0,
δ→0
δ→0
Sx0 δ
lim I2δ = lim
δ→0
Z
δ→0
Sx0 δ
U (x)A[E(x, x0 )]dSx0 δ = U (x0 ) = U0 .
Значит, при δ → 0 I1δ возрастая стремится к нулю, а I2δ возрастая стремится
к U0 . Отсюда следует, что
I1δ < 0,
I2δ < U0 .
(33)
А. М. Нигмедзианова
32
Заменяя в правой части формулы (32) во втором интеграле U (x) на U0 и
учитывая оценки (33), получаем U0 < I2δ < U0 , т.е. U0 6= U0 .
Полученное противоречие доказывает справедливость первого утверждения теоремы. Второе утверждение доказывается переходом от U к −U . При
этом наименьшее отрицательное значение переходит в наибольшее положительное значение.
Следствие. Если функция U ∈ C 2 (D) ∩ C(D) — решение уравнения (1),
удовлетворяющее условию (30), то
|U (x)| 6 max |U (x0 )|, x ∈ D.
x0 ∈Γ
¯
¯
В частности, если U (x)¯ = 0, то U (x) ≡ 0 в D.
Γ
Список литературы
1. Нигмедзянова А. М. Решение основных краевых задач для вырождающихся
эллиптических уравнений методом потенциалов: дис. ... канд. физ.-мат. наук:
01.01.02. Казань, 2007.
2. Нигмедзянова А. М. Исследование основных краевых задач для одного
вырождающегося эллиптического уравнения методом потенциалов // Изв.
вузов. Математика. 2007. №1 (536). С.34–44.
3. Нигмедзянова А. М. Интегральное представление решения одного
многомерного вырождающегося эллиптического уравнения второго рода //
Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып.2. С.72–82.
4. Нигмедзянова А. М. Решение краевых задач N для одного многомерного
вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом
интегральных уравнений // Изв. Смоленского государственного университета.
2012. Вып.4. С.363–374.
5. Нигмедзянова А. М. Интегральное представление решения одного
многомерного вырождающегося эллиптического уравнения первого рода с
отрицательным параметром // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.1.
С.28–42.
6. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч.1. М.: ИЛ, 1949.
7. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М.: Физматгиз, 1963.
8. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М.:
Наука, 1966.
Нигмедзянова Айгуль Махмутовна (aigmani@rambler.ru), к.ф.-м.н.,
доцент, кафедра высшей математики и математического моделирования,
Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского, Казанский
(Приволжский) федеральный университет.
Интегральное представление решения вырождающегося эллиптического уравнения 33
Integrated representation of the solution of one
multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind
with positive parameter
A. M. Nigmedzianova
Abstract. The fundamental solution for the multidimensional degenerating
elliptic equation of the first kind with positive parameter is under construction.
Integrated representation of the solution of the equation is given.
Keywords: multidimensional degenerating elliptic equation of the first kind
with positive parameter, fundamental solution.
Nigmedzianova Aigul (aigmani@rambler.ru), candidate of physical and
mathematical sciences, assistant professor, department of higher mathematics
and mathematical design, Institute of mathematic and mechanic after N.I.
Lobachevsky, Kazan (Volga Region) Federal University.
Поступила 01.08.2014
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа