close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Когомологии двойного комплекса Брылинского пуассоновых многообразий и квантовые когомологии де Рама.

код для вставкиСкачать
2004
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (509)
УДК 514.763:514.84
В.В. ШУРЫГИН (мл.)
КОГОМОЛОГИИ ДВОЙНОГО КОМПЛЕКСА БРЫЛИНСКОГО
ПУАССОНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
И КВАНТОВЫЕ КОГОМОЛОГИИ ДЕ РАМА
В настоящее время активно изучаются пуассоновы многообразия [1]{[5], в частности, исследуются различные процедуры квантования геометрических объектов на пуассоновых многообразиях [6], [7]. В [8] был предложен один из способов деформационного квантования пуассоновых
многообразий: построены (полиномиальные) квантовые когомологии де Рама пуассонова многообразия, а также показано, что квантовые когомологии де Рама симплектического многообразия
получаются деформационным квантованием его когомологий де Рама. В данной работе показывается, что квантовые когомологии де Рама произвольного пуассонова многообразия также
получаются деформационным квантованием его когомологий де Рама.
1. Пусть M | гладкое многообразие. Будем обозначать алгебру гладких функций на M
через C 1 (M ), кольцо дифференциальных форм на M через (M ) и пространство кососимметрических контравариантных тензорных полей на M через V (M ).
Скобкой Пуассона на гладком многообразии M называется билинейное кососимметричное
отображение f ; g : C 1(M ) C 1 (M ) ! C 1 (M ), удовлетворяющее правилу Лейбница
ff; ghg = ff; ggh + gff; hg
и тождеству Якоби
fff; gg; hg + ffg; hg; f g + ffh; f g; gg = 0:
Многообразие, наделенное скобкой Пуассона, называется пуассоновым многообразием. Скобка Пуассона на гладком многообразии M однозначно определяет контравариантный кососимметрический тензор w 2 V 2 (M ) такой, что
ff; gg = i(w)(df ^ dg)
(1)
для всех f; g 2 C 1 (M ), где i(w) : p (M ) ! p;2 (M ) означает внутреннее умножение на w; в
локальных координатах (i(w))i1 :::ip;2 = wjk jki1 :::ip;2 . Этот тензор обычно называют тензором
Пуассона. Известно, что скобка (1) на C 1 (M ), построенная по такому тензору, удовлетворяет
тождеству Якоби тогда и только тогда, когда [w; w] = 0, где [ ; ] | скобка Схоутена{Нейенхейса
на V (M ) ([3], [5]). В дальнейшем будем обозначать пуассоново многообразие следующим образом: (M; w). Если ранг тензора w постоянен, то пуассоново многообразие (M; w) называется регулярным. Примерами регулярных пуассоновых многообразий являются симплектические многообразия.
p
p;1 (M ) на пуассоновом многообразии
2. В работе [9] введен кодифференциал : (M ) ! (M; !), определяемый соотношением
= [i(w); d] = i(w) d ; d i(w);
где d : p (M ) ! p+1 (M ) | внешний дифференциал, а также показано, что 2 = 0 и
d + d = 0.
75
Предложение 2.1. Пусть (M; w ) | пуассоново многообразие. Тогда для любого натурального числа k имеет место тождество
i(w) d ik (w) = k +k 1 d ik+1 (w) + k +1 1 ik+1 (w) d;
(2)
где ip (w) = i(w) i(w).
| {z }
p раз
Доказательство. Для скобки Схоутена{Нейенхейса выполняется тождество [[i(u); d]; i(v )] =
i(;[v; u]) для любых u; v 2 V (M ) (напр., [10]). Подставляя в это тождество u = v = w и учитывая, что [w; w] = 0, получаем [[i(w); d]; i(w)] = 0. Раскрывая скобки в последнем равенстве,
приходим к тождеству
i(w) d i(w) = 12 d i2 (w) + 12 i2 (w) d:
(3)
Пусть теперь k 2. Используя (3), получаем систему
i(w) d ik (w) = 12 d ik+1 (w) + 21 i2 (w) d ik;1 (w);
i2 (w) d ik;1 (w) = 21 i(w) d ik (w) + 12 i3 (w) d ik;2 (w);
:::
ik;1 (w) d i2(w) = 21 ik (w) d i(w) + 12 ik;2 (w) d i3 (w);
ik (w) d i(w) = 21 ik+1 (w) d + 21 ik;1 (w) d i2 (w):
Решая эту систему уравнений относительно ip (w) d ik;p+1 (w), p = 0; 1; : : : ; k + 1, находим
(2).
Следствие 2.1. Для любого натурального числа k имеет место тождество
1k
1 k
k;1
(4)
k i (w) d ; k d i (w) = i (w):
k;1 (w) = i(w) d ik;1 (! ) ; d ik (w) = k;1 d ik (w) +
Доказательство. Действительно, i
k
1 ik (w) d ; d ik (w) = 1 ik (w) d ; 1 d ik (w).
k
k
k
Пусть 0 (M ) = k0 2k (M ), 1 (M ) = k0 2k+1 (M ). Тогда (M ) = 0 (M ) 1 (M ) и на
(M ) введена следующая Z2 -градуировка: все элементы 0 (M ) назовем четными (степени 0),
а все элементы 1 (M ) | нечетными (степени 1). Заметим, что операторы d : (M ) ! (M )
и D := d + : (M ) ! (M ) являются нечетными, т. е. отображают четные элементы в
нечетные, и наоборот.
В дальнейшем будем обозначать i(w) через i, и i(!) через i. Гомоморфизм ' : (M ) !
(M ), определенный формулой
'() := k1! ik = + i + 12 i2 + 61 i3 + ;
k 0
X
переводит пространства 0 (M ) и 1 (M ) в себя, т. е. сохраняет Z2 -градуировку на (M ).
Докажем, что оператор ' осуществляет изоморфизм между Z2 -градуированными дифференциальными группами (
(M ); d) и (
(M ); D).
Сначала покажем, что имеет место равенство
' d = D ';
(5)
76
т. е. что ' : (
(M ); d) ! (
(M ); D) | гомоморфизм дифференциальных групп.
Пусть k 2 k (M ) | компонента формы 2 (M ) относительно разложения (M ) =
n k
(M ). Число k назовем степенью компоненты k и обозначим jk j.
k=0
Для доказательства (5) достаточно проверить, что для любой = p 2 p (M ), p = 0; 1; : : : ; n,
имеет место равенство компонент ('d)k = (D')k , k = 0; : : : ; n.
Пусть сначала jj = 2m. Тогда ('d)2m+1 = d = (D')2m+1 . Для компонент степени 2m ; 1
имеем
('d)2m;1 = id = di + = (D')2m;1 ;
что следует из определения оператора .
Для компонент любой другой степени k = 1; 3; : : : ; 2m ; 3 имеем
('d)k = k1! ik d = k1! dik + (k ;1 1)! ik;1 = (D')k ;
что вытекает из формулы (4). Остальные компоненты форм 'd, D' равны нулю.
Если jj = 2m + 1, то равенства ('d)k = (D')k для степеней k = 2; 4; : : : ; 2m + 2 проверяются точно так же, а для компонент степени 0 имеем
('d)0 = (m +1 1)! im+1 d = m1 ! im = (D')0 ;
что также следует из формулы (4) с учетом того, что im+1 = 0. Все остальные компоненты
форм 'd, D' равны нулю.
Предложение 2.2. Гомоморфизм ' : (
(M ); d) ! (
(M ); D ) является изоморфизмом
Z2 -градуированных дифференциальных групп.
Доказательство. Так как отображение ' сохраняет Z2 -градуировку и является гомоморфизмом дифференциальных групп, достаточно показать, что оно биективно.
Обоснуем биективность 'j
0 (M ) : 0 (M ) ! 0 (M ).
Для этого докажем, что 'j
0 (M ) | эпиморфизм и мономорфизм. Рассмотрим любой элемент
c = 0 + 2 + + 2m 2 0(M ), где jk j = k, k = 0; 2; : : : ; 2m. Элемент c1 = c ; '(2m ) имеет вид
c1 = 0 + 2 + + 2m;2, где 2m;2 = 2m;2 ; i2m , 2m;4 = 2m;4 ; 12 i2 2m ; : : : , 0 = 0 ; m1! im2m .
Теперь рассмотрим элемент c2 = c1 ; '(2m;2 ) = c ; '(2m + 2m;2 ) (т. е. c = c2 + '(2m + 2m;2 ))
и так далее. На (m + 1)-м шаге получим cm+1 = 0, откуда c = '(2m + 2m;2 + : : : ) 2 im 'j
0 (M ) .
Условие '(c) = 0, где c = 0 + 2 + + 2m 2 0 (M ), равносильно системе
2m = 0;
2m;2 + i2m = 0;
2m;4 + i2m;2 + 12 i2 2m = 0;
:::
0 + i2 + + m1 ! im 2m = 0;
откуда при движении сверху вниз получим, что все k , k = 0; 2; : : : ; 2m, равны нулю. Таким
образом, c = 0 и ' | мономорфизм.
Аналогично доказывается, что 'j
1 (M ) : 1 (M ) ! 1 (M ) есть биекция.
Доказанное предложение позволяет вычислить когомологии дифференциальной группы
(
(M ); D). Так как (M ) = 0(M ) 1 (M ) и оператор D является нечетным, получаем
H (
(M ); D) = H0 (
(M ); D) H1(
(M ); D);
77
где
D : 0(M ) ! 1 (M )
ker D : 1 (M ) ! 0 (M )
H0 (
(M ); D) := ker
im D : (M ) ! (M ) ; H1 (
(M ); D) := im D : (M ) ! (M ) :
Аналогично
где
1
0
0
1
H (
(M ); d) = H0 (
(M ); d) H1 (
(M ); d);
d : 0 (M ) ! 1 (M ) 2k
H0 (
(M ); d) := ker
im d : 1 (M ) ! 0 (M ) = k0 HdR(M );
d : 1 (M ) ! 0 (M ) 2k+1
H1 (
(M ); d) := ker
im d : 0 (M ) ! 1 (M ) = k0 HdR (M ):
Так как ' : (
(M ); d) ! (
(M ); D) есть изоморфизм Z2 -градуированных дифференциальных
групп, получаем
Группа H0 (
(M ); D) изоморфна прямой сумме четномерных когомологий
де Рама
многообразия M . Группа H1 (
(M ); D) изоморфна прямой сумме нечетно2k+1 (M ) многообразия M .
мерных когомологий де Рама k0 HdR
Следствие 2.2.
H 2k (M )
k0 dR
Применим следствие 2.2 для вычисления когомологий двойного комплекса C = (C p;q ; ; d0 =
(;1)p d), где C p;q = q;p (M ), p; q 2 Z, введенного в [1] (dim M = n).
3.
0
0
;!
d0 "
n (M )
d0 "
;!
;!
..
.
;!
;!
;!
d0 "
2 (M )
d0 "
1 (M )
d0 "
0 (M )
"
d0 "
n (M )
d0 "
n;1(M )
d0 "
;!
;!
;!
..
.
;!
d0 "
1 (M )
d0 "
0 (M )
;!
0
;!
"
d0 "
n (M )
d0 "
n;1 (M )
d0 "
n;2 (M )
d0 "
;! ;! ;! ..
.
;!
;!
d0 "
0 (M )
d0 "
(6)
;! 0
0
Этот комплекс будем называть двойным комплексом Брылинского пуассонова многообразия
(M; w). Диагональный комплекс двойного комплекса (6) имеет вид A = (Ap ; Dp ), p 2 Z, где
A2k = 0 (M ), A2k+1 = 1 (M ), k 2 Z, а Dp = + (;1)p d0 . Но (;1)p d0 = d, следовательно, D = D.
Таким образом, этот диагональный комплекс имеет вид
e
e
e
D 2k;1
D 2k
D 2k+1
D 2k+2
D
;!
A = 1(M ) ;!
A = 0 (M ) ;!
A = 1 (M ) ;!
A = 0 (M ) ;!
(M; w) будем называть когомологии этого
Когомологиями двойного комплекса Брылинского HBr
диагонального комплекса.
Из cледствия 2.2 непосредственно вытекает
78
Теорема 3.1.
Для любого пуассонова многообразия (M; w) имеют место изоморфизмы
2p (M; w) 2k (M ); H 2p+1 (M; w) 2k+1 (M ); p 2 Z:
HBr
= k0 HdR
= k0 HdR
Br
Вычислим квантовые когомологии де Рама пуассоновых многообразий [8]. Напомним их
построение.
Пусть V | конечномерное векторное пространство над R с базисом fe1 ; : : : ; en g. Обозначим
символом T (V ) алгебру ковариантных тензоров на V . Для 2 T k (V ) обозначим
4.
( a v)(v1 ; : : : ; vk;1 ) := (v1 ; : : : ; vk;1 ; v);
(v ` )(v1 ; : : : ; vk;1 ) := (v; v1 ; : : : ; vk;1 );
где v; v1 ; : : : ; vk;1 2 V . Обозначим алгебру кососимметрических контравариантных тензоров на
пространстве V через (V ), а алгебру полиномов от h с коэффициентами в (V ) | через
(V )[h]. Выберем произвольный тензор w = wij ei ^ ej 2 2 (V ). Определим отображение ^h =
^h;w : (V ) (V ) ! (V )[h] следующим образом:
^h =
X hn wi j : : : wi j ( a ei a a ei ) ^ (ej ` ` ej ` );
n0 n!
1 1
n n
1
n
n
1
где ; 2 (V ). По линейности ^h продолжается до квантового внешнего произведения
^h = ^h;w : (V )[h] (V )[h] ! (V )[h]:
В [8] показано, что это определение не зависит от выбора базиса fe1 ; : : : ; en g, а также (теорема
1.1) что квантовое внешнее произведение суперкоммутативно и ассоциативно.
Пусть (M; w) | пуассоново многообразие (dim M = n). Операция квантового внешнего произведения естественным образом распространяется на кольцо (M )[h] полиномов от h с коэффициентами в (M ). Рассмотрим оператор
dh := d ; h : (M )[h] ! (M )[h]:
В ([8], теорема 2.2) показано, что он удовлетворяет соотношениям dh dh = 0 и
dh ( ^h ) = (dh ) ^h + (;1)jj ^h (dh );
где ; 2 (M )[h].
Аналогично определяется квантовое внешнее произведение ^h и квантовый внешний дифференциал dh на алгебрe (M )[h; h;1 ] многочленов от h и h;1 и на алгебрах (M )[[h]] и
(M )[[h; h;1 ]] рядов Тейлора и Лорана от h соответственно.
(M ) и
В [8] были определены (полиномиальные) квантовые когомологии де Рама Qh HdR
Qh;h;1 HdR(M ) пуассонова многообразия (M; w) как когомологии дифференциальных групп
(
(M )[h]; dh ) и (
(M )[h; h;1 ]; dh ) соответственно. По аналогии определим тейлоровские и ло (M ) и LQh;h;1 H (M ) как когомологии дифрановские квантовые когомологии де Рама TQh HdR
dR
ференциальных групп (
(M )[[h]]; dh ) и (
(M )[[h; h;1 ]]; dh ) соответственно.
На дифференциальной группе (
(M )[h]; dh ) можно ввести структуру двойного комплекса
(C p;q ; ;h; d0 = (;1)p d), где C p;q = hp q;p (M ), p 0. Аналогично на дифференциальной группе (
(M )[h; h;1 ]; dh ) можно ввести структуру двойного комплекса (C p;q ; ;h; d0 = (;1)p d) (см.
(7)), где C p;q = hp q;p (M ), p; q 2 Z. По комплексу C p;q строится спектральная последователь (M ), с первым членом E p;q = hp H q (C p;; d) =
ность E , сходящаяся к H (
(M )[h]; dh ) = Qh HdR
1
e
e
79
ee
e
q;p (M ), p 0. По комплексу C p;q строится спектральная последовательность E , сходящаяся
hp HdR
(M ), с первым членом E p;q = hp H q;p (M ), p; q 2 Z.
к Qh;h;1 HdR
1
dR
;h
;;!
0
;h
;;!
n (M )
d0 "
;h
;;!
d0
"
..
.
;h
;;!
;h
;;!
;h
;;!
d0 "
2 (M )
d0 "
1 (M )
d0 "
0 (M )
"
0
;h
;;!
h
n (M )
d0 "
h
n;1 (M )
d0 "
;h
;;!
d0
d0
"
;h
;;!
..
.
"
;h
;h
;;!
h
1 (M ) ;;!
d0 "
;
h
;h
;;! h
0(M ) ;;!
"
;
h
;;!
0
d0 "
h2 n(M )
d0 "
h2 n;1(M )
d0 "
h2 n;2(M )
d0 "
;h ;;!
;h ;;!
;h ;;!
..
.
d0 "
2
h 0 (M )
d0 "
(7)
;h ;;!
0
0
Если спектральная последовательность E вырождается в первом члене, то, как показано в
([8], теорема 3.2), квантовые когомологии де Рама получаются деформационным квантованием
(M ) \обычных" когомологий де Рама. Действительно, в этом случае Qh HdR
= E1 = p;q E1p;q =
q
;
p
(M )[h].
p;q hp HdR (M ) = HdR
Там же доказана
Теорема 4.1 ([8]). Если (M; w ) | компактное симплектическое многообразие без границы,
то спектральная последовательность E вырождается в первом члене, т. е.
(M ) (M )[h; h;1 ]:
Qh;h;1 HdR
= HdR
Покажем, что этот результат верен для любого (не обязательно регулярного) пуассонова
многообразия.
Теорема 4.2. Квантовые когомологии де Рама любого пуассонова многообразия (M; w ) получаются деформационным квантованием его обычных когомологий де Рама, т. е.
e
(M ) (M )[h];
(M ) (M )[h; h;1 ];
QhHdR
Qh;h;1 HdR
= HdR
= HdR
(M ) (M )[[h]]; LQh;h;1 H (M ) (M )[[h; h;1 ]]:
TQhHdR
= HdR
= HdR
dR
Oграничимся случаем тейлоровских квантовых когомологий, остальные
случаи рассматриваются аналогично.
Рассмотрим гомоморфизм 'h : (
(M )[[h]]; d) ! (
(M )[[h]]; dh ) дифференциальных групп
'h () = (;1)k k1! hk ik :
k0
Тождество 'h d = dh 'h проверяется непосредственно. Проверка эпиморфности и мономорфности 'h аналогична доказательству теоремы 3.1.
Изоморфизм 'h индуцирует изоморфизм групп когомологий
(M ) (M )[[h]]: TQhHdR
= H (
(M )[[h]]; d) = HdR
Доказательство.
X
80
Заключение. Таким образом, когомологии Брылинского и квантовые когомологии де Рама
пуассонова многообразия не зависят от пуассоновой структуры на многообразии (хотя и определяются с ее помощью), а зависят лишь от топологической структуры многообразия.
Автор выражает благодарность М.А. Малахальцеву за постановку задачи, ряд ценных советов и замечаний и М.В. Лосику, чьи замечания и рекомендации способствовали существенному
улучшению структуры всей работы и упрощению доказательств.
Литература
1. Brylinski J.-L. A dierential complex for Poisson manifolds // J. Di. Geom. { 1988. { V. 28. {
P. 93{114.
2. Воробьев Ю.М., Карасев М.В. О пуассоновых многообразиях и скобке Схоутена // Функц.
анализ и прилож. { 1988. { Т. 22. { Вып. 1. { С. 1{11.
3. Lichnerowicz A. Les varietes de Poisson et leurs algebres de Lie associees // J. Di. Geom. {
1977. { V. 12. { Є 2. { P. 253{300.
4. Vaisman I. Remarks on the Lichnerovicz{Poisson cohomology // Ann. Inst. Fourier Grenoble. {
1990. { V. 40. { P. 951{963.
5. Weinstein A. The local structure of Poisson manifolds // J. Di. Geom. { 1983. { V. 18. { Є 3. {
P. 523{557.
6. Huebschmann J. Poisson cohomology and quantization // J. fur reine und angew. Math. { 1990.
{ V. 408. { P. 57{113.
7. Kontsevich M. Deformation quantization of Poisson manifolds // Lett. Math. Phys. { 2003. {
V. 66. { P. 157{216.
8. Cao H.-D., Zhou J. On quantum de Rham cohomology. { Preprint math. DG/9806157. { 1998. {
36 p.
9. Koszul J.-L. Crochet de Schouten{Nijenhuis et cohomologie // \Elie Cartan et les Math. d'Aujour
d'Hui", Asterisque, hors-serie. { 1985. { P. 257{271.
10. Michor P.W. Remarks on the Schouten-Nijenhuis bracket // Suppl. Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo, Serie II. { 1987. { V. 16. { P. 207{215.
Казанский государственный
университет
Поступила
17.12.2003
81
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
173 Кб
Теги
комплекс, двойного, рама, квантовые, многообразие, брылинского, когомологии, пуассоновой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа