close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Качественный анализ эволюционных уравнений в неклассической теории пологих оболочек с начальными неправильностями.

код для вставкиСкачать
Математика и механика
УДК 539.3
В.Ф. Кириченко, П.А. Самаркин
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ
В статье с помощью метода компактности и новой методики
получения априорных оценок доказана разрешимость первой краевой
задачи для уравнений движения в неклассической теории пологих
оболочек.
Неклассическая
теория
пологих
оболочек,
уравнения
математической физики, обобщенные решения нелинейных краевых задач
V.F. Kirichenko, P.A. Samarkin
QUALITATIVE ANALYSIS OF THE EVOLUTION EQUATIONS
IN NONCLASSICAL THEORY OF SHALLOW SHELLS
WITH INITIAL IRREGULARITIES
This article uses compactness method and new methodology of giving an
a priori estimate to prove solvability of the first boundary-value problem for the
equations of motion in nonclassical theory of shallow shells.
Nonclassical theory of shallow shells, equations of mathematical physics,
generalized solutions of nonlinear boundary-value problems
В монографии [1, стр. 349–350] сформулированы нерешенные проблемы
математической теории оболочек, в частности, седьмая проблема связана с построением
математической теории для вариантов оболочек, наряду с геометрической нелинейностью
учитывающих сдвиговые напряжения. Именно для уравнений движения такого варианта
пологих оболочек в данной статье доказано существования обобщенного решения.
Объектом исследования является следующая краевая задача для эволюционных
уравнений «в смешанной форме», определяющих условия движения пологой изотропной и
однородной оболочки в рамках обобщенных гипотез Тимошенко (модель Пелеха —
Шереметьева) с учётом начальных неправильностей:
h
2
h
−
2
∫
2




∂u 
∂u 
∂σ
 ρA ∂ 2  Aui1 − B 30  + ε i A ∂  Aui1 − B 30  − A ii − A ∂σ 12 + Cσ i 3  dx3 = 0,
 ∂t

∂xi 
∂t 
∂xi 
∂xi
∂x3−i



(1)
i = 1,2;
33
Вестник СГТУ. 2011. № 3 (57). Выпуск 1
h
2
h
−
2
∫
2 
 ∂ 2u
∂u30
∂

30
ρ
ε
ρB
+
+

∑
3
2
 ∂t
∂t
i =1 
 ∂xi

+ εiB
− κ1
∂
∂xi
 ∂2
 2
 ∂t


∂u 30  
 Aui1 − B
 +
∂xi  

∂
∂u  
∂ 2σ ii
∂σ i 3  
∂ 2σ 12
  Au i1 − B 30   − B
−
B
−
C
  dx3 −
2
 ∂t

∂
x
∂
x
∂
x
∂
x
∂
x
 
i
3
−
i
i
i
i




(2)
∂2F
∂2F
−
κ
− L(u30 , F ) − L( w0 , F ) = g ( x1 , x2 , t );
2
∂x22
∂x12
1 2
∂ 2u30
∂ 2u30 1
∆ F = −κ1
−
κ
− L(u30 , u30 ) − L(u30 , w0 );
2
Eh
∂x22
∂x12 2
u30 Γ = 0,
∂u30
∂n
= 0,
Γ
∂F
∂n
= 0, ui1 Γ = 0, i = 1,2;
(4)
∂u30 ( x1 , x2 , t0 )
= ψ 30 ( x1 , x2 ),
∂t
(5)
∂u i1 ( x1 , x2 , t 0 )
= ψ i1 ( x1 , x2 ), i = 1,2.
∂t
(6)
Γ
u30 ( x1 , x2 , t0 ) = ϕ30 ( x1 , x2 ),
u i1 ( x1 , x2 , t 0 ) = ϕ i1 ( x1 , x2 ),
(3)
В задаче (1) — (6) и всюду далее приняты следующие условные обозначения:
∆ (⋅) = ∆(∆(⋅) ),
2

4x3 
A =  x3 − 32 ,
3h 

σ ii
=
σ 12
1 ∂2F
E
+
2
h ∂x3−i 1 − v 2
=−
∂ 2 (⋅) ∂ 2 (⋅)
;
∆(⋅) =
+
∂x12
∂x22
B=
4 x33
4 x32
,
C
=
1
;
−
3h 2
h2
  ∂ui1
 ∂ 2u30
∂u3−i1 
∂ 2u30  
 A
,
+
v
−
B
+
v

 2
2 
 ∂x
∂
x
∂
x
∂
x
3−i 
3−i  
 i
  i
 ∂ 2u30  
1 ∂2F
E   ∂u11 ∂u 21 
 A
+
+
−
B

2
 ,
h ∂x1∂x2 2(1 + v)   ∂x2
∂x1 
 ∂x1∂x2  
σ i3
=

∂u 
E
C ui1 + 30 , i = 1,2;
2(1 + v) 
∂xi 
Γ = ∂Ω × [t 0 , t1 ], Ω = Ω ∪ ∂Ω, Ω ⊂ R 2 , Q = Ω × (t 0 , t1 ),
 h h
 h h
D = Ω ×  − , , D ∈ R 3 ; ( x1 , x2 ) ∈ Ω , x3 ∈ − , , h > 0;
 2 2
 2 2
Здесь Ω — измеримая по Лебегу односвязная область в евклидовом пространстве R 2
 h h
с границей ∂Ω ; D = Ω × − ,  — область в пространстве R 3 , занимаемая оболочкой в
 2 2
недеформированном состоянии; n — внешняя единичная нормаль к плоской кривой ∂Ω ;
h — постоянная толщина оболочки; ρ — постоянная плотность материала оболочки;
[t0 , t1 ] — отрезок времени наблюдения за эволюцией оболочки; функция w0 ( x1 , x2 )
определяет начальную неправильность оболочки; функция u30 ( x1 , x2 , t ) определяет
дополнительный
34
прогиб
оболочки
в
момент
времени
t ∈ [t0 , t1 ] ,
а
функция
Математика и механика
[u30 ( x1 , x2 , t ) + w0 ( x1 , x2 )] — полный прогиб; κ i ( i = 1,2 ) — постоянные начальные кривизны
оболочки; F ( x1 , x2 , t ) — искомая функция усилий; u30 ( x1 , x2 , t ) , ui1 ( x1 , x2 , t ) ( i = 1,2 ) —
искомые функции, определяющие коэффициенты в аппроксимации вектора перемещений
точек оболочки; g ( x1 , x2 , t ) — интенсивность поперечной нагрузки; ϕi1 ( x1 , x2 ) , ϕ30 ( x1 , x2 ) ,
ψ i1 ( x1 , x2 ) , ψ 30 ( x1 , x2 ) — известные функции, определяющие начальные условия (5), (6),
i = 1,2 ; ε 1 , ε 2 , ε 3 — постоянные коэффициенты демпфирования; E , v — упругие
постоянные, E > 0 , 0 < v <1 / 2 .
Следует отметить, что краевая задача (1) — (6) получена по методике из работы [2].
Далее будем использовать обозначения, в том числе функциональных пространств,
норм и скалярного произведения, из [3].
Теорема. Пусть кривая ∂Ω имеет гладкость, достаточную для используемых
теорем вложения, и выполняются такие условия:
g ∈ L2 (Q), ϕ30 ∈ H 02 (Ω), ψ 30 ∈ H 01 (Ω).
2
ϕi1 ∈ H 01 (Ω), ψ i1 ∈ L2 (Ω), i = 1,2; w0 ∈ C (Ω).
(7)
Тогда:
~
• существует хотя бы одно решение {u~i1 , u~30 , F } задачи (1) — (6), при этом
∂u~
~
u~30 , F ∈ L∞ (t0 , t1 ; H 02 (Ω)); u~i1 , 30 ∈ L∞ (t0 , t1 ; H 01 (Ω)),
∂t
∂u~i1
∈ L∞ (t0 , t1 ; L2 (Ω));
∂t
(8)
• приближенное решение задачи (1) — (6) может быть найдено методом Бубнова
– Галеркина, при этом функция F определяется как решение уравнения (3) с
граничными условиями из (4), а всё множество получаемых решений слабо
компактно в пространствах, соответствующих (8), и его предельные точки
определяют решение задачи (1) — (6).
Отметим основные этапы доказательства.
10 Построение приближенного решения. Решение задачи (1) — (6) ищем с помощью
метода Бубнова – Галеркина и с этой целью полагаем:
n
u30
=
где
n3
ni
n
g
(
t
)
χ
(
x
,
x
),
u
=
∑ 3κ3 3κ3 1 2 i1 ∑ giκi (t ) χ iκi ( x1 , x2 ), i = 1,2,
κ 3 =1
κ i =1
(9)
{χ 3κ } — базис в H 02 (Ω) ,
3
{χ ii } — базисные системы в H 01 (Ω) , при этом функция F n определяется как решение
следующей граничной задачи для уравнения эллиптического типа:
n
n
1 2
∂ 2u30
∂ 2u30
1
∂F
n
n
n
∆ F = −κ1
−κ2
− L(u30
, u30
) − L(u30
, w0 ), F Γ = 0,
= 0,
2
2
Eh
∂x2
∂x1
2
∂n
(10)
g 3κ (t ), g iκ (t ) , из аппроксимаций (9), определяются из следующей системы
3
i
обыкновенных дифференциальных уравнений:
35
Вестник СГТУ. 2011. № 3 (57). Выпуск 1
n
n
  ∂ 2  n
  n ∂χ iκ i

 
∂u 30
∂u 30
∂ n
 ρ
 + σ ii , A
Au
−
B
+
Au
−
B
,
A
ε
χ


i
1

i

i
1

i
κ
i 

  ∂t 2 
∂
x
∂
t
∂
x
∂xi

i 
i 


D 
∂χ iκ

i
+  σ 12n , A

∂x3−i

(

 + σ in3 , Cχ iκ
i

D
)
D
(11)
= 0, i = 1,2, κ i = 1, ni ;
n
2
2  
  ∂ 2 u30

∂u n 
  2 + ε 3 30 , χ 3κ  + ∑   ρ ∂ 2
 ∂t
3 

∂t 

 D i =1   ∂t
∂χ 3κ   n
∂ 2 χ 3κ
3 
3

(− B )
+ σ ii , (− B)
2

∂xi  
∂xi
D


 +

D
n
n
 n

 
∂u30
∂u30
∂ n
ε
Au
−
B
+
Au
−
B
 i1
 i  i1
 ,
∂xi 
∂t 
∂xi  

 
∂ 2 χ 3κ
3
 +  σ n , (− B)
12
 
∂x3−i ∂xi
D 
(
 
∂χ
 +  σ n , C 3κ 3
i3
 
∂xi
D 
 ∂2F n

 ∂2F n

n


, χ 3κ  − κ 2 
, χ 3κ  − L(u 30
, F n ), χ 3κ
− κ1 
2
2
3
3
3
 ∂x 2
Ω
 ∂x1
Ω
)
Ω
 
 −
 
D 
(12)
− ( L( w0 , F n ), χ 3κ ) Ω =
3
= ( g1 , χ 3κ ) Ω , κ 3 = 1, n3 ,
3
с начальными условиями следующего вида:
n3
n
n
n
ϕ 30 = ∑ a3κ3 χ 3κ3 ,
u 30 (t 0 ) = ϕ 30 ,
κ 3 =1
n3
n
∂u 30
(t 0 )
ψ 30n = ∑ b3κ3 χ 3κ3 ,
= ψ 30n ,
∂t
κ 3 =1
ni
n
n
n
u i1 (t 0 ) = ϕ i1 ,
ϕ i1 = ∑ aiκ χ iκ ,
i
i
κ i =1
ni
∂u in1 (t 0 )
n
n
= ψ i1 ,
ψ i1 = ∑ biκ χ iκ ,
i
i
∂t
κ i =1
ϕ 30n → ϕ 30
в
H 02 (Ω),
ψ 30n → ψ 30
в
H 01 (Ω),
ϕ in1 → ϕ i1
в
H 01 (Ω),
ψ in1 → ψ i1
в
L2 (Ω),
(13)
i = 1,2,
где
u (t 0 ) = u ( x1 , x2 , t0 ), u (t0 ) = u ( x1 , x2 , t0 ), σ iin , σ 12n , σ in3 получаются из σ ii , σ 12 , σ i 3
n
30
n
30
n
i1
n
i1
n
заменой функций uii , u30 , F на uin1 , u30
, F n соответственно; символ « → » в (13)
обозначет сильную сходимость.
Разрешимость задачи Коши (12), (13) на некотором интервале (t 0 , t n ) следует из
принципа неподвижной точки Ю. Шаудера и доказывается подобно работе [4].
20 Получение априорных оценок.
Умножим уравнения из системы (12) на
∂g iκ
∂g 3κ
i
3
, i = 1,2,
, соответственно, а результат просуммируем — в итоге получим
∂t
∂t
следующее «энергетическое» равенство:
36
Математика и механика
n
1 ∂  ∂u 30
ρ

2 ∂t  ∂t

+
2
2
E
+
2(1 + v)
D
n
 ∂ 2 u 30

 ∂u n ∂u n 
 +
A 11 + 21  − B 2
∂x1 
 ∂x2
 ∂x1∂x2  D
n
n
n
  ∂u 21

∂ 2 u 30
∂ 2 u 30
2vE   ∂u11n
 + 1 ∆F n
,
−
−
A
B
A
B
2 
2  
2 
1 − v   ∂x1
∂x 2   D Eh
∂x1   ∂x2
2
n
n
 ∂

∂u 30
∂u in1
∂ 2 u 30
E
n

−B
+ ∑ ρ  Aui1 − B
A
 +
 ∂t
∂xi  D 1 − v 2 ∂xi
∂xi2
i =1


2
2
n
 n ∂u 30
 
∂u n
E
  + ε 3 30
+
C  u i1 +
2(1 + v) 
∂xi  D 
∂t

2
Ω
+
2
+
(14)
D
2
+
D
2
 ∂u n 
∂u n 
∂
+ ∑ε i  Au in1 − B 30  =  g , 30  .
∂t 
∂xi  D 
∂t  Ω
i =1
2
При получении равенства (14) используются, согласно граничной задаче для
определения функции F n и свойствам функции L(a, b) [3, стр. 59–60], следующие
равенства:
  ∂2F n
∂u 
∂ 2 F n  

n
, F n ) + L( w0 , F n ) , 30  −  κ 1
−  L(u30
+
κ
2
 =
∂t  Ω   ∂x22
∂x12   Ω

[
]
n
  ∂2F n

 ∂ 1

∂ 2 F n  ∂u30

n
n
n
 =
= −  L(u30
, u30
) + L(u30
, w0 ), F n  −  κ 1
,
+
κ
2
2
2 
∂x1  ∂t  Ω

 ∂t  2
 Ω   ∂x2
n
n
 ∂  ∂ 2 u30
 n
∂ 2 u30
1 ∂
n
n
=
+
, F  −
κ
 ∆F , ∆F  +  κ 1
2
2
2 
Eh  ∂t
t
∂
x
x
∂
∂
Ω  
2
1 
Ω
(15)
  ∂2F n
∂ 2 F n  ∂u30 
1 ∂
n 2
−  κ 1
+
κ
,
=
∆
F
.
2
2
2 

Ω
∂
t
2
Eh
∂
t
∂
x
∂
x

2
1


Ω
Проинтегрируем равенство (14) по переменной t ∈ (t0 , t n ) и, учитывая следующее
неравенство:
n
n
n 2
n
  ∂u 21

∂ 2 u30
∂ 2 u30
∂ 2 u30
2vE   ∂u11n
vE 2 ∂uin1

(16)
−B
−B
∑ A − B ∂x 2 ,
A
,  A
 ≤
1 − v 2   ∂x1
∂x12   ∂x2
∂x22  D 1 − v 2 i =1 ∂xi
i
D
приходим к такому неравенству:
37
Вестник СГТУ. 2011. № 3 (57). Выпуск 1
n
1  ∂u30
ρ

2  ∂t

2
E
+
2(1 + v)
D
2
n
 ∂ 2 u30

 ∂u n ∂u n 
1
 +
∆F n
A 11 + 21  − B 2
∂x1 
 ∂x2
 ∂x1∂x2  D Eh
Ω
+
2
n
 n ∂u30
 
E
  +
C  u i1 +
+

2(1
+
v
)
∂
x
i D 

D

2
n
n
 ∂

∂u30
∂uin1
∂ 2 u30
E
n

+ ∑ ρ  Aui1 − B
A
−B
 +
 ∂t
∂xi  D 1 + v ∂xi
∂xi2
i =1


2
t n 2
t
n
2

∂u30
∂u30
∂ n
dt + ∑ε i ∫  Aui1 − B
+ ε3 ∫
 dt ≤
∂t 
∂xi  D
∂t D
i =1
t
t
2
2
0
2
0
n
 ∂ϕ11n ∂ϕ 21

 ∂ 2ϕ 30n 
E
1 
2


 2
 +
ρ
ψ
|
|
A
B
≤
+
+
−

30 D
x
x
2
2(1 + v)  ∂x2
∂x1 
∂
∂
1
2

D

2
∂ 2ϕ 30   ∂ϕ 21
∂ 2ϕ 30  
2vE   ∂ϕ11
1
n
A
B
,
A
B
F
(
x
,
x
,
t
)
+
−
−
+
∆
+
1
2
0




Ω
1 − v 2   ∂x1
∂x12   ∂x2
∂x22   D Eh
2

∂ψ 30n
n

+ ∑ ρ Aψ i1 − B

∂xi
i =1

2
2
∂ϕ in1
∂ 2ϕ 30n
E
A
+
−B
1− v2
∂xi
∂xi2
D
2
+
D
2
t
n
 n ∂ϕ 30n    ∂u30

E
  + ∫  g ,
 dt.
C  ϕ i1 +
+
2(1 + v) 
∂xi  D  t 
∂t  Ω
 0
(17)
Из (17) на основании леммы Тронуолла [5, стр. 152–153], условий данной теоремы и
сильной сходимости в условиях (13) заключаем, что левая часть неравенства (17) ограничена
некоторой положительной постоянной γ > 0 ( γ = const ∈ R ), зависящей от момента времени
t1 , но не зависящей от « n3 » и « ni1 ».
Тем самым, каждое отдельное слагаемое из левой части неравенства (17) ограничено
постоянной γ (конечно, при получении указанных оценок отбрасываются из левой части
неравенства (17) слагаемые с « ε 3 » и « ε i »).
Рассмотрим подробнее получение априорных оценок на примере следующего
слагаемого:
2
2
n


4 x33  ∂uin1 4 x33 ∂  ∂u30 
∂u30
∂ n


=
Au
−
B
x
−
−
γ≥

 =
 i1

3
∂t 
∂xi  D 
3h 2  ∂t 3h 2 ∂xi  ∂t  D
2
n
  ∂
h 3  68  ∂uin1 
16 ∂uin1 ∂  ∂u30





=
−
2
 ∂t 
 ∂t  +  ∂x
252 ∫∫
5
5
∂
t
∂
x

i 

  i
Ω
 
h 3  68 16ε  ∂uin1
≥
−
252  5
5  ∂t
2
Ω
h 3  16  ∂
+
1−
252  5ε  ∂xi
n
 ∂u30


 

∂
t


2

 dx1 dx2 ≥


(18)
2
n
 ∂u30



∂
t

Ω
(при получении неравенства (18) использовано неравенство Коши с « ε » [5, стр. 33]),
68 16ε
16
 16 17 
выбирая ε ∈  ,  , замечаем, что
−
> 0, 1 −
> 0 и, следовательно, из (18)
5
5
5ε
5 4
получаем:
38
Математика и механика
∂u in1
∂t
где
2
∂
∂xi
≤ γ1,
Ω
2
n
 ∂u 30


 ≤ γ 2 ,
 ∂t  Ω
(19)
γ 1 и γ 2 — некоторые положительные постоянные.
По аналогии с (19) получаем:
∂uin1
∂xi
≤ const ,
Ω
∂ u
∂x1∂x2
2
2
2
n
30
2
≤ const ,
Ω
∂u11 ∂u 21
+
∂x2
∂x1
≤ const , i = 1,2,
Ω
(20)
2
∂ u
∂x
2
2
n
30
2
i
Ω
≤ const ,
∆F n
2
Ω
≤ const ,
и кроме того, из (17) следует, что:
n
∂u30
∂t
2
≤ const.
(21)
Ω
Наличие априорных оценок (19) – (20) позволяет, подобно работе [4], продолжать
решение задачи (12) – (13) на весь отрезок [t0 , t1 ] и сделать вывод о том, что:
n
множества {u30
} , {F n } ограничены в L∞ (t 0 , t1 ; H 02 (Ω)) ;
 ∂u n 
множества  30  , {uin1}, i = 1,2, ограничены в L∞ (t 0 , t1 ; H 01 (Ω)) ;
 ∂t 
 ∂uin1 
∞
2
множества 
, i = 1,2, ограничены в L (t 0 , t1 ; L (Ω)) .
 ∂t 
Таким образом, множество приближенных решений задачи (1) – (6), полученных по
методу Бубнова - Галёркина, слабо компактно в пространствах, соответствующих (8).
30 Предельный переход. В силу слабой компактности множества приближенных
решений можно выделить подпоследовательности
M
{u30
}, {F30M }, {uiM1 } ,
такие, что:
M
u30
→ u~30
∂u30M
∂u~30
→
∂t
~ ∂t
FM → F
uiM1 → u~i1
∂uiM1
∂u~i1
→
∂t
∂t
M
u30
→ u~30
* −слабо в
L∞ (t 0 , t1 ; H 02 (Ω));
* −слабо в
L∞ (t 0 , t1 ; H 01 (Ω));
* −слабо в
* −слабо в
L∞ (t 0 , t1 ; H 02 (Ω));
L∞ (t 0 , t1 ; H 01 (Ω));
* −слабо в
L∞ (t 0 , t1 ; L2 (Ω)), i = 1,2;
сильно в
(22)
L2 (Q).
На основании условий (22) предельный переход в обобщенной форме записи
уравнений (1) – (4) производится подобно работе [3, стр. 62–63].
Теорема доказана.
39
Вестник СГТУ. 2011. № 3 (57). Выпуск 1
ЛИТЕРАТУРА
1. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.:
Наука, 1989. 376 с.
2. Кириченко
В.Ф.
«Проекционные»
условия
движения
термоупругого
деформируемого твердого тела и их применение в теории многослойных ортотропных
оболочек // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин.
Саратов: Издательство СГТУ, 1997. Т.1. C. 144–155.
3. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир,
1972. 587 c.
4. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний
пологих оболочек // Известия АН СССР, Серия математическая, 1957. Т.21. 6. С. 747–784.
5. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 c.
Кириченко Валерий Федорович –
доктор физико-математических наук, профессор
кафедры «Математика и Моделирование»
Саратовского государственного технического
университета
Kirichenko Valery Fedorovich –
Doctor of Physical and Mathematical
Sciences, Professor of the Department
“Mathematics and Modeling”, Saratov State
Technical University
Самаркин Павел Александрович –
аспирант кафедры «Математика и
Моделирование» Саратовского государственного
технического университета
Samarkin Pavel Aleksandrovich –
Post-graduate student of the Department
“Mathematics and Modeling”, Saratov State
Technical University
Статья поступила в редакцию 04.03.2011 , принята к опубликованию 05.07.2011
40
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа