close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Конечномерные методы приближенного решения линейных уравнений типа свертки.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (507)
2004
УДК 517.968
Н.Я. ТИХОНЕНКО
КОНЕЧНОМЕРНЫЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СВЕРТКИ
Работа посвящена построению и обоснованию методов приближенного решения линейных
уравнений типа свертки, в частности, уравнений вида
Z 1
Z 0
k1 (x ; t)'(t)dt + p1
k (x ; t)'(t)dt = h(x); x 2 R;
(1)
'(x) + p1
2 0
2 ;1 2
где k1 (x); k2 (x) 2 L, h(x) 2 L2 | известные, а '(x) | неизвестная функции.
Теория разрешимости линейных уравнений типа свертки достаточно полно разработана при
самых широких предположениях относительно их ядер и правых частей. Основные результаты,
полученные в этом направлении, можно найти в [1]{[3]. Что же касается разработки методов
приближенного решения линейных уравнений типа свертки, то в 1954 г. W.T. Koiter [4] предложил метод их приближенного решения, который впоследствии получил наименование метода
приближенной факторизации. В дальнейшем этот метод получил развитие в работах [5]{[11].
Метод приближенной факторизации состоит в том, что коэффициенты задачи Римана на вещественной оси, к которой приводится соответствующее уравнение типа свертки, приближаются
рациональными функциями. Известно [1], что задача Римана с рациональными коэффициентами решается элементарным образом на основании теории вычетов, что позволяет построить
приближенные решения уравнений типа свертки в замкнутом виде.
Однако метод приближенной факторизации решения уравнений типа свертки оказался малоэффективным при его практической реализации, т. к. коэффициенты соответствующих задач
Римана приближались рациональными функциями наилучшего равномерного приближения,
что является очень сложной задачей. Ниже предложен новый метод приближенного решения
линейных уравнений типа свертки, основанный на приближенном решении соответствующей задачи Римана проекционными методами Галеркина и коллокаций. Отметим также, что в работах
[12], [13] к приближенному решению нормального случая уравнений типа свертки был применен
метод Галеркина, в котором в качестве базисных функций брались функции Лагерра двойного
аргумента. В этих работах была установлена осуществимость и сходимость метода. К определению оценок его погрешностей и скоростей сходимости приближенных решений к точным было
рекомендовано применить принцип Рунге.
Пусть R | вещественная ось, разделяющая комплексную плоскость C на две области: верхнюю полуплоскость D+ = fz 2 C : Im z > 0g и нижнюю полуплоскость D; = fz 2 C : Im z < 0g.
1. Уравнение с двумя ядрами.
Римана
Согласно работе [1] уравнение (1) эквивалентно задаче
K [1 + K (x)] (x) ; [1 + K (x)]; (x) = H (x); x 2 R;
(2)
где K (x); K (x) 2 C , xlim
!1 K (x) = xlim
!1 K (x) = 0, H (x) 2 L | преобразования Фурье соответственно функций k (x), k (x), h(x), a (x) | краевое значение на вещественной оси неизвестной
1
1
2
1
1
+
2
2
2
2
71
функции (z ), аналитической в области D . При этом решения уравнения (1) выражаются через решения задачи Римана (2) по формуле
Z
1
[+ (t) ; ; (t)]e;ixt dt; x 2 R:
(3)
'(x) = p
2 R
В дальнейшем будем предполaгать, что K1 (x); K2 (x) 2 H (r1) , а функция H (x) 2 L(2r) либо H (x) 2
H (r1) (определение пространства H (r1) и других необходимых пространств можно найти в [14]).
а) Метод Гал
еркина. Приближенные решения задачи Римана (2) ищем в виде n (x) =
+n (x) ; ;n (x), где
+n (x) =
;1
X
n
X
'k k (x); ;n (x) = ;
'k k (x); n 2 N ;
k
k
;
n
2i x ; 1 j ; j = 0; 1; : : : ;
(
x
)
=
j
x+i x+i
=0
=
(4)
а неизвестные постоянные 'k определим из системы уравнений
n
X
k=0
Ajk 'k +
;1
X
k=;n
Bjk 'k = Hj ; j = ;n; n;
(5)
где Ajk , Bjk , Hj | коэффициенты Фурье [14] соответственно функций [1 + K1 (x)] k (x), [1 +
K2(x)] k (x), H (x) по системе функций j (x). Тогда приближенные решения уравнения (1) строим по формуле
Z
'n (x) = p1 [+n (t) ; ;n (t)]e;ixt dt; x 2 R;
(6)
2 R
или в развернутом виде
8
n X
k
j
>
X
p
>
j (;1)j 2 xj ; x > 0;
>
>2 2e;x
'
C
k
>
k
<
j!
k=0 j =0
'n (x) = > p
;
1
;
k
;
1
2j xj ; x < 0;
>
x X 'k X C j
>
>
2
2
e
>
;k;1 j !
:
j =0
k=;n
где 'k | решение системы уравнений (5).
Обозначим через Pn оператор, который ставит в соответствие функции f (x) 2 L2 отрезок ее
ряда Фурье [14] по системе функций j (x), т. е.
Z
n
X
(Pn f ) (x) =
fj j (x); fj = 41 f (x) j (x)dx:
(7)
R
j =;n
Тогда согласно работе [15] систему уравнений (5) можно записать в операторном виде
Knn Pn K n = Pn H;
(8)
где Kn = Pn K | приближенный оператор, а оператор K определен равенством (2).
Рассмотрим сначала нормальный случай уравнения (1), т. е. если выполняются условия
1 + K1 (x) 6= 0; 1 + K2 (x) 6= 0; x 2 R:
(9)
Обозначим через X (Y ) пространство решений (правых частей) задачи Римана (2) и положим
X = Y = L2. Пусть Xn | множество функций
вида n (x) = +n (x) ; ;n (x), где n (x) имеют
n
P
вид (4), а Yn { множество функций вида
ak k (x). Ясно, что Xn Xn+1 X , Yn Yn+1 Y ,
k=;n
72
dim Xn = dim Yn = 2n + 1, а определенный равенством (7) оператор Pn : Y ! Yn обладает, как
известно [14], свойствами Pn2 = Pn и kPn kL2 !L2 = 1.
(r)
Теорема 1. Пусть функции k1 (x); k2 (x) 2 L, h(x) 2 L2 ; функции K1 (x); K2 (x) 2 H 1 , выполнены условия (9) и ind[1 + K1 (x)] = ind[1 + K2 (x)]. Если, кроме того, функция H (x) 2 L(2r) ,
то система уравнений (5) однозначно разрешима хотя бы при достаточно больших n 2 N ,
а приближенные решения 'n (x) уравнения (1) при r = 0 сходятся в пространстве L2 к его
точному решению '(x), т. е.
k'(x) ; 'n(x)kL2 ! 0; n ! 1;
(10)
а при r > 1 приближенные решения уравнения (1) сходятся к его точному решению со скоростью
k'(x) ; 'n(x)kL2 = O(n;r ):
(11)
Доказательство. Согласно [1] в условиях теоремы определенный формулой (2) оператор
K : X ! Y непрерывно обратим. Так как выполнены условия (9), то в условиях теоремы
справедлива факторизация [1]
[1 + K2 (x)]=[1 + K1 (x)] = + (x)=; (x);
где функция (x) аналитически продолжима в область D . При этом [1] функция (x) 2
H(r), если 0 < < 1, и (x) 2 H1(r;)", если = 1, где " | здесь и ниже сколь угодно малое
положительное число. Тогда оператор K можно записать в виде
K ;(x)+ (x) ; +(x);(x) : X ! Y:
(12)
Пусть +n (x), ;n (x) | отрезки рядов Фурье соответственно функций +(x), ;(x) по системе
функций !k (x) = [(x ; i)=(x + i)]k , k = 0; 1; : : : Согласно [14] они имеют вид
n (x) =
+
и справедливы оценки
nX
+1
k=0
ck !k (x);
+
;(x) =
n
k=;n
c;k !k (x)
k(x) ; n (x)kC 6 d n;r; ln n;
1
если 0 < < 1;
0
X
1
(13)
(14)
k (x) ; n (x)kC 6 d n;r; " ln n;
(15)
если = 1, где di | здесь и ниже вполне определенные постоянные, не зависящие от n. Введем
вспомогательный оператор
K1 = ;n (x)+ (x) ; +n (x); (x) : X ! Y:
(16)
Известно (напр., [16]), что справедливо равенство k(x)kL2 = k+ (x)kL2 + k; (x)kL2 , где (x) =
+ (x) ; ;(x). Из этого факта и представлений (12), (16) следует цепочка неравенств
k(K ; K1)kY = k[; (x) ; ;n (x)]+ (x) ; [+(x) ; +n (x)]; (x)kL2 6
(x) ; (x)kC k+ (x)kL + k; (x)kL =
6 max
k
2
2
n
+;;
= max
k (x) ; n (x)kC k(x)kX ; 2 X:
+;;
2
Поэтому
1+
kK ; K kX !Y 6 max
k(x) ; n (x)kC :
;;
1
+
73
(17)
Из этой оценки на основании оценок (14) и (15) следует существование хотя бы при достаточно
больших n 2 N ограниченного оператора K1;1 : Y ! X . Нетрудно проверить, что оператор
K1 : Xn ! Yn. Поэтому хотя бы при достаточно больших n существует ограниченный оператор
K1;1 : Yn ! Xn.
В силу сказанного выше нетрудно проверить, что на пространстве Xn операторы K1 и Kn =
Pn K совпадают. Тогда при достаточно больших n существует ограниченный оператор Kn;1 :
Yn ! Xn. Это означает, что уравнение (8), а вместе с ним система уравнений (5), однозначно
разрешимы хотя бы при достаточно больших n 2 N .
Так как функция H (x) 2 L(2r), то согласно [14] справедливы оценки
kH (x) ; (Pn H )(x)kL2 ! 0; n ! 1;
если r = 0, и
kH (x) ; (Pn H )(x)kL2 6 d3n;r ;
если r > 1. Тогда из этих оценок и оценок (17), (14), (15) на основании теоремы 7 ([15], с. 19)
для приближенных решений задачи Римана (2) справедливы оценки
k(x) ; n (x)kL2 ! 0; n ! 1;
если r = 0, и
k(x) ; n (x)kL2 6 d4 n;r ;
если r > 1. Из этих оценок на основании представлений (3), (6) и интегрального равенства
Парсеваля следуют соответственно оценки (10) и (11).
Если функция H (x) 2 H (r1) , то в условиях теоремы 1 приближенные решения
уравнения (1) сходятся к его точному решению со скоростью
k'(x) ; 'n (x)kL2 = O(n;r; ln n)
при 0 < < 1, а при = 1 | со скоростью
k'(x) ; 'n(x)kL2 = O(n;r;1+" ln n):
Рассмотрим теперь исключительный случай уравнения (1), т. е. если условия (9) не выполнены. В этом случае будем предпологать, что функции 1 + K1 (x) и 1 + K2 (x) имеют на вещественной оси нули в точках a1 ; a2 ; : : : ; am и b1 ; b2 ; : : : ; bs соответственно целых порядков 1 ; 2 ; : : : ; m
и 1 ; 2 ; : : : ; s . Тогда согласно ([3], с. 207) справедливы представления
Следствие.
1 + K1 (x) = M (x); (x); 1 + K2 (x) = N (x)+ (x);
(18)
где M (x) 6= 0, N (x) 6= 0 на R; M (x); N (x) 2 H(r) , а
(x) =
+
Обозначим
s
Y
k=1
m x ; a k
x ; bk k ; (x) = Y
k
:
;
x+i
x
;
i
k
(19)
=1
r = maxf ; ; : : : ; m ; ; ; : : : ; s g:
(20)
Пусть A | алгебра элементов a(x) 2 Hr (0;75 < < 1, r > r ), где число r определено
в (19), и таких, что a(x) 6= 0 на R и ind a(x) = 0. Тогда согласно [1], [3] справедливы факторизации a(x) = a (x)a; (x), b(x) = b (x)b; (x), a (x); b (x) 2 A и функции a (x), b (x) являются
аналитически продолжимыми в D .
0
1
2
1
( +1)
+
+
74
1
0
0
Пусть функции k1 (x); k2 (x) 2 L, h(x) 2 L2 ; функции K1 (x); K2 (x) 2 H (r1)
(0;75 < < 1, r > r0 ), где число r0 определено в (20); не выполнены условия (9) и справедливы представления (18), где M (x) 6= 0, N (x) 6= 0 на R и ind M (x) = ind N (x). Если функция
H (x) 2 L(2r), r > r0, то система уравнений (5) однозначно разрешима при достаточно больших
n, а приближенные решения 'n(x) уравнения (1) сходятся в пространстве L2 к его точному
решению '(x) со скоростью
k'(x) ; 'n (x)kL2 = O(n;r ); r > r0 :
(21)
При доказательстве этого утверждения воспользуемся схемой теоремы 2.2 работы ([3],
с. 442). Полaгаем X = L2 . Тогда согласно [1], [3] определенный формулой (2) оператор K непрерывно обратим. Покажем теперь, что в этом случае к оператору K применим естественный
проекционный процесс fPn ; Pn g ([3], с. 430). Рассмотрим уравнение DF = (P; + Q+)F = 0, где
P = 0;5(I + S ), Q = 0;R5(S ; I ) | проекторы Рисса, I | единичный оператор, а S : L2 ! L2,
где (S')(x) = (i);1 (t ; x);1 '(t)dt | сингулярный оператор Коши. Легко видеть, что
R
dim ker D = 0. Рассмотрим теперь пространствa Z = L2 , Z0 = C01(r), r > r0 , где число r0 определено в (20), и построим пространство X = fF (x) : F (x) 2 X , (DF )(x) 2 Z g, которое становится
банаховым, если в нем ввести норму kF (x)kX = k(DF )(x)kX . Легко видеть, что операторы P и
Q ограничены в пространстве Z и оператор умножения элементов пространства Z0 на элеметы
алгебры A также ограничен, а поэтому следует включение Z X . Следовательно, сужение
D оператора D на пространство X взаимно однозначно и непрерывно отображает пространство X на пространство Z , т. е. оператор D : X ! Z непрерывно обратим. Так как функции
M (x); N (x) 2 A, то справедливы факторизации
M (x) = A+(x)A; (x); N (x) = B;(x)B+ (x);
где функции A (x), B (x) 2 A и являются аналитически продолжимыми в D . Пусть E : X !
X | оператор вложения, oчевидно, что он ограничен. Тогда сужение K оператора K представимо в виде K = K1 + T , где K1 = (A+ P + B;Q)(PA; + QB+ )D, T = (A+ QA; ; P + B; PB+ + Q)E .
На основании [1], [3] операторы A+ P + B; Q и PA; + QB+ обратимы. Следовательно, оператор
K1 : X ! Z непрерывно обратим как произведение непрерывно обратимых операторов. В силу
условий теоремы на основании [17] оператор T : X ! Z0 компактен. Пусть функции (x) 2 A
и аналитически продолжимы в D . Тогда на основании [14] они представимы в виде
Теорема 2.
1
X
+ (x) =
k=0
ck !k (x); ;(x) =
0
X
+
k=;1
c;k !k (x):
Поэтому из представлений (4) и (22) следует цепочка равенств
Pn [P ; + Q+]Pn = Pn[P ; + Q+]n = Pn [P ;n + Q+n] =
"
= Pn P
0
X
k=;1
ck !k (x)
"
= Pn P
= Pn
n
X
k=;n
n
X
k=;1
"
n
X
k=0
'k k (x) + Q
Ak k (x) + Q
Ak k (x) ;
;1
X
1
X
k=0
ck !k (x)
+1
X
k=;n
k=;n
+
n
X
k=;n
(22)
#
'k k (x) =
#
Bk k (x) =
#
Bk k (x) =
n
X
k=0
Ak k (x) ;
;1
X
k=;n
Bk k (x):
Отсюда вытекает равенство Pn [P ; + Q+]Pn = [P ; + Q+]Pn , из которого в силу конечномерности оператора Pn следует включение Im Pn D(Im Pn ). Легко видеть, что Im Pn Z . Тогда на
основании теоремы о непрерывном графике сужение Pn операторa Pn на пространство X является непрерывным проектором в пространстве X . При этом в силу определения пространств
75
Z и Z оператор Pn : Z ! Z ограничен [14]. В качестве Z возьмем постранство L r , r > r .
Тогда очевидно включение Z Z D(Pn ). При этом на основании [14] для любого '(x) 2 Z
имеем (Pn ')(x) ! '(x) в пространстве Z . Рассмотрим оператор C = P + ; Q, где функции
(x) 2 A и имеют вид (22). Легко проверяются включения C (Z ) Z , C (Z ) Z , а на основании представлений (4) и (21) легко проверяется равенство Pn CPn = Pn C . Тогда на основании
теоремы 1.4 ([3], с. 437) пространство Z принадлежит многообразию сходимости оператора K
по системе проекторов Pn и Pn . Это означает, что при достаточно больших n существуют ограниченные операторы (Pn K Pn ); и последовательность элементов xn = (Pn K Pn )Pn y, y 2 Y ,
сходится по норме пространства X к некоторому элементу из пространства X , т. е. к оператору
K применим проекционный процесс fPn ; Pn g. Так как оператор T компактен, а оператор K
обратим, то согласно теореме 1.1 ([3], с. 432) к оператору K : X ! Z также применим проекционный процесс fPn ; Pn g, т. е. уравнение (8), а вместе с ним и система уравнений (5), однозначно
разрешимы при достаточно больших n.
Рассмотрим теперь элемент y (x) = (A; P + B;; Q)(H ; T )(x). Так как функция (x) =
(x) ; ;(x) 2 L , то согласно [17] функция (T )(x) 2 C r , r > r . Тогда в силу [14] справед0
0
( )
2
1
0
1
1
+
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
+
+
1
1
2
лива оценка
( )
01
1
1
0
ky (x) ; (Pn y )(x)kL2 6 d n;r :
0
0
5
Теперь на основании теоремы 2.2 ([3], с. 442) для приближенных решений задачи Римана (2)
справедлива оценка
k(x) ; n (x)kL2 6 d6 n;r ; r > r0;
из которой в силу представлений (3), (6) и интегрального равенства Парсeваля следует оценка
(21).
б) Метод коллокаций. Положим X = L2 , Y = C01 с нормой из пространства L2 . Приближенные решения задачи Римана (2) ищем в виде n (x) = +n (x) ; ;n (x), где
+n (x) =
n
X
k=0
ck !k (x); ;n (x) = ;
Поэтому [18] справедливы представления
+n (x) = ;
nX
;1
k=0
k k (x); ;n (x) =
;1
X
k=;n
;1
X
k=;n
ck !k (x):
(23)
k k (x);
(24)
где k = cn + cn;1 + + ck+1 . Неизвестные постоянные ck определяются из системы уравнений
n
X
;1
X
k=0
k=;n
[1 + K1 (xj )]!k (xj )ck +
где узлы коллокаций xj имеют вид
[1 + K2 (xj )]!k (xj )ck = H (xj ); j = ;n; n;
xj = tg 2n+ 1 j; j = ;n; n:
(25)
(26)
Теперь приближенные решения уравнения (1), учитывая представления (24), строим по формуле
(6).
Пусть Xn = Yn | множество функций вида (23), для которых справедливы представления
(24). Ясно, что Xn Xn+1 X и Yn Yn+1 Y , где dim Xn = dim Yn = 2n + 1. Пусть Ln
| оператор, который ставит в соответствие каждой функции f (x) 2 C01 ее интерполяционный
многочлен Лaгранжа [18] по узлам xj (26)
n
n
X
X
(27)
(Ln f )(x) =
ak !k (x); ak = 2n 1+ 1
f (xj )e; 22ni+1 jk :
j =;n
k=;n
76
Согласно [18] имеем (Ln f )(x) 2 C01 и оператор Ln обладает свойствами Ln : Y ! Yn , L2n = Ln,
kLnkC01 !L2 6 d7. Тогда в силу [15] систему уравнений (24) можно записать в виде эквивалентного
операторного уравнения Kn n = Ln K n = Ln H .
Пусть функции k1 (x); k2 (x) 2 L, h(x) 2 L2 ; функции K1 (x); K2 (x) 2 H (r1) ; выполнены условия (9) и ind[1 + K1 (x)] = ind[1 + K2 (x)]. Если функция H (x) 2 C01(r) , то система
уравнений (25) однозначно разрешима при достаточно больших n, а приближенные решения
уравнения (1) сходятся в пространстве L2 к его точному решению со скоростью (10) при r = 0,
а при r > 1 | со скоростью (11).
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1. Отметим также,
что в условиях теоремы 3 имеет место утверждение, аналогичное следствию 1.
В исключительном случае уравнения (1) для метода коллокаций имеет место
Теорема 3.
Пусть функции k1 (x); k2 (x) 2 L, h(x) 2 L2 ; функции K1 (x); K2 (x) 2 H (r1+1)
(0;5 < < 1; r > r0 ), где число r0 определено в (20); не выполнены условия (9) и справедливы
представления (19), где M (x) 6= 0, N (x) 6= 0 на R и ind M (x) = ind N (x). Если функции H (x) 2
H (r1), r > r0, то система уравнений (25) однозначно разрешима при достаточно больших n, а
приближенные решения уравнения (1) сходятся в пространстве L2 к его точному решению со
скоростью (21).
Доказательство этого утверждения прoводится по схеме доказательства теоремы 2. Однако
в этом случае алгебре A соответствует случай 0;5 < < 1, а пространства Z = C01 , Z0 = C01(r),
Z1 = C01(r), где число r0 определено в (20).
Замечание 1. Утверждения теорем 1{4 сохраняют свою силу, если функции K1 (x); K2 (x) 2
H(r) и такие, что xlim
!1 K1 (x) = xlim
!1 K2 (x) = 0.
Теорема 4.
2. Уравнение Винера{Хопфа.
уравнение
Пусть функции k(x) 2 L, h(x) 2 L2 . Тогда согласно [1]
Z 1
1
'(x) + p
k(x ; t)'(t)dt = h(x); x > 0;
(28)
2 0
эквивалентно задаче Римана
[1 + K (x)]+ (x) ; ; (x) = H + (x); x 2 R;
(29)
где K (x), H + (x) | преобразования Фурье соответственно функций k(x) и h(x), (x) | краевое
значение на R неизвестной функции (z ), аналитической в области D . При этом решения
уравнения Винера{Хопфа (27) выражаются через решения задачи Римана (29) по формуле
Z 1
'(x) = p1
+ (t)e;ixt dt; x > 0:
(30)
2 0
В дальнейшем будем предполaгать, что функция K (x) 2 H (r1), а функция H + (x) 2 L(2r).
В случае метода Галеркина приближенные решения задачи Римана (29) ищем в виде (4), а
неизвестные постоянные 'k определяем из системы уравнений
n
X
k=0
Ajk 'k + 'j = Hj ; j = ;n; n;
0
(31)
где 0 = 0 при j > 0 и 0 = 1 при j < 0, а Ajk и Hj | коэффициенты Фурье соответственно
функций [1 + K (x)]k (x) и H + (x) по системе функций j (x). Тогда приближенные решения
77
уравнения (27) строятся по формуле
'n(x) = p1
или в развернутом виде
2
8
>
>
<
p
1
Z
0
+n (t)e;ixt dt; x > 0;
n
X
k
X
k=0
j =0
2 2e;x 'k
'n (x) = >
(32)
j
Ckj (;1)j 2j ! xj ; x > 0;
(33)
0;
x < 0;
где f'k g | решениe системы уравнений (31).
Как и в случае уравнения (1), пространства X , Y , Xn , Yn и оператор Pn имеют тот же смысл.
Тогда систему уравнений (31) можно записать в операторной форме Kn n Pn K n = nH + .
В нормальном случае уравнения (28) имеет место
>
:
Пусть функции k(x) 2 L, h(x) 2 L2 ; функция K (x) 2 H (r1); 1 + K (x) 6= 0 на
(r )
R и ind[1 + K (x)] = 0. Если функция H + (xj ) 2 L2 , то система уравнений (31) однозначно
разрешима при достаточно больших n, а приближенные решения 'n (x) уравнения (28) при
r = 0 сходятся в пространстве L2 к его точному решению '(x) со скоростью (10), а при r > 1
| со скоростью (11).
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1, однако в этом
случае необходимо воспользоваться представлениями (30) и (32). Заметим, что и в случае уравнения (28) утверждения следствия 1 сохраняют свою силу.
В исключительном случае уравнения (28) будем предполагать, что функция 1 + K (x) имеет
на вещественной оси нули в точках a1 ; a2 ; : : : ; am соответственно целых порядков 1 ; 2 ; : : : ; m .
Тогда справедливо представление
Теорема 5.
1 + K (x) = M (x); (x);
(34)
где функции M (x) 6= 0 на R, M (x) 2 H(r) , а функции ; (x) имеют вид (19). Обозначим
r = maxf ; ; : : : ; mg:
0
1
(35)
2
Пусть функции k(x) 2 L, h(x) 2 L2 ; функция K (x) 2 H (r1+1) ; 1 + K (x) 6= 0
(0;75 < < 1, r > r0 ), где число r0 определено соотношением (35); не выполнено условие
1+ K (x) 6= 0 на R и справедливо представление (34), где функция M (x) 6= 0 на R и ind M (x) = 0.
Если функция H (x) 2 H (r1) , r > r0 , то система уравнений (31) однозначно разрешима при
достаточно больших n, а приближенные решения уравнения (28) сходятся в пространстве L2
к его точному решению со скоростью (21).
В случае метода коллокаций приближенные решения задачи Римана (29) ищем в виде (23),
а неизвестные постоянные ck определяем из системы уравнений
Теорема 6.
n
X
k=0
[1 + K (xj )]!k (xj )ck +
;1
X
k=;n
!k (xj )ck = H (xj ); j = ;n; n;
+
где xj | узлы коллокаций (26), а приближенные решения (28), учитывая (24), строим по формуле (32).
Отметим, что в этом случае пространства X , Y , Xn , Yn , оператор Ln , а также пространства
Z , Z0, Z1 и алгебра A имеют тот же смысл, что и в случае метода коллокаций для задачи
Римана (2). При этом будут справедливы утверждения, аналогичные теоремам 3 и 4.
78
Замечание 2. По приведенной выше схеме строятся приближенные решения нормального
случая \парного" уравнения
Z 1
1
'(x) + p
k (x ; t)'(t)dt = h1 (x); x > 0;
2 Z;1 1
1
k (x ; t)'(t)dt = h2 (x); x < 0;
'(x) + p1
2 ;1 2
решение которого согласно [1] приводится к решению соответствующей задачи Римана на вещественной оси.
3. Уравнение Гринберга{Фока. Задача береговой рефракции плоской электромагнитной
волны приводится [19] к решению уравнения Гринберга{Фока
'(x) ; p
1
Z
k (jx ; tj)'(t)dt = e;x; x > 0;
0
0
(36)
где 0 < < 1 | параметр, который характеризует физические свойства среды над поверхностью
воды, а
Z 1
k0(x) = pcos !x2 d!; x > 0:
1+!
0
С помощью преобразования Фурье уравнение Гринберга{Фока приводится к задаче Римана
1; p
; x 2 R:
(x) ; ; (x) = p i
x +1
2(x + i)
+
2
(37)
При этом решения уравнения (36) выражаются через решения задачи Римана (37) по формуле
(32). Приближенные решения уравнения Гринберга{Фока (36) строим на основе приближенного
решения задачи Римана (37) методом Галеркина. Ее приближенные решения ищем в виде (4),
а неизвестные постоянные 'k определяем из системы уравнений
n
X
0'j + 2 4(k ; 1j )2 ; 1 'k + 1'j = Hj ; j = ;n; n;
(38)
k=0
где 0 = 1 при j > 0 и 0 = 0 при j < 0; 1 = 1 при j < 0 и 1 = 0 при j > 0; H0 = 2p12 , Hj = 0 при
j 6= 0. Приближенные решения уравнения Гринберга{Фока (36) согласно (32) строим по формуле
(33), где 'k | решение системы уравнений (38). Так как коэффициенты и правая часть задачи
Римана (37) являются бесконечно дифференцируемыми функциями на вещественной оси, то
все условия тeоремы 5 выполняются. Поэтому система уравнений (38) разрешима при всех n, а
приближенные решения уравнения Гринберга{Фока сходятся в пространстве L2 к его точному
решению с достаточно высокой скоростью.
В заключение отметим, что система уравнений (38) была реализована на ЭВМ для различных значений параметра при различных значениях n. Результаты численных экспериментов
хорошо согласуются с теоретическими.
Литература
1. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. { М.: Наука, 1998. { 295 с.
2. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов // УМН. { 1958. { Т. 13. { Є 5. { С. 3{120.
3. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. { М.: Мир, 1979. { 493 с.
4. Koiter W.T. Approximate solution of Wiener{Hopf type integrale equations with applications //
Proc. Koninkl. Nederl. Akad. wetenschap. { 1954. { V .57. { Є 5. { S. 568{579.
5. Попов Г.Я. К решению задач теории упругости методом факторизации // ПММ. { 1974. {
Т. 38. { Є 1. { С. 178{183.
79
6. Попов Г.Я., Керекеша П.В., Круглов В.Е. Метод факторизации и его численная реализация.
{ Одесса: Изд-во Одесск. ун-та, 1976. { 82 с.
7. Черский Ю.И. Две теоремы об оценке погрешности и некоторые их приложения // ДАН
СССР. { 1963. { Т. 150. { Є 2. { С. 271{274.
8. Черский Ю.И. Про наближене розв'язання рiвняння Вiнера{Хопфа першого роду // ДАН
УРСР. { 1966. { Є 8. { С. 992{995.
9. Черский Ю.И. Приближенное решение уравнения Винера{Хопфа в одном исключительном
случае // Дифференц. уравнения. { 1966. { Т. 2. { Є 8. { С. 1093{1100.
10. Тихоненко М.Я. До наближеного розв'язку iнтегральних та iнтегро-диференцiальних рiвнянь з рiзницевими ядрами в узагальнених функцiях // ДАН УРСР. { 1972. { Є 6. { С. 536{
539.
11. Тихоненко Н.Я. О методе приближенной факторизации // Изв. вузов. Математика. { 1976.
{ Є 4. { С. 74{86.
12. Иванов В.В., Карагодова Э.А. Приближенное решение интегральных уравнений типа
свертки методом Галеркина // Укр. матем. журн. { 1961. { Т. 13. { Є 1. { С. 28{38.
13. Карагодова Е.А. К приближенному решению уравнений типа свертки // Вычисл. матем. {
Киев: Изд-во КГУ. { 1965. { Bып. 1. { С. 146{152.
14. Тихоненко Н.Я. О рядах Фурье по системе рациональных функций на вещественной оси и
некоторые приложения // Вiсник Кивськ. ун-ту. Сер. фiз.-матем. наук. { 1998. { Bип. 2. {
С. 127{137.
15. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. { Изд-во Казанск.
ун-та, 1980. { 232 с.
16. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. { Киев: Наук. думка, 1968. { 287 с.
17. Тихоненко Н.Я., Свяжина Н.Н. О компактности коммутатора на вещественной оси //
Изв. вузов. Математика. { 1996. { Є 10. { С. 83{87.
18. Тихоненко Н.Я., Лисицина И.Н. Интерполяция функций на вещественной оси и приложения // Вiсник Кивськ. ун-ту. Сер. фiз.-матем. наук. { 1998. { Bип. 2. { С. 77{86.
19. Гринберг Г.А., Фок В.А. Исследования по распространению радиоволн. { М.: Гостехиздат,
1948. { Т. 2. { С. 42{58.
Одесский национальный
университет
Поступила
26.12.2003
80
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
205 Кб
Теги
типа, решение, уравнения, свертка, метод, приближённого, линейный, конечномерные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа