close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К методу подобных операторов в банаховых алгебрах.

код для вставкиСкачать
2005
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 3 (514)
УДК 517.983
Н.Б. УСКОВА
К МЕТОДУ ПОДОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ В БАНАХОВЫХ АЛГЕБРАХ
Одним из самых распространенных методов исследования спектральных свойств линейных
замкнутых операторов является резольвентный метод, основанный на использовании интегрального представления проектора Рисса P (; A), построенного по спектральному множеству оператора A. Альтернативным методом исследования является метод подобных операторов ([1],
с. 93; [2], [3]), свободный от оценок резольвенты оператора A на системе контуров, окружающих
спектр (A). Основная идея метода состоит в следующем. Заданный оператор рассматривается как разность двух операторов. Первый оператор, спектральные свойства которого легко
изучать, считается невозмущенным, а второй, малый в некотором смысле по сравнению с первым, | возмущением первого оператора. Затем преобразованием подобия возмущенный оператор переводится в более просто устроенный оператор, спектральные свойства которого близки
к спектральным свойствам невозмущенного оператора. Целью данной статьи является изложение метода подобных операторов применительно к банаховым алгебрам, при этом метод не
переносится автоматически, а возникает ряд особенностей, которые и отражены в данной статье. Кроме того, в качестве примера применения метода в банаховых алгебрах рассматривается
обусловленность простого изолированного собственного значения несимметричной матрицы.
Напомним некоторые понятия из банаховых алгебр (напр., [4], с. 255). Пусть B | банахова
алгебра, в общем случае некоммутативная, с единицей e. Спектр (a; B ) элемента a 2 B состоит
из всех таких чисел 2 C , для которых элемент a ; e необратим, открытое множество (a) =
C n (a) | резольвентное множество элемента a, функция R(; a) : (a) ! B , R(; a) = (e ;
a);1, 2 (a) | резольвента элемента a. Элементы a1; a2 2 B называются подобными, если
существует такой обратимый элемент u 2 B , что a1 u = ua2 . Очевидно, подобные элементы
имеют одинаковый спектр.
Пусть a 2 B | хорошо изученный элемент, называемый далее невозмущенным, и b 2 B
принадлежит некоторому подмножеству M B . Так же, как в [1], [2], будем придерживаться аксиоматического подхода при изучении спектральных свойств возмущенных элементов из
алгебры B .
Определение 1. Пусть M | подпространство из B , J : M ! M , ; : M ! B | линейные
операторы. Тройку (M; J; ;) назовем допустимой для элемента a 2 B , если
1) M | банахово пространство со своей нормой и kxkM const kxk 8x 2 M ;
2) J и ; | непрерывные линейные операторы;
3) a;x ; ;xa = x ; Jx 8x 2 M ;
4) x;y; (;x)y 2 M 8x; y 2 M и существует число > 0 такое, что k;k , maxfkx;ykM ,
k(;x)ykM g kxkM kykM ;
5) если J | проектор, т. е. J 2 = J , то Ker J = Im ;, Ker ; = Im J , где Ker J = fx2M :Jx = 0g,
Im J = fJx; x 2 M g.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(проект Є 04-01-00141).
79
Зафиксируем некоторую допустимую тройку для элемента a и будем искать обратимый
элемент u = e + ;x с тем, чтобы выполнялось равенство
(a ; b)(e + ;x) = (e + ;x)(a ; Jx);
(1)
где b 2 M и x 2 M | подлежащий определению элемент. Тогда из равенства (1) с учетом п. 3)
определения 1 следует, что элементы a ; b и a ; Jx подобны, если x есть решение рассматриваемого в M уравнения
x = b;x ; ;xJx + b:
(2)
В случае, если J | проектор, то, применяя к обеим частям равенства (2) оператор J и учитывая
п. 5) определения 1, получаем для неизвестного элемента x еще одно уравнение
x = b;x ; ;xJb ; ;xJ (b;x) + b:
(3)
Получим условия существования решений нелинейных уравнений (2) и (3).
Пусть T B | некоторое банахово пространство элементов из банаховой алгебры B и kxk
| норма элемента x в T . Рассмотрим два линейных ограниченных оператора L : T ! T и
Q : T ! T и f; f1 | некоторые элементы из T . Рассмотрим в T нелинейное уравнение
x = fLx + Lxf + LxQx + f = (x):
(4)
С помощью принципа сжимающих отображений ([5], с. 671) исследуем вопрос разрешимости
уравнения (4). Пусть B(0; R) | шар с центром в нуле и радиусом R = rkf k, x 2 B(0; R),
kxk rkf k. Тогда в силу (4)
kxk kf k ;kLk kf kr + kLk kf1kr + kLk kQk kf kr2 + 1:
Следовательно, шар B(0; R) переводится отображением в себя, если
1
kLk kQk kf kr + ;kLk kf k + kLk kf k ; 1r + 1 0:
(5)
Выпишем условия, при которых отображение : T ! T будет сжимающим в шаре B(0; R),
k(x) ; (y)k kx ; yk q;
2
1
где
q = kf k kLk + kf k kLk + 2kLk kQk r kf k < 1:
(6)
Легко проверить, что для r, найденных как решение квадратного неравенства (5), условие (6)
1
выполняется.
Итак, справедлива
Лемма 1. Пусть операторы
L, Q,
элементы
f, f
1 и число
r
таковы, что выполняется
(5). Тогда уравнение (4) имеет единственное решение x в шаре B(0; rkf k), и оно
(0)
может быть найдено методом простых итераций, где x
= 0, x(1) = f , x(2) = (x(1) ); : : : ,
(k+1)
k
x = (x ), k = 1; : : : ; n, причем
неравенство
n
kx ; x n k 1 q; q kf k:
( )
p a ; b a ; Jx
Теорема 1. Элементы
и
подобны, если
1) kbkM kJ k < 3 ; 2 2 и x | решение уравнения (2);
2) kbkM kJ k < 1=4 и x | решение уравнения (3).
80
Доказательство. Так как схема доказательства утверждений 1) и 2) одинакова, то докажем утверждение 2). В данном случае неравенство (5) имеет вид
2kJ k kbk2 r2 + (kbk + kJ k kbk ; 1)r + 1 0:
Обозначив kbk kJ k = ", получим неравенство "2 r2 + (2" ; 1)r + 1 0, существование решений
которого обеспечивает условие (2" ; 1)2 ; 4"2 > 0, или " < 41 . Осталось применить лемму 1.
В общем случае элемент x может быть найден методом простых итераций, если в качестве
нулевого приближения рассматривать нулевой элемент.
Пусть спектр (a; B ) невозмущенного элемента a представим в виде (a; B ) = 1 [ 2 , где 1
конечно, 1 \ 2 = ; и 2 6= ;. Символом p1 обозначим идемпотент, определенный формулой
Z
1
p1 = 2i R(; a) d;
где | спрямляемый жорданов контур, окружающий множество 1 , и p2 = e ; p1 . Очевидно,
что p1 , p2 необратимы в B . С помощью идемпотентов
p1 и p2 каждый элемент x 2 B представим
P
в виде x = p1 xp1 + p2 xp1 + p1 xp2 + p2 xp2 =
xij , где xij = pi xpj . Таким образом, алгебра
i;j =1;2
B есть прямая сумма замкнутых подпространств Bij = fx 2 B : pixpj = xg и Mij = Bij \ M ,
i; j = 1; 2. Отметим, что подпространства Bii , i = 1; 2, являются подалгебрами с единицами
e1 = p1 и e2 = p2 соответственно, причем xy = yx = 0 8x 2 B11, y 2 B22 , поэтому подалгебры
B11 и B22 образуют прямую сумму B11 B22 = B0 B . Следовательно, алгебра B изоморфна
алгебре матриц второго порядка, где xii = pi xpi , i = 1; 2, | элементы подалгебр Bii , i = 1; 2, и
x12 = p1xp2, x21 = p2xp1 | элементы подпространств B12 и B21 соответственно, если изоморфизм
задан формулой
x
x
11
12
N : x 7! x x ;
21
22
причем можно положить kNxk2 = kxk, т. е. норму матрицы элемента x 2 B считаем равной
норме элемента x в алгебре B .
Лемма 2. Пусть x = x1 + x2 2 B0 , x1 2 B11 , x2 2 B22 . Тогда (x; B ) = (x1 ; B11 ) [ (x2 ; B22 ).
Утверждение леммы следует из того, что элемент x 2 B0 обратим тогда и только тогда,
когда обратимы элементы x1 и x2 в своих подалгебрах.
Перейдем к построению линейных операторов J : M ! M и ; : M ! B . Пусть
Jx = p1xp1 + p2xp2; x 2 M;
т. е. оператор J осуществляет диагонализацию матрицы элемента x и J 2 = J . Оператор ; однозначно определяется в п. 3) определения 1. Положим y = ;x, тогда y есть решение рассматриваемого в B уравнения
ay ; ya = x21 + x12;
(7)
удовлетворяющее условию Jy = 0. Следовательно, y11 = y22 = 0 и уравнение (7) эквивалентно
системе уравнений
a11y12 ; y12a22 = x12;
a22y21 ; y21a11 = x21:
Из ([6], гл. 1) следует, что каждое из этих уравнений имеет единственное решение
Z Z
1
R(; a22 )x21R(; a11 ) d d;
y21 = ; 42
;
2 1
Z Z
R(; a11 )x12R(; a22 ) d d;
y12 = ; 41 2
;
2
1
81
где 1 и 2 | жордановы спрямляемые контуры, окружающие взаимно непересекающиеся области G1 и G2 , которые содержат множества 1 и 2 , и R | резольвента элемента aii как элемента
подалгебры Bii , i = 1; 2. Таким образом, матрица элемента y = ;x построена, и оператор ; определен.
Рассмотрим частный случай, когда 1 = f1 g | одноточечное множество.
Определение 2. Изолированная точка спектра 1 2 (a) называется полупростой, если
ap1 = 1p1, и простой, если подалгебра B11 одномерна, т. е. все элементы кратны идемпотенту p1.
В частности, одномерность алгебры B11 влечет выполнение равенства p1 xp1 = (x)p1 , где
: B ! C | линейный функционал, причем, очевидно, kk kp1 k. В дальнейшем этот функционал будет использоваться в оценках отклонения спектра невозмущенного элемента от возмущенного.
Пусть 1 | полупростая точка спектра невозмущенного элемента a. Tогда непосредственной
проверкой можно убедиться, что оператор ; имеет вид ;x = p1 xs ; sxp1 , x 2 M , где элемент
s 2 B однозначно определяется условием
sp1 =p1s = 0, (1 e2 ; a22 )s = s(1e2 ; a22 ) = e2 , т. е.
0
0
элемент s имеет матрицу Ns вида 0 (1 e2 ;a22 );1 , и ksk = k(1 e ; a22 )k;1 .
Из уравнения (3), умножая обе части его слева и справа на идемпотенты p1 , p2 , получим
следующую систему уравнений для определения матрицы искомого элемента x:
x11 = b12;x21 + b11;
(8)
x21 = b22;x21 ; (;x21)b11 ; (;x21)b12 ;x21 + b21 ;
(9)
x12 = b11;x12 ; (;x12)b22 ; (;x12)b21 ;x12 + b12 ;
(10)
x22 = b21;x12 + b22:
(11)
Введем следующие обозначения. Через eb22 обозначим наибольшую из норм операторов x 7!
(;x)b22 : M12 ! M12 , x 7! b22 ;x : M21 ! M21 , символами eb12 и eb21 | соответственно нормы
операторов x 7! b12 ;x : M21 ! M11 , x 7! b21 ;x : M12 ! M22 .
Теорема 2. Пусть выполнены условия
kb k + eb + 2(eb kb k ) = < 1;
kb k + eb + 2(eb kb k ) = < 1:
Тогда каждое из уравнений
11
22
12
21
11
22
21
12
(12)
(13)
1 2
1 2
(9), (10) имеет единственное решение, которое можно найти ме-
тодом последовательных приближений, отправляясь от нулевого элемента, причем
kx k 2kb k(1 ; ( kb k + eb ) + ); = g ;
kx k 2kb k(1 ; ( kb k + eb ) + ); = g ;
21
21
12
12
11
11
22
22
1
2
1
1
1
2
где
= ((1 ; kb11 k ; eb22 ) ; 4eb21 kb12 k )1=2 ;
1=2
e
e
:
2 = ((1 ; kb11 k ; b22 ) ; 4b12 kb21 k )
Доказательство. Рассмотрим, например, уравнение (9). Для него условие (5) имеет вид
e
b12 kb21 kr2 + eb22 + kb11 k ; 1 r + 1 0:
Тогда условие существования решений для него есть условие (12). Применяя лемму 1, получаем,
что уравнение (9) разрешимо и для его решения (при n = 0) имеем приведенную выше оценку.
Замечание. Выполнение условий (12), (13) гарантирует подобие возмущенного элемента
a ; b элементу a ; x11 ; x22.
1
82
Теперь, обладая приближениями для x11 и x22 , можно получить информацию о спектре
возмущенного элемента a ; b.
Представим элемент ae11 = a11 ; x11 в виде a11 ; b11 ; (x11 ; b11 ). Пусть (a11 ; b11 ; B11 ) известен,
тогда из (8), (9) следует, что (ae11 ; B11 ) C n V ,
V = f 2 (a11 ; b11) : ka11 ; b11 ; 1e1 k;1eb12 g1 < 1g:
Аналогичную оценку можно выписать для (a22 ; x22 ; B22 ).
Рассмотрим теперь случай, когда 1 | полупростая точка спектра. Тогда уравнения (8), (9)
превратятся в уравнения
x11 = b11 ; b12 sx21;
(14)
x21 = ;b22sx21 + sx21b11 ; sx21b12sx21 + b21 :
(15)
Теорема 3. Пусть выполнено неравенство
ksk kb k + eb + 2(eb kb k ksk) = < 1;
e
b
x 7! b sx : M ! M
x 7! b sx : M ! M
(15)
11
где символом
оператора
22
12
22 обозначена норма оператора
12
21
22
11 . Тогда уравнение
(16)
1 2
21
21 , а символом
21
b
e
12 | норма
имеет единственное решение, которое
можно найти методом простых итераций, причем
kx k < g ; kx ; b k eb g ;
21
где
1
11
11
12 1
g = 2kb k(1 ; (ksk kb k + eb ) + ); .
1
21
11
22
1
1
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2.
Пусть 1 | простая точка спектра (a11 ; B11 ), и | точка спектра возмущенного элемента
a ; b. Тогда из (14) следует (x) = (b) ; (bsx),
e
e
j ; j kb11k + b12g1 j(b)j + b12g1 ;
(17)
1
kp k
kp k
e
j ; + (b)j bkp gk :
1
1
12 1
1
1
(18)
Обозначим через Matr C n алгебру комплексных матриц размера n n. Рассмотрим алгебру
C = C (K; Matr C n ) непрерывных на компакте K функций со значениями в алгебре Matr C n ,
нормой k'k = max
k'(t)k и умножением (fg)(t) = f (t)g(t) 8f; g 2 C (K; Matr C n ). Единичным
t2K
элементом такой алгебры служит функция e(t) E , где E | единичная матрица для всех
t 2 K.
Пусть a | невозмущенный элемент алгебры C = C (K; Matr C n ), (a; C ) = 1 [ 2 , 1 \ 2 = ;
и 1 , 2 | непустые множества. Непосредственно из теорем 2 и 3 следует
n
Теорема 4. Пусть возмущение b 2 C (K; Matr C ) такое, что выполняются условия (12),
(13). Тогда возмущенный элемент a ; b подобен элементу a ; x11 ; x22 , где x11 = p1 xp1 и
x22 = p2xp2 суть решения уравнений (8) и (11) соответственно, причем (a; C ) = (a11 ;
x11; C11 ) [ (a22 ; x22 ; C22) и (a11 ; x11; C11 ) C n V1,
V1 = f 2 (a11 ; b11) : ka11 ; b11 ; e1k;1eb12g1 < 1g;
(a22 ; x22; C22 ) C n V2,
V2 = f 2 (a22 ; b22) : ka22 ; b22 ; e2k;1eb21g2 < 1g:
| простая точка спектра невозмущенного элемента, то для точки спек возмущенного элемента имеют место оценки (17), (18).
Более того, если
тра
1
83
Применим теорему 4 к вопросу обусловленности простого изолированного собственного значения матрицы A0 = (aij ). Если матрица A0 взята из математической модели, описывающей
реальный процесс, то числа aij , i; j = 1; : : : ; n, обычно известны с некоторой неустранимой погрешностью. Кроме того, при применении любого численного алгоритма нахождения собственных значений также вносится вычислительная погрешность. Поэтому актуальным является
вопрос обусловленности собственных значений, т. е. насколько найденное собственное значение
близко к истинному.
Пусть A"0 | некоторое возмущение матрицы A0 такое, что kA"0 ; A0 k < ", " | собственное
значение возмущенной матрицы A"0 , | собственное значение невозмущенной матрицы A0 . В
вычислительной математике широкое применение имеет оценка ([7], с. 310; [8])
j ; "j k()" + O(" );
(19)
2
где k() | локальное число обусловленности собственного значения , причем k() в случае простоты собственного значения есть величина, обратная косинусу угла между левым и правым
собственными векторами. Легко можно показать, что в этом случае k() есть норма ортопроектора на соответствующее одномерное подпространство. Отметим, что формула (19) эффективна
только при " "0 , где "0 зависит от расположения и обусловленности остальных собственных
значений и может оказаться практически нулем. Ниже уточним формулу (19) в случае простого
собственного значения и укажем формулу для нахождения "0 .
Зададим компакт
K=
n
Y
i;j =1
[;ij ; ij ];
где ij > 0; или K = [;11 ; 11 ] [;12 ; 12 ] [;nn ; nn ], т. е. K есть декартово произведение n2
отрезков [;ij ; ij ], i; j = 1; : : : ; n. Пусть F : K ! Matr C n , F (t) = (fij (t)), положим
kF k = kF (t)k
= max
t2K
Matr C n
X
n
i;j =1
21
fij (t) :
2
(20)
Рассмотрим функцию A(t) 2 C (K; Matr C n ), определяемую формулой
A(t) = A0(t) ; (t), где
P
12
n
(t) = (tij ), tij 2 [;ij ; ij ], A0 (t) A0 . Очевидно, kk ij2 . Числа ij характеризуют
i;j =1
максимально возможную погрешность задания числа aij , ij = 0, если априори известно, что это
число задано точно. Здесь проблема обусловленности сводится к нахождению спектра элемента
A(t), t 2 K , из банаховой алгебры C (K; Matr C n ).
Пусть 1 | изолированная полупростая точка спектра постоянной функции A0 . Тогда функция P1 (t) = P1 также является постоянной и определяется из равенства A0 P1 = 1 P1 .
Теорема 5. Пусть компакт K таков, что выполняется условие (16) относительно нормы,
определяемой формулой (20). Тогда (A11 ; C11 ) C n V ,
V = f 2 ( P ; P P ) : k P ; P P ; P k; eb g < 1g:
Более того, если | простая изолированная точка спектра постоянной функции A , то
e
j ; j kkP kk + bkP gk ;
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12 1
0
1
11
12 1
1
1
или
j ; j j()j + O(kP P k kP P k):
1
1
84
2
2
1
(21)
Так как k()k jj kk kp1 k kk, то из (21) непосредственно вытекает неравенство
j ; 1j kp1k kk + O(kP1 P2k kP2 P1k) "kp1 k + O(kP1 P2 k kP2 P1k):
Oценка (21) точнее оценки (19), потому что в (21) учитываются именно нормы блоков возмущения, задаваемого функцией , и показано, что ведущую роль в оценивании близости найденного
собственного значения к истинному играет норма блока 11 или же возможная погрешность в
задании элементов блока P1 AP1 известной матрицы A0 .
Замечание. Неравенство (16) дает значение "0 , для которого имеют место оценки (19), (21).
Литература
1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. Учебное пособие. { Воронеж:
Изд-во Воронежск. ун-та, 1987. { 164 с.
2. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущенных квазианалитических и спектральных
операторов // Изв. РАН. Сер. матем. { 1994. { Т. 58. { Є 4. { С. 3{32.
3. Ускова Н.Б. Об оценках спектральных проекторов возмущенных самосопряженных операторов // Сиб. матем. журн. { 2000. { Т. 41. { Є 3. { С. 712{721.
4. Рудин У. Функциональный анализ. { М.: Мир, 1975. { 443 с.
5. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. { М.: Наука, 1984. { 752 с.
6. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уранений в банаховом пространстве. { М.: Наука, 1970. { 534 с.
7. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. { М.: Мир, 1999. { 548 с.
8. Агеев А.А. Условные оценки устойчивости в несимметричной проблеме собственных значений // Изв. вузов. Математика. { 2001. { Є 9. { С. 3{12.
Воронежский государственный
Поступила
09.10.2002
технический университет
85
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
167 Кб
Теги
метод, подобные, алгебра, оператора, банаховых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа