close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева-Бицадзе.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2011, № 4, c. 3–7
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421100123 \0029
С.А. АЛДАШЕВ
КРИТЕРИЙ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНОЙ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ
МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА–БИЦАДЗЕ
Аннотация. В работе получен критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева–Бицадзе.
Ключевые слова: уравнение Лаврентьева–Бицадзе, задача Дирихле, спектральная задача.
УДК: 517.956
Abstract. In this paper we obtain a criterion for the unique solvability of the spectral problem in
a cylindrical domain for a multi-dimensional Lavrent’ev–Bitsadze equation.
Keywords: Lavrent’ev–Bitsadze equation, Dirichlet problem, spectral problem.
Двумерные спектральные задачи для уравнений эллиптико-гиперболического типа интенсивно изучаются [1]–[5], однако их многомерные аналоги исследованы мало [6].
Пусть Ωαβ — цилиндрическая область евклидова пространства Em+1 точек (x1 , . . . , xm , t),
ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) : |x| = 1}, плоскостями t = α > 0 и t = β < 0, где |x| —
длина вектора x = (x1 , . . . , xm ).
Обозначим через Ωα и Ωβ части области Ωαβ , а через Γα , Γβ — части поверхности Γ,
лежащие соответственно в полупространствах t > 0 и t < 0; σα — верхнее, а σβ — нижнее
основания области Ωαβ .
В области Ωαβ рассмотрим многомерное уравнение Лаврентьева–Бицадзе со спектральным действительным параметром γ
∆x u − sgn t utt = γu,
(1)
где ∆x — оператор Лапласа по переменным x1 , . . . , xm , m ≥ 2.
В качестве многомерной спектральной задачи Дирихле рассматривается
Задача D. Найти решение уравнения (1) в области Ωαβ при t = 0 из класса C(Ωαβ ) ∩
C 1 (Ωαβ ) ∩ C 2 (Ωα ∪ Ωβ ), удовлетворяющее краевым условиям
u|σα = 0, u|Γα = 0,
(2)
u|Γβ = 0,
(3)
u|σβ = 0.
В дальнейшем удобно перейти от декартовых координат x1 , . . . , xm , t к сферическим r,
θ1 , . . . , θm−1 , t, r ≥ 0, 0 ≤ θ1 < 2π, 0 ≤ θi ≤ π, i = 2, 3, . . . , m − 1.
Поступила 10.11.2009
3
4
С.А. АЛДАШЕВ
k
Пусть Yn,m
(θ) — система линейно независимых сферических функций порядка n,
1 ≤ k ≤ kn , (m − 2)!n!kn = (n + m − 3)!(2n + m − 2), θ = (θ1 , . . . , θm−1 ).
Тогда справедлива
Теорема. При γ = −µ2s задача D имеет нетривиальное решение тогда и только тогда,
когда нарушается условие (хотя бы при одном s = l)
√
√
√
√
cos α µ sh β µ = sin α µ ch β µ,
µ = γ + µ2s > 0,
(4)
2
(5)
ch α |µ| sin β |µ| = sh α |µ| cos β |µ|, µ = γ + µs < 0,
где µs — положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+ m−2 (z), s = 1, 2, . . . .
2
Доказательство. В сферических координатах уравнение (1) в области Ωα имеет вид
m−1
1
ur − 2 δu − utt = γu,
r
r
sinm−j−1 θj ∂θ∂ j , g1 = 1, gj = (sin θ1 . . . sin θj−1 )2 , j > 1.
urr +
где δ ≡ −
m−1
j=1
1
∂
gj sinm−j−1 θj ∂θj
(6)
Известно [7], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n + m − 2),
n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных функk (θ).
ций Yn,m
Так как решение задачи D в области Ωα из класса C(Ωα ) ∩ C 2 (Ωα ), то его можно искать
в виде ряда
u(r, θ, t) =
kn
∞ k
ukn (r, t)Yn,m
(θ),
(7)
n=0 k=1
где ukn (r, t) — функции, подлежащие определению.
k (θ) [7], полуПодставив (7) в (6), используя ортогональность сферических функций Yn,m
чим
m−1 k
λn
uknrr +
unr − ukntt − 2 ukn = γukn , k = 1, kn , n = 0, 1, . . . ,
(8)
r
r
при этом краевое условие (2) запишется в виде
ukn (r, α) = 0, ukn (1, t) = 0, k = 1, kn , n = 0, 1, . . . .
Произведя замену ukn (r, t) = r
1−m
2
ukn (r, t) в (8), (9), получим
λn k
u − γukn = 0,
r2 n
ukn (1, t) = 0, k = 1, kn , n = 0, 1, . . . ,
uknrr − ukntt +
ukn (r, α) = 0,
(9)
λn =
(10)
(11)
(m − 1)(3 − m) − 4λn
.
4
Решение задачи (10), (11) будем искать в виде
ukn (r, t) =
∞
s=1
Rs (r)Ts (t).
(12)
КРИТЕРИЙ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
5
Подставляя (12) в (10), с учетом (11) получим
Rsrr +
λn
Rs + (µ − γ)Rs = 0, 0 < r < 1,
r2
Rs (1) = 0, |Rs (0)| < ∞,
(13)
(14)
Tstt + µTs = 0, 0 < t < α,
(15)
Ts (α) = 0.
(16)
Ограниченным решением задачи (13), (14) является [8]
√
Rs (r) = rJν (µs r), 0 < r < 1,
(17)
m−2
2 ,
µ = γ + µ2s .
где ν = n +
Общее решение уравнения (15) представимо в виде [8]
⎧
⎪
⎨c1s ch t |µ| + c2s sh t |µ|, µ < 0;
Ts (t) = c1s + c2s t,
µ = 0;
⎪
√
√
⎩
µ > 0,
c1s cos t µ + c2s sin t µ,
где c1s , c2s — произвольные постоянные. Удовлетворив условию (16), будем иметь
⎧
⎪
⎨c1s ch α |µ| + c2s sh α |µ| = 0, µ < 0;
µ = 0;
c1s + c2s α = 0,
⎪
√
√
⎩
µ > 0.
c1s cos α µ + c2s sin α µ = 0,
(18)
(19)
Таким образом, решением задачи (1), (2) в области Ωα является
u(r, θ, t) =
∞
kn ∞ r
2−m
2
k
Ts (t)Jn+ m−2 (µs r)Yn,m
(θ),
(20)
2
n=0 k=0 s=1
где Ts (t) определяется из (18).
Теперь переходим в область Ωβ к первой краевой задаче для уравнения
∆x u + utt = γu
(21)
с условием (3). Ее решение будем искать в виде (7). Подставляя (7) в (21), получим
λn k
u = γukn , k = 1, kn , n = 0, 1, . . . ,
r2 n
при этом краевое условие (3) запишется в виде
uknrr + ukntt +
ukn (r, β) = 0,
ukn (1, t) = 0, k = 1, kn , n = 0, 1, . . . .
(22)
(23)
Если решение задачи (22), (23) будем искать в виде
ukn (r, t) =
∞
Rs (r)Vs (t),
(12 )
s=1
то придем к задаче (13), (14), решением которой является (17), и к уравнению
Vstt − µVs = 0, β < t < 0,
(24)
Vs (β) = 0.
(25)
с условием
6
С.А. АЛДАШЕВ
Решением уравнения (24) является функция
⎧
⎪
⎨c1s cos t |µ| + c2s sin t |µ|, µ < 0;
Vs (t) = c1s + c2s t,
µ = 0;
⎪
√
√
⎩ µ > 0.
c1s ch t µ + c2s sh t µ,
(26)
Удовлетворив условию (25), получим
⎧
⎪
⎨c1s cos β |µ| + c2s sin β |µ| = 0, µ < 0;
µ = 0;
c1s + c2s β = 0,
⎪
√
√
⎩ µ > 0.
c1s ch β µ + c2s sh β µ = 0,
(27)
Следовательно, решением задачи (1), (3) в области Ωβ является
u(r, θ, t) =
∞
kn ∞ r
2−m
2
k
Vs (t)Jn+ m−2 (µs r)Yn,m
(θ),
n=0 k=0 s=1
(28)
2
где Vs (t) определяется из (26).
Так как искомое решение u ∈ C(Ωαβ ) ∩ C 1 (Ωαβ ), то из (7), (12), (12 ) следует, что Ts (0) =
Vs (0), т. е. c1s = c1s , c2s = c2s . Отсюда и из (19), (27) для неизвестных коэффициентов c1s ,
c2s получим системы алгебраических уравнений
c1s ch α |µ| + c2s sh α |µ| = 0,
µ = γ + µ2s < 0;
(29)
c1s cos β |µ| + c2s sin β |µ| = 0,
√
√
c1s cos α µ + c2s sin α µ = 0,
µ = γ + µ2s > 0.
√
√
c1s ch β µ + c2s sh β µ = 0,
(30)
Если γ = −µ2s и выполняется условие (4)–(5), то из (29) и (30) вытекает c1s = c2s = 0,
s = 1, 2, . . . . Тогда Ts (t) = Vs (t) = 0, s = 1, 2, . . . .
Далее из (20), (28) получим u = 0 в Ωαβ . Первая часть теоремы установлена.
Пусть условие (4)–(5) нарушено хотя бы для одного s = l. Тогда из (18), (26), (29), (30)
следует, что нетривиальными решениями задачи D являются функции
⎧∞ k
n
2−m ⎪
k (θ),
⎪
n−p r 2 c1l ch t |µ| + c2l sh t |µ| Jn+ m−2 (µl r)Yn,m
t > 0;
⎨
2
n=1 k=1
(31)
u(r, θ, t) =
kn
∞ 2−m ⎪
k (θ), t < 0,
⎪
⎩
n−p r 2 c1l cos t |µ| + c2l sin t |µ| Jn+ m−2 (µl r)Yn,m
2
n=1 k=1
при µ = γ + µ2l < 0,
⎧∞ k
n
2−m
⎪
⎪
n−p r 2
⎨
k=1
u(r, θ, t) = n=1
kn
∞ 2−m
⎪
⎪
⎩
n−p r 2
n=1 k=1
√
√ k (θ), t > 0;
c1l cos t µ + c2l sin t µ Jn+ m−2 (µl r)Yn,m
2
√
√ k (θ),
c1l ch t µ + c2l sh t µ Jn+ m−2 (µl r)Yn,m
при µ = γ + µ2l > 0, где константы c1l = 0, c2l = 0.
2
(32)
t < 0,
КРИТЕРИЙ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
7
Учитывая формулу [9] 2Jv (z) = Jv−1 (z) − Jv+1 (z), оценки ([9], [7])
z v
1
,
|Jv (z)| ≤
Γ(v + 1) 2
q
∂
m
m−2
k
, q Yn,m (θ) ≤ c2 n 2 −1+q , c1 , c2 = const, j = 1, m − 1, q = 0, 1, . . . ,
|kn | ≤ c1 n
∂θ
j
Γ(z) — гамма-функция, нетрудно показать, что если p > 3m
2 , то функции (31), (32) принад
лежат искомому классу C(Ωαβ ) ∩ C 1 (Ωαβ ) ∩ C 2 (Ωα ∪ Ωβ ).
Литература
[1] Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром (Изд-во МГУ, М., 1988).
[2] Кальменов Т.Ш. О регулярных краевых задачах и их спектре для уравнений гиперболического и смешанного типа, Дисс. . . . докт. физ.-матем. наук (МГУ, М., 1982).
[3] Пономарев С.М. К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева–Бицадзе, ДАН СССР
223, 39–40 (1977).
[4] Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнения смешанного типа со спектральным
параметром (ФАН, Ташкент, 1997).
[5] Сабитов К.Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева–Бицадзе со спектральным параметром,
Дифференц. уравнения 22 (11), 1977–1984 (1986).
[6] Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных (Наука, М., 2006).
[7] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения (Физматгиз, М., 1962).
[8] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям (Наука, М., 1965).
[9] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, T. 2 (Наука, М., 1974).
С.А. Алдашев
профессор, кафедра высшей математики и дифференциальных уравнений,
Актюбинский государственный университет,
ул. Братьев Жубановых, д. 263, г. Актюбинск, 030000 Республика Казахстан,
e-mail: aldash51@mail.ru
S.A. Aldashev
Professor, Chair of Higher Mathematics and Differential Equations,
Aktobe State University,
263 Brat’ev Zhubanovykh str., Aktobe, 030000 Republic of Kazakhstan,
e-mail: aldash51@mail.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа