close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

К оценкам частных сумм рядов Фурье функций ограниченной вариации.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 1 (452)
УДК 517.518
А.Ю. ПОПОВ, С.А. ТЕЛЯКОВСКИЙ
К ОЦЕНКАМ ЧАСТНЫХ СУММ РЯДОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ
ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
В работе [1] было получено следующее усиление теоремы У. Янга о равномерной ограниченности последовательности частных сумм рядов Фурье функций ограниченной вариации.
Теорема A. Пусть n1 = 1 < n2 < n3 < | возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что для некоторого числа
1
X
A выполнено условие
1 A ; m = 1; 2; : : :
nm
j =m nj
Тогда для произвольной функции
(1)
f ограниченной вариации с рядом Фурье
1
a0 + X
(a cos kx + b sin kx)
2
k=1
k
k
справедлива оценка
+1 ;1
1 njX
X
j =1
где
k=nj
(ak cos kx + bk sin kx) CAV (f );
C | абсолютная постоянная, а V (f ) | вариация функции f
(2)
на периоде.
В [1] приведены некоторые следствия из оценки (2), а также аналогичные ей результаты.
Известно ([2], c. 24), что условие (1) равносильно возможности представить последовательность
fnj g в виде объединения конечного числа лакунарных последовательностей. В данной статье
выясняется, в какой мере условие (1) является существенным для справедливости теоремы A.
Будет показано, что это условие не является необходимым и в то же время оно не может быть
значительно ослаблено. Эти утверждения составляют содержание теорем 1 и 2 соответственно.
Теорема 1.
Пусть последовательность
влетворяющих условиям
выполняется условие вида
fnj g
состоит из всех натуральных чисел
k, удо-
k
p = 0; 1; 2; : : : Для этой последовательности не
(1), но вместе с тем для любой функции f ограниченной вариации
3p
3p
+ 2p ,
справедлива оценка
+1 ;1
1 njX
X
j =1
с абсолютной постоянной
k=nj
(ak cos kx + bk sin kx) CV (f )
(3)
C.
Работа выполнена при финансовой поддержке первого автора Российским фондом фундаментальных
исследований (проект 96-01-00378) и второго автора | Российским фондом фундаментальных исследований и Государственным фондом естественных наук Китая (проект 96-01-00036C).
51
Доказательство. Для рассматриваемой последовательности условие (1) не выполняется,
т. к.
p
p
+2 1
2p > 2p :
1 > 3X
>
p
p 2 3p
k=3p k 3 + 2
nj 3p nj
Докажем оценку (3). Обозначив Ak (x) := ak cos kx + bk sin kx, получим
1
X
+1 ;1
1 njX
X
j =1
k=nj
Ak (x) =
p
p
1 3 +2
X
X;1
p=0
k=3p
jAk (x)j +
3p+1 ;1
X
k=3p +2p
Ak (x) :
Используя известную оценку ([2], c. 81) jAk (x)j k1 V (f ), находим
p
p
1 3 +2
X
X;1
p
p
1 3 +2
X
X;1
1 2p
1 V (f ) X
(4)
p V (f ) = 3V (f ):
p=0 k=3p
p=0 k=3p k
p=0 3
Так как последовательность, составленная из чисел 3p , 3p + 2p , p = 0; 1; : : : , удовлетворяет
условию (1), то согласно теореме A
jAk (x)j +1 ;1
1 3pX
X
p=0 k=3p +2p
Ak (x) CV (f )
(5)
с некоторой постоянной C . Из (4) и (5) вытекает оценка (3).
Покажем, что если последовательность fnj g удовлетворяет условию
nj+1 = 1;
lim
j !1 n
(6)
j
то для нее оценка вида (2) может не иметь места.
Будем рассматривать функцию ограниченной вариации
1 sin kx
;x =X
; 0 < x < 2:
2
k=1 k
;
Введем обозначение := maxj nnj+1j ; 1 . В силу (6) lim
!1 = 0.
Теорема 2.
Пусть для последовательности
fnj g
x 2 n ; n
+1 выполняется условие
(6). Тогда для
(7)
справедлива равномерная относительно всех параметров оценка
F (x) :=
+1 ;1
1 njX
X
j =1
k=nj
sin kx 1 log 1 + O(1):
k 12 (8)
Доказательство. Зафиксируем значение x, удовлетворяющее условию (7), и положим N :=
[1=(6 )]. Оценку (8) достаточно доказать при условиях N > 1 и
x 2 (0; =6]:
(9)
В дальнейшем будем считать эти условия выполненными.
Если натуральное число m < N , то существуют j такие, что
m + 61 nj x m + 13 ;
(10)
52
и такие, что
2
5
m + 3 nj x m + 6 :
(11)
Действительно, если бы оценки (10) не выполнялись ни для одного числа j , то существовало
бы j такое, что
1
1
nj x < m + 6 ; nj+1 x > m + 3 ;
откуда
Но из цепочки неравенств
(nj+1 ; nj )x > 6 :
(12)
1
m + 3 < nj+1 x nnj+1 ;
следует, что
j . Кроме того, по предположению nj x < m + 16 < N . Поэтому (nj+1 ;
; nj+1
nj )x = nj x nj ; 1 < N 6 , что противоречит оценке (12). Точно так же обосновывается
существование j , для которых справедливы неравенства (11).
Для каждого m = 1; 2; : : : ; N ; 1 обозначим через Em множество тех j , для которых
m + 16 nj x < nj+1 x m + 56 :
(13)
Тогда
NX
+1 ;1
;1 X njX
sin
kx
:
F (x) m=1 j 2Em
k=nj
k
В силу (13) для всех k таких, что nj k nj+1 ; 1, знаки sin kx одинаковы и j sin kxj 1=2.
Поэтому
NX
;1
njX
+1 ;1
;1 X 1
1 1 NX
;
m=1 j 2Em k=nj 2k 2 m=1 k k
где для каждого m суммирование ведется по всем таким k, что
2
1
m + 3 x k m + 3 x :
Так как для любых положительных a и b
Z b
X 1
du = log b ;
a+1
a+1 u
akb k
F (x) X
(14)
то из (14) с учетом (9) следует оценка
;
;
NX
NX
2
2 ;1
;1
m
+
m
+
1
1
3
x
3
log ;
log ;
F (x) 2
1 + 1 2
1 + =
m
+
m
+
m=1
m=1
3 x
3
6
N
;
1
2
X
m+
1 log N + O(1) = 1 log 1 + O(1): = 12
log m + 31 = 12
12 2
m=1
Проиллюстрируем оценку (8) на примере последовательности
nj := 2j ; j = 1; 2; : : : ; 0 < < 1:
(15)
53
Для этой последовательности числа nj не являются целыми. Нетрудно видеть, что это неb
P
существенно, если условиться понимать в (8) символ
с произвольными положительныj =a
ми a и b как сумму по всем
натуральным j таким, что a j b. Для последовательности (15) nnj+1j ; 1 = 2(j+1) ;j ; 1. Так как с ростом j разность (j + 1) ; j убывает, то
= 2( +1) ;1; ; 1. Пользуясь
дважды формулой конечных приращений Лагранжа, находим
1;
=
(
+
)
1
=
= 2
;1<2
; 1 < 12; . Значит,
log 1 > (1 ; ) log ; log 2:
(16)
Если x удовлетворяет условию (7), то =x < 2( +1) 2(2 ) , откуда
1=
1
2 log x :
(17)
Объединив оценки (16) и (17), получим log 1 > 1; log log x ; 2 log 2.
Таким образом, для последовательности (15) имеем
F (x) 112; log log x + O(1)
равномерно относительно 2 (0; 1) и x 2 (0; =6].
В теореме 2 функция, для которой не выполнялась оценка (2), имела точку разрыва.
Заметим, что для любой последовательности fnj g, удовлетворяющей условию (6), существует непрерывная функция ограниченной вариации, для которой оценка (2) не имеет места.
Действительно, для каждой сходящейся к нулю последовательности существует мажорирующая ее выпуклая сходящаяся к нулю последовательность ([2], c. 653).
Пусть числа N и те же, что и в доказательстве теоремы 2, и f"k g | выпуклая сходящаяся
к нулю последовательность такая, что для p = N n +1
1
P
"p log 1
!;1=2
:
Положим bk := "k =k и g(x) := bk sin kx. Тогда функция g(x) непрерывна и имеет ограниченk=1
ную вариацию, т. к. ее производная суммируема (в силу выпуклости последовательности f"k g).
Проведя для функции
+1 ;1
1 njX
X
bk sin kx
G(x) := j =1
k=nj
те же рассуждения, что и для функции F (x) при доказательстве теоремы 2, получим для x,
удовлетворяющих условию (7), аналог оценки (14)
NX
;1 X
G(x) 12
bk ;
(18)
m=1 k
где сумма по k имеет тот же смысл, что и в (14).
Так как для всех k, участвующих в оценке (18), k p = N n +1 , то из (18) вытекает оценка
NX
;1 X 1
1
121 "p log 1 + O(1) 121 log 1
G(x) 2 "p
k
m=1 k
доказывающая наше утверждение.
54
!1=2
+ O(1);
Литература
1. Теляковский С.А. О частных суммах рядов Фурье функций ограниченной
МИАН. { 1997. { T. 219. { C. 378{386.
2. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. { М.: Физматгиз, 1961. { 936 c.
Московский государственный
вариации
// Тр.
Поступила
15.06.1998
университет им. М.В. Ломоносова
55
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
138 Кб
Теги
оценка, суммы, частных, фурье, функции, рядом, вариаций, ограниченной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа