close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование обобщенного интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ
ВЫСШИХ
2008
УЧЕБНЫХ
ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (549)
УДК 517.552
О.Н. БЫКОВА
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО ИНТЕГРАЛА ТИПА ТЕМЛЯКОВА
В СЛУЧАЕ ЕДИНИЧНОГО БИКРУГА
Теория интегральных представлений аналитических функций многих комплексных переменных является важной ветвью многомерного комплексного анализа. Значительным вкладом
в эту теорию были установленные А.А. Темляковым [1], [2] интегральные представления функций двух комплексных переменных, аналитических в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей.
Л.А. Айзенберг [3], рассмотрев в качестве плотности в интегралах Темлякова произвольную
функцию, суммируемую по Лебегу на границе определяющей области, на основе интегральных
представлений Темлякова ввел понятие интегралов типа Темлякова.
Данная работа посвящена исследованию свойств обобщенного интеграла типа Темлякова
b1
b2
b3
Z
Z
Z
F (x ; x ; x ; ) d;
1 Z
(1)
f (w; z ) = (2) i dx dx dx
;
u
a1
a2
a3
j j
в котором компонента u, входящая в ядро внутреннего интеграла, имеет более сложную структуру, чем в классическом интеграле типа Темлякова, исследованном ранее (напр., [4], [5]).
В интеграле (1) функция F (x ; x ; x ; ) задана на топологическом произведении
X = fx ; x ; x 2 R; 2 C : a x b ; a x b ; a x b ; jj = 1g;
F (x ; x ; x + h ; ) = F (x ; x ; x ; ); h = b ; a ;
u = t (x )w exp it (x ) + (1 ; t (x ))z exp it (x );
t (x ) | линейная функция, определяемая условиями t (a ) = 0, t (b ) = 1, функция t (x ) = p
постоянна на отрезке [a ; b ], а функция t (x ) строго возрастающая, непрерывная, периодическая со смещением
t (x + h ) = t (x ) + 2;
причем
t (a ) = p; t (b ) = p + 2:
Теорема 1. В точках пространства C функции, определяемые интегралом (1), предста1
1
3
2
2
3
3
=1
1
1
2
3
3
1
1
1
2
2
3
1
1
1
1
3
2
1
2
2
2
3
2
1
3
3
3
3
3
1
1
2
3
3
1
2
2
3
1
3
3
3
1
1
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
2
вимы по формуле
f (w; z ) = 41
ZZZ
(x ; x ; x ; u)dx dx dx +
+
2
R1 [R3
+
ZZZ
R2 [R4
1
2
3
1
2
3
;(x ; x ; x ; u)dx dx dx +
1
2
3
1
2
где
(x ; x ; x ; u) =
+
1
2
3
1
2i
Z
3
=1
R5
1
2i
Z
8
2
3
F (x ; x ; x ; ) ddx dx dx ;
;u
1
2
3
1
j j
=1
F (x ; x ; x ; ) d;
;u
1
jj
ZZZ если
juj < 1;
2
3
F (x ; x ; x ; ) d; если juj > 1;
;u
jj
R = f(x ; x ; x ) : x 2 X ; x 2 [a ; b ]; x 2 [a ; b ]g;
R = f(x ; x ; x ) : x 2 X ; x 2 [a ; b ]; x 2 [a ; b ]g;
R = f(x ; x ; x ) : x 2 X ; (x ; x ) 2 P g;
R = f(x ; x ; x ) : x 2 X ; (x ; x ) 2 P g;
R = f(x ; x ; x ) : x 2 X ; t (x ) ; t (x ) = ; ' _ t (x ) ; t (x ) = + 'g;
P = f(x ; x ) 2 [a ; b ] [a ; b ] : + ' ; 2 < t (x ) ; t (x ) < ; 'g;
P = f(x ; x ) 2 [a ; b ] [a ; b ] : ; ' < t (x ) ; t (x ) < + 'g;
' = arccos (b ; a )2(;x (x; a; )(a b) ;jwxj );jw(bj jz;j x ) jz j :
Множества Xk , k = 1; 2; 3, определяются с помощью линейных функций
x jz j ; 1; g (x ) = g (x ) + 2; g (x ) = x ; a jwj + b ; x jz j ; 1
g (x ) = xb ;; aa jwj ; bb ;
;a
b ;a
b ;a
1
2i
;(x ; x ; x ; u) =
1
5
1
1
2
1
=1
2
3
1
1
2
2
2
3
3
3
2
1
2
3
1
2
2
2
2
3
3
3
3
2
3
3
1
2
3
1
3
2
3
1
4
1
2
3
1
3
2
3
2
1
3
2
2
2
2
2
3
3
2
3
3
1
1
2
2
3
3
2
2
1
1
2
1
1
следующим образом
2
1
1
3
2
3
2
3
2
1
2
1
1
1
3
3
3
1
2
2
1
1
1
1
2
3
1
1
3
1
1
1
2
1
2
2
3
Z
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
:
X = fx 2 [a ; b ] : g (x ) < 0g; X = fx 2 [a ; b ] : jg (x ) + 1j > 1g;
X = fx 2 [a ; b ] : 0 g (x ) 2; g (x ) 0g:
1
1
1
1
3
3
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
3
1
1
1
Используем непересекающиеся множества
M = fjwj 1; jzj 1; jwj + jzj < 2g; M = fjwj 1; jzj 1; jwj + jzj > 2g;
M = fjwj > 1; jzj < 1g; M = fjwj < 1; jzj > 1g;
L = fjwj = jzj = 1g
и обозначим через k единственный нуль функции gk (x ), k = 1; 2; 3.
Теорема 2. Пусть функция t (x ) строго возрастает. Тогда в точках пространства C
для функций, представимых интегралом (1), в областях M , M , M и M справедливы следующие формулы :
если (w; z ) 2 M , то f (w; z ) = I (a ; b ),
;
;
если (w; z ) 2 M , то f (w; z ) = I (a ; ) + I ( ; ) + I ( ; b ),
;
если (w; z ) 2 M , то f (w; z ) = I (a ; ) + I ( ; ) + I ( ; b ),
;
если (w; z ) 2 M , то f (w; z ) = I (a ; ) + I ( ; ) + I ( ; b ),
0
1
2
1
3
2
3
0
+
1
0
+
1
2
где
I (q
1
; q ) = 4
2
I1
(x ; u) =
1
b
Z2
a2
t;3 1 pZ ;'
( +
dx
2
1
2
1
1
1
1
3
1
3
1
1
1
1
2
1
2
3
3
1
q
2
q1
b
Z2
dx
1
(q ; q ) =
1
2
a2
b
Z3
dx
2
q
Z2
1
4 q
1
2
a3
+
(x ; x ; x ; u)dx ;
1
1
)
(x ; x ; x ; u)dx +
t;1 (p+
3
1
'; +
2
2
3
3
)
2
3
3
(x ; u)dx ;
1
b
Z2
+
2
2
1
1
Z2
1
1
a2
t;3 1 pZ
( +
dx
2
+
'
t;3 1 (p+ ;')
)
; (x ; x ; x ; u)dx :
1
2
3
3
(w; z ) 2 L, то f (w; z ) = I (a ; b ).
Доказательства теорем 1 и 2 аналогичны доказательствам соответствующих теорем, например, из [4], [5].
Если
+
1
1
9
(1),
Теорема 3. Функции, представимые интегралом
сти
M
являются аналитическими в обла-
и, вообще говоря, неаналитическими в замыкании объединения областей
M,M
0
1
и
M.
2
Доказательство теоремы следует из строения формул для интеграла (1), полученных в теореме 2.
Теорема 4. Пусть ; и ; | интегральные операторы вида
1
; =
1
; =
2
c
Z1
a1
Zc3
a1
dx
1
dx
1
b
Z2
a2
Zb2
2
b
Z3
dx
2
a3
Zb3
dx
2
a2
a3
b
b
Z1
Z2
dx + dx
3
1
c2
Zb1
dx + dx
3
1
c4
a2
Zb2
b
dx
2
dx
2
a2
c
Z3
b
Z6
Z2
dx + dx
3
a3
Zb3
1
c5
Zc6
dx + dx
3
a3
1
c5
a2
Zb2
a2
p Z ;'
+
dx
2
p
+
pZ
+
dx
2
dx ;
3
'; '
+
2
+
dx ;
3
p ;'
+
где
(
c = ;
a;
(
c = ;
b;
3
1
1
1
4
1
(
(w; z ) 2 M ;
c = (w; z ) 2 M [ M ;
b
(
(w; z ) 2 M [ M ;
c = (w; z ) 2 M ;
1
3
2
0
2
0
1
1
2
5
2
3
(
(w; z ) 2 M ;
c = ; (w; z ) 2 M [ M ;
(w; z ) 2 M [ M ;
a ; (w; z ) 2 M ;
(
(w; z ) 2 M [ M ;
c = ; (w; z ) 2 M [ M ;
(w; z ) 2 M ;
; (w; z ) 2 M :
;
;
;
;
2
0
1
1
1
0
3
2
2
0
1
0
2
1
6
1
f (w; z ) в областях M , M
Тогда для функции
2
3
0
1
M
и
2
справедлива формула
f (w; z ) = 41 (; [ ] + ; [;]):
(2)
+
1
2
2
Доказательство. Действительно, непосредственной проверкой из формулы (2) следуют
формулы представления функции f (w; z ) в областях M , M и M , полученные в теореме 2.
Пусть, например, (w; z ) 2 M . Тогда c = a , c = b , c = c = , c = c = , причем
a < b в области M , поэтому из равенства (2) получаем представление интеграла (1)
в указанной области.
Аналогично проверяется справедливость формулы (2) для областей M и M .
0
0
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
3
5
2
4
6
1
0
1
2
Теперь перейдем к исследованию подвижных областей аналитичности интеграла (1).
Зафиксируем точку (w; z ) 2 C и отметим, что при этом функции g (x ) и g (x ) строго
возрастают на отрезке [a ; b ], а функция g (x ) строго возрастает при jwj > jz j и строго убывает
при jwj < jz j.
Пусть a 2 (a ; b ). Рассмотрим области
2
1
1
1
1
3
1
2
1
1
1
G = f(w; z ) 2 C : g (b ) > 0; g (a) < 0g; G = f(w; z ) 2 C : g (a ) > 0; g (a) < 0g;
G = f(w; z ) 2 C : g (a) < 0g;
G = f(w; z ) 2 C : g (a) > 0g:
Теорема 5. Если плотность F (x ; x ; x ; ) интеграла (1) тождественно равна нулю при
всех x 2 (a; b ], то функция f (w; z ), представимая этим интегралом, аналитична в областях
G и G , причем
если (w; z ) 2 G , то f (w; z ) = I (a ; a),
;
если (w; z ) 2 G , то f (w; z ) = I (a ; a).
Если плотность F (x ; x ; x ; ) интеграла (1) тождественно равна нулю при всех x
2
[a ; a), то функция f (w; z ), представимая этим интегралом, аналитична в областях G и G ,
2
1
2
3
1
3
2
2
3
2
4
1
1
1
3
1
3
2
2
1
3
1
3
+
1
3
1
1
1
2
3
1
1
2
причем
(w; z ) 2 G
если (w; z ) 2 G
если
f (w; z ) = I (a; b ),
;
, то f (w; z ) = I (a; b ).
2,
4
то
+
1
1
10
4
Доказательство. Если (w; z ) 2 G M , то функция g (x ) строго возрастает на отрезке
[a ; b ], а, следовательно, из условия g (a) < 0(= g ( )) для множества G имеем
1
1
1
1
3
3
3
1
3
1
a <a< < <b :
Так как c = c = , c = b , c = a , c = c = в области M , то формулу (2) можно
1
1
5
записать в виде
3
2
1
3
+
1
3
1
Z1
1
f (w; z ) = I (a ; a) + I (a; ) + 4
+
3
2
b
1
3
1
+
4
4
Z2
dx
1
a2
Z1
2
6
1
p Z ;'
+
dx
1
(x ; x ; x ; u)dx +
+
2
+
dx
1
'; pZ '
b
2
Z
p
1
3
1
+
+
dx
2
a2
2
3
3
2
+
p ;'
; (x ; x ; x ; u)dx + I; ( ; b ): (3)
1
2
3
3
1
1
+
По условию для любого x 2 (a; b ] F (x ; x ; x ; ) = 0, следовательно, все слагаемые, кроме
первого правой части равенства (3), обращаются в нуль. Таким образом, получена формула для
функции f (w; z ) в области G , что и доказывает аналитичность данной функции в указанной
области.
Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично.
Теперь зафиксируем произвольные a; b 2 (a ; b ), a < b, и рассмотрим области
G = f(w; z ) 2 C : g (a) < 0; g (b) > 0g; G = f(w; z ) 2 C : g (a) < 0; g (b) < 0g;
G = f(w; z ) 2 C : g (a) < 0; g (b) > 0g:
Теорема 6. Если плотность F (x ; x ; x ; ) интеграла (1) тождественно равна нулю при
всех x 2 (a; b), то функция f (w; z ), представимая этим интегралом, аналитична в областях
1
1
1
2
3
1
1
1
2
2
5
3
1
6
2
3
2
7
2
1
G,G
1
и
G , причем
2
1
3
(w; z ) 2 G , то f (w; z ) = I (a ; a) + I; (b; b ),
;
если (w; z ) 2 G , то f (w; z ) = I (a ; a) + I (b; b ),
;
;
если (w; z ) 2 G , то f (w; z ) = I (a ; a) + I (b; b ).
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 5.
Далее исследуем поведение интеграла (1) в областях неаналитичности.
Теорема 7. Если при любых x 2 [a ; b ], x 2 [a ; b ] и x 2 [a ; b ] плотность F (x ; x ; x ; )
интеграла (1) является аналитической в замкнутом единичном круге j j 1 функцией, то в
областях M , M и M функция f (w; z ) представима равномерно и абсолютно сходящимся
5
6
7
если
+
5
1
6
1
7
1
1
+
1
1
0
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1
2
3
2
функциональным рядом
f (w; z ) =
amn =
; [(x
1
1
1
1
amnwm zn;m ;
n m
n
;
m
) ei nt3 x3 ;m t3 x3 ;t2 x2
2(b ; a )n m!(n ; m)!
=0
; a )m (b ; x
1
1 n
+
X
X
(4)
=0
[
(
1
)
(
(
)
(
))]
F n (x ; x ; x ; 0)]
(
)
1
1
2
3
:
Доказательство. Так как плотность F (x ; x ; x ; ) интеграла (1) является аналитической
функцией в замкнутом единичном круге j j 1, то в некотором замкнутом круге K " = fj j 1 + ", " > 0g она разлагается в ряд Маклорена
1
2
F (x ; x ; x ; ) =
1
2
3
3
1Fn
+
X
n
=0
(
)
n
n! :
(5)
Функция jF (x ; x ; x ; )j непрерывна на компакте
S = f(x ; x ; x ; ) 2 [a ; b ] [a ; b ] [a ; b ] K " g;
1
2
3
1
2
3
1
1
11
2
2
3
3
следовательно, ограничена на нем. Пусть M = sup jF (x ; x ; x ; )j. Тогда в силу неравенства
S
Коши
1
2
3
F n M = A ;
n
n! (1 + ")n
(
)
поэтому в замкнутом круге j j 1 ряд (5) мажорируется сходящимся числовым положитель1
P
ным рядом
An , и, следовательно, сходится в этом круге равномерно и абсолютно. Так как
n
внутренний интеграл правой части формулы (1) является интегралом Коши по комплексной
переменной u, то = F (x ; x ; x ; u), а ; 0, поэтому из формулы (2) получим
f (w; z ) = 41 ; [F (x ; x ; x ; u)];
откуда в силу равномерной сходимости ряда (5) имеем
+
=0
+
1
2
3
1
2
f (w; z ) = 21
где
c6
1
1
2
3
1
1 X
; [F n un ] =
(I + I + I );
2 n
n n!
X
(
)
1
1
=0
c
)
3
+
Z2
F n undx ; I = n1! dx
a1
'; (
+
b
Z1
+
2
2
2
b1
b
Z2
1Z
I =
n! dx
3
3
=0
p Z ;'
b2
Z
1Z
dx
I =
n! c5 a2 dx p
1 1
1
1
c2
a2
2
b
Z3
dx
1
a3
F n undx ;
(
2
a3
)
3
F n un dx :
(
2
a2
b
Z3
dx
)
3
Обозначим длину отрезка интегрирования по xk через k = bk ; ak , k = 1; 2; 3, и произведем
оценки трех последних интегралов:
jI j An;
т. к. juj < 1, 2( ; ') < , а 0 c ; c . С учетом того, что juj < 1, а 0 c ; a ,
получаем
jI j An:
Аналогично приходим к оценке jI j An .
1
P
n n
Таким образом, ряд
n ; [F u ] в областях M , M и M мажорируется сходящимся чи1
3
6
1
5
3
1
n
!
=0
(
1
3
1
2
+
2
1
1
2
2
1
1
3
3
)
1
0
1
2
1
словым положительным рядом 3 An и потому сходится там равномерно и абсолютно.
n
Из того, что
+
P
1
2
3
=0
x ; a w exp it (x ) + b ; x z exp it (x )n =
b ;a
b ;a
n n!(x ; a )m (b ; x )n;m expfit(x ; x )g
X
=
wm zn;m ;
n
m
!(
n
;
m
)!(
b
;
a
)
m
где t(x ; x ) = nt (x ) ; m(t (x ) ; t (x )), следует формула (4).
un =
1
1
2
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
3
3
3
3
3
2
1
1
2
1
=0
2
1
3
1
2
В теореме 7 установлено, что функции, представимые обобщенным интегралом типа Темлякова, в областях неаналитичности обладают свойством, близким свойству аналитических функций. Таким образом, разложение функций, представимых интегралом (1), в двойной степенной
ряд можно отнести к так называемым (напр., [6]) квазианалитическим свойствам обобщенного
интеграла типа Темлякова.
12
1. Темляков А.А.
3.
4.
5.
6.
Интегральное
представление
аналитических
функций
двух
комплекс-
// Ученые записки Московск. обл. пед. ин-та. { М.: Изд-во МОПИ
им. Н.К. Крупской. { 1954. { Т. 21. { С. 7{22.
Темляков А.А. Интегральное представление функций двух комплексных переменных // Изв.
АН СССР. Сер. матем. { 1957. { Т. 21. { С. 89{92.
Айзенберг Л.А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций
многих комплексных переменных // Ученые записки Московск. обл. пед. ин-та. { М.: Изд-во
МОПИ им. Н.К. Крупской. { 1959. { Т. 77. { Вып. 5. { С. 13{35.
Боганов В.И. О поведении интеграла типа Темлякова 1 рода вне области аналитичности
// Ученые записки Московск. обл. пед. ин-та. { М.: Изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. { 1966.
{ Т. 166. { С. 61{80.
Милованов В.Ф. Интегралы типа Темлякова{Баврина 1 рода 1 порядка в случае бицилиндра // Респ. сб. тр. \Математический анализ и теория функций". { М.: Изд-во МОПИ
им. Н.К. Крупской. { 1978. { Вып. 9. { С. 65{75.
Нелаев А.В. К теории квазианалитических функций // Респ. сб. тр. \Математический анализ
и теория функций". { М.: Изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. { 1974. { Вып. 4. { С. 49{55.
ных
2.
Литература
переменных
Московский государственный
Поступили
педагогический университет
первый вариант
26:12:2003
25:07:2005
окончательный вариант
13
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
132 Кб
Теги
интеграл, типа, обобщенного, бикруга, темлякова, единичного, исследование, случай
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа