close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Комплексные потенциалы с логарифмическими особенностями в ядрах для упругих тел с дефектом вдоль гладкой дуги.

код для вставкиСкачать
2000
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 10 (461)
УДК 517.958 : 539.3
Н.Б. ПЛЕЩИНСКИЙ, А.А. ГУСЕНКОВА
КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ
ОСОБЕННОСТЯМИ В ЯДРАХ ДЛЯ УПРУГИХ ТЕЛ С ДЕФЕКТОМ
ВДОЛЬ ГЛАДКОЙ ДУГИ
В плоской теории упругости при отсутствии массовых (объемных) сил напряжения и перемещения могут быть выражены через две аналитические функции по формулам Колосова{
Мусхелишвили ([1], x 32). Интегральное уравнение, эквивалентное исходной граничной задаче,
может быть получено, если представить эти функции в виде интегралов по границе рассматриваемой области и подставить их в граничные условия.
В данной работе построены интегральные представления с логарифмическими особенностями в ядрах для функций, аналитических в различных областях комплексной плоскости с
разрезами вдоль гладкой дуги. Рассмотрены полная плоскость, полуплоскость, круг и области,
конформно эквивалентные кругу (полуплоскости). Получены сингулярные интегральные уравнения с логарифмическими особенностями в ядрах, эквивалентные первой и второй основным
граничным задачам плоской теории упругости для тел с дефектами (с разрезами или тонкими
включениями). Уточнены и дополнены результаты работы [2].
Пусть ab | гладкая разомкнутая дуга на комплексной плоскости. Для функций, определенных в плоскости с разрезом по ab, будем обозначать знаками + и ; их предельные значения на
левом и правом (по отношению к направлению движения от a к b) берегах разреза.
Следуя принципам математической теории трещин, построенной в работах В.В.Панасюка,
М.П.Саврука и др. (напр., [3]), назовем комплексными потенциалами для упругого тела с дефектом вдоль дуги ab функции '() и (), аналитические в соответствующей области комплексной
плоскости с разрезом, предельные значения которых на ab удовлетворяют условиям
['(t) + t'0 (t) + (t)]+ ; ['(t) + t'0 (t) + (t)]; = (k + 1)
Z
[k'(t) ; t'0 (t) ; (t)]+ ; [k'(t) ; t'0 (t) ; (t)]; = (k + 1)
at
Z
( )d; t 2 ab;
at
( )d; t 2 ab;
(1)
(2)
где k > 0 | некоторая вещественная постоянная (k = 3 ; 4 в случае плоской деформации или
k = (3 ; )=(1 + ) в случае обобщенного плоского напряженного состояния, | коэффициент
Пуассона) и (); () | некоторые определенные на ab функции, причем
Z
ab
Z
( )d = 0;
ab
( )d = 0:
(3)
Будем считать, что функции (); () удовлетворяют условию Гельдера на любой части дуги
ab, не содержащей концов, а в точках a и b могут иметь особенности интегрируемого порядка
(принадлежат классу H по Н.И. Мусхелишвили).
Условия (1) и (2) задают на ab скачки напряжений и перемещений, множитель k +1 в правой
части используется для упрощения некоторых формул.
57
1. Упругая плоскость c дефектом вдоль гладкой дуги
Пусть рассматриваемые в разрезанных по ab областях аналитические функции непрерывно
продолжимы на все точки дуги, кроме, может быть, ее концов.
Лемма 1. Если аналитические в разрезанной по дуге ab комплексной плоскости функции
'(), () ограничены на бесконечности и удовлетворяют условиям (1){(3), то
Z
Z
'(z) = 21i [( ) + ( )] d
d + P;
(4)
;
z
ab
b
Z
1 Z [k( ) ; ( )] Z d d + Q;
+
(z ) = ; 21i [( ) + ( )] d
(5)
; z 2i
;z
ab
ab
где P и Q | произвольные комплексные постоянные.
Доказательство. Сложив (1) и (2), получим
'+(t) ; ';(t) =
Z
at
b
[( ) + ( )]d; t 2 ab:
Решение этой задачи о скачке дает формула (4). Тогда, учитывая равенства (3), найдем
Z
0+
0;
'0(z) = 21i [( ) + ( )] d
; z ; ' (t) ; ' (t) = (t) + (t); t 2 ab:
ab
Умножив равенство (1) на k и вычитая из него (2), получим
+ (t) ; ; (t) =
Z
at
[k( ) ; ( )] d ; t ['0 + (t) ; '0; (t)]; t 2 ab;
а отсюда следует представление (5).
Если задать значения функций '() и () в некоторой точке z0 , то постоянные P и Q однозначно определяются. Например, если z0 = 1, то P = '(1), Q = (1).
Следствие 1. Если функции '();
() удовлетворяют условиям леммы 1, то
['(t) + t'0 (t) + (t)]+ + ['(t) + t'0 (t) + (t)]; =
Z
Z
Z
Z
d
1
d d +
1
[( ) + ( )]
d ;
[k( ) ; ( )]
=
;t
i ab
b ; t
;
t
i ab[( ) + ( )] ; t d + 2P + 2Q;
[k'(t) ; t'0 (t) ; (t)]+ + [k'(t) ; t'0 (t) ; (t)]; =
k Z [( ) + ( )] Z d d + 1 Z [k( ) ; ( )] Z d d ;
= i
i ab
ab
b ; t
b ; t
Z
; i1 [( ) + ( )] ;; tt d + 2kP ; 2Q:
i
ab
+1
Z
b
ab
(6)
(7)
Рассмотрим первую и вторую основные граничные задачи для упругой плоскости с дефектом
вдоль дуги ab, когда на берегах разреза заданы напряжения (несамоуравновешенные усилия)
['(t) + t'0 (t) +
(t)] =
Z
или перемещения (в интегральной форме)
[k'(t) ; t'0 (t) ; (t)] =
at
f ( )d + A; t 2 ab;
Z
at
g( )d + B; t 2 ab;
здесь постоянные A и B определяют напряжение и перемещение в точке a дуги.
58
С помощью формул (6) и (7) легко получить следующее утверждение.
Теорема 1. Первая и вторая основные граничные задачи для упругой плоскости с дефектом
вдоль дуги ab эквивалентны интегральным уравнениям
Z
d d ; 1 Z [k( ) ; ( )] Z d d +
[
(
)
+
(
)]
i ab
i ab
b ; t
b ; t
Z
Z
1 [( ) + ( )] ; t d = [f + ( ) + f ;( )]d + 2(A ; P ; Q); t 2 ab; (8)
+ i
;t
1
Z
ab
at
где (t) = f + (t) ; f ;(t), а () { искомая функция, и
k Z [( ) + ( )] Z d d + 1 Z [k( ) ; ( )] Z d d ;
i ab
i ab
b ; t
b ; t
Z
Z
;
t
1
; i [( ) + ( )] ; t d = [g+ ( ) + g;( )]d + 2(B ; kP + Q); t 2 ab; (9)
at
ab
где (t) = g+ (t) ; g; (t), а () | искомая функция.
Интегральные уравнения (8) и (9) являются аналогами уравнений (I.78) и (I.81) из [3]. Отличие состоит в том, что ядра уравнений (I.78) и (I.81) содержат особенности 1-го порядка, а ядра
уравнений (8) и (9) | особенности логарифмического типа [4], [5]. Интегральные уравнения
работы [3] могут быть получены из уравнений (8) и (9) дифференцированием, что ухудшает их
свойства. Как показано в [4], от уравнений (8), (9) легко перейти к эквивалентным сингулярным
интегральным уравнениям с ядром Коши относительно первообразных искомых функций. При
этом
Z
Z
Z
Z
d
(
)
d
( )
d =
; () = ( )d:
ab
b
;z
ab
;z
a
Такие сингулярные уравнения более устойчивы при численном решении квадратурными методами типа метода механических квадратур.
Заметим, что первая основная граничная задача сводится к случаю, когда f + () = f ;().
Для доказательства используем прием, указанный в ([6], x 23). Действительно, введем новую
искомую функцию
1 Z [f + ( ) ; f ; ( )] ln b ; z d:
(
z
)
=
(
z
)
;
(
z
)
;
(
z
)
=
1
0
0
2i ab
;z
Тогда
Z
1
0
0
['(t) + t' (t) + 1 (t)] = ['(t) + t' (t) + (t)] 2 [f + ( ) ; f ;( )]d ;
at
Z
1
; 2i [f +( ) ; f ;( )] ln tb ;; t d =
ab
Z
Z
b
;
t
1
1
+
;
= 2i [f ( ) ; f ( )] ln t ; d + 2 [f + ( ) + f ; ( )]d + A;
ab
at
здесь выбрана ветвь многозначной логарифмической функции
ln tb ;; t =
d def
1 ln t ; b + + ln t ; b ; ; t 2 (b):
=
2
t;
t;
b ; t
Z
Точно так же можно показать, что вторая граничная задача сводится к случаю, когда g+ () =
g; ().
59
2. Полуплоскость c дефектом вдоль дуги
Пусть D+ , D; | верхняя и нижняя полуплоскости комплексной плоскости и L | вещественная ось.
; функЛемма 2. Если аналитические в разрезанной по дуге ab нижней полуплоскости D
ции '(), ()
1) непрерывно продолжимы на все точки вещественной оси, включая бесконечно удаленную
точку, и
';(t) + t'0;(t) +
то
; (t) = 0;
t 2 L;
(10)
2) удовлетворяют условиям (1){(3),
d d + 1 Z [k( ) ; ( )] Z d d ;
2i ab
ab
b ; z
b ; z
Z
; 21i [( ) + ( )] ;; z d + R;
ab
Z
Z
1
1
(z ) = ; 2i [( ) + ( )] ; z d ; 2i [k( ) ; ( )] ;z z d +
ab
ab
Z
Z
d
z
(
;
)
1
+ ( ; z )2 d +
+ 2i [( ) + ( )]
ab
b ; z
Z
Z
+ 21i [k( ) ; ( )] d
; z d ; R;
ab
b
'(z) = 21i
Z
[( ) + ( )]
Z
(11)
(12)
где R | произвольная комплексная постоянная.
Доказательство. Пусть '1 (),
1 () | определенные формулами (4), (5) потенциалы для
разрезанной по дуге ab плоскости. Введем новые искомые функции '0 () = '() ; '1 () и 0 () =
() ; 1 (), для которых дуга ab уже не является особой линией. Рассмотрим вспомогательную
функцию, аналитическую в D+ и D; и непрерывно продолжимую на L сверху и снизу,
F (z) = '0(z); z 2 D;; ;z'00 (z) ; 0(z ); z 2 D+ :
Отметим, что в нижней полуокрестности бесконечно удаленной точки '0 (z ) = c0 + c1z ;1 + c2 z ;2 +
. Поэтому существует конечный предел произведения z'00 (z ) при z ! 1 2 L по любому пути
из D+ . Разность предельных значений F () на оси в силу (10)
F +(t) ; F ;(t) = f (t); f (t) = ';1 (t) + t'01 ;(t) +
; (t);
1
t 2 L:
Тогда, как решение задачи о скачке,
F (z) = 21i
1
f (x)dx + C;
;1 x ; z
Z
где C { произвольная комплексная постоянная. Подставив выражение функции
f (x) = 21i
Z
ab
[( ) + ( )]
Z
d d ; 1 Z [k( ) ; ( )] Z d d +
2i ab
b ; x
b ; x
Z
x d + P + Q; x 2 L; (13)
1
+ 2i [( ) + ( )] ;
;x
ab
60
в сингулярный интеграл, учтем, что x = x, и изменим порядок интегрирования. Методом вычетов легко вычислить интегралы (удобно использовать готовую формулу из ([7], пример 26a к
главе 1))
1 Z1
dx
1 ; z 2 D+; 0; z 2 D; ;
=
2i ;1 ( ; x)(x ; z )
;z
Z 1
1
dx
1
+
;
2i ;1 ( ; x)(x ; z ) = 0; z 2 D ; ; ; z ; z 2 D ;
1 Z 1 dx = 1 ; z 2 D+ ; ; 1 ; z 2 D; ;
2i ;1 x ; z
2
2
Z 1
1
; x dx = 1 ; z 2 D+; ; 1 ; ; ; z 2 D;:
2i ;1 ; x x ; z
2
2 ;z
Тогда
Z
Z
1
F (z) = 2i [( ) + ( )] d
d + P +2 Q + C; z 2 D+;
;
z
ab
b
Z
Z
1
F (z) = 2i [k( ) ; ( )] d
; z d ;
ab
b
Z
; 21i [( ) + ( )] ;; z d ; P +2 Q + C; z 2 D;;
ab
и
'(z) = '0(z) + '1(z); '0 (z) = F (z);
z 2 D; ;
(z ) = 0 (z ) + 1 (z ); 0 (z ) = ;zF 0 (z ) ; F (z ); z 2 D; :
Подставив сюда функцию F () при z 2 D; и z 2 D+ и вместо '1 (z ), 1 (z ) правые части формул (4) и (5), получим (11) и (12), где R = (P ; Q)=2 + C . Постоянные P и Q в выражениях
потенциалов '1 () и 1 () можно было бы и не учитывать (считать их равными нулю).
Постоянная R определится, если задать значение одной из функций '() или () в некоторой
точке z0 нижней полуплоскости или вещественной оси.
Следствие 2. Если аналитические в нижней полуплоскости функции '(),
() непрерывно
продолжимы на все точки вещественной оси, включая бесконечно удаленную точку, и удовлетворяют условию (10), то '(z ) = C , (z ) = ;C , где C | произвольная комплексная постоянная.
При этом '(z ) + (z ) = 0 8z 2 D; [ L.
Теорема 2. Первая и вторая основные граничные задачи для упругой полуплоскости с дефектом вдоль дуги ab эквивалентны интегральным уравнениям
Z
d
d
(
t
;
t
)(
;
)
i ab[( ) + ( )] b ; t ; b ; t + ( ; t)2 d +
Z
Z
Z
1
d
d
; ; t d +
+ i [k( ) ; ( )]
ab
b ; t
b
Z
Z
1 [( ) + ( )] ; t ; ; t d ; 1 [k( ) ; ( )] t ; t d =
+ i
;t ;t
i ab Z
;t
ab
= [f + ( ) + f ;( )]d + 2A; t 2 ab;
1
Z
Z
at
61
где (t) = f + (t) ; f ;(t), а () | искомая функция, и
Z
d
d
(
t
;
t
)(
;
)
i ab[( ) + ( )] k b ; t + b ; t ; ( ; t)2 d +
Z
Z
Z
d
1
d
+ i [k( ) ; ( )] k
+
d ;
ab
b ; t
b ; t
Z
Z
; i1 [( ) + ( )] ;; tt + k ;; tt d + i1 [k( ) ; ( )] t ;; tt d =
ab
ab
Z
+
= [g ( ) + g; ( )]d + 2B ; 2(k + 1)R; t 2 ab;
1
Z
Z
at
где
(t) = g+ (t) ; g;(t),
а () | искомая функция.
Для доказательства достаточно вычислить на дуге ab выражения вида (6) и (7).
3. Упругий круг c дефектом вдоль гладкой дуги
теперь D+ и D; | круг z < R и внешность круга z > R, а L | окружность
jj
jzj = R.
+ функции '(), ()
Лемма 3. Если аналитические в разрезанном по дуге ab круге D
1) непрерывно продолжимы на все точки L и
(14)
'+ (t) + t'0 +(t) + +(t) = 0; t 2 L;
Пусть
то
jj
2) удовлетворяют условиям (1){(3),
d d +
ab
b ; z
Z
Z
1
d
z
+ 2i [k( ) ; ( )]
2 ; 2R2 d ;
ab
b ; R =z
Z
1
;
z
z
; 2i [( ) + ( )] ; R2=z + 2R2 d + iSz ; T;
ab
Z
1
(z ) = ; 2i [( ) + ( )] d
;z +
ab
Z
2
2
+ 21i [k( ) ; ( )] ( ; b)(bz2; R ; 2bR ) d +
(z ; R )(bz ; R )
ab
Z
Z
2 )(z ; 2R2 ) d
(
1
;
R
d +
+ 2i [( ) + ( )]
2 +
(z ; R2 )2
ab
b ; R =z
Z
Z
+ 21i [k( ) ; ( )] d
; z d + T;
ab
b
'(z) = 21i
Z
[( ) + ( )]
Z
(15)
(16)
где S и T | произвольные вещественная и комплексная постоянные.
Доказательство. Пусть, как и в случае полуплоскости, '1 (),
1 () | потенциалы для
упругой плоскости с дефектом вдоль дуги ab, и '0 (z ) = '(z ) ; '1 (z ) и 0 (z ) = (z ) ; 1 (z ) |
новые искомые функции. Учитывая сказанное в конце доказательства леммы 2, будем считать,
что P = Q = 0. Рассмотрим вспомогательную функцию
F (z) = '0 (z); z 2 D+; ;z'00(R2 =z) ; 0(R2 =z); z 2 D; ;
62
аналитическую в D+ и D; всюду, кроме, может быть, бесконечно удаленной точки, в окрестности которой поведение функции F () определяет главная часть разложения в ряд Лорана
;z'00 (0) ; 0(0). При этом
F +(t) ; F ;(t) = ;f (t); f (t) = '+1(t) + t'01+ (t) + 1+ (t); t 2 L:
Тогда, как решение задачи о скачке,
Z
F (z) = F0 (z) ; z'00 (0) ; 0(0); F0 (z) = ; 21i fx(x;)dx
z:
L
Так как '0 (z ) = F (z ); z 2 D+, то при z = 0
'0(0) = F0 (0) ; 0(0); '00(0) = F00 (0) ; '00 (0):
Поэтому 2 Re '00 (0) = F00 (0), а значение Im '00 (0) и одно из двух значений '0 (0) и 0 (0) остаются
произвольными. Обозначим S = Im '00 (0) и T = 0 (0). Тогда
F (z) = F0 (z) ; z2 F00 (0) + iSz ; T; z 2 D+ [ D;;
'0(z) = F (z) = F0(z) ; 2z F00 (0) + iSz ; T; z 2 D+;
2
2
2
2
R
R
R
R + T; z 2 D+
0
0
0
=
;
F
(
z
)
;
F
(0)
;
F
0 (z ) = ; '0 (z ) ; F
0
0
0
z
z
z
z
(отметим, что у функции 0 () полюса в точке z = 0 нет).
Как и в случае полуплоскости, функция f () определена формулой (13), но теперь x = R2 =x.
Вычислив интегралы по окружности L
dx
1
1 Z
+
;
2i L ( ; x)(x ; z ) = 0; z 2 D ; ; ; z ; z 2 D ;
z ; z 2 D+; 0; z 2 D;;
1 Z
dx
=
2i L ( ; R2 =x)(x ; z )
z ; R2
Z
1
; x dx = z( ; z) ; z 2 D+; 0; z 2 D;;
2i L ; R2 =x x ; z
z ; R2
получим
zd d ;
2
ab
b z ; R
Z
; 21i [( ) + ( )] zz(;;Rz2) d; z 2 D+;
ab
Z
Z
1
;
F0 (z) = 2i [( ) + ( )] d
; z d; z 2 D : F0 (z) = 21i
Z
[k( ) ; ( )]
ab
Z
b
Если аналитические в D+ функции '(), () непрерывно продолжимы на L
и удовлетворяют условию (14), то '(0) + (0) = 0, Re '0 (0) = 0 и '(z ) = iSz ; T; (z ) = T; где
S и T | произвольные вещественная и комплексная постоянные.
Как и в случае полуплоскости, вычислив выражения
['(t) + t'0 (t) + (t)]+ + ['(t) + t'0 (t) + (t)]; ;
[k'(t) ; t'0 (t) ; (t)]+ + [k'(t) ; t'0 (t) ; (t)]; ;
можно доказать следующее утверждение.
Следствие 3.
63
Теорема 3. Первая и вторая основные граничные задачи для упругого круга с дефектом
вдоль дуги ab эквивалентны интегральным уравнениям
Z
d
d ;
[
(
)
+
(
)]
;
2
i ab
b ; t
b ; R =t
2
2
2
; ( + tt)(t ; 2(Rt );+RR2)2(t ; t + 2R ) + 2t
R2 d +
1 Z [k( ) ; ( )] Z
d ; Z d ; t d +
+ i
2
2R2
ab
b ; R =t
b ; t
1 Z [( ) + ( )] ; t ; ; t ; t d +
+ i
; t ; R2=t 2R2
ab
Z
2
2 ; bR2 )
1
tR
;
R
(
;
b
)(
bt
t
+ i [k( ) ; ( )] t(t ; R2 ) ; (t ; R2 )(bt ; R2 ) + 2R2 d =
1
Z
Z
ab
=
Z
at
[f + ( ) + f ;( )]d + 2A; t 2 ab;
где (t) = f + (t) ; f ;(t), а () | искомая функция, и
Z
d
d
i ab[( ) + ( )] k b ; t + b ; R2=t +
2 ) + R2 (t ; t + 2R2 )
t d +
+ ( + tt)(t ; 2(R
;
t ; R2)2
2R2
1 Z [k( ) ; ( )] k Z
d + Z d ; k t d ;
+ i
2
2R2
ab
b ; R =t
b ; t
Z
1
;
t
;
t
t
; i [( ) + ( )] ; t + k ; R2=t + k 2R2 d ;
ab
Z
2 ; bR2 )
2
;
R
1
tR
(
;
b
)(
bt
t
; i [k( ) ; ( )] t(t ; R2) ; (t ; R2)(bt ; R2) + 2R2 d =
1
Z
Z
ab
=
Z
at
[g+ ( ) + g; ( )]d + 2B + 2(k + 1)(T ; iSt); t 2 ab;
где (t) = g+ (t) ; g; (t), а () | искомая функция.
4. Области, конформно эквивалентные кругу (полуплоскости)
Если упругая среда с дефектом вдоль разомкнутой дуги заполняет область, конформно эквивалентную кругу (или полуплоскости), то комплексные потенциалы также можно построить методом аналитического продолжения через границу (методом сопряжения Н.И. Мусхелишвили).
Пусть области D+ и D; расположены слева и справа от замкнутой линии L в плоскости
комплексной переменной z , а области + и ; | слева и справа от линии в плоскости
переменной . Рассмотрим параллельно два случая: 1) когда + и ; | единичный круг и
внешность круга и 2) когда + и ; | верхняя и нижняя полуплоскости. Отметим, что оба
случая эквивалентны.
Лемма 4. Пусть рациональная функция z = ! ( ) взаимно однозначно отображает 1) единичный круг + или 2) нижнюю полуплоскость ; на область D+ . Если предельные значения
аналитических в разрезанной по дуге ab области D+ функций '(), () удовлетворяют условию
'+ (t) + t'0+(t) +
64
+ (t) = 0;
t 2 L;
и условиям (1){(3), то
'(!( )) = '1 (!( )) + 0( ); (!( )) = 1 (!( )) + 0( );
где '1 (), 1 () { комплексные потенциалы для плоскости с дефектом вдоль ab,
или
(17)
) F 0 ( ); 2 + ;
1) 0 ( ) = F ( ); 0 ( ) = ;F (1= ) ; !!(10 (=
)
2) 0 ( ) = F ( ); 0 ( ) = ;F ( ) ; !!0(()) F 0 ( ); 2 ; ;
и F () | решение задачи о скачке
F +( ) ; F ;( ) = f (!( )); 2 ;
(18)
f (t) = '+1 (t) + t'01+(t) + 1+(t); t 2 L:
Доказательство. Пусть '1 (),
1 () | комплексные потенциалы (4), (5). Тогда предельные
+
значения на L аналитических в D функций '0 () = '() ; '1 (), 0 () = () ; 1 () удовлетворяют условию
'+0 (t) + t'00 +(t) + 0+ (t) = ;f (t); t 2 L:
Для новых искомых функций 0 ( ) = '0 (!( )), 0 ( ) = 0 (!( )), 2 , это условие примет
вид
0 ( ) + !0( ) 00 ( ) + 0 ( ) = ;f (!( )); 2 :
! ( )
Верхний знак в формулах соответствует случаю 1), а нижний | случаю 2). Рассмотрим вспомогательную функцию
1) F ( ) = 0 ( ); 2 +; ; !0 ( ) 00 (1= ) ; 0 (1= ); 2 ;
! (1= )
или
2) F ( ) = 0 ( ); 2 ;; ; !0( ) 00 ( ) ; 0 ( ); 2 + :
! ( )
Можно показать, что !0 ( ) 6= 0 8 2 и !0 ( ) 6= 0 8 2 , если контур имеет непрерывно
изменяющуюся кривизну ([1], x 47). На единичной окружности 1= = , на вещественной оси
= . Тогда предельные значения на функции F () удовлетворяют условию (18).
Решение задачи о скачке (18) должно быть найдено в классе функций, которые могут иметь
полюсы в тех точках плоскости , где они имеются у функции !(), а в случае круга | еще
и в бесконечно удаленной точке. Полное исследование проводится таким же образом, что и
в ([1], x 125). В каждом конкретном случае потенциалы будут зависеть от одной или от двух
комплексных или вещественных постоянных. Ниже будет рассмотрен пример, а пока отметим
следующее. В случае 1) у функции !() в области + полюсов нет, если D+ | ограниченная
область. Если же область D+ неограничена, то у функции !() может быть простой полюс в +
или на . В случае 2) бесконечно удаленная точка принадлежит линии , поэтому в области
; у функции !() не может быть особых точек. Поэтому если область D+ неограничена, то
удобнее рассматривать в качестве эквивалентной ей области полуплоскость ; . В общем случае
F () = F0 () + G(), где F0 () | интеграл типа Коши с плотностью f (!()), а G() | некоторая
рациональная функция.
65
Существенно, что !() | рациональная функция, т. к. тогда и только тогда эта функция,
определенная в области , может быть естественным образом аналитически продолжена через единичную окружность или через вещественную ось на всю комплексную плоскость (за
исключением, может быть, конечного числа точек, где у нее расположены полюсы).
Рассмотрим пример. Пусть D; | нижняя полуплоскость, конформно эквивалентная единичному кругу + плоскости . Отображающая функция имеет единственный простой полюс в
точке = 1 единичной окружности,
1 ; !( ) = 1 2 ; 1 ; 2 ;
!( ) = i +
; 1 ! 0 ( ) 2 2
но у функции F () в этой точке нет особенности. Поэтому в решении задачи о скачке (18)
содержится только одна произвольная комплексная постоянная. При P = Q = 0
Z
Z Z
1
1
1
F0 ( ) = ; 2i [( ) + ( )] 2i ( ; !(x))(x ; ) dx d d +
ab
b
Z
Z 1
1 Z
1
+ 2i [k( ) ; ( )]
dx
d d ;
ab
b 2i ( ; ! (x))(x ; )
Z
Z
; 21i [( ) + ( )] 21i ; !(x) xdx
d;
ab
; ! (x) ; все внутренние интегралы вычисляются по формуле Коши, если учесть, что !(1= ) = !( ) и
1=x = x при x 2 . Дальнейшие вычисления проводятся аналогично случаю круга. Как и следовало ожидать, вернувшись на плоскость z , получим выражения вида (11) и (12) комплексных
потенциалов для упругой полуплоскости с дефектом.
С помощью потенциалов (17), как и в ранее рассмотренных случаях, можно перейти от
основных граничных задач для областей с дефектом, конформно отображаемых на круг или
полуплоскость, к сингулярным интегральным уравнениям с логарифмической особенностью в
ядре.
Как уже было отмечено, значения постоянных P , Q, R, S , T в формулах (4), (5), (11),
(12), (15), (16) и (17) могут быть определены из каких-либо дополнительных условий. Но, как
следует из формул Колосова{Мусхелишвили, вычисленные по функциям '(), () напряжения
и перемещения не зависят от этих постоянных.
Численные решения интегральных уравнений с логарифмической особенностью в ядре и
сингулярных уравнений с ядром Коши в различных случаях были получены методом Галеркина
(обсуждению результатов будет посвящена другая работа). Если дефект расположен близко к
границе или к особой точке, то можно выделить ситуации, когда численные алгоритмы на основе
полученных в данной работе имеют преимущества перед другими.
Литература
1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.
Основные уравнения. Плоская теория упругости. Кручение и изгиб. { М.: Наука, 1966. {
707 с.
2. Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре для
граничных задач теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектом вдоль
гладкой дуги // Препринт Є 1. Казанск. матем. об-во. { Казань, 1997. { 22 с.
3. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. { Киев: Наук. думка,
1981. { 323 с.
4. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и
степенными ядрами. Учеб. пособие. { Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987. { 157 с.
66
5. Pleshchinskii N.B. Some classes of singular integral equations solvable in a closed form and their
applications // Pitman Research Notes in Math. Ser. Longman Scientic & Technical. { New York,
1991. { V.256. { P.246-256.
6. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. { М.: Наука, 1977.
{ 312 с.
7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. { М.: Наука, 1977. { 640 с.
Казанский государственный университет
Поступила
12.11.1998
67
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
190 Кб
Теги
гладкой, логарифмических, ядра, вдоль, комплексная, дефектов, упругие, тел, особенностями, потенциал, дуги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа