close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование модельных систем социально-экономической динамики.

код для вставкиСкачать
УДК 53:630.11
В.В. АНДРЕЕВ, Е.Б. ВАСИЛЬЕВА
ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
Введение
В социальной и экономической сфере большое значение имеет построение
математических моделей, с помощью которых можно адекватно описать многообразие процессов, протекающих в них. Важность таких моделей заключается в возможности прогнозирования на их основе конечных результатов
эволюции тех или иных социально-экономических явлений. Следует отметить, что прогнозирование является ключевым элементом при принятии тех
или иных решений. Возможность предсказать до принятия решения нежелательные и неуправляемые аспекты событий позволяет сделать наиболее оптимальный выбор.
Целенаправленное изменение состояния сложной системы, какой является социально-экономическая система, может происходить не только при изменении значений большого количества разнообразных параметров. Во многих случаях такие системы очень чувствительны к начальному состоянию. Из
этого следует, что, приступая, например, к реформам в обществе, важно определить и момент их начала.
В данной работе исследованы 2 математические модели, относящиеся к
классу так называемых моделей «хищник-жертва».
Модель 1. Рассмотрим следующую систему, состоящую из подсистем
(или популяций) X1 и X 2 . Обозначим через x1 и x 2 численности подсистем
X 1 и X 2 соответственно. Предположим, что подсистема X 1 увеличивается
пропорционально ее численности x1 . Однако при большой населенности эта
популяция X 1 вымирает пропорционально квадрату ее численности и
обратно пропорционально количеству элементов x 2 другой популяции X 2 .
Таким образом, X 2 играет роль подсистемы, которая подпитывает
популяцию X 1 «жизненной энергией». В данном случае, чем больше
величина x 2 , тем менее интенсивно идет процесс вымирания популяции X 1 .
Пусть населенность подсистемы X 2 возрастает пропорционально величине
x1 и обратно пропорционально x 2 . В то же время данная популяция X 2
вымирает пропорционально квадрату численности x1 подсистемы X 1 . Из
этого следует, что с ростом населенности подсистемы X 1 происходит
снижение жизненного потенциала другой подсистемы X 2 . Тогда динамика
развития подобной системы описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
d x1
x1 2
= α x1 − β
= f1 ( x1 , x 2 ) ,
dt
x2
d x2
x
= γ 1 − δx12 = f 2 ( x1 , x 2 ) .
(1)
dt
x2
Здесь коэффициенты α , β , γ и δ являются положительными и
предполагаются независящими от времени.
Определим равновесные или стационарные решения системы. Для этого
необходимо приравнять нулю правые части системы дифференциальных
уравнений (1):
x
x2
2
α x1∞ − β 1∞ = 0 , γ 1∞ − δ x1∞ = 0 .
(2)
x 2∞
x 2∞
Очевидно, что система уравнений (2) выполняется при x1∞ = 0 для любых
значений x 2∞ . С учетом этого преобразуем уравнения системы (2) к виду:
γ
x
− δ x1∞ = 0 .
α − β 1∞ = 0 ,
(3)
x 2∞
x 2∞
Из второго уравнения системы (3) выразим величину x1∞ через x 2∞ :
γ
x1∞ =
.
δ x 2∞
(4)
Уравнение (4) подставляем в первое уравнение системы (3) и находим x2∞ :
α x 2∞ −
βγ
βγ
βγ
= 0⇒ x2 =
⇒ x 2∞ = ±
.
2
∞
δ x 2∞
αδ
αδ
(5)
Подставим выражение (5) в формулу (4) и находим величину x1∞ :
x1∞ = ±
αγ
βδ
.
(6)
Таким образом, исследуемая система имеет точки равновесия,
определяемые по формулам (5) и (6), а также x1∞ = 0 с соответствующей
произвольной точкой безразличного равновесия x 2∞ .
Исследуем поведение рассматриваемой системы вблизи точек равновесия.
Для этого произведем линеаризацию системы дифференциальных уравнений
(1). Произведем для этого в системе (1) следующие замены:
x i = x i∞ + yi , i = 1, 2 .
(7)
Здесь величины y i являются малыми отклонениями вблизи соответствующих
точек равновесия x i ∞ . Тогда, при пренебрежении в этих уравнениях (1) членами
второго и более высоких порядков малости, с учетом уравнений (2) получим
следующую линейную систему дифференциальных уравнений:
x
d y1 ⎛
= ⎜⎜ α − 2 β 1∞
x 2∞
dt
⎝
⎞
βx 2
⎟⎟ y1 + 1∞ y 2 ,
x 22∞
⎠
⎞
d y2 ⎛ γ
γx
= ⎜⎜
− 2δ x1∞ ⎟⎟ y1 − 21∞ y 2 .
(8)
dt
x 2∞
⎠
⎝ x 2∞
Для системы линейных дифференциальных уравнений (8) запишем
характеристическое уравнение:
β x12∞
2 β x1∞
α−
−λ
x 2∞
x 22∞
=0.
(9)
γ x1∞
γ
− 2δ x1∞
− 2 −λ
x 2∞
x 2∞
Выражение (9) в развернутом виде запишется так:
⎛
2 β x1∞ γ x1∞ ⎞⎟
α γ x1∞ β γ x12∞ 2βδ x13∞
2 ⎜
=0.
λ + −α+
+ 2 λ− 2 + 3 +
⎜
x 2∞
x 2∞ ⎟⎠
x 2∞
x 2∞
x 22∞
⎝
Следовательно, корни характеристического уравнения будут равны:
(10)
1⎛
2 β x1∞ γ x1∞ ⎞⎟
λ1, 2 = − ⎜ − α +
+ 2
±
⎟
2⎜
x2 ∞
x
2
∞
⎝
⎠
±
1
4 α β x1∞ 2 α γ x1∞ 4 β 2 x12∞ γ 2 x12∞ 8 β δ x13∞
α2 −
+
+
+ 4 −
.
2
x2 ∞
x22 ∞
x22∞
x2 ∞
x22∞
(11)
Вычисление корней λ характеристического уравнения (9) или (10)
необходимо, в частности, для того, чтобы определить устойчивость решений
исходной модели (1). Известно, если действительная часть хотя бы одного из
корней характеристического уравнения положительная, то в такой системе не
устанавливается равновесный или стационарный режим.
Построим зависимости действительных и мнимых частей корней (11)
характеристического уравнения (9) (или (10)) от параметров модели α , β , γ
и δ с использованием пакета MATLAB. Полученные зависимости
представлены на рис.1-3. При этом исходные значения параметров модели
были заданы следующими: α = 1 , β = 4 , γ = 5 , δ = 10 . При построении
соответствующих зависимостей указанные параметры поочередно менялись
на некотором интервале.
Система дифференциальных уравнений (1) также решалась в среде
MATLAB. Кроме того, были построены фазовые портреты и спектры
мощности, соответствующие функциям x1 (t ) и x 2 (t ) , а также
автокорреляционные функции для x1 (t ) и x 2 (t ) .
а
б
Рис. 1. Зависимость корней характеристического уравнения
от параметра α в случае знака «плюс» в выражениях (5) и (6)
а
б
Рис. 2. Зависимость корней характеристического уравнения
от параметра α в случае знака «минус» в выражениях (5) и (6)
а
б
Рис. 3. Зависимость корней характеристического уравнения
от параметра α в случае x1∞ = 0 (при этом x 2∞ является произвольным)
Из рис.1 видно, если параметр α находится на интервале от 0 до
значения около 40, то собственные значения характеристического уравнения
содержат мнимую часть. Действительные части корней при этом всегда
отрицательные. Следовательно после колебательно-переходного процесса
некоторой длительности система приходит в стационарное (или равновесное)
состояние. Это показано на рис.4. В данном случае система приходит в
следующее стационарное состояние: x1∞ = 0,3536 , x 2∞ = 1,4142 .
При изменении знака в выражениях (5) и (6), определяющих
стационарные состояния исследуемой системы, с «плюса» на «минус», как
видно из рис.2, корни характеристического уравнения не содержат мнимой
части, а действительная часть корня λ 2 положительная и возрастает с
увеличением значения параметра α . Следовательно, в данном случае
стационарные
состояния
системы будут неустойчивыми. Также
неустойчивыми являются стационарные состояния системы в случае
безразличного равновесия по составляющей x 2 , т.е. при x1∞ = 0 и значение
x 2∞ произвольное (см. рис.3).
Таким образом, исследуемая система имеет несколько стационарных
состояний, среди которых есть устойчивые и неустойчивые. Поэтому данная
система должна быть чувствительна к изменению начальных условий.
Например, зависимости x1 (t ) и x 2 (t ) при начальных условиях x1 (0) = 0,001 и
x 2 (0) = −0,1 представлены на рис.5.
Рис. 4. Зависимости величин x1 и
x 2 от времени t для значений
параметров α = 1 , β = 4 , γ = 5 ,
δ = 10
и начальных условий
x1 (0) = 1 и x 2 (0) = 2
Рис. 5. Зависимости величин x1 и
x 2 от времени t для значений
параметров α = 1 , β = 4 , γ = 5 ,
δ = 10
и начальных условий
x1 (0) = 0,001 и x 2 (0) = −0,1
Разработанная в среде MATLAB программа, предназначенная для
исследования рассмотренной модели, позволяет получить также зависимости
корней характеристического уравнения (9) (или (10)) и от других параметров
модели β , γ и δ .
Модель 2. Исследуем динамику системы, представленной на рис. 6. Она
состоит из двух взаимодействующих между собой частей A и B . Внутренняя
область B может увеличиваться за счет захвата участка области A , еще не
занятого B . Будем считать, что скорость расширения площади области B
пропорциональна длине ее границы 2π x 2 и величине x1 − x 2 , т.е. α (x1 − x 2 ) x 2 .
Площадь области A тогда будет уменьшаться с такой же скоростью.
Также предположим, что указанные составляющие A и B целостной
системы могут увеличивать свои площади за счет подпитки извне со
скоростями β x12 и γ x 22 соответственно.
x1
A
B
x2
Рис. 6. Иллюстрация взаимодействия подсистем A и B ,
составляющих целостную систему
С учетом сказанного, динамика системы, представленной на рис. 6,
описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
d S1
= −α (x1 − x 2 )x 2 + β x12 ,
dt
dS2
= α (x1 − x 2 )x 2 + γ x 22 .
dt
Здесь
S1
и
S2
– площади областей
A
и
(12)
B
соответственно. В
рассматриваемом случае эти площади S1 и S 2 пропорциональны величинам
x12 и x 22 соответственно. Следовательно, получим
d S1
d x1
~ x1
,
dt
dt
dS2
d x2
~ x2
.
dt
dt
Тогда с учетом последних формул система дифференциальных уравнений
(12) примет вид:
dx
x1 1 = −α (x1 − x 2 )x 2 + β x12 ,
dt
x2
d x2
= α (x1 − x 2 )x 2 + γ x 22 .
dt
(13)
Здесь коэффициенты α , β и γ являются положительными параметрами
модели.
Определим равновесные или стационарные решения системы. Для этого
необходимо приравнять нулю правые части указанной системы
дифференциальных уравнений (13). В результате система алгебраических
уравнений, решение которой определяет точку равновесия, имеет вид:
− α x1 ∞ − x 2 ∞ x 2 ∞ + β x12∞ = 0 ,
(
(
)
)
α x1 ∞ − x 2 ∞ x 2 ∞ + γ x 22 ∞ = 0 .
(14)
Очевидно, что одним из решений системы алгебраических уравнений (14)
является следующий результат:
(15)
x1 ∞ = 0 , x 2 ∞ = 0 .
Анализ системы алгебраических уравнений (14) показывает, что она других
решений, кроме (15), не имеет.
Исследуем поведение системы вблизи точки равновесия. Для этого
линеаризуем вблизи состояния равновесия, определяемого выражениями (15),
систему дифференциальных уравнений (13) с помощью замен (7). Тогда, при
пренебрежении в этих уравнениях членами второго и более высоких
порядков
малости,
получим
следующую
линейную
систему
дифференциальных уравнений:
d y1
y
= − α ( y1 − y 2 ) 2 + β y1 ,
dt
y1
d y2
= α y 1 + (γ − α ) y 2 .
dt
В полученной системе дифференциальных уравнений величины y1 и y 2 имеют
одинаковый порядок малости, поэтому приближенно положим y 2 y1 ~ 1 . Тогда
получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений:
d y1
= β y1 ,
dt
d y2
= α y 1 + (γ − α ) y 2 .
dt
(16)
Для системы линейных дифференциальных уравнений (16) составим
характеристическое уравнение:
β−λ
α
0
= 0 ⇒ (β − λ )(γ − α − λ ) = 0 .
γ−α−λ
(17)
Уравнение (17) имеет следующие решения: λ 1 = β , λ 2 = γ − α .
Таким образом, исследуемая система имеет решения, сходящиеся к
равновесному состоянию, определяемому соотношениями (15), при
выполнении неравенств:
β < 0, γ < α .
(18)
Численные решения системы дифференциальных уравнений (13) для
различных значений параметров модели α , β и γ представлены на рис.7-10.
Рис. 7. Зависимости величин x1 и
x 2 от времени t для значений
α =1,
β = −0,05 ,
параметров
γ = 0,04 и начальных условий
x1 (0) = 3 , x 2 (0) = 1
Рис. 8. Зависимости величин x1 и
x 2 от времени t для значений
α =1,
β = 0,05 ,
параметров
γ = 0,04 и начальных условий
x1 (0) = 3 , x 2 (0) = 1
Рис. 9. Зависимости величин x1 и
x 2 от времени t для значений
параметров α = 0,03 , β = −0,05 ,
γ = 0,04 и начальных условий
x1 (0) = 3 , x 2 (0) = 1
Рис. 10. Зависимости величин x1 и
x 2 от времени t для значений
параметров α = 0,03 , β = 0,05 ,
γ = 0,04 и начальных условий
x1 (0) = 3 , x 2 (0) = 1
Из анализа рис.7-10 следует, что при не выполнении условий (18)
функции x1 (t ) и x 2 (t ) увеличиваются со временем t . Разница заключается в
том, что при отрицательных значениях параметра β начиная с некоторого
момента времени функция x1 (t ) идет ниже функции x 2 (t ) (см. рис.7 и 9).
Из формул (18) вытекает, что значение параметра β = 0 является
критическим. При положительных его величинах решения системы (13)
неустойчивы, а при отрицательных – устойчивы в случае справедливости
неравенства γ < α . Ввиду этого представляет интерес проанализировать
решения системы дифференциальных уравнений (13) при целенаправленном
управлении значением β по определенному закону. На рис.11 представлены
зависимости x1 (t ) и x 2 (t ) для случая, когда указанный параметр β меняется во
времени так:
β = −2 + sin( 2π t ) .
(19)
При этом значение величины β все время остается отрицательным и,
следовательно, выполняются условия (18) для любого момента времени. Из
рис.11 видно, что решения со временем приближаются к равновесному
состоянию, определяемому соотношениями (15).
Зависимости x1 (t ) и x 2 (t ) для случая, когда происходит периодический
процесс перехода значения параметра β через критическую величину,
равную нулю, в соответствии с законом
β = sin( 2π t )
(20)
показаны на рис.12. Здесь также выполняется условие γ < α . В данном
случае рис.12 в отличие от предыдущего рис.11 решения убегают от
равновесного.
Рис. 11. Зависимости величин x1 и
x 2 от времени t для значений
параметров α = 1 , γ = 0,04 ( β
задается
формулой
(19))
и
x1 (0) = 3 ,
начальных условий
x 2 (0) = 1
Рис. 12. Зависимости величин x1 и
x 2 от времени t для значений
параметров α = 1 , γ = 0,04 ( β
задается
формулой
(20))
и
x1 (0) = 3 ,
начальных условий
x 2 (0) = 1
Аналогичные зависимости x1 (t ) и x 2 (t ) для случая, когда параметр β
всегда положителен и меняется во времени в соответствии с законом
β = 2 + sin( 2π t ) ,
представлены на рис.13.
(21)
Рис. 13. Зависимости величин x1 и x 2 от времени t
для значений параметров α = 1 , γ = 0,04 ( β задается формулой (21))
и начальных условий x1 (0) = 3 , x 2 (0) = 1
АНДРЕЕВ ВСЕВОЛОД ВЛАДИМИРОВИЧ родился в 1964 г. Окончил
Чувашский государственный университет. Кандидат физико-математических
наук, доцент кафедры управления и информатики в технических системах
Чувашского университета. Автор более 160 научных работ, включая 3 учебных
пособия и монографию, в области математического моделирования систем.
ВАСИЛЬЕВА ЕКАТЕРИНА БОРИСОВНА родилась 1984 г. Магистрант
первого года обучения кафедры управления и информатики в технических
системах Чувашского государственного университета.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
205 Кб
Теги
динамика, экономическая, модельный, социальная, система, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа