close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Конструирование явных методов типа Рунге--Кутта интегрирования систем специального вида.

код для вставкиСкачать
2005
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 2 (513)
УДК 519.624
И.В. ОЛЕМСКОЙ
КОНСТРУИРОВАНИЕ ЯВНЫХ МЕТОДОВ ТИПА РУНГЕ{КУТТА
ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
1. Введение
При решении задачи Коши
yi0 = fi (x; y ; : : : ; yn); i = 1; : : : ; n;
yi(X ) = yi ; i = 1; : : : ; n;
x 2 [X ; X ] R; yi : [X ; X ] ;! R; i = 1; : : : ; n;
fi : [X ; X ] Rn ;! R; i = 1; : : : ; n;
(1.1)
1
0
0
0
1
0
0
1
1
общая схема явного метода Рунге{Кутта ([1], гл. 6, x 3, с. 82) численного интегрирования системы
(1.1) имеет вид
yi (x + h) zi = yi (x) +
mi
X
j =1
bij kij (h); i = 1; : : : ; n;
(1.2)
где функции kij (h) вычисляются по следующей схеме:
kij (h) = hfi x + cij h; y (x) +
1
j ;1
X
p=1
aij p k p ; : : : ; yn (x) +
1
1
j ;1
X
p=1
aijnp knp ;
(1.3)
ci = 0; ai s = 0; s = 1; : : : ; n:
Здесь mi | число этапов и qi | порядок по i-й компоненте искомой функции в общем случае
1
1 0
могут быть различны по каждой из компонент. Поэтому при построении расчетных схем метода
их характеристикой могут выступать как векторы числа этапов M = (m1 ; : : : ; mn ) и порядка Q =
(q1 ; : : : ; qn ), если хотя бы одна из компонент соответствующих векторов отлична от остальных
(и тогда метод называется разноэтапным и разнопорядковым соответственно), так и скаляры
m и q, если компоненты соответствующих векторов равны между собой: m1 = : : : = mn = m;
q1 = : : : = qn = q.
Под порядком метода (1.2), (1.3) при векторе порядка Q = (q1 ; : : : ; qn ) будем понимать q =
minfq1 ; : : : ; qn g.
Введем еще одно понятие, необходимое для сравнения методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение. Пусть для некоторого вектора числа этапов в рамках одношагового метода
существует расчетная схема с вектором порядка Q = (q1 ; : : : ; qn ). Будем называть такой вектор
числа этапов минимальным и обозначать M (Q) = (m1 (q1 ); : : : ; mn (qn )); если для любой M =
(m1 ; : : : ; mn )-этапной расчетной схемы с вектором порядка Q = (q1 ; : : : ; qn ) этого же метода
справедливы неравенства mi mi (qi ), i = 1; : : : ; n.
75
В скалярном случае минимальное число этапов метода порядка q будем обозначать через
m(q).
При построении расчетных схем ([1], гл. 6, x 3, с. 84) в рамках метода (1.2), (1.3) традиционно в
силу равноправности уравнений системы параметры метода полагают независящими от номеров
компоненты i и s: bj bij , cj cij , ajp aijsp , m mi .
Такой способ распространения метода (формальный) (1.2), (1.3) интегрирования уравнений
на системы сужает его возможности, однако значительно упрощает задачу конструирования
методов интегрирования систем. В этом случае методы строятся для скалярных уравнений,
а распространение на системы осуществляется простой заменой скалярных функций y; f; kj
на соответствующие векторные. При этом все утверждения о соотношении порядка метода q и
числа этапов m; справедливые для скалярного случая, верны и для векторного: m(q) = q, q 4.
Эти равенства справедливы не только для формального метода интегрирования системы (1.1),
но и для общей схемы метода (1.2), (1.3).
В ([2], гл. 2, x 14, с. 294; [3]) предложен метод и построена теория условий порядка для разделяющихся дифференциальных уравнений. Параметры метода интегрирования разделяющихся
систем зависят от номера компоненты решения s, но все они одинаковы для всех компонент i
правой части: bj bij , cj cij , ajsp aijsp , m mi . А это значит, что в методе для разделяющихся систем (как и в формальном) порядок вычислений функций kij на j -м этапе произволен
(обычно в порядке возрастания индекса i). Метод интегрирования разделяющихся систем и формальный метод пассивно используют структурные особенности интегрируемых систем только
на уровне исследования условий порядка.
В отличие от указанных выше подходов в данной работе рассматривается новый явный одношаговый метод типа Рунге{Кутта решения задачи Коши для структурно разделяющихся систем
обыкновенных дифференциальных уравнений вида
( 0
y1 = f1(x; yn);
(1.4)
yj0 = fj (x; yj;1 ); j = 2; : : : ; n; n 2;
ys (X0 ) = ys0; s = 1; : : : ; n; x 2 [X0 ; X1 ] R;
где ys , fs | функции размерности rs . Для их интегрирования [4] построены экономичные двухи трехэтапные методы третьего и четвертого порядков соответственно.
2. Метод интегрирования
Считаем, что известно точное решение ys (x), s = 1; : : : ; n, задачи (1.4) в точке x 2 [X0 ; X1 ].
Приближение zs , s = 1; : : : ; n, к точному решению ys (x + h) в точке x + h 2 [X0 ; X1 ] ищем в виде
ys (x + h) zs = ys(x) +
ms
X
w=1
bsw ksw (h); s = 1; : : : ; n;
где функции ksw ksw (h) вычисляем по схеме
8
>
w = 1;
<hf1 (x; yn (x));
k1w = >hf x + c h; y (x) + wP;1 a k ; w > 1;
1w
n
1wg nw
: 1
kiw = hfi x + ciw h; yi; (x) +
1
w
X
g=1
g=1
aiwg ki;
1
g
; ci 6= 0; i = 2; : : : ; n;
1
(2.1)
(2.2)
(2.3)
в строгой последовательности k11 ; k21 ; : : : ; kn1 ; k12 ; k22 ; : : : ; ms | число этапов (количество вычислений s-й компоненты правой части системы (1.4) на шаге интегрирования):
m1 = = ms ms+1 = = mn; ms ; ms+1 1;
(2.4)
bsw , csw , aswg | параметры метода (2.1){(2.4); h | шаг метода.
76
Для компактного представления метода (2.1){(2.4) можно использовать табличное представление (табл. 1), состоящее из n подтаблиц.
Таблица 1. Метод (2.1){(2.4) интегрирования систем (1.4)
c
a c
a
c
:::: ::::: ::: :::::::::
c m1 a m1 : : : a m1 m1 ;
1
1
11
121
12
1
1
1
1
1
b
c
a b
c
a
b
a
c
:::: ::::: ::: :::::::
::::
b m1
c m2 a m2 : : : a m2 m2
:::::::::::::::::::::
1
2
11
21
211
12
22
221
1
2
2
2
1
2
b
b
b
::::
b m2
2
21
22
2
cn
an
bn
cn
an
bn
cn
an
bn
:::: :::::: :::: ::::::: ::::
cn m an m : : : an m m bn m
1
11
1
2
21
2
n1
n
n
n
n
Здесь исследуются возможности M = (3; : : : ; 3; 2)-этапного метода (2.1){(2.4) интегрирования
систем (1.4) при построении вычислительных схем четвертого порядка.
w
P
При ограничениях aswg = csw , c11 = 0, w = 1; : : : ; ms , условия порядка метода, которым
g=1
должны удовлетворять параметры метода (2.1){(2.4) при qs = 4, s = 1; : : : ; n, образуют систему
8n нелинейных алгебраических уравнений c 12n ; 9 неизвестными bsj , csj , asjw :
ms
X
ms
X
w=1
bsw csw
w
X
g=1
w=1
bsw cpsw = p +1 1 ; p = 0; 1; 2; 3;
aswg c{s; g = 2( +1 3){ ; (; { ) 2 f(0; 1); (1; 1); (0; 2)g;
1
ms
X
w=1
bsw
w
X
g=1
aswg
g
X
t=1
1:
as; gt cs; t = 24
1
2
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Такая компактная запись предполагает (здесь и в дальнейшем), что, во-первых, интервалы изменения индексов фиксированы (s = 1; : : : ; n, v = 2; : : : ; n ; 1, d = 3; : : : ; n ; 1), и, во-вторых,
формально вводятся и считаются нулевыми параметры, явно не присутствующие в вычислительной схеме метода (2.1){(2.4) (b0j bnj , c0j cnj , a0jg anjg , c;1 j cn;1 j , a1jj = 0, c11 = 0,
cn3 = bn3 = an3j = 0).
Теорема 1. В рамках M = (3; 2)-этапного метода (2:1){(2:4) численного интегрирования
системы (1:4) не существует расчетной схемы с порядком Q = (4; 3).
Доказательство сводится к установлению несовместности условий порядка (2.5){(2.7), которые в этих предположениях образуют систему 16 нелинейных алгебраических уравнений c 15
неизвестными bsw , csw , aswg . Для систем двух уравнений (1.4) с неравнотрудоемкими (по числу
арифметических операций) правыми частями построена вычислительная схема третьего порядка (табл. 2) с минимальным количеством слагаемых в главном члене погрешности по первой
компоненте.
77
Таблица 2. Метод (2.1){(2.4) третьего порядка интегрирования систем (1.4) при n = 2
c
a 1
0
;p3
3
p
5+2 3
;p3
3
p
9+ 3
3
12
16
; p3
21 2
48
;p3
;p3
6
p
3+ 3
p3
3
6
;20p3
b
2
;p3
6
p
5+ 3
3
52
13+7
44
76
a 2
1
9
3
c
b
1
2
1
2
p
9+4 3
22
1
2
33
143
Теорема 2. В рамках M = (3; : : : ; 3; 2)-этапного метода (2:1){(2:4) численного интегрирования системы (1:4) при n 3 существует расчетная схема четвертого порядка.
При доказательстве теоремы найдено частное решение (табл. 3) системы (2.5){(2.7).
Таблица 3. Метод (2.1){(2.4) четвертого порядка интегрирования систем (1.4) при n 3
c
a b
1
1
0
p
3; 3
p
9+ 3
12
; p3
21 2
48
16
cd
;p3
3
p3
p3;1
3
12
3
1
;p3
12
; p3
2
35 15
66
a p
9; 3
p
3; 3
p
3; 3
p
13+7 3
p3
p
11 3;15
1
8
12
; p3
44
ad
76
;p3
6
p
31+15 3
66
;20p3
143
p3
3
0
13+7
44
9
12
24
bd
p
5; 3
8
p3
73+63
264
cn
;p3
6
p
3+ 3
3
6
;p3
2
76
p3;1
3
76 20
143
b
2
2
52
p
3; 3
3
p
5+2 3
3
c
1
;p3
6
p
5+ 3
3
22
28
;12p3
p
9+4 3
33
143
p3
13+7
44
;p3
9
33
an
;20p3
52
bn
1
2
1
2
52
При его поиске использовались упрощающие предположения
wP
;1
m
Ps
bsg asgw
g=w
= bs;1 w (1 ; cs;1 w ), w =
1; 2; 3; apwg cp;1 g = 21 c2pw , w = 2; 3; p = 1; n.
g=1
В силу алгоритмической несимметричности метода (2.1){(2.4) покомпонентное применение
упрощающих предположений различно.
Необходимо отметить, что в рамках рассмотренного метода (2.1){(2.4) нельзя построить расчетную схему четвертого порядка численного интегрирования системы (1.4) с вектором числа
этапов M = (3; : : : ; 3; 2; 2). Поэтому набор числа этапов M (4) = (3; : : : ; 3; 2) является минимальным для метода (2.1){(2.4) четвертого порядка.
По своим характеристикам полученные расчетные схемы (табл. 2 и 3) обладают явными преимуществами перед расчетными схемами формального метода Рунге{Кутта. Следует обратить
внимание на два существенных момента, характеризующих рассматриваемый метод. Во-первых,
доказанные утверждения (теоремы 1 и 2) демонстрируют зависимость порядка метода (2.1){
(2.4) от размерности системы (1.4). Во{вторых, метод (2.1){(2.4) интегрирования систем (1.4)
при интегрировании дифференциальных уравнений
y(n) = f (x; y); y(i)(x0 ) = y0(i) ; i = 0; 1; : : : ; n ; 1;
(2.8)
78
столь же эффективен, как и специальные прямые методы его интегрирования
nX
;1
i;1
j
X
ki = hf x0 + Ci h; (Cji h! ) y0(j) + hn;1 Aij kj ;
j =0
j =1
y (x + h) ( )
0
m
n;X
1;
hj y(j+ ) + hn; ;1 X
Bi ki ;
0
i=1
j =0 j !
= 0; : : : ; n ; 1;
(2.9)
C = 0:
1
Каждому прямому методу (2.9), (2.10) соответствует табличное представление (табл. 4).
Таблица 4. m-этапный метод прямого интегрирования уравнения (2.8)
Ci
Aij
C 0
C A
::: :::: :::: :::
Cm Am Am : : : Am;m; 0
Bn; i
Bn;
Bn;
::::::
Bn; m
Например, приведение вычислительных схем (табл. 2 и 3) при n = 2; 3 разноэтапного метода
1
2
21
1
2
1
Bi
B
B
::::
Bm
0
01
02
0
Bi
B
B
::::
Bm
1
11
12
1
:::
:::
:::
:::
:::
(2.10)
1
11
12
1
(2.1){(2.4) к экономичному и алгоритмически простому виду дает расчетные схемы (табл. 5
и 6) прямого интегрирования дифференциального уравнения (2.8) второго и третьего порядков
соответственно.
Таблица 5. Метод третьего порядка Таблица 6. Метод четвертого порядка
Ci
1
2
;
1
2
+
p3
Aij
6
0
6
1
3
p3
Bi
0
0
1
4
+
1
4
;
p3
Bi
Ci
1
12
1
2
1
2
;
12
1
2
1
2
+
p3
p3
Aij
6
0
6
1
12
p3
Bi
Bi
0
0
1
12
+
1
12
;
1
p3
24
1
4
+
24
1
4
;
p3
p3
Bi
2
12
1
2
12
1
2
p3
Отметим, что явная двухэтапная расчетная схема третьего порядка (табл. 5) численного интегрирования y00 = f (x; y) согласно классификации, используемой в ([2], гл. 2, x 13, с. 276; [5],
гл. 1, x 3.2, с. 33), принадлежит типу Нюстрема, но не может быть получена в рамках двухэтапного метода (2.9) в силу ограничения (2.10).
По своим характеристикам двухэтапная расчетная схема четвертого порядка (табл. 6) интегрирования уравнений y000 = f (x; y) превосходит специальный метод Цурмюля ([5], гл. 1, x 3.4,
с. 37), т. к. при том же порядке он требует трех вычислений правой части на шаге интегрирования.
Все вышесказанное, во-первых, заставляет по-новому взглянуть на общую схему метода (2.9),
(2.10) интегрирования дифференциальных уравнений высшего порядка, т. к. здесь показано, что
ограничение C1 = 0 при n = 2; 3 существенно сужает его возможности; во{вторых, позволяет
установить связь между методами интегрирования систем дифференциальных уравнений (1.4)
и дифференциальных уравнений высшего порядка (2.8) (построены экономичные расчетные
схемы табл. 5 и 6, являющиеся едиными для систем и дифференциальных уравнений при n =
2; 3).
Литература
1. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Т. 2. { Минск: Вышэйш. школа, 1975. | 672 с.
2. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение oбыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. { М.: Мир, 1990. { 512 с.
79
3. Hairer E. Order conditions for numerical methods for partitioned ordinary dierential equations //
Numer. Math. { 1981. { V. 36. { P. 431{445.
4. Олемской И.В. Структурный подход в задаче конструирования явных одношаговых методов
// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. { 2003. { Т. 43. { Є 7. { С. 961{974.
5. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. { М.: Ин. лит., 1953.
{ 460 с.
Санкт-Петербургский
государственный университет
Поступила
04.09.2003
80
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
145 Кб
Теги
рунге, типа, методов, кутта, вида, специальное, система, конструирование, интегрированный, явных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа