close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Итеративные перестановки функций и пространства Лоренца.

код для вставкиСкачать
1998
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 5 (432)
УДК 517.518
А.А. ЯЦЕНКО
ИТЕРАТИВНЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ ФУНКЦИЙ
И ПРОСТРАНСТВА ЛОРЕНЦА
Пусть функция f : Rn ! R измерима в Rn , конечна почти всюду (п. в.) и f () = mesn fx 2
: jf (x)j > g < 1 для всех > 0. Невозрастающей перестановкой функции f (x) будем
называть функцию f (t), невозрастающую на (0; +1) и равноизмеримую с jf (x)j. Она может
быть задана равенством
f (t) = inf f : f () tg; t > 0:
Пространством Лоренца Lp;q (Rn ) назовем пространство всех измеримых на Rn функций, для
которых
Rn
kf kLp;q (Rn) =
Z1
q
=p f (t)]q dt
1=q
< 1; 0 < p; q < 1:
p [t
t
Под перестановкой функции f (x), x = (x ; x ; : : : ; xn ), по первой переменной будем понимать функцию R f (s ; x ; : : : ; xn ), измеримую в R Rn; , невозрастающую по s и такую, что
функции R f (s ; ) и f (x ; ) равноизмеримы как функции одной переменной для почти всех
фиксированных остальных [1]. Аналогичным образом, переставив R f (s ; x ; : : : ; xn ) по остальным переменным, получим функцию R ; ;:::;n f (s ; s ; : : : ; sn ); равноизмеримую с f (x); невозра0
1
1
1
1
1
1
2
2
1
+
1
1
1
12
1
1
2
2
стающую по каждой переменной, которую будем называть итеративной перестановкой функции
f (x). Необходимо заметить, что порядок, в котором мы переставляем функцию, существен. К
n
примеру R1;2;:::;n f 6= Rn;n;1;:::;1 f . Пространствами Лоренца Lp;q (Rn ) и Lp;q
(R ) будем называть
пространства, определяемые равенствами
kf kLp;q Rn = k k f kLp;q R kLp;q R ;
kf kLp;q
Rn = k k R ; ;:::;n f kLp;q R kLp;q R ;
(
)
(
)
( )
12
( )
( )
( )
где норма пространства Lp;q (R) берется последовательно по каждой переменной, начиная с первой, при фиксированных остальных.
В [2] было доказано, что при p 6= q, q 6= 1 ни одно из пространств Lp;q (Rn ), Lp;q (Rn ) не
является подмножеством другого. Основным результатом данной работы является
p;q (Rn ) Lp;q (Rn ).
Теорема 1. (i) Если 0 < p < q < 1, то L
p;q
n
p;q
(ii) Если 0 < q < p < 1, то L (R ) L (Rn ).
n
(iii) Если p 6= q, то Lp;q (Rn ) 6= Lp;q
(R ) .
Доказательство. Для наглядности докажем теорему при n = 2. При n > 2 доказательство
проводится аналогично.
В дальнейшем будем пользоваться тем, что функции, невозрастающие по каждой переменной, непрерывны п. в. Затрудняясь дать ссылку, приведем доказательство этого факта.
Лемма. Пусть f (x; y ) | неотрицательная, невозрастающая по каждой переменной функция, определенная для x; y > 0, тогда f (x; y) непрерывна п. в.
73
Доказательство леммы.
Пусть m(x; y), M (x; y) | функции Бэра,
m(x0; y0) = lim
inf f (x; y);
!+0 (x;y)2I x ;y0 )
( 0
M (x ; y ) = lim
!
0
0
sup
x;y)2I(x0 ;y0 )
+0 (
f (x; y);
где I(x ;y ) | квадрат с центром в точке (x0 ; y0 ) и длиной стороны . Функции m(x; y); M (x; y) измеримы ([3], с. 143), а значит, измеримо множество E = f(x; y) : M (x; y) > m(x; y)g | множество
точек разрыва функции f (x; y). Пусть mes2 E > 0. Обозначим En = f(x; y) : M (x; y) ; m(x; y) >
1
S
1
n g, n = 1; 2; : : : Ясно, что E = n=1 En и, значит, существует такое n, что mes2 En > 0.
Переходя к полярным координатам и применяя теорему Фубини, можем утверждать, что
найдется такой луч L = f(x; y) : y = kx; x > 0g, что mes1 (En \ L) > 0. Выберем последовательность точек f(xi ; yi )g1
i=1 так, чтобы (xi ; yi ) 2 En \ L и
xi < xi+1 ; yi < yi+1 ; i = 1; 2; : : :
Пусть f (x1; y1 ) = M . Учитывая, что f (x; y) не возрастает по каждой переменной, получим для
всех i неравенство
f xi +2xi;1 ; yi +2yi;1 f xi+12+ xi ; yi+12+ yi + n1 :
< 0, что противоречит условию
Отсюда видно, что если i0 = ([M ] + 1)n, то f xi +2xi ; yi +2yi
леммы.
Продолжим доказательство теоремы.
2
(i) Вложение Lp;q (R2 ) Lp;q
(R ) будет следовать из неравенства для норм
kf kLp;q
(1)
(R ) ckf kLp;q (R ) :
Функциями вида () будем называть неотрицательные, невозрастающие по каждой переменной функции
N
X
f (x; y) =
cm;n Im;n (x; y);
m;n=1
где
Im;n = ((m ; 1); m] ((n ; 1); n];
m; n = 1; N , > 0 | фиксированное число. Покажем, что (i) справедливо для функций вида ().
Перенумеруем квадраты Im;n , m; n = 1; N , в порядке убывания принимаемых на них значений
функции. Если все значения функции различны, то процесс нумерации определен однозначно
и завершается за N 2 шагов. Если же на некотором шаге мы получим k квадратов, на которых функция принимает одинаковые значения, то продолжим нумерацию следующим образом.
Выберем среди них те, у которых первый индекс наименьший и перенумеруем их в порядке возрастания второго индекса. С оставшимися квадратами поступаем аналогичным образом, пока
не перенумеруем все k квадратов.
Итак, функция примет вид
0
0
0 +1
0
2
f (x; y) =
0 +1
0
2
N2
X
k=1
k Ik (x; y);
где k | значение, которое принимает функция на квадрате Ik . Заметим, что если Ik =
((m ; 1); m] ((n ; 1); n]; то
mn k и
ZZ
Ik
(xy)q=p;1 dx dy pq2 2q=p kq=p;1 :
2
74
(2)
Действительно, из способа нумерации следует, что номер квадрата Im;n будет не меньше номеров
квадратов Ii;j , i m, j n, т. к. на них функция принимает значения не меньше, чем на Im;n , и
оба индекса у них не превосходят соответственно m и n.
Перестановка функции f (x; y) имеет вид
N2
X
f (t) = k (2(k;1);2 k] (t);
k=1
а т. к. f (x; y) не возрастает по каждой переменной, то f (x; y) = R1;2 f (x; y): Имеем
kf kqp;q
L
Z1
N
N
X
X
q
=p
tq=p; f q (t)dt = q=p kq [kq=p ; (k ; 1)q=p ] 2 ;q=p q=p kq kq=p; :
k
k
2
R
( 2)
1
2
2
1
0
2
=1
1
=1
С другой стороны, учитывая (2), получим
kf kLqp;q
(R2 ) =
N 2 ZZ
X
kq
2
k=1 Ik
q
p
2
N2
X
q=p
;
1
2q=p
(xy)
dx dy kq kq=p;1
k=1
2q=p; kf kLqp;q R :
1
( 2)
Таким образом, неравенство (1) справедливо для функций вида ().
Докажем (1) в случае, когда f (x; y) | произвольная измеримая функция. Не ограничивая
общности, можно считать, что функция f (x; y) невозрастающая по каждой переменной, неотрицательная и определенная для x; y > 0. Это можно сделать, т. к. f (x; y) и R1;2 f (x; y) имеют
одинаковые перестановки.
Рассмотрим последовательность функций
fk (x; y) =
N2
X
m;n=1
f (m2;k ; n2;k )Im;n (x; y);
где Im;n = ((m ; 1)2;k ; m 2;k ] ((n ; 1)2;k ; n2;k ], N = 4k , m; n = 1; N , k = 1; 2; : : : Заметим, что
для всех (x; y) справедливо
f (x; y) f (x; y) fk (x; y) (3)
f (x + 2;k ; y + 2;k ) fk (x; y) f (x; y):
Из (4) и леммы будет следовать, что для почти всех (x; y)
lim f (x; y) = f (x; y):
k!1 k
(4)
1
2
и для всех k
(5)
Предположим, что kf kLp;q (R ) = M < 1. Тогда, учитывая (3){(5) и то, что fk (x; y) | функции
вида (), по теореме Леви получим
2
kf kLp;q
kf k p;q c klim
kf k
= ckf kLp;q R :
R = klim
!1 k L R
!1 k Lp;q R
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
Это доказывает первую часть теоремы 1.
(ii) Доказательство второй части теоремы 1 аналогично доказательству первой.
(iii) Исходя из (i) и (ii), достаточно показать существование функций f (x; y) и g(x; y) таких,
2
p;q 2
что если 0 < p < q < 1, то f (x; y) 2 Lp;q
(R ), но f (x; y) 2= L (R ), а если 0 < q < p < 1, то
p;q
2
p;q
2
g(x; y) 2 L (R ), но g(x; y) 2= L (R ).
75
1 ;n=p
P
2 In (x; y), где
n=0
In = f(x; y) : (xy)q=p;1 2(1;n) ; x 2 (n;1 ; n ]g;
n
X
n = exp 2(k;1) q;q p ; n = 1; 2; : : :
k=1
Пусть 0 < p < q < 1 и f (x; y) =
I = (0; 1] (0; 1];
0
= 1;
0
Нетрудно убедиться, что
а значит, f (t) =
1 ;n=p
P
2 Jn (t),
n=0
(6)
mes2 In = 2n;1 ; n = 1; 2; : : : ;
(7)
где J0 = (0; 1], Jn = (2n;1 ; 2n ], n = 1; 2; : : : Из (6) и (7) получим
ZZ
In
(xy)q=p;1 dx dy 1:
(8)
Функция f (x; y) не возрастает, значит, f (x; y) = R1;2 f (x; y). Учитывая (8), будем иметь
q
kf kLp;q
R = p
(
2
2)
но
2
Z 1Z 1
0
kf k p;q
0
(xy)q=p;1 f q (x; y) dx dy
= pq
Z1
q
1=q
ZZ
1
X
;
nq=p
2
2
n=0
In
2
tq=p;1f q (t)dt
=
(xy)q=p;1 dx dy
1=q
1
X
1=q
R
( 2)
1=q
1
X
;
nq=p
2
2
n=0
pq
(1 ; 2;q=p )
= p
= 1+
0
n=0
2
p;q (R2 ).
Таким образом, f (x; y) 2 Lp;q
(
R
),
но
f
(
x;
y
)
2
=
L
1
P
Пусть теперь 0 < q < p < 1 и пусть g(x; y) = In (x; y), где
L
2
1=q
< 1;
= 1:
n=0
I = (0; 1] (0; 1]; In = f(x; y) : (xy) ;q=p 2;n; x 2 (n; ; n ]g;
1
0
n kq X
p;q
= 1; n = exp
0
Легко видеть, что
k=1
2
(9)
1
n = 1; 2; : : :
mes2 In = 2;n ; n = 1; 2; : : : ;
а значит, g (t) = (0;2](t). Из (9) и (10) получим
ZZ
In
(10)
(xy)q=p;1 dx dy 1:
(11)
Функция g(x; y) не возрастает, значит, g(x; y) = R1;2 g(x; y). Учитывая (11), имеем
kgkLp;q
(R2 ) =
но
q
p
2
2
Z 1Z 1
0
0
(xy)q=p;1 gq (x; y)dx dy
1=q
=
2X
1=q 2 X
1 ZZ
1 1=q
= pq 2
(xy)q=p;1 dx dy
pq2 1 = 1;
n=0 In
Z1
kgkLp;q R = pq
( 2)
0
tq=p; gq (t)dt
1
76
1=q
n=0
1=q
Z2
= pq tq=p;1 dt
< 1:
0
2
Таким образом, g(x; y) 2 Lp;q (R2 ), но g(x; y) 2= Lp;q
(R ). Теорема 1 доказана.
Замечание 1. В статье Блозинского [1] утверждается, что при p 6= q , q 6= 1 ни одно из
n
пространств Lp;q (Rn ), Lp;q
(R ) не является подмножеством другого. По-видимому, здесь имеется
опечатка; автор обосновывает это утверждение ссылкой на статью Цвикела [2], но, как уже
отмечалось выше, в упомянутой статье речь идет о сравнении пространств Lp;q (Rn ), Lp;q (Rn ):
Замечание 2. По существу из доказательства теоремы 1 следует более общая
n
n
Теорема 2. Пусть f (x) : R ! R измерима в R . Тогда
(i) Если q > p; то kf kLp;q (Rn ) sup kgkLp;q (Rn ) ckf kLp;q (Rn ) :
(ii) Если q < p; то ckf kLp;q (Rn ) inf kgkLp;q (Rn ) kf kLp;q (Rn ) ; где верхняя и нижняя грани
берутся по всем функциям g(s), s 2 R+n ; равноизмеримым с f (x) и невозрастающим по каждой
переменной.
Доказательство. Докажем утверждение (i) для случая n = 2: Правое неравенство (i) следует из доказательства теоремы 1. Для доказательства левого неравенства (i) достаточно рассмотреть функцию g(s; t) = f (t)(0;1] (s); где f (t) | невозрастающая перестановка f (x; y): Функция
g(s; t) будет равноизмеримой с f (x; y) и невозрастающей по каждой переменной и для нее будет
выполняться
kgkLp;q R = pq
( 2)
2
2
Z
0
1
sq=p; ds
1
Z1
0
1=q
tq=p; f q (t)dt
1
= kf kLp;q (R ) ;
2
что доказывает утверждение (i).
Утверждение (ii) доказывается аналогично.
В заключение автор хотел бы выразить благодарность В.И. Коляде за постановку задачи и
обсуждение результатов.
Литература
1. Blozinski A.P. Multivariate rearrangements and Banach function spaces with mixed norms // Trans.
Amer. Math. Soc. { 1981. { V. 263. { Є 1. { P. 149{167.
2. Cwikel M. On (Lp (A0 ); Lp (A1 ));q // Proc. Amer. Math. Soc. { 1974. { V. 44. { Є 2. { P. 286{292.
3. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. { 2-е изд. { М.: ГИТТЛ, 1957. {
552 с.
0
1
Одесский государственный
университет
Поступила
06.05.1996
77
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
145 Кб
Теги
перестановкой, лоренцо, пространство, функции, итеративные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа