close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование приближенного решения дифференциального уравнения aбеля в окрестности подвижной особой точки.

код для вставкиСкачать
УДК 519.87
В. Н. О р л о в
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ
В ОКРЕСТНОСТИ ПОДВИЖНОЙ ОСОБОЙ
ТОЧКИ
Предложено приближенное решение дифференциального уравнения
Абеля в окрестности подвижной особой точки. Исследовано влияние возмущения подвижной особой точки на приближенное решение.
E-mail: orlowvn@rambler.ru
Ключевые слова: дифференциальное уравнение Абеля, приближенное
решение, подвижная особая точка, погрешность приближенного решения, возмущение подвижной особой точки.
К уравнению Абеля приводят задачи нелинейной оптики при
описании сверхизлучательной лавины [1–3], теории конечной упругости [4], нелинейной диффузии [5], задачи оптимизации стержня
реактора [6], нелинейной теплопроводности установившегося режима [7–9], нелинейной волновой теории [10].
В связи с тем, что дифференциальное уравнение Абеля в общем
случае не разрешимо в квадратурах, а наличие подвижных особых
точек (критических полюсов) не позволяет применять к этому уравнению существующие приближенные методы, задача приближенного решения уравнения Абеля является актуальной. Она разбивается
на: 1) приближенное решение дифференциального уравнения в области аналитичности; 2) нахождение подвижных особых точек решения
дифференциального уравнения Абеля с заданной точностью; 3) приближенное решение дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки.
В настоящей работе представлено исследование приближенного
решения рассматриваемого уравнения в окрестности подвижной особой точки.
Теорема существования решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки. Рассмотрим
задачу Коши для уравнения Абеля в нормальной форме
w0 (x) = w3 (x) + Φ(x);
(1)
w(x0 ) = w0 ,
(2)
к которому приводится с помощью определенной замены переменных
дифференциальное уравнение Абеля 1-го рода
w0 (x) = f0 (x) + f1 (x)w(x) + f2 (x)w2 (x) + f3 (x)w3 (x).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
23
В свою очередь к уравнению Абеля 1-го рода с помощью некоторой
замены переменных приводится уравнение Абеля 2-го рода [11]
[g0 (x)+g1 (x)w(x)]w0 (x) = f0 (x)+f1 (x)w(x)+f2 (x)w2 (x)+f3 (x)w3 (x).
Теорема 1. Пусть
1) функция Φ(x) ∈ C ∞ в области
(x∗ − x) < ρ1 ,
(3)
где 0 < ρ1 = const, x∗ — подвижная особая точка решения задачи
(1)–(2);
(n) Φ (x) 6 M1 , ∀ x из (3), где n = 0, 1, 2, . . . , M1 = const.
2) n! Тогда существует единственное решение уравнения (1) в виде
w(x) = (x∗ − x)ρ
∞
X
0
Cn (x∗ − x)n/2 ,
(4)
1
где ρ = − ; C0 6= 0, правильная часть которого сходится в области
2
(5)
x∗ − x < R1
∀ x < x∗ , где
R1 = min{ρ1 , ρ2 },
1
ρ2 = p
3
24 (1 + M )2
(n) Φ (x) , n = 0, 1, 2, ... ,
M = sup n! n,G
,
G = {x : x∗ − ρ1 < x < x∗ }.
Доказательство. Находим формальное решение уравнения (1) в
окрестности подвижной особой точки x∗ в виде (4). Для этого представим Φ(x) в окрестности точки x∗ в виде
Φ(x) =
∞
X
0
An (x∗ − x)n
(6)
в силу того, что для Φ(x) точка x∗ — регулярная. Подставляя (4) и (6)
в (1), получаем
−
∞
X
0
n
n ∗
Cn ρ +
(x − x) 2 +ρ−1 =
2
=
∞
X
0
24
∗
Cn (x − x)
n
+ρ
2
!3
+
∞
X
0
An (x∗ − x)n
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
или, после преобразования,
∞
∞
n
X
X
n
n
∗
+ρ−1
2
−
+ ρ (x − x)
Cn
=
Dn (x∗ − x) 2 +3ρ ,
2
0
0
(7)
где Dn = Cn∗∗ для n = 2k, k = 0, 1, 2, . . . ; Dn = Cn∗∗ для n = 1;
Dn = Cn∗∗ + An1 для n = 2k + 1, k = 1, 2, . . . , n1 = 0, 1, . . . ;
Cn∗∗ =
n
X
∗
Ci Cn−i
,
0
Cn∗ =
n
X
Ci Cn−i .
0
Равенство (7) обратится в тождество при условиях
n
n
+ ρ − 1 = + 3ρ;
(8)
2
2
n
(9)
+ ρ = Dn .
−Cn
2
1
Из (8) получаем ρ = − , а соотношение (9) позволяет однозначно
2
определить все Cn . Таким образом, получаем формальное представление решения уравнения (1) в виде (4) в окрестности подвижной
особой точки x∗ . В силу однозначности определения коэффициентов
Cn из (9) следует единственность полученного формального решения.
Покажем сходимость правильной части ряда в правой части равенства (4) в области (5). Из условия 2 теоремы 1 следует существование
(n) Φ (x) ,
M = sup (10)
n! n,G
где M = const, n = 0, 1, 2, . . . , G = {x : x∗ − ρ1 < x < x∗ }. Следовательно,
(11)
|An | ≤ M, n = 0, 1, 2, . . . .
1
2
Из (9) имеем C0 = ± √ , C1 = 0, C2 = 0, C3 = − A0 , C4 = 0,
5
2
2
C5 = − A1 , . . . . С учетом (11) методом математической индукции
5
доказана справедливость оценок
22n−4
(12)
(1 + M )n = ϑ3n ;
3n + 2
22n−4
(13)
(1 + M )n = ϑ3n+1 ;
|C3n+1 | 6
3n + 3
22n−4
(14)
(1 + M )n = ϑ3n+2 .
|C3n+2 | 6
3n + 4
Ограничимся случаем оценки (12). Предположим для определенности,
что 3n + 3 = 2k + 1, k = 0, 1, 2, . . . . Тогда из (9) с учетом (12)–(14)
|C3n | 6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
25
имеем
3n+2
3n+1
X
X
3n + 5
∗
|C3n+3 | ≤ Ci+1 C3n+2−i +
Ci C3n+3−i
+ Ak−1 =
2
0
1
3n+2
3n+1
X 3n+3−i
X
X
Ci+1 C3n+2−i +
Ci
Cj C3n+3−j + Ak−1 6
=
0
1
1
6 (1 + M )n+1 ∙ 22n−6 + 22n−5 (1 + M )n+1 + M 6 22n−3 (1 + M )n+1 .
Окончательно
22n−2 (1 + M )n+1
|C3n+3 | 6
.
3n + 5
Аналогично подтверждаются оценки (13) и (14).
Рассмотрим ряд
∞
X
n−1
ϑn (x∗ − x) 2 ,
(15)
1
в силу условий (12)–(14) мажорирующий для ряда
∞
X
n−1
Cn (x∗ − x) 2 .
(16)
1
В силу закономерности для коэффициентов Cn представим ряд (15) в
виде
∞
X
1
∗
ϑn (x − x)
n−1
2
=
+
∞
X
1
∞
X
1
ϑ3n (x∗ − x)
∗
3n−3
2
ϑ3n+1 (x − x)
+
3n−2
2
+
∞
X
1
ϑ3n+2 (x∗ − x)
3n−1
2
.
Для каждого ряда в правой части последнего равенства с учетом оценок (12)–(14) имеем область сходимости
1
= ρ2 .
x∗ − x < p
3
4
2 (1 + M )2
Положим R1 = min{ρ1 , ρ2 }. Так как ряд (15) — мажорирующий для
ряда (16), то получаем сходимость ряда (16) в области (5).
Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки. Исследование влияния возмущения подвижной
особой точки на приближенное решение.
Теорема 2. Для приближенного решения
wN (x) =
N
X
0
26
Cn (x∗ − x)
n−1
2
(17)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
задачи (1)–(2) в окрестности подвижной особой точки x∗ : x∗ −ρ2 <
< x < x∗ справедлива оценка погрешности
где
|w(x) − wN (x)| = ΔwN (x) 6 Δ,
3n−3
22n−4 (1 + M )n (x∗ − x) 2
Δ=
1 − 22 (1 + M )(x∗ − x)3/2
в случае N + 1 = 3n,
1
(x∗ − x)1/2 x∗ − x
+
+
3n + 3
3n + 2
3n + 4
3n−2
22n−4 (1 + M )n (x∗ − x) 2
×
Δ=
∗
3/2
1 − 22 (1 + M )(x
− x)
1
(x∗ − x)1/2 4(1 + M )(x∗ − x)
+
×
+
3n + 4
3n + 3
3n + 5
для N + 1 = 3n + 1 и
3n−1
22n−4 (1 + M )n (x∗ − x) 2
Δ=
1 − 22 (1 + M )(x∗ − x)3/2
1
4(1 + M )(x∗ − x)1/2
+
+
3n + 4
3n + 5
4(1 + M )(x∗ − x)
+
3n + 6
в случае варианта N + 1 = 3n + 1, где M и R1 взяты из теоремы 1.
Доказательство теоремы основано на оценке выражения
∞
X
n−1
∗
2
Cn (x − x) |w(x) − wN (x)| = ΔwN (x) = N +1
с учетом оценок для Cn из теоремы 1.
В связи с тем, что существующие методы позволяют получить
подвижные особые точки лишь приближенно, с заданной точностью,
то вместо приближенного решения (17) имеем
∗
w
eN (x) = (e
x − x)
− 12
N
X
0
en (e
C
x∗ − x)n/2 ,
(18)
en , x
e∗ — приближенные значения. Следующая теорема позволяет
где C
исследовать влияние возмущения подвижной особой точки на приближенное решение уравнения (1) в окрестности указанной особой
точки.
Теорема 3. Пусть
1) Φ(x) ∈ C ∞ в области (5);
(n) 2)
Φ (x) (19)
n ! 6 M1
∀ x из (5); M1 = const, n = 0, 1, 2, . . . ;
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
27
3) x
e∗ 6 x∗ ;
4) известна p
оценка погрешности значения x
e∗ : x∗ − x
e∗ 6 Δe
x∗ ;
5) Δe
x∗ < 1/ 3 210 (1 + M )2 , где
(n) ∗ (n+1) Φ (e
Φ
x ) (x) , ΔM = sup Δe
x∗ ,
M = sup n
!
n
!
n
n,G
n = 0, 1, 2, . . . ,
x∗ 6 x 6 x
e∗ }.
G = {x : x
e∗ − Δe
Тогда для приближенного решения (18) задачи (1)–(2) для любого x из
областей
(e
x∗ − R2 , x
e∗ − Δe
x∗ ],
(20)
(e
x∗ − Δe
x∗ , x
e∗ ]
(21)
справедлива оценка погрешности
Δw
eN (x) 6 Δ0 + Δ1 + Δ2 + Δ3 ,
где
Δe
x∗
Δ0 6 √
;
2 2α3/2
Δ1 6
2β Δe
x∗ (1 + M )α1/2 (1 + 16(1 + M )α + 64(1 + M )α2 )
+
1 − 210 (1 + M )2 α3
+
Δe
x∗ (1 + M )(1 + 2α + 16(1 + M )α2 )
;
2(1 − 27 (1 + M )2 α3 )
√ !
1
8 1/2 4 2
ΔM α(1 + (1 + M + ΔM )α3/2 )
√ + α +
α ;
Δ2 6
1 − 27 (1 + M + ΔM )2 α3
5
2 9
3n−3 1
α
α1/2
22n−4 (1 + M )n α 2
Δ3 6
+
+
3n + 2 3n + 3 3n + 4
1 − 4(1 + M )α3/2
в случае N + 1 = 3n,
3n−2
22n−4 (1 + M )n α 2
Δ3 6
1 − 4(1 + M )α3/2
4(1 + M )α
1
α1/2
+
+
3n + 3 3n + 4
3n + 5
для N + 1 = 3n + 1 и в случае N + 1 = 3n + 2
3n−1 22n−4 (1 + M )n α 2
1
4(1 + M )α1/2 4(1 + M )α
+
,
+
Δ3 6
1 − 4(1 + M )α3/2
3n + 5
3n + 4
3n + 6
где
x
e∗ − x для x из области (20),
x
e∗ для x из области (21);
1
; R1 − из теоремы 1;
R2 = min R1 , 10
(2 (1 + M )2 )1/3
α=
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
β=
1
2
для x из области (20),
для x из области (21).
Доказательство.
e + |w
e−w
eN | =
|w(x) − w
eN (x)| 6 |w − w|
∞
∞
X
X
n−1
n−1 en (e
C
=
Cn (x∗ − x) 2 −
x∗ − x) 2 +
0
0
∞
N
X
X
n−1
n−1 ∗
e
en (e
Cn (x − x) 2 −
C
+
x∗ − x) 2 6
0
0
X
∞
n−1
1
1
∗
en | (x∗ −x) n−1
e
+
2 −(e
2
+
−
|
C
x
−x)
6 | C0 | ∗
(x −x)1/2 (e
x∗ −x)1/2 0
+
∞
X
0
en (e
ΔC
x∗ −x+Δe
x∗ )
n−1
2
+
∞
X
N +1
n−1
en (e
x∗ −x) 2 = Δ0 +Δ1 +Δ2 +Δ3 .
C
1
e0 =
Учитывая, что C0 = ± √ , C1 = C2 = 0, а следовательно, ΔC
2
e1 = ΔC
e2 = 0, получаем
= ΔC
1
1
x∗
6 √ Δe
−
.
Δ0 6 |C0 | ∙ ∗
(x − x)1/2 (e
x∗ − x)1/2 2 2(e
x∗ − x)3/2
При оценке Δ1 суммирование проводим отдельно по целым и дробным
степеням:
∞
X
n−1
n−1
en | (e
|C
x∗ − x + Δe
x∗ ) 2 − (e
x∗ − x) 2 =
Δ1 6
1
=
∞
X
1
+
∞
X
1
2n−1
2n−1
e2n | (e
|C
x∗ − x + Δe
x∗ ) 2 − (e
x∗ − x) 2 +
e2n−1 | (e
|C
x∗ − x + Δe
x∗ )n−1 − (e
x∗ − x)n−1 = Δ11 + Δ12 .
Принимая во внимание структуру оценок Cn , для Δ11 в области
e∗ − x получаем
Δe
x∗ 6 x
∞
X
2n−1
2n−1
e2n | (e
|C
x∗ − x + Δe
x∗ ) 2 − (e
x∗ − x) 2
=
Δ11 =
2
=
∞
X
1
6n−3
6n−3
e6n−2 | (e
|C
x∗ − x + Δe
x∗ ) 2 − (e
x∗ − x) 2 +
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
29
+
∞
X
1
+
∞
X
1
6n−1
6n−1
e6n | (e
|C
x∗ − x + Δe
x∗ ) 2 − (e
x∗ − x) 2 +
6n+1
∗
∗ 6n+1
∗
e
2
2
|C6n−2 | (e
x − x + Δe
x)
− (e
x − x)
6
x∗ −x)1/2 (1+24 (1+M )(e
x∗ − x)+26 (1+M )(e
x∗ −x)2 )
2Δe
x∗ (1+M )(e
1−210 (1 + M )2 (e
x∗ − x)3
p
при условии x
e∗ − x < 1/ 3 210 (1 + M )2 . В случае x
e∗ − x < Δe
x∗ для
Δ11 имеем
6
x∗ )3/2 (1 + 24 (1 + M )Δe
x∗ + 26 (1 + M )(Δe
x∗ )2 )
22 (1 + M )(Δe
;
1 − 210 (1 + M )2 (Δe
x∗ ) 3
p
при этом Δe
x∗ < 1/ 3 210 (1 + M )2 .
Аналогичным образом получаем оценки и для Δ12 :
Δ11 6
x∗ − x) + 24 (1 + M )(e
x∗ − x)2 )
Δe
x∗ (1 + M )(1 + 2(e
Δ12 6
2(1 − 27 (1 + M )2 (e
x∗ − x)3 )
p
e∗ − x при условии x
e∗ − x < 1/ 3 27 (1 + M )2 .
в области Δe
x∗ 6 x
В случае x
e∗ − x < Δe
x∗
Δe
x∗ (1 + M )(1 + 2Δe
x∗ + 24 (1 + M )(Δe
x∗ ) 2 )
;
x∗ ) 3 )
2(1 − 27 (1 + M )2 (Δe
p
при этом Δe
x∗ < 1/ 3 27 (1 + M )2 .
en
Переходим к оценке Δ2 . Принимая во внимание оценки для ΔC
Δ12 6
22n−4 ΔM
(1 + M + ΔM )n−1 ;
3n + 2
2n−4
ΔM
e3n+1 6 2
(1 + M + ΔM )n−1 ;
ΔC
3n + 3
22n−4 ΔM
e
ΔC3n+2 6
(1 + M + ΔM )n−1 ,
3n + 4
(n) ∗ (n+1) Φ (e
Φ
x ) (x) ∗
M = sup ; ΔM = sup x ;
Δe
n! n!
n
n,G
e3n 6
ΔC
где
G = {x : x∗ − Δe
x∗ 6 x 6 x
e∗ },
полученные методом математической индукции, и разделяя целые и
дробные степени в выражении Δ2 , получаем
Δ2 =
∞
X
0
30
n−1
en (e
ΔC
x∗ − x + Δe
x∗ ) 2 =
∞
X
0
e2n (e
ΔC
x∗ − x + Δe
x∗ )
2n−1
2
+
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
+
∞
X
1
+
+
e2n−1 (e
ΔC
x∗ − x + Δe
x∗ )n−1 =
∞
X
1
∞
X
1
e6n (e
ΔC
x∗ − x + Δe
x∗ )
6n−1
2
+
+
1
∗
1
∞
X
e6n−3 (e
ΔC
x∗ − x + Δe
x∗ )3n−2 +
∞
X
∞
X
e6n+2 (e
ΔC
x∗ − x + Δe
x∗ )
1
∞
X
1
e6n−2 (e
ΔC
x∗ − x + Δe
x∗ )
6n−3
2
6n+1
2
+
+
e6n−1 (e
ΔC
x∗ − x + Δe
x∗ )3n−1 +
e6n+1 (e
ΔC
x∗ − x + Δe
x∗ )3n 6
ΔM (e
x − x)(1 + (1 + M + ΔM )(e
x∗ − x)3/2 )
6
×
x∗ − x)3
1 − 27 (1 + M + ΔM )2 (e
!
√
4 2 ∗
1
8 ∗
× √ + (e
x − x)1/2 +
(e
x − x) .
5
2 9
Выражения оценки для Δ2 получены для области
1
x
e∗ − p
6x6x
e∗ − Δe
x∗ .
3
7
2
2 (1 + M + ΔM )
x∗ < x 6 x
e∗ в выражении оценки Δ2 нужно (e
x∗ −x)
Для области x
e∗ −Δe
∗
заменить величиной Δe
x.
Оценка для Δ3 следует из теоремы 2, при этом связь между индексами N и n осуществляется исходя из выбора одного из трех соотношений: 1) N + 1 = 3n; 2) N + 1 = 3n + 1; 3) N + 1 = 3n + 2.
Вводя обозначения
∗
x
e − x для x из области (20),
α=
e ∗ для x из области (21);
Δx
1 для x из области (20),
β=
2 для x из области (21);
(
)
1
,
R2 = min R1 , p
3
210 (1 + M )2
получаем возможность в одном варианте оценок для Δ0 , Δ1 , Δ2 , Δ3
охватить две области их существования.
Рассмотрим задачу Коши
y0 = y3,
y(1) = 1,
√
которая имеет точное решение y = 1/ 3 − 2x; точное значение подвижной особой точки x∗ = 1,5. Для расчетов взяты следующие параметры: x
e∗ = 1,49; Δe
x∗ = 0,01; x1 = 1,4; x2 = 1,45; N = 6. Результаты
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
31
расчетов приведены в таблице.
x
w(x)
1, 4
1, 45
2, 236
3, 162
w
e6 (x)
2, 357
3, 535
Δ
0, 121
0, 37
e
Δ
0, 209
0, 45
e
|Δ − Δ|
0, 088
0, 08
Здесь x — значение аргумента; w(x) — точное значение решения;
w
e6 (x) — приближенное решение; Δ — абсолютная величина погрешe — оценка величины погрешности, полученная по теореме 3;
ности; Δ
e — абсолютная величина разности абсолютной величины по|Δ − Δ|
грешности и оценки, полученной по теореме 3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ч у д н о в с к и й В. М., Х о л о д к е в и ч Е. Д. Теория сверхизлучательных
лавин радиоволнового диапазона // ФТТ. – 1982. – Т. 24, № 4. –С. 1118–1123.
2. Ч у д н о в с к и й В. М. Лавинный распад инвертированного состояния квантовой системы: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Минск, 1983. – 16 с.
3. С а м о д у р о в А. А., Ч у д н о в с к и й В. М. Простой способ определения
времени задержки сверхизлучательной бозонной лавины // Докл. АН БССР. –
1985. – Т. 29, № 1. – С. 910.
4. H i l l J. M. Radial deflections of thin precompressed cylindrical rubber bush
mountings // Internat. J. Solids Structures. – 1977. – No. 13. – P. 93–104.
5. O c k e n d o n J. R. Numerical and analytical solutions of moving boundary
problems // Proc. Symp. Moving Boundary Problems / Ed. D.G. Wilson,
A.D. Solomon and P.T. Boggs. – New York, 1978. – P. 129–145.
6. A x f o r d R. A. The exact solution of singular arc problems in vector core
optimization // Proc. Nuclear Utilities Planning Methods Symp. Tennessee, 1974.
– P. 1–14.
7. A x f o r d R. A. Differential equations invariant urber two-parameter Lie groups
with applications to non-linear diffusion // Los Alamos Report. 1970. (LA-4517,
UC-34).
8. A x f o r d R. A. Group invariance properties of the Poisson–Boltzmann and other
non-linear field equations // Los Alamos Report. 1972. (LA-4864. UC-34).
9. A x f o r d R. A. Non-linear thermal instability phenomena in plates and rods //
A.S.M.E. Nuclear Eng. Div., Winter Annual Meeting. Michigan, 1973. – P. 1–12.
10. H i l l J. M. Abel’s differential equation // J. Math/ Scientist. – 1982. – V. 7, No. 2. –
P. 115–125.
11. К а м к е Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. –
М.: Наука, 1971. – 576 с.
Статья поступила в редакцию 9.02.2009
Виктор Николаевич Орлов родился в 1950 г., в 1973 г. окончил Чувашский государственный университет. Канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующий кафедрой “Математика, информатика и моделирование” Российского государственного социального
университета (филиал в г. Чебоксары). Автор 84 научных работ и 4 патентов на
изобретение в области аналитической теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического моделирования .
V.N. Orlov (b. 1950) graduated from the Chuvashia State University in 1973. Ph. D. (Phys.Math.), assoc. professor, head of “Mathematics, Information Technology and Simulation”
department of the Russian State Social University (Branch in Cheboksary). Author of 84
publications and 4 patents for invention in the field of analytical theory of differential
equations, computing mathematics, mathematical simulation.
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа