close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Константы Лебега средних арифметических двойных сумм Фурье--Лежандра.

код для вставкиСкачать
1999
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 8 (447)
УДК 517.518
А.Д. НАХМАН
КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ДВОЙНЫХ СУММ ФУРЬЕ{ЛЕЖАНДРА
Пусть fpn; (x)g | система ортогональных с весом
; (x) = (1 ; x) (1 + x) ; ; > ;1;
на отрезке [;1; 1] стандартизированных многочленов Якоби и fpn; (x)g | соответствующая
ортонормированная система ([1], c. 268{273), n = 0; 1; : : : Известно, что свойства сходимости и
суммируемости разложений Фурье по системе многочленов Якоби (и, в частности, многочленов
Лежандра pn(x), соответствующих случаю = = 0) во внутренних точках отрезка [;1; 1],
аналогичны соответствующим свойствам разложений по тригонометрической системе ([2], c. 254;
[3], [4]). Иначе обстоит дело в концевых точках. Так в точке x = 1 методы суммирования (C; )
рядов Фурье-Лежандра непрерывных функций нерегулярны, вообще говоря, при 1=2 (при
> 1=2 они остаются регулярными); о соответствующем результате Гронуолла и его обобщениях
см. в ([2], сc. 254, 257), а также [5].
В данной работе устанавливается, в частности, что при переходе к двойным рядам Фурье{
Лежандра свойство регулярности (C; )-методов не сохраняется даже при = 1.
Пусть f (x; y) | непрерывная на Q = [;1; 1] функция и
1 n S (f; 1; 1); n = 0; 1; : : : ;
(1)
n (f ) =
n+1 k k
| последовательность средних арифметических (другая терминология: средние (C; 1) или средние Фейера) прингсхеймовских частных сумм
(
)
(
)
(
b
)
2
X
=0
Sk (f; x; y) =
k
k
XX
Z Z
Q
=0 =0
f (t; z )p (t)p (z )dt dz pb (x)pb (y)
b
b
eе двойного ряда Фурье{Лежандра.
Средние типа (1) в случае тригонометрических рядов Фурье впервые исследовались Марцинкевичем, их важность отмечена в [6].
Существование непрерывной функции f (x; y), для которой ряд Фурье{Лежандра не суммируем в точке (1; 1) методом (C; 1) подобно одномерному случаю ([2], cс. 27, 266), будет следовать
из неограниченности (при n ! 1) констант Лебега Ln(1; 1), являющихся значениями (в точке
(1; 1)) функций Лебега
n
k
k
1
Ln (x; y) =
p (x)p (t)
p (y)p (z ) dt dz:
(2)
n+1 ; ; k
Теорема.
n!1
Ln (1; 1) ln n:
Z 1 Z 1 X
X
b
1
При
1
=0
X
b
=0
b
=0
имеет место порядковое соотношение
2
37
b
Пусть n = 1; 2; : : : ,
Доказательство.
1 n D ; (1; t)D ; (1; z);
k
k
n+1 k
n
1
;
Fn (t; z ) =
Dk; (t; z );
n+1 k
Kn(;)(t; z ) =
(
X
(
)
(
)
(
(3)
)
=0
X
)
(4)
=0
здесь
k
X
;
)
Dk (x; t) = pb(;) (x)pb(;) (t)
=0
(5)
(
| ядро Дирихле, для которого справедливы соотношения
pk; (x)pk; (t) ; pk; (x)pk; (t)
;
;
Dk (x; t) = ak
;
(6)
x;t
jak; j c ([2], с. 56; напр., ak ; = (2n + 3); (n + 1)(n + 2); [1], c. 273),
p ; (1)pk ; (t)
Dk ; (1; t) = k
(7)
k+1
(cм. [2], c. 83, где соответствующая формула записана в терминах стандартизированных многочленов). Отметим, что постоянные cj здесь и в дальнейшем абсолютные и различные, вообще
говоря, в различных формулах,
(8)
pk ; (1) = (k + 1) (k + 1)=2
([1], c. 288). Из соотношений (3), (7), (8) с помощью преобразования Абеля получаем
1 n (k + 1)p ; (t)p ; (z) =
Kn (t; z ) = Kn ; (t; z ) =
k
k
2(n + 1) k
= 21 Dn ; (t; z) ; n +n 1 Fn;; (t; z) : (9)
(
(
)
)
(
(
)
) b +1
(1 0)
1
1
(
)
b
(
)
b
(
b +1
)
p
(1 0)
(1 0)
b
(0 0)
b
q
(1 0)
b
X
(0 0)
(1 0)
(1 0)
b
b
=0
(1 0)
1
(1 0)
Дальнейшее доказательство разобьем на три этапа.
1 . Установим соотношение
Ln (1; 1) c ln (n + 1); n = 1; 2; : : :
(10)
Согласно равенствам (4) и (9) оно будет вытекать из следующего вспомогательного утверждения.
0
2
2
Лемма 1. Имеет место оценка
dn
=
def
Z 1 Z 1
;1 ;1
jDn ; (t; z)jdt dz c ln (n + 1); n = 1; 2; : : :
(1 0)
3
2
(11)
Из результатов работы [7] следует, что
p
jDn ; (t; z)j(1 ; z)dz c (ln(n + 1) + n + 1fjpn ; (t)j + jpn ; (t)jg);
;
а поэтому согласно порядковому соотношению
Доказательство.
Z 1
(1 0)
(1 0)
4
1
Z 1
0
(1 ; x) jpk; (x)jdx Ek ;
(
)
38
(1 0)
+1
(12)
где Ek = k; ; при 2 < ; 3=2, Ek = k; = ln k при 2 = ; 3=2, Ek = k; = при 2 > ; 3=2
([2], с. 180), имеет место оценка
2
2
1 2
Z 1 Z 1
n =
1 2
jDn ; (t; z)j(1 ; z)dt dz c ln(n + 1):
(1 0)
;1 ;1
5
Интеграл dn в (11) представим в виде
dn =
Z 0 Z 1
;1 ;1
+
Z 1Z 0
+
;1
0
Z 1Z 1
0
= dn + dn + dn
(1)
0
(2)
(13)
(3)
и, замечая, что 1 1 ; z 2 при z 2 [;1; 0], получаем
dn n c ln(n + 1):
Подобным образом
dn c ln(n + 1):
Поэтому (см. (11) и (13)) остается доказать, что dn c ln (n +1). В дальнейших рассуждениях
удобно перейти по формуле ([1], c. 273)
2n + + 1 p ; (x)
pn; (x) =
(14)
n
2
к стандартизированным многочленам и сделать замену переменных t = cos , z = cos . Тогда
(1)
6
(2)
7
(3)
2
8
r
(
0)
b
=2
Z
=
dn
(3)
0
=2
Z
sin d
(
0)
+1
jDn ;
(1 0)
0
=2 Z Z
(cos ; cos )j sin d =
0
0
Z
+
=2 Z =2
0
;
причем достаточно оценить первый интеграл (оценка второго аналогична). Далее
Z
=2 Z 0
0
=n
=n
Z 2 ( +1) Z 2 ( +1)
0
0
+
Z
=2
Z
=n
2 ( +1)
;1=(n+1)
+
=2
Z
;1=(n+1)
Z
=n
2 ( +1)
и, используя оценки ([2], c. 176{177; [1], c. 299)
jpk; (x)j c (k + 1) ; jpk; (x)j pk + 1(1c; x)=
(
)
(
9
10
)
= dn + dn + d_n
=
2+1 4
(15)
e
0
(0 x 1);
(16)
получаем (см. (5) и (14))
dn + den c11
=n
Z 2 ( +1)
0
+
Z
d
=2
=n
2 ( +1)
n
=n
Z 2 ( +1)
X
0
Z
d
k=0
(k + 1) = (k + 1) = d +
3 2
n
X
;1=(n+1) k=0
3 2
sin 2
c 1 + (n + 1)
12
Z
;=
3 4
2
=2
=n
2 ( +1)
sin 2
pd
2
;=
3 4
Z
;1=(n+1)
d
pd c ln(n + 1): (17)
13
Здесь использовано неравенство ; 1=(n + 1) =2 во внутреннем интеграле во втором
слагаемом.
Для оценки d_n потребуется представление ([2], с. 83, см. также [7])
pn; (t)pn; (z ) ; pn; (t)pn; (z ) =
= 1 + 2n++2 ((1 ; z)pn ; (z)pn; (t) ; (1 ; t)pn ; (t)pn; (z)):
(
+1
)
(
)
(
)
(
+1
)
( +1
39
)
(
)
( +1
)
(
)
С его помощью, переходя в (6) к стандартизированным многочленам с = 1, = 0 (cм. (14)),
запишем (6) в виде
n+2
;
;
;
;
Dn ; (t; z ) =
(18)
4(t ; z) ((1 ; z)pn (z)pn (t) ; (1 ; t)pn (t)pn (z));
откуда
p
jDn ; (cos ; cos )j c n + 1( ; ); ( + ); (; = jpn ; (cos )j + ; = jpn ; (cos )j):
Замечая, что в оцениваемом интеграле , будем иметь
=
=
p
d_n c n + 1
sin d
(jpn ; (cos )j + jpn ; (cos )j) psin(d
; ) =n
=
p
c n + 1 ln(n + 1)
; = (jpn ; (cos )j + jpn ; (cos )j) sin d c ln (n + 1):
(1 0)
(2 0)
(1 0)
1
14
Z
15
(1 0)
Z
2
0
2
1
(2 0)
1 2
(1 0)
(1 0)
(1 0)
2
3 2
(2 0)
(2 0)
+1 ( +1)
Z
16
2
1 2
(1 0)
(2 0)
17
0
2
Последняя оценка справедлива в силу соотношения (12), если заметить, что = arccos t p
1 ; t. Полученное неравенство для d_n вместе с (17) приводит (см. (15)) к оценке dn c ln (n+1),
которая и требовалась для завершения доказательства леммы 1.
2 . Лемма 2.
(3)
0
2
18
Имеет место оценка
Z 1
Z 1
;1=2 ;1=2
jDn ; (t; z)jdt dz c ln n; n ! 1:
(1 0)
19
(19)
2
Доказательство. При доказательстве этого утверждения воспользуемся результатами и
методами [7]. Во-первых, числитель дроби в (6) для Dn ; (t; z) запишем в виде [7]
(1 0)
;1)
(2;1)
(1;0)
2
(1;0)
(1;0)
(1;0)
hn f(1 ; t2 )p(2
n;1 (t)pn (z ) ; (1 ; z )pn;1 (z )pn (t) + 2(z ; t)pn (z )pn (t)g;
где hn = ;
n
n
2 +3
4( +1)
(20)
: Далее воспользуемся асимптотическим равенством ([2], c. 205; [7])
pn sin = cos = ; cos 2n + + + 1 ; 2 + 1 + O(1) ;
2
2
2
4
n sin 1=n ;1=n для первых двух слагаемых в выражении (20). Выделяя в них главные члены,
при 0 =2 будем иметь
pn;) (cos ) =
+1 2 +1 2 1 (
In () def
=
=3
Z 2
jDn ; (cos ; cos )j sin d =
c pn
2 n ;n 1 sin pn ; (cos ) sin((n + 1) ; 3=4) ;
=n
; sin pn;; (cos ) cos (n + 1) ; 34 ( ; )(d+ ) = +
=
d
+
+ O p1n jpn ; (cos )j
(
;
)(
+ ) =
=n
=
d
+ p1n sin jpn;; (cos )j
( ; )( + ) = +
(1 0)
+1=n
3 r
Z 2
20
+1
2
(1 0)
(2 1)
1
(1 0)
Z 2
3
3 2
3
7 2
+1
2
(2 1)
1
Z 2
3
+1=n
+ njpn ; (cos )j
(1 0)
40
5 2
=3
Z 2
+1=n
jpn ; (cos )j sin d : (21)
(1 0)
Заменим в \главном члене" правой части (21) под знаком интеграла множитель sin в первом
слагаемом на sin . Погрешность, не превосходящую
p = j sin ; sin j jp ; (cos )j
d
c n
n
( ; )( + ) = ;
=n
включим в член O(: : : ). Тогда весь этот член согласно (12) не превзойдет выражения
pn ; = jp ; (cos )j + lnp n ; = jp ; (cos )j + lnp n ; = jp ; (cos )j ;
c
(22)
Z 2
21
3
(1 0)
1 2
+1
1 2
22
(1 0)
n
3 2
n
(1 0)
n
n
(2 1)
1
1 2
n;
и последующее интегрирование по отрезку [o; =2] блока (22) с множителем sin приведет (см.
(12)) к оценке интеграла через
fpn n; = ln n + lnp n n = ; + lnp n n = ; g c ln n:
(23)
1 2
1+3 2
n
2
2+1 2
n
2
23
С другой стороны, \главный член" в (21) не меньше, чем
Cn ();1=2
=3
Z 2
+1=n
j cos((n + 1) + )j ( ;d) = 3 2
c24 Cn();1=2
=3
Z 2
+1=n
[1 + cos((2n + 2) + 2 )] ( ;d) = ;
3 2
и, если применить вторую теорему о среднем к интегралу второго слагаемого, ограничившись
рассмотрением 2 [arccos(1 ; 1=n); =2], то последнее выражение будет иметь оценку снизу
через
Cn () ;1=2
=3
d
;
2
+ O( ) c25 Cn();2 ln n:
+1=n ( ; ) 3=2
Z 4
Здесь [7] при 2 [arccos(1 ; 1=n); =2]
s
Cn () = n sin2 a
= arg
n
sin (pn;; (cos )) + n4;n 1 (pn ; (cos )) c > 0;
(2 1)
1
2
sin pn;;
(2 1)
1
Теперь в силу оценок (21){(24)
Z
=2
; =n)
arccos(1 1
In () sin d c27
(1 0)
2
r
n
(cos ) + 2i n ; 1 pn ;
(1 0)
2
0
26
(cos ) :
; =n ln np1 ; x
Z 1 1
o
1 ; x dx + O(ln n) c ln n (n ! 1);
28
2
откуда и следует утверждение (19) леммы 2.
3 . Последнее вспомогательное утверждение состоит в следующем.
0
Лемма 3. Имеет место оценка
def
fn =
Z 1
Z 1
;1=2 ;1=2
jFn ; (t; z)jdt dz c ln(n + 2); n = 0; 1; : : :
(1 0)
29
41
(24)
Доказательство удобно проводить в терминах ортонормированных многочленов. Поскольку
предстоят громоздкие выкладки, условимся в следующих обозначениях:
n (t) = pn ; (t); n (t) = pn ; (t); n(t) = pn ; (t);
в тех случаях, когда это не приводит к недоразумениям, аргументы функций будем опускать.
Потребуются соотношения
jn ; n j = O(1 ; t)jnj + O( n )jn j;
(25)
(26)
jn ; n j = O(1 ; t)jnj + O( n )jn j;
которые легко следуют из формулы ([2], c. 83)
(n + + 1)pn; (t) ; (n + 1)pn; (t) = (1 ; t)(n + ( + )=2 + 1)pn ; (t);
если в ней (при = 0) перейти к ортонормированным многочленам (см. (14)).
Прежде, чем получать оценки fn, выражение (6) ядра Дирихле запишем в виде (см. (18) и
(14))
(1 ; z)k (z)k (t) ; (1 ; t)k (t)k (z) ;
Dk ; (t; z ) = k
(27)
t;z
где
k+2
p1 1 + O k +1 1 :
=
k =
(k + 1)(2k + 3)
2
Пусть Hn (; ) | характеристическая функция того подмножества (принадлежащего квадрату [0; 2=3] ), на котором Fn ; (cos ; cos ) 0, a Hn;(; ) | характеристическая функция
множества-дополнения (до квадрата), так что jFn ; j = Hn Fn ; ; Hn;Fn ; . Достаточно, очевидно, оценить
(1 0)
(2 0)
b
1
e
+1
(
)
b
1
+1
(
(3 0)
e
b
+1
+1
+1
)
( +1
)
(1 0)
p
+
2
(1 0)
(1 0)
fn =
=3 Z 2=3
Z 2
+
(1 0)
(1 0)
(28)
(оценка в случае интеграла с Hn; аналогична). Далее, пусть k (; ) и k (; ) | характеристические функции подмножества
2 2 ; 0 ; 1
2 2 ; 0 ; 1
Gk =
k+1
3
k+1
k+1
3
k+1
и его дополнения Gk (до квадрата [0; 2=3] ). Тогда
Dk ; = k Dk ; + k Dk ; ;
и следовательно, интеграл (28) согласно (4) приобретает вид
=
=
1 n (; )D ; (cos ; cos ) sin sin d d +
fn =
Hn (; )
k
n+1k k
n k
+ O n +1 1
j (cos ) (cos )j sin sin d d : (29)
Gk
k Слагаемое O(: : : ) в (29) согласно (16) и (14) не превосходит
8
0
0
Hn+ (; )Fn(1;0) (cos ; cos ) sin sin d d
e
[
2
(1 0)
8
Z 2
0
3Z 2
0
3
+
(1 0)
X
e
(1 0)
(1 0)
=0
XX
=0
Z Z
=0
Z 2=(k+1)
Z 2=(k+1)
Z 2=3
Z +1=(k+1)
n
c30 X
(
k + 1)
d
(
k + 1)2 d +
d
;3=2 ;3=2 d n + 1 k=0
0
0
2=(k+1)
;1=(k+1)
n
X
1
ln(
k + 1) c31
n + 1 (k + 1) (k + 1)2 + k + 1 c32 ln(n + 2):
k=0
42
Поэтому в (29) достаточно оценить первое слагаемое, которое с помощью (27), выделяя и в k
главный член, запишем в виде
2 p
fn =
(n + 1) 2
e
n
=3 Z 2=3 H + (; )
n
Z 2
0
sin
cos ; cos k
2 k (cos )k (cos ) ;
; sin 2 k (cos )k (cos ) sin sin d d +
n
=
= 1
+ O n +1 1
j
Dk ; (cos ; cos )j sin sin d d : (30)
k+1
k
X
0
=0
k (; )
2
2
X
Z 2
=0
3Z 2
0
3
(1 0)
0
В последнем равенстве остаточный член O(: : : ) не превосходит (см. (11))
n ln2 (k + 2)
c33 X
n + 1 k=0 k + 1
c ;
34
и доказательство леммы 3 сводится к получению оценки
1
fn =
n+1
=3 Z 2=3 sin2 sin sin Z 2
0
0
n
cos ; cos Hn (; ) k k (; )k (cos )k (cos ) d d c ln(n + 2); (31)
2
X
+
=0
35
поскольку k (; ) = k (; ), а значит, в \главной части" (30) интеграл от модуля оставшегося
члена оценивается аналогично.
С помощью рекуррентного соотношения ([1], c. 273{274)
xpb(n;0) (x) = (n) pb(n;+10) (x) + n() pb(n;0) (x) + (n;)1 pb(n;;0)1 (x);
где
s
+ 1) (n + 1 + )
= 2 (2n + 1 +(n)(2
;
n + 2 + ) (2n + 3 + )
;
n = ;
(2n + 2 + )(2n + ) ; p; (x) = 0;
2
n
( )
2
(32)
2
2
( )
(
b 1
0)
произведем преобразования
(z ; t)
n
X
k=0
k k (z )k (t) =
n
X
k=0
k z k k ;
n
n
X
k=0
k tk k =
n
X
k=0
(k k k k ; k k; k k; ) +
(2)
(1)
+1
1
1
n
+ (k k; k; k ; k k k k ) + (k ; k )k k k :
X
(2)
1
k=0
X
(1)
1
+1
(2)
(1)
k=0
В первой сумме член k k; k k; заменим на k; k; k k; ; а во второй k k; k; k | на
k; k; k; k . Вычисляя тогда \скорректированные" суммы, принимая во внимание погрешность от произведенной замены и соотношение (32), в силу которого
1
1
k ; k = O
(k + 1) ; k ; k = O (k + 1) ;
(1)
1
1
(1)
1
1
1
(2)
1
(2)
1
1
1
(2)
(1)
(1)
2
43
(1)
+1
2
1
имеем
(z ; t)
n
X
k=0
(1)
k k (z )k (t) = n ((2)
n n+1 n ; n n n+1 ) +
n
+ f(k; k; ; k k; )k k; + (k k; ; k; k; )k; k g +
X
(2)
1
k=0
n
+
(1)
1
X
k=0
(2)
1
1
(1)
1
1
k O( k12 )jk k j = n (1)
n (n+1 n ; n n+1 ) +
n
n
+ (k ; k; )k; [k; k ; k k; ] +
X
(1)
1
k=0
Здесь
1
1
1
1
pk (x) =
kX
+1
=k;1
X
1
k=0
k O
k k
1
(k + 1) : (33)
2
jp; (x)j;
(
)
b
так что, например, k соответствует случаю = 2, = 0.
Наконец, с помощью соотношений
k; k ; k k; = (k; ; k )k + k (k ; k; )
и (25), (26) из равенства (33) получаем оценку
1
n
X
jz ; tj
k=0
k k (z )k (t)
+
n
X
k=0
1
1
1
c n[(1 ; z)n (z)n (t) + (1 ; t)n (z)n(t)] +
e
36
e
jk ; k; j [(1 ; z)k (z)k (t) + (1 ; t)k (z)k (t)] +
e
1
n
+ k +1 1 [k (z)k (t) + k (t)k (z)] + k [k (z)k (t) + k (t)k (z)] (k +1 1) +
k
+ n1 [n(z)n (t) + n(t)n (z)] ; (34)
X
2
=0
которой мы и воспользуемся при доказательстве (31). Согласно (34) имеем
f n c37
5
X
m)
(35)
fn ;
(
m=1
где (с обозначениями u(; ) = ( ; ); ( + ); , = cos , = cos )
n
=
=
1
m
fn =
Fm;k (; )d d;
n+1 k
при этом
F ;k (; ) = F ;n(; ) = n +1 1 nu(; )( n( )n ( ) + n( )n( ));
F ;k (; ) = jk ; k; ju(; )( k ( )k ( ) + k ( )k ( ));
F ;k (; ) = k +1 1 jk ; k; ju(; )(k ( )k ( ) + k ( )k ( ));
F ;k (; ) = (k +1 1) k u(; )(k ( )k ( ) + k ( )k ( ));
F ;k (; ) = F ;n(; ) = (n +1 1) nu(; )(n ( )n( ) + n( )n ( )):
3
(
2
Z 2
X
)
=0
1
3Z 2
0
3
2e
1
1
1
5
1
1
1
1
1
1
1
44
1
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
3
2e
1
4
1
0
1
2
5
2
1
1
1
1
1
Пользуясь соотношениями (16) и (12), имеем
fn
(1)
c38 Z 2=3 Z 2=3
1
3
1
5 e
3 d
n (1 )
n+1 0
( ; )2 3=2 + n(1 ) ( ; )2 2 5=2 d +
+1=(n+1)
Z 2=3
Z 2=3
1
3
1
5
3 +
d
n(1 )
( ; )2 2 7=2 + n(1) ( ; )2 2 5=2 d 0
+1=(n+1)
c
=3
Z 2
(1 ) + 3=2 (1 ))d +
Z 2
=3
( = n(1) + 3=2n(1))d)
c ln(n + 2):
(36)
Здесь использовано то, что во внутренних интегралах первых двух слагаемых , а
39
0
( =
5 2e
n
n
0
1 2
40
=3
d
= O(n + 1);
(
;
)
=n
подобным образом обстоит дело и во втором двойном интеграле. При оценке f n заметим, что
= =
наличие множителя jk ; k; j в подинтегральном выражении позволяет мажорировать
суммой
= = k
= = k
+
=k
=k
и, если учесть, что
=k
d
( ; ) = O(1);
Z 2
2
+1 ( +1)
(2)
2 R 3 2R 3
1
0
Z 2
3Z
0
Z 2
+1 ( +1)
+1 ( +2)
Z
3Z
0
0
+1 ( +1)
+1 ( +2)
+1 ( +1)
+1=(k+2)
2
то в точности, как и в случае f n , получим
(1)
fn
(2)
Аналогично получаем
nc+ 1
41
n
X
k=0
ln(k + 2) c ln(n + 2):
fn
(3)
c :
Далее, подобно случаю (36) имеем
n 2(k + 1)
=
c
fn = k ( )d +
n + 1 k (k + 1)
(4)
44
Z 2
X
=0
2
0
3
1 2
(37)
42
(38)
43
Z 2
1
=3
0
;1=2 k (1 )d
nc+ 1
45
Аналогично,
n k+1
X
k=0 k + 1
c : (39)
46
c :
(40)
Теперь, соединяя оценки (36){(40), в силу соотношения (35) приходим к утверждению (31),
т. е. лемма 3 доказана.
4 . В силу утверждений леммы 2, леммы 3 и равенства (9) имеем
Ln c ln n; n ! 1;
что в сочетании с оценкой (10) позволяет заключить справедливость теоремы.
5 . Следствие. Имеет место равенство
Ln (;1; 1) = Ln (1; ;1) = Ln (;1; ;1) = Ln (1; 1);
fn
(5)
47
0
48
2
0
45
так что каждая из этих величин при n ! 1 растет со скоростью порядка ln n.
Доказательство. Во-первых, отметим справедливость соотношений
pk ; (;1)pk ; (t)
;
Dk (;1; t) =
k+1
(этот аналог формулы (7) вытекает из рассуждений [2], c.83) и pn; (;x) = (;1)n pn; (;x) ([1],
c. 283), в силу которых и равенств (2) и (8) имеем
n k+1
1
k p ; (t)p ; (z ) dt dz =
Ln (;1; 1) =
(;1)
k
k
n+1 ; ; k
2
n
= 2(n 1+ 1)
(k + 1)pk ; (t)pk ; (z) dt dz = Ln(1; 1):
; ; k
Точно так же доказывается, что Ln(1; ;1) и Ln(;1; ;1) равны Ln(1; 1). Остается воспользоваться
результатом теоремы .
2
(0 1)
(0 1)
b
(0 0)
b
(
b
Z 1 Z 1 X
1
1
(0 1)
b
Z 1 Z 1 X
1
1. Суетин П.К.
2. Сеге Г.
3. Осиленкер Б.П.
1
(
b
)
(1 0)
b
=0
)
(1 0)
b
(1 0)
b
=0
Литература
. { 2-е изд. { М.: Наука, 1979. { 415 с.
. { М.: Физматгиз, 1962. { 500 с.
Классические ортогональные многочлены
Ортогональные многочлены
О сходимости и суммируемости разложений Фурье по ортонормированным
// Сиб. матем.
журн. { 1974. { Т.15. { Є 4. { С. 892{908.
Осиленкер Б.П.
// Исслед.
по теор. функций многих веществ. переменных. { Ярославль, 1978. { Є 2. { С. 176{195.
Кальней С.Г.
L
// ДАН СССР. { 1975. { Т. 222. { Є 5. { С. 1024{1027.
Жижиашвили Л.В.
// Изв. АН СССР. Cер. матем.
{ 1968. { Т. 82. { Є 5. { С. 1112{1122.
Агаханов С.А., Натансон Г.И.
// Вестн. Ленингр.
ун-та. Сер. матем. { 1968. { Є 1. { С. 11{18.
полиномам, ассоциированным с разностными операторами второго порядка
4.
5.
6.
7.
О линейных процессах приближения функций многих переменных
Равномерная ограниченность многочленов по полиномам Якоби в метрике
Обобщение одной теоремы Марцинкевича
Функция Лебега для сумм Фурье{Якоби
Тамбовский государственный
Поступила
27.01.1997
технический университет
46
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
168 Кб
Теги
суммы, арифметических, лежандра, средние, фурье, двойные, лебега, константин
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа