close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К нестационарной задаче простого преследования.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)
УДК 517.977
c А. C. Банников
К НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ ПРОСТОГО ПРЕСЛЕДОВАНИЯ1
Рассматривается нестационарная задача простого преследования несколькими управляемыми объектами одного
убегающего с фазовыми ограничениями на состояние убегающего и одинаковыми динамическими возможностями всех участников. Получены достаточные условия поимки и уклонения.
Ключевые слова: дифференциальные игры, фазовые ограничения, кусочно-программные стратегии и контрстратегии.
Введение. Рассматривается нестационарная задача простого преследования несколькими
управляемыми объектами одного убегающего с фазовыми ограничениями на состояние убегающего и одинаковыми динамическими возможностями всех участников. Стационарный случай
a(t) ≡ 1 рассматривался многими авторами. В работах [1, 2] получено решение задачи без фазовых ограничений. В работе [3] получено решение задачи с фазовыми ограничениями, когда
множество, ограничивающее управления игроков, — шар единичного радиуса, терминальные
множества — выпуклые компакты.
В данной работе рассмотрен нестационарный случай, когда множество допустимых управлений игроков и терминальные множества — выпуклые компакты, фазовые ограничения —
выпуклое многогранное множество.
Постановка задачи. В конечномерном евклидовом пространстве Rk (k > 2) рассматривается дифференциальная игра Γ n+1-го лица: n преследователей P1 ,. . . , Pn и одного убегающего E.
Законы движения каждого из преследователей и убегающего имеют следующий вид:
Pi :
E:
ẋi (t) = a(t)ui (t), xi (t0 ) = x0i , ui ∈ Q,
ẏ(t) = a(t)v(t),
y(t0 ) = y 0 ,
v ∈ Q,
причём zi0 = x0i − y 0 ∈
/ Mi , i ∈ Nn ={1,
˙
. . . , n}, Mi ⊂ Rk — заданные выпуклые компакты,
a(t) : [t0 , +∞) → R — измеримая по Лебегу функция, интегрируемая на любом компактном
подмножестве полуоси [t0 , +∞), Q ⊂ Rk — выпуклый компакт.
Предполагается, что убегающий E в процессе игры не покидает пределы выпуклого многогранного множества D с непустой внутренностью
n
o
D = w ∈ Rk |hpj , wi 6 µj , j = 1, . . . , r ,
где p1 ,. . . , pr — единичные векторы, µ1 ,. . . , µr — вещественные
числа, такие что Int D 6= ∅.
Пусть zi (t) = xi (t) − y(t), i ∈ Nn , z(t) = z1 (t), . . . , zn (t) , z 0 = z(t0 ). Тогда
żi (t) = a(t) ui (t) − v(t) , zi (t0 ) = zi0 .
(1)
Игра рассматривается в паре позиционные контрстратегии преследователей — позиционные
стратегии убегающего.
О п р е д е л е н и е 1. В игре Γ возможно уклонение от встречи, если для любого
T > t0 существует такая стратегия V убегающего E, что для любых контрстратегий Ui преследователей Pi , i ∈ Nn , выполнено
zi (t) ∈
/ Mi ,
1
t ∈ [t0 , T ],
Работа поддержана РФФИ (грант № 12–01–00195).
10
i ∈ Nn .
О п р е д е л е н и е 2. В игре Γ происходит поимка, если существует T > t0 и для
любой стратегии V убегающего E существуют контрстратегии Ui преследователей Pi , i ∈ Nn ,
момент времени τ ∈ [t0 , T ] и номер m ∈ {1, . . . , n} такие, что
zm (τ ) ∈ Mm .
Достаточные условия поимки и уклонения. Введём функции λi (λ−
i ) следующим образом:
λi (v, mi ) = max{λ|v − λ(zi0 − mi ) ∈ Q, v ∈ Q},
λ−
i (w, mi )
= max{λ|w −
λ(zi0
λi (v) = max λi (v, mi ),
mi ∈Mi
− mi ) ∈ −Q, w ∈ −Q},
λn+j (v) = hpj , vi, v ∈ Q,
λ−
n+j (w)
λ−
i (w)
= max λ−
i (w, mi ),
mi ∈Mi
= hpj , wi, w ∈ −Q.
Так как Q — выпуклый компакт, то функции непрерывны и существуют ([4])
δ(z 0 ) = min max λi (v),
v∈Q i∈Nn+r
δ− (z 0 ) = min max λ−
i (w).
w∈−Q i∈Nn+r
Т е о р е м а. Пусть начальная позиция z 0 и функция a(·) таковы, что
Z
Z
o
n
− 0
0
b
|a(s)| ds > n < +∞.
a(s) ds + δ (z )
T = min t > t0 | δ(z )
{τ ∈[t0 ,t]|a(τ )<0}
{τ ∈[t0 ,t]|a(τ )>0}
Тогда в игре Γ происходит поимка.
R∞
С л е д с т в и е (см. [5]). Пусть Q — шар с центром в нуле, t0 |a(s)| ds = +∞, чисS
ло элементов множества ni=1 (zi0 − Mi ) не меньше k. Для того, чтобы в игре Γ происходила
поимка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
0 ∈ Int conv{z10 − M1 , . . . , zn0 − Mn , p1 , . . . , pr }.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами // Кибернетика. 1976. № 3. С. 145–146.
Григоренко Н.Л. Игра простого преследования–убегания группы преследователей и одного убегающего //
Вестн. МГУ. Сер. вычисл. матем. и кибер. 1983. № 1. С. 41–47.
Петров Н.Н. Теория игр: учеб.пособие. Ижевск: Удмуртский университет, 1997. 197 с.
Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наук. думка, 1992. 384 c.
Об одной задаче группового преследования // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика.
Компьютерные науки. 2009. Вып. 3. С. 2–11.
Поступила в редакцию 01.02.2012
A. S. Bannikov
About non-stationary problem of simple pursuit
The sufficient conditions of capture and evasion are obtained for non-stationary problem of simple pursuit.
Keywords: differential games, phase restrictions.
Mathematical Subject Classifications: 49N70, 49N75
Банников Александр Сергеевич, ассистент, кафедра дифференциальных уравнений, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: asbannikov@gmail.com
Bannikov Aleksandr Sergeevich, Assistant Lecturer, Department of Differential Equations, Udmurt State University,
ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia
11
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
104 Кб
Теги
простого, преследования, задачи, нестационарные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа