close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника.

код для вставкиСкачать
2005
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 1 (512)
УДК 517.958:532.546
О.А. ЗАДВОРНОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ
ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА
Введение
Данная работа посвящена исследованию математической модели нелинейной стационарной
задачи фильтрации несжимаемой жидкости в произвольной ограниченной области при наличии
точечного источника, в частности, задачи фильтрации с предельным градиентом сдвига. Относительно функции, определяющей закон фильтрации, предполагается, что она имеет линейный
рост на бесконечности. В случае, когда область имеет специальный вид, указанная задача имеет решение (напр., [1], [2]). В [3] в случае произвольной ограниченной области устанавливается существование обобщенного решения задачи с законом фильтрации, задаваемым функцией,
имеющей степенной (в том числе и линейный) рост на бесконечности. При этом обобщенная
задачаформулируется в виде уравнения с оператором, действующим из соболевского пространства (W (1)
2 (
) | в случае линейного роста, | область фильтрации) в сопряженное к нему,
и соответственно рассматривается ситуация, когда функция, описывающая плотность внешних
источников, определяет линейный, непрерывный функционал над соболевским пространством.
В данной работе используется подход, примененный в [3], для исследования нелинейного стационарного уравнения фильтрации с менее гладкой правой частью: в неодномерном случае дельтафункция,
моделирующая точечный источник, не принадлежит пространству, сопряженному к
(1)
W 2 (
).
1. Формулировка вариационной задачи
Рассматривается стационарная задача фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному закону фильтрации
w = ;g(jrvj)jrvj;1 rv;
где w | поле скоростей фильтрации, v | поле давлений жидкости. Фильтрация происходит в
области Rn , n 2, с липшиц-непрерывной границей ;, на которой давление считается равным нулю, при наличии точечного источника с интенсивностью q в начале координат (считаем,
что начало координат | внутренняя точка ). Указанный процесс фильтрации описывается
следующей краевой задачей:
jrv(x)j) rv(x) = q(x); x 2 ;
(1)
;div g(jr
v(x)j
v(x) = 0; x 2 ;:
(2)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(коды проектов ЄЄ 03-01-00380, 04-01-00821) и Конкурсного центра фундаментального естествознания
Министерства образования и науки Российской Федерации (код проекта Є Е02-1.0-189).
58
Считаем, что функция g, определяющая закон фильтрации, представима в виде
(
0;
s < s0 ;
g(s) = (3)
g (s ; s0 ); s s0 ;
s0 0 | заданное число (случай s0 > 0 соответствует закону фильтрации с начальным градиентом s0 ). Относительно функции g : [0; +1) ! R1 предполагаются выполненными условия
g (0) = 0; g (s) > g (t) 8s > t 0;
(4)
9k > 0; s 0 : g (s ) ks ; g (s) ; g (t) k(s ; t) 8s t s ;
(5)
9L > 0 : g (s) ; g (t) L(s ; t) 8s t 0:
(6)
n
n
Определим по функции g оператор G : R ! R следующим образом:
(
g(jyj)jyj;1 y; y 6= 0;
Gy =
(7)
0;
y = 0:
Под решением задачи (1), (2) будем понимать такую функцию v 2 W (1)
1 (
), что выполнено
следующее вариационное равенство:
Z
(G(rv(x)); r(x))dx = q(0) 8 2 C01 (
):
(8)
2. Существование обобщенного решения
Исследуем сначала частный случай задачи (8) при = Br = fx 2 Rn : jxj < rg, ; = Sr =
fx 2 Rn : jxj = rg. Пусть требуется
Z
найти v 2 W (1)
1 (B r ) :
Br
(G(rv(x)); r(x))dx = q(0) 8 2 C01 (Br ):
(9)
Решение задачи (9) можно записать в явном виде [1]. С этой целью введем обратную к g
функцию h . Из условий (4){(6) следует, что такая функция существует, непрерывна и удовлетворяет следующим неравенствам:
h (s) ; h (t) L;1 (s ; t) при s t 0;
h (s) ; h (t) k;1 (s ; t) при s t h(s ):
(10)
Определим функцию
h(s) = h (s) + s
(11)
и введем функцию
pr (s) =
Z r
q
d; где 1 = mes S1 :
1 (n;1)
Убедимся, что функция vr : Br ! R1, vr (x) = pr (jxj), является решением задачи (9).
При x 6= 0 имеем
rvr (x) = jxxj h jxqj(n;1) :
1
Из (10), (11) следует, что существует такое C > 0, при котором выполнена оценка
h(s) k;1 s + C при s 0:
s
h
Используя это неравенство, получаем
jrvr (x)j kjxqj(n;1) + C;
1
59
(12)
а значит, vr 2 W (1)
1 (Br ).
Далее, из (3) и (11) при s > 0 следует равенство g(h(s)) = s, в силу которого
Z
Z
(G(rv(x)); r(x))dx = ;q (x; r(x)) dx = q(0) 8 2 C 1 (B ):
Br
Br
1 jxjn
0
r
Выберем r настолько большим, что Br . Поскольку точка 0 является внутренней для ,
то найдется такое " > 0, что ; Br n B" . Из неравенства (12) следует vr 2 W2(1)(Br n B" ) и, таким
образом, найдется функция v; 2 W2(1)(
), для которой выполнено условие
v; (x) = ;vr (x); x 2 ;:
Решение задачи (8) будем искать в виде v = vr + v; + u, где u 2 W (1)
2 (
) | неизвестная функция. Поскольку C01 (
) C01 (Br ), то с учетом равенства (9) задача (8) сводится к следующей:
найти такую функцию u 2 W (1)
2 (
); что будет выполняться равенство
Z
Известна
Лемма 1
([4]).
(13)
(G(r(vr + v; + u)) ; G(rvr ); r) dx = 0 8 2 C01 (
):
Оператор
G, определенный в (7), удовлетворяет условию
jGy ; Gzj2 L(Gy ; Gz; y ; z) 8y; z 2 Rn;
т. е.
G
| обратно сильно монотонный с константой
непрерывный с константой
L.
Лемма 2. Пусть для функции
1=L > 0
g0 : [0; +1) ! [0; +1)
(14)
и, следовательно, липшиц-
существуют такие
>0
и
s
0
,
что выполнены неравенства
Тогда оператор
g0 (s) ; g0 (t) (s ; t) при s t s;
g0 (s ) s; 0 g0 (s) g0 (s ) при 0 s s :
G0 , определенный по функции g0 в соответствии с (7),
(15)
(16)
удовлетворяет нера-
венству
(G0 y ; G0 z; y ; z ) jy ; z j2 ; 2cjy ; z j 8y; z 2 Rn ;
и, следовательно, для произвольного " 2 (0; ) | неравенству
(G0 y ; G0 z; y ; z ) ( ; ")jy ; z j2 ; c2 ";1 8y; z 2 Rn ;
(17)
(18)
где
c = 0max
jg (s) ; g0 (s)s; 1sj 2g0 (s):
ss 0
(19)
Пусть
(
g0 (s) ; g0 (s )s; 1 s; s < s ;
g (s )s;1 s; s < s ;
g1 (s) =
g2 (s) = 0 0;
s s ;
g0 (s);
s s ;
и Gi , i = 1; 2, | соответствующие функциям g1 (s), g2 (s) операторы, определенные согласно (7).
Из условий (15) и (16) получаем, что при s t s и s s t 0 функция g2 удовлетворяет
неравенству
g2 (s) ; g2 (t) (s ; t):
(20)
Доказательство.
(
60
При s s t 0
g2 (s) ; g2 (t) = g2 (s) ; g2 (s ) + g2 (s ) ; g2 (t) (s ; s ) + (s ; t) = (s ; t);
следовательно, неравенство (20) выполнено при s t 0. В силу (20), а также неравенствa
Коши{Буняковского
g2 (jyj)
g2 (jz j)
2
(G y ; G z; y ; z ) ; jy ; z j =
y;
z; y ; z ; (y ; z; y ; z ) =
jyj
jzj
= (g2 (jyj) ; jyj)jyj + (g2 (jz j) ; jz j)jz j ; [(g2 (jyj) ; jyj)jz j + (g2 (jz j) ; jz j)jyj] j(yy;j jzz)j (g2 (jyj) ; jyj)jyj + (g2 (jzj) ; jzj)jzj ; [(g2 (jyj) ; jyj)jzj + (g2 (jzj) ; jzj)jyj] =
= (jyj ; jz j)[(g2 (jyj) ; g2 (jz j)) ; (jyj ; jz j)] 0:
2
2
Таким образом, выполнено неравенство
(G2 y ; G2 z; y ; z ) jy ; z j2 8y; z 2 Rn :
(21)
Из определения функции g1 имеем max
jg1 (s)j = 0max
jg (s) ; g0(s)s; 1sj = c. Пользуясь
s0
ss 0
последним равенством, получаем оценку
j(G1y ; G1z; y ; z)j jG1yj jy ; zj + jG1zj jy ; zj = (jg1 (jyj)j + jg1 (jzj)j)jy ; zj 2cjy ; zj:
Итак, выполнено неравенство
(G1 y ; G1z; y ; z ) ;2cjy ; z j 8y; z 2 Rn :
(22)
Поскольку g0 = g1 + g2 , и, значит, G0 = G1 + G2 , то из неравенств (21), (22) следует
(G0 y ; G0 z; y ; z ) = (G1 y ; G1 z; y ; z ) + (G2 y ; G2z; y ; z ) jy ; z j2 ; 2cjy ; z j;
т. е. (17) имеет место.
Далее, для всех 2 R1 и " > 0 имеем неравенство "2 ; 2c + c2 ";1 0, следовательно для
любого справедливо 2 ; 2c ( ; ")2 ; c2 ";1 . Пользуясь последним неравенством, из (17)
получаем (18).
Пусть, далее, V = W (1)
2 (
) | пространство Соболева со скалярным произведением и соответствующей ему нормой
Z
(u; v)V = (ru; rv)dx; kukV =
Z
jruj
1=2
2 dx
; u; v 2 V:
Определим форму a : V V ! R1 следующим образом:
a(u; ) =
Z
(G(r + r + ru) ; G(r); r)dx; u; 2 V;
(23)
где G | оператор, определенный в (7), а 2 W1(1) (
), 2 W2(1) (
) | заданные функции. Форма
(23) линейна по второму аргументу. В силу леммы 1 выполняется неравенство jG(r + r +
ru) ; G(r)j Ljr + ruj для всех x 2 , следовательно
ja(u; )j 1=2 Z
Z
jG(r + r + ru) ; G(r)j2 dx
1=2
jrj2 dx
Lk + ukV kkV < +1;
(24)
что означает непрерывность формы a по второму аргументу. Поэтому эта форма порождает
оператор T : V ! V ,
(T u; )V = a(u; ) 8u; 2 V:
(25)
61
Из оценки (24) получаем
kT uk2V = (T u; T u)V Lk + ukV kT ukV
и, таким образом, выполнено неравенство kT ukV Lk + ukV , а значит, оператор T является
ограниченным.
Лемма 3. Оператор
T , определенный в (25), удовлетворяет условию
kT u ; T vk2V L(T u ; T v; u ; v)V 8u; v 2 V;
т. е.
T
(26)
1=L > 0.
Из определений (23), (25) и неравенства (14) вытекает
| обратно сильно монотонный оператор с константой
Доказательство.
L(T u ; T v; u ; v)V =
Z
L(G(r + r + ru) ; G(r + r + rv); ru ; rv)dx Z
jG(r + r + ru) ; G(r + r + rv)j2 dx 8u; v 2 V: (27)
С другой стороны,
j(T u ; T v; )V j =
Z
Z
(G(r + r + ru) ; G(r + r + rv); r)dx jG(r + r + ru) ; G(r + r + rv)j
2 dx
1=2 Z
Выберем в предыдущем неравенстве = T u ; T v, тогда получим
kT u ; T vkV 2
Z
jG(r + r + ru) ; G(r + r + rv)j
jrj
2 dx
1=2
2 dx
1=2
:
kT u ; T vkV :
Таким образом,
Z
kT u ; T vk2V jG(r + r + ru) ; G(r + r + rv)j2dx;
и, пользуясь неравенством (27), получаем (26).
Лемма 4. Пусть s = s0 + s , = ks =s , тогда для произвольного " 2 (0; ) оператор T ,
определенный в (25), удовлетворяет для любых u; v 2 V неравенству
(T u; u ; v) ( ; ")k + uk2V ; c2 ";1 mes ; Lk + ukV (k kV + kvkV );
(28)
где константа c определена по функции g в соответствии с (19).
Доказательство. Имеем
Z
Z
(T u; u) = (G(r + r + ru) ; G(r); ru + r )dx ; (G(r + r + ru) ; G(r); r )dx:
Функция g, определенная правилом (3), в силу условия (5) удовлетворяет неравенствам (15), (16)
с константами , s , определенными в условии леммы. Поэтому, пользуясь леммой 3, получаем
неравенство
Z
(G(r + r + ru) ; G(r); r + r + ru ; r)dx Z
[( ; ")jr + ruj2 ; c2 ";1 ]dx = ( ; ")k + uk2V ; c2 ";1 mes 8u 2 V: (29)
62
Из оценки (24) получаем
Z
следовательно,
(G(r + r + ru) ; G(r); r )dx Lk + ukV k kV ;
(30)
j(T u; v)j Lk + ukV kvkV 8u; v 2 V:
(31)
Из неравенств (29), (30), (31) следует (28).
Основным результатом данной работы является
Теорема. Пусть выполнены условия (4){(6). Тогда
1) задача (13) имеет по крайней мере одно решение v,
2) множество решений выпукло и замкнуто в пространстве W (1)
2 (
),
3) скорость фильтрации
w = ;g(jrvj)jrvj;1 rv = G(r(vr + v; + u))
определяется единственным образом.
Доказательство. Положим в определении оператора T (см. (23), (25)) функции , равными соответственно vr и v; , тогда задача (13) эквивалентна операторному уравнению
T u = 0:
(32)
Из леммы 3 следует монотонность и липшиц-непрерывность, а из леммы 4 | коэрцитивность
оператора T . Таким образом, существование решения уравнения (32) следует из ([5], с. 95, теорема 2.1).
Пусть u1 , u2 | два решения задачи (13), тогда из (27) получаем неравенство
Z
jG(r(vr + v; + u1 )) ; G(r(vr + v; + u2))j2 dx 0;
справедливость третьего утверждения теоремы.
Литература
1. Бернандинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей. { М.:
Наука, 1975. { 199 с.
2. Мифтахутдинов Б.А., Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Некоторые вопросы плоской стационарной нелинейной фильтрации // В сб. Проблемы гидродинамики и рациональной разработки нефтяных месторождений. { Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1971. { С. 51{70.
3. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации
// Изв. вузов. Математика. { 1975. { Є 6. { С. 73{81.
4. Глушенков В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации // Прикладная математика в научно-технических задачах. { Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1976. { С. 12{21.
5. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. { М.: Мир, 1978. { 336 c.
Казанский государственный
Поступила
27.08.2004
университет
63
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
149 Кб
Теги
нелинейные, стационарный, фильтрация, точечного, исследование, задачи, источников, наличие
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа