close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К геометрии циклид Дюпена имеющих n различных главных кривизн в евклидовом пространстве еN+1.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА МЕХАНИКА
УДК 514.75
М.А.Чешкова
К геометрии циклид Дюпена, имеющих
n различных главных кривизн в евклидовом
пространстве E n+1
М.А. Cheshkova
Dupen Cyclides Geometry which has n Principal
Curvatures in Euclidean Space E n+1
Гиперповерхность в евклидовом пространстве E n+1 называется циклидой Дюпена, если
она имеет главные кривизны, постоянные вдоль
соответствующих главных распределений.
В предлагаемой статье изучается циклида
Дюпена в евклидовом пространстве E n+1 ,
имеющая n различных главных кривизн.
Ключевые слова: циклиды Дюпена, кониче-
The hypersurface in Euclidean space E n+1 is
called Dupen cyclide if it has principal curvatures
constant along appropriate principal distributions. The present paper studies Dupen cyclide
in Euclidean space E n+1 which has n principal
curvatures.
Рассмотрим в евклидовом пространстве
циклиду Дюпена M [1{7] { гиперповерхность, у которой главные кривизны ki постоянны вдоль соответствующих им главных направлений Xi . Случай, когда гиперповерхность
имеет две главные кривизны, рассмотрен в [2,
4{7], три главные кривизны { в [3]. Примером
таких поверхностей являются циклиды Дюпена
в E 3 [5].
Известно, что у циклиды Дюпена в E 3 линии кривизны есть окружности, фокусы fi =
r + k1 n конгруэнции нормалей n, где r { радиусвектор текущей точки поверхности, описывает
фокальные кривые второго порядка либо прямую и окружность [5, с. 382], а плоскости
окружностей кривизны одного семейства проходят через фиксированную прямую либо параллельны (теорема Маннгейма) [4].
В предлагаемой работе исследуется гиперповерхность M , имеющая n различных, не равных нулю главных кривизн, причем линии кривизны образуют голономную сеть.
Доказаны следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 1. Если циклида Дюпена имеет голономную сеть линий кривизны, то линии
кривизны S i есть окружности.
Обозначим через fji линию, которую опишет
фокус fj вдоль i-той линии кривизны.
ТЕОРЕМА 2. Если окружность S i не
есть нормальное сечение, то линии fji , j =
1, ..., n, j 6= i { сечения конуса K i с вершиной fi ,
направляющей S i . Если окружность S i { нор-
мальное сечение, то линии fji , j = 1, ..., n, j 6= i
{ прямые.
ТЕОРЕМА 3. Директрисы конических сечений fji , fij , не являющихся окружностями и
прямыми, ортогональны.
ТЕОРЕМА 4. Если конусы K i , K j принадлежат 3-пространству, то эксцентриситеты
eji , eij конических сечений fij , fji , отличных от
прямой и окружности, связаны соотношением
eij ╫ eji = 1.
Key words: cyclide Dupin, cone, eccentricity.
ское сечение, эксцентриситет.
E n+1
i
66
ТЕОРЕМА 5 (обобщенная теорема
Маннгейма). Если коническое сечение fji {
не окружность и не прямая, то плоскости
окружностей S i кривизны вдоль j -той линии
кривизны образуют пучок, ось которого параллельна директрисе кривой fji .
1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ. Рассмотрим
гладкую гиперповерхность M в евклидовом пространстве E n+1 .
Обозначим F (M ) { R-алгебру дифференцируемых на M функций; Tsq { F -модуль дифференцируемых на M тензорных полей типа
(q, s); ?(M ) { алгебру Ли векторных полей на
M , ? { дифференцирование; <, > { скалярное
произведение в E n .
Формулы Гаусса-Вейнгартена гиперповерхности M имеют вид [8, с. 36]
?X Y = ?X Y + ? (X, Y )n,
?X n = ?AX,
(1)
где A ? T11 (M ), X, Y ? ?(M ), ? ? T20 (M ),
? (X, Y ) = g (AX, Y ) { вторая фундаментальная
К геометрии циклид Дюпена, имеющих n различных главных кривизн ...
форма; A { оператор Вейнгартена; ?{ связность
Леви-Чивита метрики g(X, Y ) =< X, Y >.
Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци
R(X, Y )Z = ? (Y, Z )AX ? ? (X, Z )AY,
dA(X, Y ) = 0,
(2)
где R(X, Y )Z = ?X ?Y Z ? ?Y ?X Z ? ?[X,Y ] Z
тензор кривизны связности ?, dA(X, Y ) =
?X AY ? ?Y AX ? A[X, Y ] { внешний дифференциал поля A в связности ?.
Обозначим через Xi орты главных направлений, ki { главные кривизны. Тогда AXi = ki Xi .
Рассмотрим dA(Xi , Xj ) = 0, i 6= j .
Имеем
dA(Xi , Xj ) = ?Xi AXj ? ?Xj AXi ?
A[Xi , Xi ] = (Xi kj )Xj
ki ?Xj
R(Xj , Xi )Xi
?
X
s6=i
ji
(Xj
(?
j
состав-
Xj ki
Xi , i 6= j,
kj ? ki
(3)
[Xi , Xj ]s = 0, i 6= j, s 6= i, j.
Имеем
i
s
j Xi )
= 0,
(5)
i
Xj ki
, i 6= j.
kj ? ki
Дифференцируя равенства
вдоль Xi , получим
?Xi Xi
=?
X
s6=i
ij
)Xj ?
)2 Xj ?
= ki kj X j .
Xj
si
=
ji
(
sj
?
si
),
(8)
)2 + (
sj + ki kj = 0.
Xj ji + Xi
X
s6=i,j
si
ij
+(
ij
ji
)2 +
(9)
Равенства R(Xi , Xj )Xk = 0, когда i, j, k {
разные, не дают дополнительных соотношений.
Так как M { циклида Дюпена, то Xi ki = 0.
Применим операцию скобки Xi Xj kj ?
Xj Xi kj ? [Xi , Xj ]kj = 0.
Так как
j
Xi
=
ji Xi
?
ij Xj ,
получим Xj Xi kj = ? ji Xi kj .
Дифференцируем равенства ij = kX?kk
вдоль Xj .
Имеем
Xj ij = 0, i 6= j.
(10)
Кроме того, дифференцируя (9) вдоль Xi ,
получим
i j
Так как Xi орты, то (?X Xj )j = 0, i 6= j .
Таким образом,
=
?(
ij
i
i
ji
si sj Xj ?
) ? (Xi
si Xs
s6=i
i
(?X Xj )s = 0, s 6= i, j, i 6= j.
ji Xi ,
s6=i,j
[Xi , Xj ] = ?X Xj ? ?X
При ki 6= kj из (4), (5) получим
=
?
Откуда
j
(?X Xj )s ? (?X
i 6= j, s 6= i, j.
X
i, j, s { разные,
(kj ? ks )(?X Xj )s ? (ki ? ks )(?X Xi )s = 0,
(4)
i 6= j, s 6= i, j.
Потребуем голономность сети, т.е. потребуем, чтобы каждое (n ? 1)-распределение, определяемое n ? 1 главными направлениями, было
инволютивное. Тогда [9, с. 19]
i
ji Xi
=
ji ?Xi Xi
sj Xs
s6=i,j
X
где Z j -тая составляющая поля Z .
Приравнивая нулю различные
ляющие, имеем
i
X
ji
= 0,
?Xi Xi ? ?Xi ?Xj Xi ?
+
si) Xs
ij
j
(?X Xj )i =
j
ij ?Xj Xi
i
i
= ?X
??Xj Xi Xi + ??Xi Xj Xi =
X
?Xj (?
si Xs ) ? ?Xi ij Xj ?
s6=i
+ kj ?X Xj ? (Xj ki )Xi ?
Xi ? ki (?X Xj ? ?X Xi )i ?
kj (?Xi Xj ? ?Xj Xi )j ? ks (?Xi Xj ? ?Xj Xi )s
?Xi Xj
Рассмотрим
уравнения
Гаусса
(2)
= ki kj Xj , i 6= j , используя (6), (7).
Имеем
R(Xj , Xi )Xi
< X i , X j >=
si Xs .
Xi Xi ij
X
(6)
+
0
(7)
(11)
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1. Обозначим через r радиус-вектор точки m ? M ,
fi = r + k1 n.
i
67
s6=i,j
= ? ij ( 2ij + 2ji +
2 + k 2 + 3X
i ij ).
si
i
j
МАТЕМАТИКА МЕХАНИКА
Так как ?X fi = 0, то следует, что нормали
гиперповерхности M вдоль интегрального многообразия S i распределения Xi проходят через
неподвижную точку fi .
Таким образом, S i принадлежит гиперсфере
радиуcа Ri = | k1 |.
Покажем, что S i есть окружность.
Соприкасающаяся плоскость ?i к S i определяется векторами Xi , ti = ?X Xi .
Имеем в силу (1), (7)
i
kj ((
Xi
ij
Tji
+
i
?Xi Xi
= ?X Xi + ki n = ?
i
s6=i
si Xs
?Xi ti
X
= ?(
s6=i
то ?i постоянна.
Следовательно, S i принадлежит гиперсфере
и 2-плоскости ?i , т.е. S i { окружность.
? i (S i ) = {Xi , ?
X
si Xs + ki n}.
s6=i
(12)
Центр Ci окружности S i имеeт вид
=r+
1
ti ,
?2i
X
2 + k2 .
?2i =
i
si
s6=i
Ci
(13)
Действительно, Xi ? = 0, ti ?Xi .
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.
Если окружность S i не есть нормальное сечение, то линии fji , j = 1, ..., n, j 6= i расположены на конусе K i с вершиной fi , направляющей
S i . Докажем, что fji { плоская линия. Имеем
fj = r + k1 n.
j
Xi kj
ki
?i fj = Xi ?
n ? Xi
(kj )2
kj
kj ? ki
(k X +
(kj )2 j i
tij
= kj Xi +
ij n
?i tij
=?
ij
=
).
{ касательный вектор к fji .
ij kj Xi
? kj
ki kj n + (Xi
Если
ij n
6= 0,
X
s6=i
ij
si Xs
+
)n.
=
Xi
X
s6=i
si Xs
).
X
s6=i
Xi
+
ij
ij
ij
)Xi ? ki n+
(14)
si Xs .
= ?(
Xi
ij
ij
+
ij
)Tji ,
то следует, что соприкасающаяся ?(fji ) плоскость к fji , определяемая векторами tij , Tji , постоянна, т.е. fji , j = 1, ..., n, j 6= i { конические
сечения.
Имеем
? (fji ) = {kj Xi + ij n,
X
X
( i ij + ij )Xi ? ki n +
ij
s6=i
si Xs }.
(15)
Если ij = 0, то из (6) следует XP
i kj = 0. Таким образом, tij = kj Xi , ?i tij = ?kj ( s6=i si Xs ?
ki n), т.е. плоскости ? (S i ), ? (fji ) параллельны, а
fji { окружность.
Если окружность S i { нормальное сечение,
то из (12) следует, что ji = 0, si = 0, s =
1, ..., n, s 6= i, j . Используя (9), получим Xi ij =
? 2ij ? ki kj .
Имеем ?i tij = ? ij kj Xi + ki kj n + (Xi ij )n =
? ij tij , т.e. линии fji , j = 1, ..., n, j 6= i { прямые.
Замечание. Так как каждое (n ? 1)-распределение
?j (m) = (X1 , ..., Xj?1 , Xj +1 , ..., Xn )m , m ? M
инволютивное, то вдоль интегрального многообразия распределения ?j (m) точка fj опишет
(n ? 1)-поверхность. Таким образом, гиперповерхность M является одновременно n раз
огибающей семейства гиперсфер, центры которых описывают n (n ? 1)-поверхностей (fj ), т.е.
гиперповерхность M есть n раз каналовая.
4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3. Рассмотрим вектор
Tji
то
?i tij
=(
?i Tji
2 )X ,
i
si
)Xi ? ki n +
Так как, в силу (6), (7), (10), (11),
+ ki n.
А так как в силу (1), (10)
ij
Обозначим
i
X
+
ij
=(
Xi
ij
ij
+
ij
)Xi ? ki n +
X
s6=i
si Xs ,
параллельный плоскости ?(fji ) конического сечения fji . Замечаем, что он параллелен также
плоскости ?(S i ) основания конуса K i . А так
ij i
tj ?
ij
68
К геометрии циклид Дюпена, имеющих n различных главных кривизн ...
как директриса конического сечения параллельна прямой пересечения плоскости этого сечения
и плоскости основания конуса, то следует, что
Tji определяет направление директрисы кривой
fji .
Представим Tji в виде
Tji
=(
Xi
ij
ij
X
+
si Xs
s6=i,j
ij
+
=
Nji
=?
(Xi
ij
+
ij
s6=i
2
ij
(
(ki (Xi
ij
│
X
(ki2 +
│X
│
2
2 )X + k
i
j
si
s6=i
(ki2 +
X
+ ki kj )
X
s6=i
s6=i
2 )n+
si
si Xs .
(17)
2
cos ? =
? ?) =
)
X
┤
si
s6=i
)
,
│
│
(Xi
si
+
2
2
2
ij +ki kj ) +(kj +
ki2 +
s6=i
P
2
si
s6=i
))
2
ij )
┤.
X
s6=i
2
2 .
si
2
+
ij
ij
X
2 )2 + 2 (k 2 +
ij
ij j
ij +
+ ki kj )2 + (kj2 +
s6=i
2
)
ij
2
si )
┤.
┤
2 .
si
X
s6=i
= 0,
sj
= 0, s = 1, ..., n, s 6= i, j.
Используя (10), получим
=
q
=
ij
+
+
2
ij
+ ki kj )2 + (kj2 +
(Xi
ij
+
ij
q
2 )2 + 2 (k 2 + 2 )
ij
ij j
ji
(Xi
q
(Xj
ji
+
2
ij
=?
(Xi
Nij
ij
=?
2,
ji
2 )2 + 2 (k 2 + 2 )
ij
ij j
ji
2 )2 + 2 (k 2 + 2 ).
ji
ji i
ij
Таким образом, eij ╫ eji = 1.
Так как в этом случае векторы
Nji
)
ij
+
ji Xi
2
ij
+ kj
+
ji n
+ ki kj )Xj ,
ji ij Xj
+ ki
+
ij n
.
.
┤
si )
Если конусы K i , K j , i 6= j принадлежат
3-пространству E 3 = (Xi , Xj , n), то
eij
69
2
s6=i
ij
┤.
si
+ ki kj )2 +
ij
2
P
(Xi
< Nji , N i >= (Xi ij + 2ij +
X
X
2 +k (
2 )2 ,
+ki kj )ki
j
si
si
s6=i
s6=i
X
X
2 +(
2 )2 ,
|N i |2 = ki2
si
si
s6=i
s6=i
X
2 )2 +
|Nji |2 = ( 2ij + kj2 )(
si
s6=i
ij
2 )2
s6=i
2
+
ij
X
Итак,
< N i, n >
,
|N i |
< N i , Nji >
,
|N i ||Nji |
2
sin2 ? =
q
sin ? = cos(
s6=i
+ ki kj ) + kj
)((Xi
2.
si
sin2 ? =
X
2 2
2 2
ij + ij ) + ij (kj +
si )((Xi
s6=i
eij
Имеем
?
si
2
si
(
ij
2
s6=i
((Xi
si
s6=i
X
2
+
(eij )2 = (Xi
sin ?
.
sin ?
X
+ ki kj )2
cos2 ? =
ji Xj .
s6=i
ij
(kj2 +
Так как ?(S i ), ?P
(fji ) принадлежат 3-пространству E 3 = {Xi , s6=i si Xs , n}, то нормали
N i , Nji к ? (S i ), ? (fji ) принадлежащие E 3 , имеют
вид
X
X
N i = ki
( 2si )n,
(16)
si Xs +
X
2
+
ij
│
)Xi ? ki n+
В силу (9) имеем < Tji , Tij >= 0, т.е. директрисы конических сечений fji , fij , не являющихся окружностями и прямыми, ортогональны.
5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 4. Обозначим через ? угол, образованный плоскостью
? (fji ), содержащей fji , с плоскостью ? (S i ) основания конуса K i , а через ? { угол, образованный
образующей конуса n с плоскостью основания
? (S i ).
Определим эксцентриситет eij для конического сечения fji [10, с. 227]
eij
(Xi
,
МАТЕМАТИКА МЕХАНИКА
(Xj ji + 2ji + kj ki )Xi
в силу (10) ортогональны, то плоскости
? (fji ), ? (fij ) конических сечений fji , fij пересекаются по прямой ортогонально.
6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 5.
Если кривая fji не окружность, то ij 6= 0. Рас+ ij )Xi ? ki n +
смотрим вектор Tji = ( X
P
X
,
параллельный
плоскости
окружs6=i si s
i
ности S и параллельный директрисе кривой fji .
Имеем, используя (6), (7), (10)
i
ij
?Xi Xj
ij
=?
то в силу (8), (11) получим
?Xj Tji
=?
?Xj Tji
(
X
X
s6=i,j
s6=i,j
Xi
ij
ij
(Xj
si sj Xj
ji
=
si
+
ij
ij
+
ij
)
(?
X
s6=j
ji
+ k j n) ?
(kj ? ki )n + ki kj Xj .
ij = Xi Xj
ij + ?X
j Xi
ij
Xi ,
принадлежащую ?(S i ).
Имеем, используя (1), (6), (10)
dij
Так как
Xj Xi
1
= Xj ?
1
ij
( ?X
j
Xi + ? (Xi Xj )n) = 0.
Таким образом, при ij 6= 0 плоскости ?(S i )
вдоль j -той линии кривизны имеют общую прямую
)Xj +
sj Xs
=r?
P
?Хj P
+
ij Xj
)Xs + (Xj
ji
Xi +
i
ji Tj .
Рассмотрим точку
ij
Xj Xi
ji Xi ij ,
= {P, (
Xi
ij
ij
+
ij
)Xi ? ki n +
X
s6=i
si Xs },
которая параллельна директрисe кoнического
сечения fji .
ij ?
Библиографический список
1. Pinkal U. Dupinsche huperachen in E 4 //
Manuscripta math. { 1985. { №51.
2. Cecil T.E., Ryan P.J. Conformal geometri
and cyclides Dupin // Can. J. Math. { 1980. { T.
32, №4.
3. Вяльяс М.Э., Лумисте Ю.Г. Изотермические гиперповерхности и трехмерные гиперциклиды Дюпена-Маннгейма // Мат. заметки. { 1987. { Т. 41, №5.
4.
Лумисте Ю.Г. Конструкция КэлиКаталана для некоторых гиперповерхностей
Дюпена. // Уч. зап. Тартуского ун-та. { 1986.
5. Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. { М., 1963.
70
6. Чешкова М.А. Дважды каналовые гиперповерхности в евклидовом пространстве // Математический сборник. { 2000. { Т. 192, №6.
7.
Голышева О.С. Примеры дважды
каналовых гиперповерхностей в евклидовом
пространстве E n // Известия Алтайского государственного университета. { Барнаул, 1999. {
№1.
8. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. { М., 1981. { Т. 2.
9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. { М., 1981. { Т. 1.
10. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия.
{ М., 1986. { Ч. 2.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
206 Кб
Теги
главные, пространство, кривизна, имеющих, евклидовой, геометрия, различных, дюпена, циклид
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа