close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Краевая задача с сопряжением производной по нормали с дробной производной для уравнения смешанного типа.

код для вставкиСкачать
ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ФИЗИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2005. №38
Краткие сообщения
Дифференциальные уравнения
УДК 517.9
О. В. Фадеева
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С СОПРЯЖЕНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ ПО НОРМАЛИ С ДРОБНОЙ
ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
Для рассматриваемого уравнения смешанного типа изучена новая краевая задача с сопряжением
производной по нормали с дробной производной. В терминах коэффициентов уравнения и условия
сопряжения и граничных значений искомой функции доказана теорема о существовании и единственности решения поставленной задачи.
Уравнение
V (U ) = 0 ,
(1)
2p
2q
ì
ïU xx + U yy + x U x + y U y , y > 0,
ï
0 < 2 p < 1 , 0 < 2q < 1 ,
где V (U ) = í
ïU - 2 p
,
<
0,
yU
xU
y
x
y
ïî xy x 2 - y 2
(
)
рассмотрим на множестве D = D- U D+ , где D- = {( x, y ) : - 1 < - x < y < 0} , D+ — область, ограниченная гладкой кривой G , лежащей в полуплоскости y > 0 , опирающейся на оси Ox и Oy в т.
A (1, 0 ) и B ( 0, 1) соответственно, и отрезками OA оси Ox и OB оси Oy .
Задача V1 . Найти функцию U (x, y ) со свойствами:
1) U ( x, y ) Î C (D ) I C 2 (D ) ;
2) U ( x, y ) — решение уравнения (1) на множестве D ;
3) U ( x, y ) подчиняется краевым условиям:
U
G
= f (s ) , s Î [0, L ] ,
(2)
L — длина кривой G , отсчитываемая от т. A(1,0 ) ,
(3)
U ( x,- x ) = w(x ) , y Î [0,1] ,
lim U x × x 2 q = u 0 ( y ) , y Î (0,1) ;
(4)
x ® +0
4) U ( x, y ) подчиняется условию сопряжения
lim U y × y 2 p = V1 ( x ) , x Î (0,1) ,
(5)
y ® +0
V1 (x ) =
x
(
d
x2 - t 2
dx ò0
) [U ( y,0) + U (x,-t )]dt , где U (x, y ) = U (x, y ) + U (x, y ) — решение
-l
1
2
1
2
Дарбу в D- для уравнения (1) с данными (3) и
U (x,0 ) = t (x ) , x Î [0,1] .
Доказательство единственности решения задачи V1 изложено в [1].
задачи
(6)
163
Доказательство существования решения задачи V1 проводится в случае, когда кривая G
задается уравнением y = 1 - x 2 и q = p .
Напомним, что решение задачи Дарбу в D- для уравнения (1) ([1]) имеет вид
k (1 - 2 p )
2p
é
ù
U (x, y ) = ò V (t ,0, x, y )êt ¢(t ) +
t (t )ú dt + 1
t
p
ë
û
0
x
t (x )Î C [0,1] I C1 [0;1) , w(x )Î C 1[0,1] , V (x, y, x0 , y0 )
-y
æ y2 + t2 ö æ
y2 - t2 ö
ç
÷
ç
÷ dt ,
¢
2
,
;
1
;
+
w
(
t
)
F
p
p
p
ò0
ç x2 - t2 ÷ ç
x 2 - t 2 ÷ø
è
ø è
— функция Римана-Адамара уравнения (1)
G(1 - p )
и краевая задача с сопряжением производной по нормаG( p )G(2 - 2 p )
ли с дробной производной для уравнения смешанного типа
x
x
-l
1- l
(1 - 2 p ) ( 2 - l - p ) k × B 1 + p,2 - l - 2 p .
V1 ( x ) = ò x 2 - t 2 t ¢ ( t ) dt + k ò x 2 - t 2
w¢ ( t ) dt , k =
(
)
1
p (1 - l )
0
0
(см., например [1]), k1 =
(
)
(
)
В области D+ для уравнения (1) используем решение задачи N ([2], гл. III, §3) с данными
(2), (4) и
lim U y × y 2 q = n 1 (x ) , x Î (0,1) .
(7)
y ® +0
Согласно условию сопряжения (5) доказательство существования решения задачи V1 сводится к доказательству существования решения уравнения (8) относительно функции t ¢( x ) :
1
t ¢( x ) - ò t ¢(s )K (x, s )ds = Q(x ) ,
(8)
0
ïì K1 ( x, s ) + K 2 ( x, s ) + K 3 ( x, s ) + K 4 ( x, s ) , 0 £ s £ x,
где K ( x, s ) = í
ïî K1 ( x, s ) + K 2 ( x, s ) + K 5 ( x, s ) , x £ s £ 1;
(
) (1 - s ) (1 - x )
(
)
(
)
æ 1
x2 1 - s2 ö
÷;
F1 çç1, - p,2 p;2 - l ;1 - s 2 ,1 - x 2 ÷ø
è 2
æ 1
2- l
-2
-2 p
2 Kp
x2 1 - s2 ö
÷;
1 - x2s2 1 - x2
K 2 (x , s ) =
x 1 - s2
F1 çç1, - p,2 p;3 - l ;1 - s 2 ,2-l
1 - x 2 ÷ø
è 2
-l -2 p
æ
1
x2 - s 2
K 3 ( x, s ) = - kB (1 - 2 p,1 - l ) (1 - l - 2 p ) x2 p x 2 - s2
F ç -2 p, - p;1 - 2 p - l ;
ç
2
x2
è
K1 ( x , s ) =
2 Kp 2
xs 1 - s 2 x 2
1- l
(
2 1- l
-1
) (
) (
2 -2 p
)
(
(
)
ö
÷÷ ;
ø
) (1 - s )
æ 1
1 - x2 ö
÷;
F1 çç1, - p; l ;1 - 2 p;1 - x 2 ,
1 - s 2 ÷ø
è 2
æ 1
- 2 p -1
1- l
1- s2 ö
2 Kp
÷.
1- s2
K 5 (x, s ) = x 1- x2
F1 çç1, - p,2 p + 1;2 - l ;1 - s 2 ,
1- l
1 - x 2 ÷ø
è 2
Свободный член уравнения Q(x ) зависит от краевых функций n 0 ( y ) , w( x ) и f (s ) и в силу
своей громоздкости в данной работе не приводится.
Исследования показали, что ядро K (x, s ) является ядром со слабой особенностью при условии, что 2l - 1 £ 2 p < 1 - l . Функция
Q(x )Î C [0,1) , если f (s ) Î C [0,1] , f (L ) = 0 ,
K 4 (x, s ) = - kx 1 - x 2
(
2 -l
-2 p
)
(
)
n 0 ( y ) = y r × f 0 ( y ) , r ³ 1+ 2 p , f 0 ( y ) Î C [0,1] и l + 2 p < 1 .
Таким образом, уравнение (8) есть уравнение Фредгольма II рода с ядром со слабой особенностью.
Тогда из единственности решения уравнения Фредгольма [3] следует существование решения задачи V1 .
Т е о р е м а. Если w(x )Î C 1 [0,1] ; f (s )Î C [0, L ] , f (L ) = 0 ; n 0 ( y ) = y r × f 0 ( y ) , r ³ 1+ 2 p ,
f 0 ( y )Î C [0,1] ; 2l - 1 £ 2 p £ 1 - l , то существует единственное решение задачи V1 на множестве D .
164
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
Волкодавов В. Ф., Фадеева О. В. Для уравнения смешанного типа задача V1 и единственность ее решения //
Труды международной научн. конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 2003. С. 51–53.
Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению задач для дифференциальных
уравнений с частными производными. Дисс. доктора физ.-мат. наук. Куйбышев, 1968.
Крикунов Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Казань: Изд–во Казанского Университета, 1986. 148 с.
Поступила 24.06.2005 г.
165
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
165 Кб
Теги
сопряжение, типа, уравнения, краевая, смешанной, производной, нормаль, задачи, дробной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа