close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Конечномерная инвариантная аппроксимация и периодические режимы течения Блазиуса.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 13, № 4, 2008
Конечномерная инвариантная аппроксимация
и периодические режимы течения Блазиуса
Т. Г. Дармаев
Бурятский государственный университет, Улан-Удэ, Россия
e-mail: dtg@bsu.ru
In this article the method of the finite-dimensional invariant projection of the
Navier—Stokes equations is applied for the parallel Blasius flow of viscous incompressible
fluid on a semi-infinite flat plate. A numerical study of the periodical regimes was
presented.
Введение
Известно, что в области ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое быстро
нарастают возмущения. Первая попытка оценить влияние нелинейности на судьбу возмущений была предпринята Л.Д. Ландау [1]. С помощью качественных рассуждений
он показал, что нелинейность может как стабилизировать нарастающие возмущения,
создавая новый устойчивый режим течения, так и вызвать рост возмущений, устойчивых в линейном приближении. Дж. Стюарт и Дж. Ватсон [2, 3] количественно нашли
уравнение Ландау для слабонеустойчивых возмущений плоскопараллельных течений
в виде асимптотических рядов. Численные расчеты для течения Пуазейля выполнили
В. Рейнольдс и М. Поттер [4]. Существенный вклад в развитие нелинейной теории был
сделан В.В. Струминским [5]. Он получил решение уравнений Навье—Стокса для слабонелинейных возмущений в виде сходящихся рядов. Просуммировав бесконечные ряды
для амплитуд возмущений, он показал, что нарастающие возмущения стабилизируются, а затухающие в линейном приближении затухают и при нелинейном рассмотрении.
Решения Струминского сходились на некотором расстоянии от линейной нейтральной
кривой. Но вышеуказанные слабонелинейные теории гидродинамической устойчивости
[1–5] и прямое численное интегрирование уравнений Навье—Стокса [6] хорошо описывают начальную стадию ламинарно-турбулентного перехода. Слабонелинейная теория не применима для описания последующих стадий, поскольку нужно рассматривать
члены высших порядков по амплитуде. Прямое численное интегрирование уравнений
Навье—Стокса неэкономично и не гарантирует правильного описания асимптотического поведения решения. Б.Ю. Скобелев [7] разработал метод инвариантной конечномерной проекции уравнений Навье—Стокса, который позволяет получать нелинейные
решения в окрестности нейтральной кривой в виде сходящихся рядов. Существенным
достоинством метода инвариантной проекции является то, что он гарантирует правильное описание асимптотического поведения решений (т. е. при t → ∞), а также то, что
начально-краевая задача для возмущений ламинарного течения сводится к конечномерc Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2008.
°
60
61
Т. Г. Дармаев
ной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с аналитическими правыми
частями. Правые части находятся из рекуррентной системы линейных краевых задач.
В данной работе метод инвариантной конечномерной проекции уравнений Навье—
Стокса применяется для плоскопараллельного течения Блазиуса вязкой несжимаемой
жидкости над плоской полубесконечной пластиной.
1. Эволюционные уравнения для трехмерных
моногармонических периодических возмущений
Выберем систему координат так, чтобы ось x была направлена вдоль пластины, z-координата — поперек пластины, y-координата — перпендикулярно пластине, начало координат совпадает с передней кромкой пластины.
Рассмотрим уравнение Навье—Стокса для завихренности:
∂ω
= (ω · ∇)u − (u · ∇)ω + ν∆ω,
∂t
(1)
и уравнение неразрывности:
(∇u) ≡
∂u1 ∂u2 ∂u3
+
+
= 0,
∂x
∂y
∂z
(2)
где ν — коэффициент кинематической вязкости, x = (x, y, z) — координаты, u =
(u1 , u2 , u3 ) — скорость, ω = (ω1 , ω2 , ω3 ) — завихренность, ω = ∇ × u или
ω1 =
∂u3 ∂u2
−
,
∂y
∂z
ω2 =
∂u1 ∂u3
−
,
∂z
∂x
ω3 =
∂u2 ∂u1
−
,
∂x
∂y
ω · ∇ = ω1
∂
∂
∂
+ ω2
+ ω3 .
∂x
∂y
∂z
Предположим, что уравнения (1) и (2) имеют стационарное решение u(0) , ω (0) . Положим u = u(0) (y)+ũ, ω = ω (0) (y)+ω̃. Решение u удовлетворяет естественным граничным
условиям на пластине. В дальнейшем будут рассматриваться уравнения для возмущений ũ, ω̃, и поэтому знак тильды будем опускать. Подставляя u, и ω в (1), получаем
уравнение для возмущений:
∂ω
= (ω (0) · ∇)u + (ω · ∇)u(0) − (u(0) · ∇)ω−
∂t
−(u · ∇)ω (0) + (ω · ∇)u − (u · ∇)ω + ν∆ω.
(0)
Для плоскопараллельных течений скорость u1
(0)
(0)
(0)
го решения, u2 = u3 = 0, а завихренность ω3
(3)
= U (y) — профиль стационарноdU
(0)
(0)
= − , ω1 = ω2 = 0. Учитывая
dy
Конечномерная инвариантная аппроксимация и периодические режимы...
62
соотношения для ω, а также уравнение (2), и преобразовывая (3), получим следующую
систему уравнений:
 µ
¶
∂
d2 U ∂u2
∂



+
U
−
ν∆
∆u
−
=
2

2 ∂x

∂t
∂x
dy




∂
∂


=
[(ω · ∇)u3 − (u · ∇)ω3 ] −
[(ω · ∇)u1 − (u · ∇)ω1 ] ,


∂x
∂z

¶

 µ∂
∂
dU ∂u2
+U
− ν∆ ω2 = (ω · ∇)u2 − (u · ∇)ω2 −
,
(4)
∂t
∂x ¶
dy ∂z


µ


∂2
∂ 2 u2
∂2
∂ω2



u
=
−
+
+
,
1


∂x2 ∂z 2 ¶
∂x∂y
∂z

µ



∂2
∂ 2 u2
∂
∂ω2


u
=
−
+
−
.

3
2
2
∂x
∂z
∂x∂y
∂x
Положим давление p = p(0) (y) + p̃, тогда из уравнения для скорости, опуская знак
тильды для p̃, имеем
¶
 µ
∂
∂u1
∂p
dU


− ν∆ u1 + U
− u2
=−
− (u · ∇)u1 ,


∂t
∂x
dy
∂x


µ
¶
 ∂
∂u2
∂p
(5)
− ν∆ u2 + U
=−
− (u · ∇)u2 ,

∂t
∂x
∂y

¶
µ


∂u3
∂p
∂



− ν∆ u3 + U
= − − (u · ∇)u3 .
∂t
∂x
∂z
Рассмотрим трехмерные моногармонические возмущения, периодические по продольной координате x с волновым числом α и по поперечной координате z с волновым
km
iθkm
числом β: ukm
, j = 1, 2, 3; −∞ < k, m < ∞, θkm = kαx + mβz, i —
j (y, θkm ) = ûj (y)e
мнимая единица.
Положим:
P km

uj (y, θkm ), j = 1, 2, 3;
 uj =
k,m
P km
p (y, θkm )
 p=
k,m
и u00
2 = 0 с учетом граничных условий.
Подставляя uj в уравнение неразрывности (2) и приравнивая члены при eiθkm , получаем:
∂ukm
∂ukm
∂ukm
kα 1 + mβ(1 − δλ0 ) 3 + (1 − δλ0 ) 2 = 0,
∂θkm
∂θkm
∂y
где δ — символ Кронекера, λ = |k| + |m|.
Таким образом, уравнение неразрывности удовлетворяется введением функций тока:

∂ψ km

km
00
00

= kαukm

1 + mβu3 + δλ0 (u1 + cu3 ),
∂y
(6)

∂ψ km

km
 (1 − δλ0 )
= −u2 ,
∂θkm
где c — произвольная постоянная.
63
Т. Г. Дармаев
Из последних двух уравнений системы (4) и (6) находим:
¸
·

(1 − δλ0
∂ψ km

km
km

u1 =
+ imβω2 + δλ0 u00
) kα

1 ,
2

γ
∂y

km


km
ukm
,
2 = −i(1 − δλ0 )ψ


¸
·


(1 − δλ0
∂ψ km

km
km

 u3 =
− ikαω2 + δλ0 u00
) mβ
3 ,
2
γkm
∂y
P km
2
где γkm
= (kα)2 + (mβ)2 , ω2 = (1 − δλ0 )
ω2 (y, θkm ).
(7)
k,m
km
Складывая в (5) уравнения для ukm
1 , умноженное на kα, для u3 — на mβ (k, m 6= 0),
00
для u00
1 — на δλ0 и для u3 — на cδλ0 , и учитывая (7), получим
¶
µ
km
¤
£ k1 m1
∂ψ km
∂
∂
∂U ∂ψ km
k2 m2 00
2 ∂p
− γkm
− ν∆ + kαU
− kα
= −cδλ0 (u
· ∇)u3
−
∂t
∂θkm
∂y
∂y ∂θkm
∂θkm
¤00
¤km
£
£
− δλ0 (ukm · ∇)u1k2 m2 .
− kα(uk1 m1 · ∇)u1k2 m2 + mβ(uk1 m1 · ∇)uk32 m2
(8)
Из второго уравнения системы (5) с учетом (7) получаем
¶
µ
¤km
∂ψ km
∂
∂pkm £ k1 m1
∂
.
− ν∆ + kαU
+ (u
· ∇)u2k2 m2
=
∂t
∂θkm ∂θkm
∂y
Используя соотношения (7), продифференцируем первое уравнение системы (5) по y,
2
второе — по θkm , умножим на γkm
и сложим:
¶
µ
2
km
¤
∂ £ k1 m1
∂
∂
k2 m2 km
2
˜ km − kα d U ∂ψ = γkm
˜
∆ψ
− ν ∆ + kαU
−
·
∇)u
(u
2
∂t
∂θkm
dy 2 ∂θkm
∂θkm
¸00
¸00
·
·
∂
∂ k1 m1
k2 m2
k2 m2
k1 m1
−δλ0
(u
· ∇)u1
(u
· ∇)u3
− cδλ0
−
∂y
∂y
−
¤km
∂ £
,
kα(uk1 m1 · ∇)u1k2 m2 + mβ(uk1 m1 · ∇)u3k2 m2
∂y
(9)
2
∂2
2
˜ = ∂ + γkm
где ∆
.
2
∂y 2
∂θkm
Обозначим:
Zk1 k2 ≡ (k1 k2 α2 + m1 m2 β 2 )
∂ψ k1 m1
+ iαβ(m1 k2 − k1 m2 )ω2k1 m1 ,
∂y
Ẑk1 k2 ≡ (k1 k2 α2 + m1 m2 β 2 )
dψ̂ k1 m1
+ iαβ(m1 k2 − k1 m2 )ω̂2k1 m1 ,
dy
¶
dψ̂ km
d2
00
00
2
,
R
≡
kαu
+
mβu
,
Ŷ
≡
(kα
+
cmβ)
−
γ
+ i(mβ − ckα)ω̂2km ,
km
kmc
1
3
km
dy 2
dy
P km
где ω2 =
ω̂2 (y, t)eiθkm , ψ km = ψ̂ km (y, t)eiθkm , ηλ0 = 1 − δλ0 , причем ω̂200 = 0 и Zk1 k2 =
µ
ˆ ≡
∆
k,m
iθk1 m1
Ẑk1 k2 e
.
Конечномерная инвариантная аппроксимация и периодические режимы...
64
Выражая ukm
через ψ km и ω2km , с помощью (6) и (7) получаем из (9):
j
"
#km
·
¸
2
k2 m2
∂ ˆ
Ẑ
d
U
∂
ψ̂
k
k
1
2
2
k
m
k
m
ˆ−
ˆ ψ̂ km = iγ 2 ηλ1 0 ηλ2 0
∆ + ikα(U ∆
−
) − ν∆
ψ̂ 2 2 − ψ̂ 1 1
km
∂t
dy 2
γk21 m1
∂y
"
#km
µ
¶
2
1
∂
∂
Ẑ
∂
∂ ψ̂ k1 m1 ∂Zk2 k
ηλ1 0 ηλ2 0
k2 k
Ẑk2 k Ẑk1 k2 + Ẑk1 k2 Ẑk2 k −
− ψ̂ k1 m1
−
−i 2
γk2 m2
γk21 m1
∂y
∂y
∂y
∂y
∂y 2
Ã
!
2
∂ 2 ψ̂ km
ηλ 0 ηλ 0
∂
R
km
2
−i
+ iγkm
ψ̂ km Rkm − iδλ0 12 2 ×
Rkm − ψ̂ km
2
2
∂y
∂y
γk2 m2
!
#00
Ã
"
k1 m1
2
∂ Ẑk1 k2
∂
Ŷ
∂ Ŷk2 m2 c
∂
ψ̂
∂
Ŷ
1
k2 m2 c
k2 m2 c
Ŷk2 m2 c
. (10)
+ Ẑk1 k2
−
−2ψ̂ k1 m1
× 2
γk1 m1
∂y
∂y
∂y 2
∂y
∂y
Используя (7), из второго уравнения системы (4) находим ω2km :
µ
¶
·
k2 m2
k2 m2
∂
∂
k1 m1 ∂u2
k1 m1
k1 m1 ∂u2
km
˜
ω2 = ω2
−
− ν ∆ + kαU
+ (k2 αω1
+ m2 βω3 )
∂t
∂θkm
∂y
∂θk2 m2
¸km
dU ∂ukm
k2 m2
2
k1 m1
.
(11)
−(u
· ∇)ω2
− mβ
dy ∂θkm
Обозначая
#
"
k1 m1
1 − δλ1 0
∂
ω̂
∂ 2 ψ̂ k1 m1
V̂k1 k2 ≡ 2
− i(k1 k2 α2 + m1 m2 β 2 ) 2
αβ(k2 m1 − k1 m2 )
γk1 m1
∂y 2
∂y
и учитывая, что
ω2k1 m1
∂u2k2 m2
∂ψ k2 m2
= −i(1 − δλ2 0 )ω2k1 m1
,
∂y
∂y
получаем далее
"
µ
¶
k2 m2
∂
ˆ + ikαU ω̂2km = iηλ2 0 ω̂2k1 m1 ∂ ψ̂
− ν∆
+ αβ(k1 m2 − k2 m1 )ψ̂ k1 m1 ψ̂ k2 m2 +
∂t
∂y
µ
k2 m2 ¶¸km
1
k2 m2
k1 m1 ∂ ω̂2
k2 m2
+ ψ̂
V̂kk2 − iηλ1 0
+
Ẑk k ω̂
− ψ̂
γk21 m1 1 2 2
∂y
dU km
∂
00
km
00
00
(kαu00
ψ̂ .
3 − mβu1 ) − iω2 (kαu1 + mβu3 ) − mβ
∂y
dy
= 0, получаем
+ψ̂ km
Учитывая ω200
u00
1 =
∂ψ 00
− cu00
3 .
∂y
С помощью (5) находим уравнение для u00
3 :
Ã
!
"
(
¶
µ
k2 m2
2 k2 m2
∂
ψ̂
η
η
∂2
∂
ω̂
∂
λ1 0 λ2 0
−
− ν 2 u00
− ik2 α 2
ψ̂ k1 m1 m2 β
3 = i
∂t
∂y
γk22 m2
∂y 2
∂y
Ã
!#)00
1
∂ ψ̂ k2 m2
− 2 Ẑk1 k2 m2 β
− ik2 αω̂2k2 m2
.
γk1 m1
∂y
(12)
(13)
(14)
65
Т. Г. Дармаев
Система уравнений (10), (12)–(14) полностью определяет величины ψ̂ km , ω̂2km , u00
1 и
при этом ставятся следующие граничные условия:
u00
3 ,
d
d km
ψ̂ (0) = ψ̂ km (∞) = ψ̂ km (∞) = 0;
dy
dy
km
km
00
ω̂2 (0) = ω̂2 (∞) = 0, u1 (0) = u00
3 (∞) = 0.
ψ̂ km (0) =
(15)
00
Таким образом, нужно решить систему трех уравнений для ψ̂ km , ω̂2km и u00
3 , а u1
находится по формуле (13).
Систему уравнений (10), (12), (14) можно записать в виде системы эволюционных
ˆ ψ̂ km , ω̂2km , δλ0 u00
уравнений для векторов vkm = (∆
3 ) в виде
dvkm
km
= −Lkm
+ N km (vjl ), −∞ < j, l < ∞,
ν v
dt
©
ª
или в виде одного уравнения для вектора v = vkm (y)eiθkm , −∞ < k, m < ∞,
dv
= −Lν v + N (v),
dt
(16)
где Lν и N — замкнутые неограниченные операторы в гильбертовом пространстве H.
2. Двумерная инвариантная проекция для течения Блазиуса
Согласно теории, изложенной в [7], спектр ρ оператора (−Lν ) допускает разбиение:
ρ(ν) = ρ1 (ν) ∪ ρ2 (ν), ρ1 (ν) ∩ ρ2 (ν) = ∅, где ρ1 (ν) — ограниченная часть спектра, и
существует проекционный оператор Pν такой, что пространство H представимо в виде
прямой суммы ортогональных подпространств:
H = Pν H ⊕ (I − Pν )H.
Оператор (−L1 ) = −Pν Lν действует в подпространстве Pν H, его спектр ограничен
и равен ρ1 (ν). Спектр неограниченного оператора (−L2 ) = −(I − Pν )Lν равен ρ2 (ν).
Ограниченная часть спектра ρ1 (ν) состоит из n пар простых изолированных собственных значений (λk , λ̄k ), где λ̄k — комплексно-сопряженное к λk . Обозначим P (k) проектор
на собственное пространство оператора (−Lν ), отвечающее паре собственных значений
(λk , λ̄k ):
P (k) v = (v, ψk )H ϕk + (v, ψ̄k )H ϕ̄k ≡ yk , (ϕk , ψk ) = 1,
где ϕk — собственная функция оператора (−Lν ), ψk — собственная функция сопряженного оператора (−L∗ν ), (., .)H — скалярное произведение в комплексификации вещественного пространства H.
Система уравнений (16) принимает вид

dyk


= −L(k) yk + N (k) v, k = 1, 2, ..., n,
dt
(17)
dz


= −L2 z + N2 v,
dt
где v = y1 + y2 + ... + yn + z, z = (I − Pν )v; L(k) = P (k) Lν , N (k) = P (k) N, N2 = (I − Pν )N .
Конечномерная инвариантная аппроксимация и периодические режимы...
66
Введем в подпространствах P (k) H полярные системы координат и будем искать решение (17) в виде
(
yk = 2Re(rk′ eiθk ϕk ) = 2Re(rk eiθk ϕk ) + Yk (r1 , ..., rn , θ1 , ..., θn ),
z = Z(r1 , ..., rn , θ1 , ..., θn ).
(18)
Динамическая система
drk
= (ηk + b(k) )rk ,
dt
dθk
= (σk + c(k) )rk ,
dt
k = 1, 2, ..., n,
определяет поведение траекторий уравнения (18) на 2n-мерном инвариантном многообразии, где λk = ηk +iσk , а b(k) , c(k) — некоторые функции, зависящие только от координат
rk , θ k .
Предельное многообразие определяется функциями g ∗ (r, θ), b(k) (r, θ), c(k) (r, θ) в виде
рядов по степеням rk :
g∗ =
∞
P
gS rS ,
|S|=2
где gS =
n
P
k=1
b(k) =
∞
P
|S|=1
(k)
bS r S ,
c(k) =
∞
P
|S|=1
(k)
cS r S ,
YkS + Z S , rS = r1s1 · r2s2 · ... · rnsn , |S| = s1 + ... + sn . Функции gS определяются
следующей рекуррентной системой линейных уравнений:
n h
i
X
X (1) ∂gp
∂gS
(k)
(k)
σ1
+ Lν gS = −2Re
+ NS ,
(bSk + icSk )eiθk ϕk −
ck
∂θ1
∂θ
1
k=1
k+p=S
∞
P
S
N=
NS r , Sk = (s1 , ..., sk − 1, ..., sn ).
(19)
|S|=2
В соответствии с теорией, изложенной в [7], рассмотрим собственные векторы оператора (−Lν ):
λ + Lν v = 0.
В покомпонентной записи это уравнение принимает следующий вид:

¶
¶2
µ 2
µ 2
d2 U km
d
d

2
2
km

− γkm ψ̂ − ikαβ 2 ψ̂ − ν
− γkm ψ̂ km = 0,
(λ + ikαU )



dy 2
dy
dy 2


¶
µ 2

dU km
d
2
km
− γkm ω̂2km = −mβ
ψ̂ ,
(λ + ikαU )ω̂2 − ν
2

dy
dy





d2 u00

3
 λu00
−
ν
= 0.
3
dy 2
(20)
Легко видеть, что первое уравнение — это уравнение Орра—Зоммерфельда для
трехмерных возмущений (λ = −ikαc и без ограничения общности можно положить
k = 1, m = ±1).
67
Т. Г. Дармаев
Для двумерной инвариантной проекции рассмотрим первое собственное число задачи Орра—Зоммерфельда λ = η + iσ. Тогда оператор (−Lν ) имеет однопараметрические
семейства собственных функций вида
³
´
˜
ϕ(x, y, z) = ∆ψ (x, y, z) , ω2 (x, y, z) , 0 ,
£
¤
ψ (x, y, z) = f (y) ei(αx+βz) + τ ei(αx−βz) ,
£
¤
ω2 (x, y, z) = f1 (y) ei(αx+βz) − τ ei(αx−βz) ,
(21)
где f (y) — собственная функция задачи Орра—Зоммерфельда для течения Блазиуса, а
f1 (y) — решение второго уравнения в (20) при k = m − 1.
Значение параметра 0 ≤ τ ≤ 1 определяется постановкой задачи. При τ = 1 мы
имеем дело с возмущением в виде стоячей волны в направлении z-координаты:
ψ (x, y, z) = f (y)eiαx cos βz.
При τ = 0 имеем бегущую трехмерную волну, при промежуточных значениях τ — смесь
двух предыдущих возмущений.
¡
¢
Сопряженный собственный вектор ϕ∗km = ψ ∗km, ω2∗km, δλ0 u∗00
удовлетворяет системе
3

µ
¶
¶2
µ 2
¢ d2
¡
d
dU ∗km
d

∗km
2
∗km
2
∗km

λ̄ − ikαU
ψ
−
2ikαU
ψ
=
−mβ
−
γ
ψ
−
ν
−
γ
ω2 ,

km
km

2

dy 2
dy
dy
dy

¶
µ 2
¡
¢ ∗km
d
2
− γkm ω2∗km = 0,
λ̄ − ikαU ω2 − ν
2

dy




d2 ∗00

 λ̄u∗00
u = 0.
3 −ν
dy 2 3
Очевидно, что собственному вектору системы (21) соответствует сопряженный собственный вектор вида
ϕ∗ (x, y, z) = (ψ ∗ (x, y, z) , 0, 0) .
¡
¢
Здесь ψ ∗ (x, y, z) = f ∗ (y) ei(αx+βz) + τ1 ei(αx−βz) , где f ∗ (y) — решение следующего (сопряженного с уравнением Орра—Зоммерфельда) уравнения (τ1 можно положить равным нулю):
¡
λ̄ − iαU
¢
µ
¶
¶2
µ 2
d2
dU df ∗
d
∗
2
2
− α̃ f − 2iα
−v
− α̃
f ∗ = 0,
2
2
dy
dy dy
dy
α̃2 = α2 + β 2 .
В случае двумерной инвариантной проекции предельное многообразие определяется
функциями
∞
∞
∞
P
P
P
g∗ =
gS rS , b(r) =
b2n r2n , c(r) =
c2n r2n ,
n=1
|S|=2
gS =
s
P
k=−s
ikθ∗
gsk e
n=1
, θ∗ = θ − αx.
Конечномерная инвариантная аппроксимация и периодические режимы...
68
Из (19) получаем следующую рекуррентную систему уравнений для gsk :
£
¤
1 2
∆ gsk =
ik (σ − αU ) ∆k + αD2 U gsk −
Re k
= −δk1 (bs−1 + ics−1 )∆1 f − δk,−1 (bs−1 − ics−1 )∆1 f¯−
−ik
X
X X £
¤
lgql D∆2j gpj − jDgql ∆2j gpj ,
cq ∆k gpk − iα
q+p=s
(22)
q+p=s l+j=k
d
, ∆k = D2 − (k α̃)2 .
dy
удовлетворяют следующим граничным условиям:
где Re — число Рейнольдса, D ≡
Функции gsk
gsk (0) = Dgsk (0) = gsk (∞) = Dgsk (∞) = 0.
Будем искать решения (18) в классе 2π-периодических функций от θk , удовлетворяющих условиям ортогональности вида
Z2π
e−iθ (gs , ϕ∗ )B dθ∗ = 0,
∗
(23)
0
где ϕ∗ — собственный вектор сопряженного оператора (−L∗ν ), а скалярное произведение
(·, ·)B в данном случае имеет вид
¡
(1)
x ,x
(2)
¢
B
=
2π/β
Z
2π/α
Z
dx
Z∞ ³
´
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
dz
x1 · x̄1 + x2 · x̄2 + x3 · x̄3 dy,
0
0
0
x1 = ψ,
x2 = ω2 ,
x3 = u00
3 .
Так как gmk
S — вектор вида
³
´
mk
mk
00
ˆ
gS = ∆ψs , ω2s , δλ0 u33 )
(s ≥ 2),
то условие ортогональности (23) принимает следующий вид:
Z∞
¯∗
f
0
µ
¶
d2
2
− α̃ ψs11 dy = 0.
dy 2
∗
Нормируем f и f условием
Z∞
0
f¯∗
µ
¶
d2
2
− α̃ f dy = 1.
dy 2
Тогда коэффициенты bs , cs определяются формулой
#
¶
Z∞ "
X µ d2
¡
¢
− α̃2 ψs11 dy,
bs−1 + ics−1 = f¯∗ Ns11 1 − i
cq
2
dy
q+p=s
0
где через (Ns11 )1 обозначена правая часть уравнения (10) для ψs11 .
69
Т. Г. Дармаев
3. Численные расчеты
Амплитуда периодических режимов определяется из уравнения
µ+
N
X
b2n A2n = 0,
N → ∞,
n=1
где µ = ασ — линейный коэффициент нарастания.
Рекуррентная система (22) для нахождения коэффициентов bs при N = 2, 3, 4, 5 решалась методом ортогональной прогонки [8] на неравномерной разностной сетке, сгущающейся в пограничном слое.
В данной работе проводилось численное исследование поперечных возмущений
(β = 0). В результате вычислений выявилась следующая картина (рис. 1). При некотором значении волнового числа α = α∗ от нижней ветви линейной нейтральной кривой
течения Блазиуса (рис. 1 — сплошная линия) ответвляются устойчивый и неустойчивый
режимы. Неустойчивый режим соответствует верхней части, а устойчивый — нижней
части амплитудной поверхности. На рис. 2 представлен срез амплитудной поверхности при α = 0.206906. При некоторых числах Рейнольдса происходит слияние этих
режимов в точках тангенциальной бифуркации [9], соответствующих точкам складки в
теории катастроф [10]. С некоторого α передняя складка амплитудной поверхности из
нефизической области отрицательных значений квадратов амплитуд выходит в область
положительных значений. Эти точки передних складок, полученные численными расчетами при β = 0, отображены на рис. 1 пунктиром. С увеличением α амплитудная
поверхность периодических решений отрывается от линейной нейтральной кривой, и
при некотором значении α периодические решения исчезают.
Рис. 1. Линейная и нелинейная нейтральные
кривые
Рис. 2. Срез амплитудной поверхности при
α = 0.206906
В работе [11] были проведены эксперименты при малых значениях волнового числа α и выяснено, что линейная теория достаточно хорошо описывает развитие таких
возмущений. Результаты данной работы показывают, что требуются тщательные исследования в области значений α > α∗ для обнаружения новых нелинейных эффектов в
экспериментах.
Конечномерная инвариантная аппроксимация и периодические режимы...
70
Список литературы
[1] Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // Докл. АН СССР. 1944. Т. 44. С. 339–342.
[2] Stuart J.T. On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel
flows. Part 1. The basic behavior in plane Pouseuille flow // J. Fluid Mech. 1960. Vol. 9, pt. 3.
P. 353–370.
[3] Watson J. On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel
flows. Part 2. The development of a solution for plane Pouseuille flow and for plane Couette
flow // J. Fluid Mech. 1960. Vol. 9, pt. 3. P. 371–389.
[4] Reynolds W.C., Potter M.C. Finite-amplitude instability of parallel shear flows // J.
Fluid Mech. 1967. Vol. 27, pt. 3. P. 465–492.
[5] Струминский В.В. К нелинейной теории развития аэродинамических возмущений //
Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 3. С. 547–550.
[6] Rist U., Fasel H. Direct numerical simulation of controlled transition in a flat-plate
boundary layer // J. Fluid Mech. 1995. Vol. 298. P. 211–248.
[7] Скобелев Б.Ю. Конечномерная инвариантная аппроксимация уравнений Навье—
Стокса и автоколебательные режимы течения Пуазейля // Приклад. мат. и механика.
1990. Т. 54, вып. 3. С. 416–429.
[8] Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1961. Вып. 3(99). С. 171–174.
[9] Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983.
301 с.
[10] Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, I980. 607 с.
[11] Бойко А.В., Грек Г.Р., Сбоев Д.С. Спектральный анализ локализованных возмущений в пограничном слое при докритических числах Рейнольдса. Новосибирск, 2002.
(Препр./ИТПМ СО РАН; № 1-2002).
Поступила в редакцию 18 декабря 2007 г.,
в переработанном виде — 12 апреля 2008 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
206 Кб
Теги
инвариантная, режим, течение, периодических, аппроксимация, конечномерные, блазиуса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа